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高三数学试卷
(本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟)
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试
卷和答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案。非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写
在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数 x=i(-2+i)对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合 A={1,3,5,7},B={x|2A.{3,5} B.{3,4,5} C.{2,3,5,6} D.
3.已知向量 ,则 x=
A.4 B.-4 C.1 D.-1
4.圆 与圆 的位置关系是
A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
5.已知函数 是定义在 R 上的偶函数,且 f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,则 f(-1).f(1),f(2)的
大小关系是
A. f(-1)C. f(1)6.已知函数 ,则函数
A.周期为 2π B.是奇函数
C.在区间 上单调递增 D.一条对称轴是
7.已知正三棱锥 S-ABC,平面 DEFH 分别与 AB,BC,SC,SA 交于 D,E,F,H,其中 D,E 分别是
AB,BC 的中点.如果直线 SB∥平面 DEFH,那么四边形 DEFH 是
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
8.已知双曲线 的左、右顶点分别为 A，B，点 P 在双曲线的右支上且异于点 B.
若直线 AP 的斜率的取值范围是 则直线 BP 的斜率的取值范围是
A.[4,8] B.(2,4]∪[8,+∞)
C.(4,8) D.(0,4]∪[8,+∞)
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9.已知等差数列{ }的前 n 项和为 Sn，若 则下列结论正确的是
C. Sn 取得最小值时 n=3 D.数列 是等比数列
10.一个口袋中有大小相同的 2 个白球和 4 个黑球，从中随机取出 3 个球，记取出的黑球个
数为 X，则下列结论正确的是
A. X 的可能取值为 0,1,2,3
C. E(X)=2 D. E(2X-1)=4
11.已知函数 则下列结论正确的是
A.函数 有 2 个极值点
B.函数 无最小值
C.若函数 在 上是减函数，则实数 a 的取值范围是
D.函数 有 5 个零点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
的展开式中 的系数是 .
13.已知数列{ }的前 n 项和为 则 (用数字作答).
14.已知函数 若 f(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立,则实数 a 的取值
范围是 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13 分)
已知函数
(1)求曲线 在点 处的切线方程;
(2)当 x∈(0,+∞)时,求证: .
16.(15 分)
为应对中国近视率高发问题，普及科学用眼知识，国家确定每年的 6 月 6 日为“全国爱眼日”.
某校在爱眼日前用简单随机抽样的方法抽取部分学生进行视力调查，通过调查得到了如下数
据：抽取的学生中男生与女生的比例是 3∶2，其中男生中有 40%的同学近视，女生中有 25%
的同学近视.
(1)若在抽取的这些学生中随机抽取一名学生，这名学生近视的概率是多少
(2)若抽取的学生总共 100 人，请完成下面的 2×2 列联表.
视力
性别 合计
近视 不近视
男生
女生
合计
试根据小概率值α=0.05 的独立性检验，分析该校学生的视力是否与性别有关.
附： 的值保留三位小数)
α 0.1 0.05 0.01 0.005
xα 2.706 3.841 6.635 7.879
17.(15 分)
已知椭圆 C 的左、右焦点分别为 M 是椭圆 C 上一点，且
的周长是 ，椭圆 C 的离心率为
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)已知 O 为坐标原点，过点 P(4，0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且
求|AB|.
18.(17 分)
如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是正方形,PD⊥平面 ABCD,PD =AD =2.已知 E,F 分别为
PA,PC 的中点,平面 DEF 与棱 PB 交于点 G.
(1)求证:
(2)求平面 CDG 与平面 ABCD 的夹角的余弦值；
(3)判断线段 EF 上是否存在一点 H，使得点 H 到平面 CDG 的距离为 若存在，请求出点
H 的坐标；若不存在，请说明理由.
19.(17 分)
“平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马在十：世
纪提出的，意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法：
(Ⅰ)当. 的三个内角均小于 120°时,满足∠AOB=∠BOC =∠COA=120°的点 O 为费马
点；
(Ⅱ)当 有一个内角大于或等于 120°时，最大内角的顶点为费马点.
请用上述知识解决下面的问题：
在锐角 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 .
(1)求 A;
(2)已知 a=4,点 M 为△ABC 的费马点.
①若 记∠MBC =θ,求 tanθ;
②求 的取值范围数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
D
B
B
D
C
A
【解析】
1.z=-2i+2=-1-2i,复数z对应的点为(-1，-2)，故选C
2.A∩B={3,5},故选A.
3.由a∥b得，6x+3×2=0,得x=-1,故选D.
4.两圆圆心距d=3,1+r2=2+1=3,因为d=r1+r2,所以两圆外切，故选B.
5.由题意可知y=f(x)关于x=1对称，所以f(-1)=f(3),又因为y=f(x)在[1，+∞)上单调
递增，所以f(1)6,)=2sin2+平），周期T=受=m,故A错误；因为f-x)≠x),f代-)≠-f代x),所
以)是非奇非偶函数，故B错误；当-子+2km≤2x+牙≤受+2m,keZ,即-名m+m≤
x≤君+km,keZ时，x)为增函数，所以f)在（受，）上递减，在(，买）上递增，故C
错误；对称轴方程2+牙=受+m,ke乙，即x=受+受ke乙，所以x=晋是)的对称轴，
故D正确，故选D.
7.取AC的中点G,连接SG,BG.因为△ABC是正三角形，则BG⊥AC.因为S-ABC是正三棱锥，
所以SA=SC,则SG⊥AC,故AC⊥平面SGB,所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH,SBC平面
SAB,平面SABn平面DEFH=HD,所以SB∥HD,同理SB∥FE.又D,E分别为AB,BC的中
点，则H,F也分别为AS,SC的中点，从而得HFL分AC LDE,所以四边形DEFH为平行四边
形.又AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,所以DE⊥HD,所以四边形DEFH为矩形.故选C.
8由双曲线方程可得4(-1,0)，8(1,0)，设P(o6),则有0=·0=5】
6+1为-1好-19
454,所以=e宁小，所以ee4,81:故遮A
x6-1
数学参考答
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号
9
10
11
答案
ABD
BC
AD
【解析】
9设等差数列的公差为d,则+d -2
解得a1=-4,d=2,
l2a1+8d=81
所以o,=a+(a-1）d=2m-6,8=a（a2=n2-5=(n-2}-2
2
当n=2或n=3时，Sn有最小值，故A,B正确，C错误；
因为2224
2”=2-=2=4,所以数列12-是等比数列，故D正确，故选ABD
10.X的可能取值为1,2,3，故A错误；P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=
CC2
,故B正确；
+
M=4,N=6,则B(X)=n×兴=3×号=2，放C正确；B(2X-1)=2B(X)-1=3,故D错
误.故选BC
11.f'(x)=(2x2+x-3)·e=(x-1)(2x+3)e.
当x(-m,-2(1,+∞)时，f()>0xe(-2,时，f'()<0,
所以x)在到-0，-》，(1，+0)上为增函数，在计女2,1上为减函数，
所以当x=-
2时，函数有极大值-2)=9·。÷，当x=1时，函数有极小值f1)=-6
由)=(22-3)·6>0，即2-3x>0,得x<0或x>2,
所以当xe(-°，0)U(2,+∞）时函数fx)的图象在x轴上方，画出函数图象，如图
由图象可知A正确，B错误；由图象可知实数a的取值范围是(-乏，刂，故C错误；
由y=3[代x)]2+2-1=0得)=-1或分因为-2)=9e>号f1)=-。
数学参考答

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