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江西省抚州市2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、单选题
1．以下四幅图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．若，则下列各式中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．若关于的分式方程有增根，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．3
4．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，直线与轴交于点，与轴交于点边在轴上，且，将沿轴正方向平移个单位长度后，面积恰好被直线平分，则的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图所示，点是等边内一点，，将绕点逆时针旋转一定角度后得到，下列四个结论中：①为等边三角形；②；③；④；其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．若分式的值为，则的取值为 ．
8．已知，则的值为 ．
9．如图，在中，平分垂直平分，则的长为 ．
10．将边长相等的正五边形和正六边形如图放置，且顶点A，B，M在同一条直线上，则的度数为 ．
11．规定新运算：▲ ，例如：2▲ ，若关于的不等式▲的解集在数轴上表示如图所示，则的值为 ．
12．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，将线段沿轴正方向平移至，若为等腰三角形，则平移的距离为 ．
三、解答题
13．（1）计算：
（2）因式分解：
14．已知，如图，与交于点O，且．求证：．

15．先化简，再从中选一个合适的整数作为的值代入求值．
16．如图，在中，点为的中点，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）：
(1)在图1中，，作出中边上的高；
(2)在图2中，过点作的平行线．
17．以下是敖丙同学解不等式组的解答过程：
解：由不等式①，得……第一步
由不等式②，得……第二步
原不等式组的解集为……第三步
(1)敖丙同学的解答过程中开始出现错误的步骤是第___________步．
(2)请写出正确的解答过程．
18．如图、在四边形中，，延长至，使，延长至．使，连接，点为的中点，
(1)若，求度数；
(2)求证：．
19．阅读并完成下列问题：
(1)分解下列因式，将结果直接写在横线上：
___________；___________；___________．
(2)观察以上三个多项式的系数：
； ；
于是小聪猜测：若多项式是完全平方式，则实数系数a，b，c一定存在某种关系，请你用数学式子表示a，b，c之间的数量关系：___________．
(3)解决问题：若多项式是一个完全平方式，求的值．
20．定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，于，且是等直三角形，是的一条等直分割线段．
(1)定义理解：直角三角形一定___________等直三角形（填“是”或“不是”）；
(2)定义应用：如图2，在中，是的等直分割线段，，，求的长；
(3)应用提升：在中，是的等直分割线段，则AC的长可以为___________．
21．抚州文昌里以其丰富的历史文化和独特的建筑风格吸引了大量的游客．“五一”假期间，某商铺出售A，B两种牡丹亭图案文创饰品，若采购种饰品花了1400元，采购种饰品花了630元，则种数量是种数量的2倍，其中种的进价比种的进价每件多1元．
(1)A，B两种饰品每件的进价分别为多少元？
(2)现商铺计划购进A，B两种饰品共600件，购进种的件数不超过种件数的2倍，且购买总金额不超过5700元，则共有几种购买方案？
(3)在（2）的条件下如果购进的这两种饰品均以每件15元全部售出，设购进种饰品件，那么为何值时，能使本次销售的利润最大，并求出最大利润．
22．如图，在中，，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，点恰好落在边上，连接并延长交于点．
(1)求证：；
(2)判断四边形的形状，并说明理由；
(3)若，点，分别为线段，上的一个动点，连接，，则的最小值为___________．
23．问题探究：
（1）完成填空并得出结论：
如图1，于点，探究三者之间的数量关系．
证明：过点作交延长线于点
四边形为平行四边形
___________，___________
___________
应用结论：
（2）如图3，在中，与相交于点，点为的中点，且．求的长．
拓展应用：
（3）如图4，已知为的中线，交于点，交于点，求的长．
参考答案
1．B
解：A，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B，是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
故选B．
2．C
解：A． 由，两边减1得，故A错误；
B． 由，两边除以正数2得，故B错误；
C． 由，两边乘（负数）得，再加1得，故C正确；
D． 当和为负数时，例如，，此时，，，故D不一定成立．
故选C．
3．A
解：原方程中，分母为和，最简公分母为．当时，分母为零，故增根为．
将方程两边同乘，得：
展开并整理得：
将增根代入，得：，
解得．
故选A．
4．D
解：∵直线与与直线相交于点，
∴，
∴，
∴，
∴由函数图象可知，当时，直线的函数图象在直线的函数图象下方，
∴关于x的不等式的解集为，
故选：D．
5．B
解：根据题意当时，则，
当时，则，
解得：，
∴，
∴，
∵，
四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
设沿x轴正方向平移m个单位长度后，得到，连接，
则，
∵四边形是平行四边形，即平行四边形是中心对称图形，
∴当直线过的中点时，面积恰好被直线平分，
∵的中点为，即，
∴，
解得：．
故选B．
6．D
解：是等边三角形，
， ，
将绕点逆时针旋转一定角度后得到，
，
，，，，
，
为等边三角形；
故①正确；
，
，
；
故②正确；
，
，
在中，，
，
，，
；
故③正确；
如图，取中点Q，连接，，
则，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，点Q是中点，
，，
，
故④正确；
综上可知，正确的结论有4个，
故选D．
7．
解：∵分式的值为0，
∴，
解得：，
故答案为：．
8．
解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
9．
解：∵平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
10．/168度
解：如图，
由题意得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
11．
解：由题意，得：▲，
解得：，
由数轴可知：，
∴，
∴；
故答案为： ．
12．13或24或
解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
令，解得：，
将代入，则，,
∴点，，
∴，
由平移可知：，，
∵为等腰三角形，
当时，如图1：
设，则，
∵，
∴，
解得：，即；
当时，如图2：
当时，如图3：
则，
∴，
综上所述平移的距离为或或．
故答案为：或或．
13．（1）1；（2）
【分析】本题考查了因式分解，异分母分式的加减运算．
（1）先通分，再利用同底数幂的加减法运算即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
【详解】解：（1）
；
（2）
．
14．见解析
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
15．，求值见解析
解：原式
，
，
又且为整数，
或，
当时，原式；
当时，原式．
16．(1)见解析
(2)见解析
（1）解：如图，为所求，
（2）解：如图，为所求，
17．(1)一
(2)
（1）解：第一步中，系数化为1时，除以负数，应改变不等号的方向，
故答案为：一．
（2）解：由不等式①，得，
由不等式②，得
原不等式组的解集为．
18．(1)
(2)见解析
（1）解：∵，
四边形是平行四边形，
．
，
是中位线，
，
；
（2）证明：，
．
，
，
四边形是平行四边形，
．
19．(1)，，
(2)
(3)
（1）解： ，
，
，
故答案为：，，；
（2）解： ；；，…
∴前几个多项式系数间的关系可得：，
故答案为： ；
（3）多项式 是一个完全平方式，
，
，
，
，
．
20．(1)是
(2)5
(3)2或1或
（1）解：直角三角形一定是等直三角形
证明：如图：是的垂直平分线，
，则是等腰三角形，
是直角三角形
是的一条等直分割线段；
∴直角三角形一定是等直三角形，
故答案为：是；
（2）是的等直分割线段
是等腰三角形
设：，则
在中，根据勾股定理得
解得
；
（3）在中，，，是的等直分割线段，
①若，时，如图1，
∴，
∴，
∴，
②若，时，如图2，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
③若，时，如图3，
∴
④若，时，如图4，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：的长可以为或或.
故答案为：或或.
21．(1)A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为9元
(2)101种
(3)当时，有能使本次销售的利润最大，最大值为元
（1）解：设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为9元；
（2）解：设购进A种饰品m件，则购进B种饰品件
由题意得：，
解得：，
购进A种饰品件数m的取值范围为：，且m为整数；
购买方案共有：种；
（3）解：设采购A种饰品m件时的总利润为w元，
，
，随m的增大而减小，
当时，w有最大值，最大值为，此时，
即当采购A种饰品件，B种饰品件，商铺获利最大，最大利润为元．
22．(1)见解析
(2)平行四边形，理由见解析
(3)
（1）证明：∵在中，，
∴，
由旋转的性质可得，，，
∴都是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵都是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）解；如图所示，连接，
∵是等边三角形，，即，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴当A、M、N三点共线且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，
∵此时都是等边三角形的高，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
23．（1），，；（2）12；（3）3
（1）证明：过点作交延长线于点
四边形为平行四边形
，，
，
故答案为：，，=．
（2）解：连接，
四边形是平行四边形，
，，
，
由（1）结论可得
即：
．
（3）解：延长至点，使，
连接和．
四边形为平行四边形
，
设，则
．
方法二：取的中点，连接
，
设，则
由（1）中结论可得
即
解得
．

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