资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 解一元二次方程
考点类型
知识一遍过
（一）一元二次方程解法
（1）解法一：直接开平方法
概念：形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得的根是，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。
【注意】
①若n≥0，方程有两个实数根。
（若n＞0，方程有两个不相等的实数根；若b=0，方程有两个相等的实数根）
②若n<0，方程无解。
（2）解法二：配方法
概念： 配方法:将ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式,当b2-4ac≥0时,用直接开平方法求解
一般步骤:
①移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
②二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为的形式；
④求解：判断右边等式符号，开平方并求解
（3）解法三：公式法（常用解法）
概念：公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为
一般步骤：
①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);
②求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;
③如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：
④最后求出x1，x2
（4）解法三：因式分解法（仔细观察方程，灵活应用）
概念：将方程右边化为0,左边化为两个一次因式的积,令每个因式等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程就得到原方程的解。例：若a·b＝0，则a＝0或b＝0
一般步骤：
①将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0；
②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④求解
归纳：右化零，左分解，两因式，各求解
考点一遍过
考点1：解一元二次方程——直接开平方
典例1：解一元二次方程：；
【答案】
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．根据直接开方法进行计算即可．
【详解】解： ，
，
或，
解得：；
【变式1】解一元二次方程：；
【答案】
【分析】
本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键．利用直接开平方法即可求.
【详解】解：，
∴，
即：或，
∴．
【变式2】用直接开平方法解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．
（1）利用直接开方的方法进行求解即可；
（2）利用直接开方的方法进行求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，；
（2），
，
两边直接开平方，得，
解得，．
【变式3】求下列各式中的x的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握直接开平方法是解此题的关键．
（1）移项后两边开方，即可求出x；
（2）方程两边都除以3，再开方，即可求出答案．
【详解】（1）解：，
，
，
开方得：，
即，；
（2）解：，
，
开方得：，
即，．
考点2：解一元二次方程——配方法
典例2：用配方法解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，；
(2)，．
【分析】此题考查了解一元二次方程配方法．各方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．
【详解】（1）解：原方程可化为．
配方，得，即．
两边直接开平方，得，
所以或，
所以，；
（2）解：原方程可化为．
配方，得，
即．
两边直接开平方，得，
所以或，
所以，．
【变式1】用配方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键：
（1）配方法解方程即可；
（2）配方法解方程即可；
（3）配方法解方程即可；
（4）配方法解方程即可．
【详解】（1）解：
，
∴；
（2）
∴；
（3）
∴；
（4）
，
∴．
【变式2】小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下：
移项，得 第一步
配方，得， 第二步
整理，得 第三步
所以 第四步
(1)小明的解答过程是从第_______步开始出错的，其错误原因是_________________；
(2)请写出此题正确的解答过程．
【答案】(1)一；移项没有变号
(2)见解析
【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成的形式计算是解题的关键．
（1） 分析解题步骤不难发现，在第一步中常数项在移项后没有变号，导致求解过程出错；
（2）先移项，再把方程两边加上，利用完全平方公式得到，然后利用直接开平方法解方程即可．
【详解】（1）解：分析题目中给出的解题步骤可以发现，在第一步中，原方程常数项在移至等号右侧后没有改变符号，导致整个求解过程出错；
（2）解：，
移项得：，
配方得：，
整理得：，
开平方得：，
∴，．
【变式3】用配方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)， ．
(2)无实数根
(3)
(4)，．
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可；
（3）先将原方程化为，再利用配方法解方程即可；
（4）先将原方程，化为，再利用配方法解方程即可．
此题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：
配方，得，
即．
∴，
∴，．
（2）解：
移项，得．
配方，得，
即，
所以原方程无实数根．
（3）解：
原方程可化为．
配方，得，
即．
∴．
（4）解：
原方程可化为．
配方，得，
即，
由此可得，
∴，．
考点3：配方法的应用
典例3：（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”：
当时， ；
当时， ；
当时， ；
（2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系 试说明理由；
（3）拓展，试通过计算比较．与的大小．
【答案】（1），，；（2）总有，理由见解析；（3）
【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小．
（1）当时，当时，当时，分别代入计算，再进行比较得出结论填空即可；
（2）根据，即可得出无论取什么值，判断与有；
（3）拓展：先求出，再判断的正负，即可做出判断．
【详解】解：（1）①当时，，，则，
②当时，，，则，
③当时，，，则．
故答案为：；；；
（2）无论取什么值，判断与有，
理由如下：
，
无论取什么值，总有；
（3）拓展：
，
故．
【变式1】如果关于的一元二次方程有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“和美方程”，请说明理由．
(2)已知关于的一元二次方程是“和美方程”，求的最小值．
【答案】(1)该方程是“和美方程”，见解析
(2)最小值为
【分析】本题考查一元二次方程的解，配方法解一元二次方程的应用，
（1）将代入方程看左右两边是否相等即可得到答案；
（2）将代入得到字母关系，结合完全平方的非负性直接求解即可得到答案；
【详解】（1）解：该方程是“和美方程”，理由如下，
∵当时，方程左边，右边，
∴左边=右边，
∴是该方程的解，
∴该方程是“和美方程”；
（2）解：由题意得：，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴的最小值为．
【变式2】阅读下列材料，回答问题：
“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
根据阅读材料，解决下列问题：
(1)若多项式是一个完全平方式，则常数k= ．
(2)已知代数式，用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再直接写出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
【答案】(1)4
(2)见解析；时，的最小值是2
【分析】本题考查了配方法的运用、完全平方公式的应用，此题解题的关键是利用平方项来确定这两个数积的2倍．
（1）先根据两平方项确定出这两个数是x和2，再根据完全平方公式求解即可；
（2）首先将原式变形为，根据非负数的意义就可以得出代数式的值．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：4；
（2）∵，
∴不论x取何值，这个代数式的值总是正数，
当时，的最小值是2．
【变式3】阅读下列材料：“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．试利用“配方法”解决下列问题：
简单应用：
（1）填空： ；
深入探究：
（2）已知，求的值；
灵活应用：
（3）比较代数式与的大小，并说明理由．
【答案】（1），3；（2）1；（3），理由见解析
【分析】（1）根据配方法的方法配方即可；
（2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x、y的值，再代入得到x+y的值；
（3）将两式相减，再配方即可作出判断．
【详解】解：（1）．
故答案为：，3；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴；
（3）
，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了配方法的综合应用，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
考点4：解一元二次方程——公式法
典例4：解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟记配方法及公式法解一元二次方程是解决问题的关键．
（1）由配方法解一元二次方程即可得到答案；
（2）由公式法解一元二次方程即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
或，
；
（2）解：，
，
，
，
．
【变式1】解方程：．
【答案】
【分析】本题考查解一元二次方程，先将所给一元二次方程化成一般形式，再利用公式法求解．
【详解】解：，
，
，
方程有两个不等的实数根，
即．
【变式2】用公式法解方程：．
【答案】，
【分析】本题考查解一元二次方程，运用公式法即可求解。
【详解】解：
∵，，，
∴，
方程有两个不相等的实数根，
，
，．
【变式3】解方程：．
【答案】，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得，．
考点5：解一元二次方程——因式分解法
典例5：解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）
或
解得，；
（2）
或
解得，．
【变式1】解方程：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了运用因式分解法解方程，正确掌握一元二次方程的解法是解题关键．
（1）方程左边分解成两个一次因式后得两个一元一次方程求解即可；
（2）方程左边分解成两个一次因式后得两个一元一次方程求解即可；
【详解】（1）解：，
，
，
∴
（2）解：，
，
，
∴
【变式2】解方程
【答案】或
【分析】本题主要考查运用换元法及因式分解法解一元二次方程，设，则原方程可变形为，再根据因式分解法求解即可
【详解】解：设，则原方程可变形为，
∴，
∴
∴，
即或，
解得或
【变式3】解一元二次方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法，并能灵活选择合适的解法进行求解是解题的关键．根据因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：
或
，
（2）
或
，
考点6：解一元二次方程——换元法
典例6：阅读材料，解答问题．
解方程：．
解：把视为一个整体，设，
则原方程可化为，
解得，，
∴或，
∴，．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．
（1）设，把原方程化为，然后求解；
（2）设，把原方程化为，然后求解．
【详解】（1）设，则原方程可化为，
解得，，
∴或，
∴，；
（2）设，则原方程可化为，
解得，（舍），
∴，
∴，．
【变式1】阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为①，解得．
当时，．
当时，．
原方程的解为．
由原方程得到①的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．
阅读后解答问题：
(1)利用上述材料中的方法解方程：；
(2)已知一元二次方程的两根分别为，求方程的两根．
【答案】(1)
(2)和
【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和一元二次方程的解法是关键，体现了整体转化的数学思想．
（1）设，用代替方程中的，然后解关于的一元二次方程，然后再来求关于的一元二次方程即可；
（2）根据已知方程的解，得出或，求出的值即可．
【详解】（1）令，则，
或，
解得或．
当时，，
即，
解得．
当时，，
即，
解得．
综上，原方程的解为．
（2）一元二次方程的两根分别为，
方程中或．
解得：或．
即方程的两根分别是和．
【变式2】阅读感悟：
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则．所以．
把代入已知方程，得．
化简，得，
故所求方程为．
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”．
请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式．
解决问题：
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______；
(2)方程 的两个根与方程______的两个根互为倒数．
(3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根．
【答案】(1)
(2)
(3)2025和2022
【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，熟练掌握换元法是解此题的关键．
（1）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程；
（2）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程；
（3）由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数，可求出关于的一元二次方程的两个实数根，即可得解．
【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，
，
把代入已知方程得：，
化简得：，
故答案为：；
（2）解：设所求方程的根为，则，
，
把代入已知方程得：，
化简得：，
故答案为：；
（3）解：，
，
由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数，
，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，
或，
解得：或，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为或．
【变式3】【阅读材料】各类方程的解法．
解一元一次方程：根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．
解二元一次方程组：把它转化为一元一次方程来解； 类似的，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解．
解一元二次方程：把它转化为两个一元一次方程来解．
解分式方程：把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．
各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程可以通过因式分解把它转化为．解方程和，可得方程的根．
(1)【问题】方程的根是 ， ；
(2)【拓展】用“转化”思想解方程：
①；
②．
【答案】(1)；1
(2)①，②或
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）把所给方程左边利用提公因式法和十字相乘法分解因式，然后仿照题意解方程即可；
（2）①把方程两边同时平方，然后解方程即可；②令，则，解方程求出y的值，进而求出x的值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或或，
解得，
故答案为：；1；
（2）解：①∵，
∴，即，
解得或，
∵，
∴；
②令，则，
∴，
解得或，
∴或，
解得或．
考点7：解一元二次方程——合适的方法
典例7：用适当方法解下列方程
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
(5)，
(6)，
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可；
（3）先移项，然后提取公因式，再利用因式分解法求解即可；
（4）利用公式法求解即可；
（5）先移项，然后利用平方差公式进行因式分解求解即可；
（6）令，则原方程可化为，求出的值，进而可得出的值．
【详解】（1）
或
，；
（2）
或
，；
（3）
或
， ；
（4）
∵，，，
∴，
∴，
∴，；
（5）
或
，；
（6）
令，则原方程可化为
或
，
则，
解得，
【点睛】本题考查用因式分解法、公式法、换元法解一元二次方程，熟练掌握各种解一元二次方程的解法并可以根据题目选择合适的方法是解题的关键．
【变式1】用适当方法解下列方程：
（1）；
（2）16（x+5）2﹣9＝0．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）先移项，然后利用直接开方法解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）
a=2，b=-5，c=-3
b2－4ac=（-5）2－4×2×（-3）=49＞0
∴=
∴
（2）16（x+5）2﹣9＝0
移项，得（x+5）2＝
∴x+5=
解得：
【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用公式法和直接开方法解一元二次方程是解决此题的关键．
【变式2】选用适当方法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
（1）用直接开平方法求解即可；
（2）用配方法求解即可；
（3）用公式法求解即可；
（4）移项后用因式分解法求解即可.
【详解】（1）∵
∴
∴
∴
∴
（2）∵
∴
∴
∴
∴
∴
（3）∵
∴
∴
∴
（4）∵
∴
∴
∴或
∴
【变式3】用适当方法解方程．
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）直接利用因式分解法求解；
（2）移项后，利用因式分解法求解．
【详解】（1）解：，
，
则或，
解得：，；
（2），
，
，
则或，
解得：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 解一元二次方程
考点类型
知识一遍过
（一）一元二次方程解法
（1）解法一：直接开平方法
概念：形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得的根是，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。
【注意】
①若n≥0，方程有两个实数根。
（若n＞0，方程有两个不相等的实数根；若b=0，方程有两个相等的实数根）
②若n<0，方程无解。
（2）解法二：配方法
概念： 配方法:将ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式,当b2-4ac≥0时,用直接开平方法求解
一般步骤:
①移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
②二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为的形式；
④求解：判断右边等式符号，开平方并求解
（3）解法三：公式法（常用解法）
概念：公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为
一般步骤：
①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);
②求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;
③如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：
④最后求出x1，x2
（4）解法三：因式分解法（仔细观察方程，灵活应用）
概念：将方程右边化为0,左边化为两个一次因式的积,令每个因式等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程就得到原方程的解。例：若a·b＝0，则a＝0或b＝0
一般步骤：
①将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0；
②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④求解
归纳：右化零，左分解，两因式，各求解
考点一遍过
考点1：解一元二次方程——直接开平方
典例1：解一元二次方程：；
【变式1】解一元二次方程：；
【变式2】用直接开平方法解下列方程：
(1)；
(2)．
【变式3】求下列各式中的x的值：
(1)；
(2)．
考点2：解一元二次方程——配方法
典例2：用配方法解下列方程：
(1)；
(2)．
【变式1】用配方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式2】小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下：
移项，得 第一步
配方，得， 第二步
整理，得 第三步
所以 第四步
(1)小明的解答过程是从第_______步开始出错的，其错误原因是_________________；
(2)请写出此题正确的解答过程．
【变式3】用配方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
考点3：配方法的应用
典例3：（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”：
当时， ；
当时， ；
当时， ；
（2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系 试说明理由；
（3）拓展，试通过计算比较．与的大小．
【变式1】如果关于的一元二次方程有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“和美方程”，请说明理由．
(2)已知关于的一元二次方程是“和美方程”，求的最小值．
【变式2】阅读下列材料，回答问题：
“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
根据阅读材料，解决下列问题：
(1)若多项式是一个完全平方式，则常数k= ．
(2)已知代数式，用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再直接写出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
【变式3】阅读下列材料：“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．试利用“配方法”解决下列问题：
简单应用：
（1）填空： ；
深入探究：
（2）已知，求的值；
灵活应用：
（3）比较代数式与的大小，并说明理由．
考点4：解一元二次方程——公式法
典例4：解方程：
(1)；
(2)．
【变式1】解方程：．
【变式2】用公式法解方程：．
【变式3】解方程：．
考点5：解一元二次方程——因式分解法
典例5：解方程：
(1)；
(2)．
【变式1】解方程：
(1)；
(2).
【变式2】解方程
【变式3】解一元二次方程：
(1)
(2)
考点6：解一元二次方程——换元法
典例6：阅读材料，解答问题．
解方程：．
解：把视为一个整体，设，
则原方程可化为，
解得，，
∴或，
∴，．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1)；
(2)．
【变式1】阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为①，解得．
当时，．
当时，．
原方程的解为．
由原方程得到①的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．
阅读后解答问题：
(1)利用上述材料中的方法解方程：；
(2)已知一元二次方程的两根分别为，求方程的两根．
【变式2】阅读感悟：
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则．所以．
把代入已知方程，得．
化简，得，
故所求方程为．
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”．
请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式．
解决问题：
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______；
(2)方程 的两个根与方程______的两个根互为倒数．
(3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根．
【变式3】【阅读材料】各类方程的解法．
解一元一次方程：根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．
解二元一次方程组：把它转化为一元一次方程来解； 类似的，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解．
解一元二次方程：把它转化为两个一元一次方程来解．
解分式方程：把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．
各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程可以通过因式分解把它转化为．解方程和，可得方程的根．
(1)【问题】方程的根是 ， ；
(2)【拓展】用“转化”思想解方程：
①；
②．
考点7：解一元二次方程——合适的方法
典例7：用适当方法解下列方程
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)．
【变式1】用适当方法解下列方程：
（1）；
（2）16（x+5）2﹣9＝0．
【变式2】选用适当方法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式3】用适当方法解方程．
(1)
(2)
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑