资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台微专题03 一元二次方程动点问题通关专练一、单选题1.如图,在中,,cm,cm,动点,分别从点,同时开始移动(移动方向如图所示),点的速度为1cm/s,点的速度为2cm/s,点移动到点后停止,点也随之停止运动,若使的面积为15cm2,则点运动的时间是( )A.s B.5s C.4s D.3s2.如图1,矩形中,点为的中点,点沿从点运动到点,设,两点间的距离为,,图2是点运动时随变化的关系图象,则的长为( )A. B. C. D.3.在平面直角坐标系中,一次函数的图像上有一点P,过点P分别向坐标轴作垂线段,若两垂线段与坐标轴围成面积为5的矩形,则符合条件的点P个数为 ( )A.2 B.3 C.4 D.无数个4.如图,将边长为的正方形沿其对角线剪开,再把沿着方向平移,得到,若两个三角形重叠部分的面积为,则它移动的距离等于( ) A. B. C.或 D.5.如图①,在矩形中,,对角线相交于点O,动点P由点A出发,沿向点D运动.设点P的运动路程为x,的面积为y,y与x的函数关系图象如图②所示,则边的长为( )A.3 B.4 C.5 D.66.如图,矩形中,,点E从点B出发,沿以 的速度向点C移动,同时点F从点C出发,沿以的速度向点D移动,当E,F两点中有一点到达终点时,另一点也停止运动.当是以为底边的等腰三角形时,则点运动时间为( )A. B. C.6 D.7.如图,在矩形中,,,点从点沿方向向点以运动,点从点沿方向向点以运动,若、从点同时出发,几秒钟时的面积是( )A. B.C.或 D.8.如图,在中,,点从点开始沿边向点以的速度匀速移动,同时另一点由点开始以的速度沿着射线匀速移动,当的面积等于时运动时间为( )A.秒 B.秒 C.秒 D.秒或秒9.如图,在中,,,,动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动,若P、Q两点分别从A、B两点同时出发,在运动过程中,的最大面积是( ) A. B. C. D.10.如图所示,A,B,C,D为矩形的四个顶点,AB=16cm,AD=8cm,动点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以3cm/s的速度向B移动,一直到达B为止;点Q以2cm/s的速度向D移动.当P,Q两点从出发开始几秒时,点P和点Q的距离是10cm.(若一点到达终点,另一点也随之停止运动)( )A.2s或s B.1s或s C.s D.2s或s11.在中,,动点P从点A沿线段向点B移动,一动点Q从点B沿线段向点C移动,两点同时开始移动,点的速度为,点的速度为,当到达点时两点同时停止运动.若使的面积为,则点P运动的时间是( )A.1s B.4s C.5s或1s D.4s或1s12.如图,在等腰中,,,动点P从点A出发沿向点B移动,作,,当的面积为面积的一半时,点P移动的路程为( )A. B. C. D.13.如图,在中,,,,点从点开始沿边向点以的速度移动,点从点开始沿向点以的速度移动,当点到达点时,均停止运动,若的面积等于,则运动时间为( ) A.秒 B.秒 C.秒或秒 D.秒或秒14.如图,E为正方形ABCD边AB上一动点(不与A重合),AB=4,将△DAE绕着点A逆时针旋转90°得到△BAF,再将△DAE沿直线DE折叠得到△DME.下列结论:①连接AM,则AM∥FB;②连接FE,当F,E,M共线时,AE=4﹣4;③连接EF,EC,FC,若△FEC是等腰三角形,则AE=4﹣4,其中正确的个数有( )个.A.3 B.2 C.1 D.015.如图,在中,,AB=,BC=.点从点开始沿边向点以的速度移动,同时点从点开始沿边向点以的速度移动,当其中一点到达终点时,另一点随即停止.当四边形的面积为时,点的运动时间为( )A. B.或 C. D.或二、填空题16.中,,,.点P从点A出发,以1个单位/秒的速度在线段上向点B做直线运动,同时,点Q从点B出发,以2个单位/秒的速度在线段上向点C做直线运动(当其中一个点到达终点时,另一个点立即停止),运动 秒后,面积为5.17.如图所示,在建筑工地上,为了支撑一堵墙,用一根长为5m的木材,顶端撑在墙上,底端撑在地面上,,现为了增加支撑效果,底端向前移动m,问:顶端需上移多少米?在这个问题中,设顶端上移x米,则可列方程为 .18.在中,,,,动点,分别从点,同时开始移动(移动方向如图所示),点P的速度为,点Q的速度为,点 Q移动到点C后停止,点P也随之停止移动,若使的面积为,则点P运动的时间是 .19.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动;同时,点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动,点P运动到点B时,点Q也停止运动;当△PQC的面积等于16cm2时,运动时间为 s.20.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=4cm,一动点P从点A出发沿着AC方向以2cm/s的速度运动,另一动点Q从C出发沿着CB边以1cm/s的速度运动,P,Q两点同时出发,运动 秒时,△PCQ的面积是△ABC面积的.21.如图,在四边形中,,,,,点P从点A出发,以每秒的速度沿折线方向运动,点Q从点D出发,以每秒速度沿线段方向向点C运动.已知动点P,Q同时出发,当点Q运动到点C时,P,Q运动停止,设运动时间为t.(1)当 秒时,四边形为平行四边形;(2)在点P、点Q的运动过程中,当 秒时,的面积为?22.如图,在中,,,点从点出发,以的速度沿边向终点做匀速运动,同时,点从点出发,以的速度沿边向终点移动,当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动,则经过 秒,的面积为. 23.如图,在正方形中,,以B为圆心,长为半径画弧,点E为弧上一点,于F,连接,若,则的值为 .24.在中,且,点E是上一动点,连接,过点E作的垂线,交边于点F,则的最大值为 . 25.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,点P从点A开始沿AB向B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC向C点以2cm/s的速度移动,如果P,Q分别从A,B同时出发, 秒后△PBQ的面积等于8cm2. 三、解答题26.如图,长方形中,,动点分别从点A、C同时出发,点P以的速度向终点B移动,点Q以的速度向点D移动,当有一点到达终点时,另一点也停止运动.设运动的时间为t,问:(1)当时,四边形的面积是多少?(2)当t为何值时,点P和点Q的距离是?(3)当__________s时,以点为顶点的三角形是等腰三角形(直接写出答案)27.如图,在中,,,,动点从点开始沿边向点以的速度移动,动点从点开始沿边向点以的速度移动,如果,两点分别从,两点同时出发,设运动时间为 .(1)用含x的式子表示: , , ,(2)当的面积为时,求运动时间;(3)四边形的面积能否等于?若能,求出运动的时间;若不能,说明理由.28.如图①,在中,于D,,点E是上一动点(不与点A,D重合),在内作矩形,点F在上,点G、H在上,设,连接. (1)设矩形的面积为,的面积为,令,求y关于x的函数解析式;(要求写出自变量的取值范围)(2)如图②,点M是(1)中得到的函数图象上的任意一点,N的坐标为,当为等腰三角形时,求点M的坐标.29.如下图,中,,,,一动点从点出发沿着方向以的速度运动,另一动点从出发沿着边以的速度运动,两点同时出发,运动时间为.(1)当运动时间为时,__________,__________;(用含的代数式表示)(2)若的面积是面积的,求的值.30.阅读以下材料,并按要求完成相应的任务.给定一个矩形,如果存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半,那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形. 如图,矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形.任务:当矩形的长为8,宽为1时,它是否存在“减半”矩形?如果存在,请求出“减半”矩形的长和宽;如果不存在,请说明理由.31.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=16,DC=12,AD=21,动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动.设运动的时间为t(秒).(1)设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式;(2)当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形 32.如图,在矩形中,点O为坐标原点,点B的坐标为,点在坐标轴上,点P在边上,直线,直线.(1)分别求直线与x轴,直线与的交点坐标;(2)已知点M在第一象限,且是直线上的点,若是等腰直角三角形,求点M的坐标;(3)已知矩形的顶点N在直线上,Q是坐标平面内的点,且N点的横坐标为x,请求出x的取值范围.33.如图:在直角坐标系中,长方形中,,点D从点C出发,沿射线方向以每秒2个单位长的速度移动,点E从点O出发,沿射线方向以每秒1个单位长的速度运动,设点E的运动时间为t秒.(1)如图1,当t为何值时,的面积为1;(2)当是的角平分线时,求出此时点E的坐标;(3)当t为何值时,是等腰三角形?34.如图,在直角梯形中,,.动点P从点D出发,沿射线的方向以每秒2个单位的速度运动,动点Q从点C出发,沿射线 的方向以每秒1个单位的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点P运动到点A时,点Q随之停止运动.设运动的时间为t(秒),当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形? 35.如图,中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动,在C点停止,点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动,在B点停止.(1)如果点P,Q分别从A、C同时出发,经过几秒钟,使?(2)如果点P从点A先出发2s,点Q再从点C出发,经过几秒钟后?(3)如果点P、Q分别从A、C同时出发,经过几秒钟后PQ=BQ?21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台微专题03 一元二次方程动点问题通关专练一、单选题1.如图,在中,,cm,cm,动点,分别从点,同时开始移动(移动方向如图所示),点的速度为1cm/s,点的速度为2cm/s,点移动到点后停止,点也随之停止运动,若使的面积为15cm2,则点运动的时间是( )A.s B.5s C.4s D.3s【答案】D【分析】设出动点P,Q运动t秒,能使△PBQ的面积为15cm2,用t分别表示出BP和BQ的长,利用三角形的面积计算公式即可解答.【详解】设动点P,Q运动t秒后,能使△PBQ的面积为15cm2,则BP为(8 t)cm,BQ为2tcm,由三角形的面积计算公式列方程得,×(8 t)×2t=15,解得t1=3,t2=5(当t=5时,BQ=10,不合题意,舍去).∴动点P,Q运动3秒时,能使△PBQ的面积为15cm2.故答案为:D【点睛】此题考查一元二次方程的应用,借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题.2.如图1,矩形中,点为的中点,点沿从点运动到点,设,两点间的距离为,,图2是点运动时随变化的关系图象,则的长为( )A. B. C. D.【答案】C【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况,得到AB和BE之间的关系以及,再利用勾股定理求解即可得到BE的值,最后利用中点定义得到BC的值.【详解】解:由图2可知,当P点位于B点时,,即,当P点位于E点时,,即,则,∵,∴,即,∵∴,∵点为的中点,∴,故选:C.【点睛】本题考查了学生对函数图象的理解与应用,涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容,解决本题的关键是能正确理解题意,能从图象中提取相关信息,能利用勾股定理建立方程等,本题蕴含了数形结合的思想方法.3.在平面直角坐标系中,一次函数的图像上有一点P,过点P分别向坐标轴作垂线段,若两垂线段与坐标轴围成面积为5的矩形,则符合条件的点P个数为 ( )A.2 B.3 C.4 D.无数个【答案】A【分析】设点P的坐标为(,),根据题意列出方程组,再根据的取值不同,分、、三种情况进行讨论,即可求解.【详解】解:设点P的坐标为(,),根据题意得: ,∵点P 的位置不确定,分三种情况进行讨论:①当时,则,则,解得:,(舍去);②当时,,则,即,此时,此方程无解;③当时,,则,即,解得:(舍去),;故符合条件的P点坐标有2个,分别是(,)、(,).【点睛】本题考查一元二次方程在坐标中的运用,难度一般,根据题意列出方程组,再分情况讨论是顺利解题的关键.4.如图,将边长为的正方形沿其对角线剪开,再把沿着方向平移,得到,若两个三角形重叠部分的面积为,则它移动的距离等于( ) A. B. C.或 D.【答案】D【分析】根据平移的性质,结合阴影部分是平行四边形,与都是等腰直角三角形,则若设,则阴影部分的底长为x,高,根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解.【详解】解:设交于H,交于点G, 由平移的性质知,,∴四边形是平行四边形,∵由正方形的性质可得:,,∴是等腰直角三角形,同理,也是等腰直角三角形,设,则阴影部分的底长为x,高,∴,∴.即.故选:D.【点睛】此题考查解一元二次方程、平行四边形的判定及性质,平移的性质,等腰直角三角形的判定,根据平移的性质得到四边形是平行四边形是解题的关键.5.如图①,在矩形中,,对角线相交于点O,动点P由点A出发,沿向点D运动.设点P的运动路程为x,的面积为y,y与x的函数关系图象如图②所示,则边的长为( )A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【分析】本题主要考查动点问题的函数图象,解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程,找到分界点极值,结合图象得到相关线段的具体数值.当点在上运动时,面积逐渐增大,当点到达点时,结合图象可得面积最大为3,得到与的积为12;当点在上运动时,面积逐渐减小,当点到达点时,面积为0,此时结合图象可知点运动路径长为7,得到与的和为7,构造关于的一元二方程可求解.【详解】解:当P点在上运动时,面积逐渐增大,当P点到达B点时,面积最大为3.∴,即.当P点在上运动时,面积逐渐减小,当P点到达C点时,面积为0,此时结合图象可知P点运动路径长为7,∴.则,代入,得,解得或3,因为,即,所以.故选:B.6.如图,矩形中,,点E从点B出发,沿以 的速度向点C移动,同时点F从点C出发,沿以的速度向点D移动,当E,F两点中有一点到达终点时,另一点也停止运动.当是以为底边的等腰三角形时,则点运动时间为( )A. B. C.6 D.【答案】B【分析】设点E运动的时间是.根据题意可得,根据勾股定理列出方程,解方程即可得到结论.【详解】解:∵,∴,设点E运动的时间是.根据题意可得,解得, ,∵,∴两点运动了后停止运动.∴ .故选∶B.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,考查了矩形的性质,等腰三角形的判定及性质,勾股定理的运用.7.如图,在矩形中,,,点从点沿方向向点以运动,点从点沿方向向点以运动,若、从点同时出发,几秒钟时的面积是( )A. B.C.或 D.【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用,解题的关键是根据图形,得出数量关系,列出方程求解.设当运动时间为时,,,,根据,解方程即可求解;【详解】,.当运动时间为时,,,,,根据题意得:,整理得:,解得:, 不符合题意,舍去,秒时的面积是.故选:B.8.如图,在中,,点从点开始沿边向点以的速度匀速移动,同时另一点由点开始以的速度沿着射线匀速移动,当的面积等于时运动时间为( )A.秒 B.秒 C.秒 D.秒或秒【答案】D【分析】根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题.【详解】解:由题意,,,,,解得或5,或时,的面积为.故选D.【点睛】本题考查一元二次方程的应用,三角形的面积公式等知识,解题的关键是把问题转化为方程,属于基础题,中考常考题型.9.如图,在中,,,,动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动,若P、Q两点分别从A、B两点同时出发,在运动过程中,的最大面积是( ) A. B. C. D.【答案】C【分析】本题考查的是二次函数的应用,根据题意列出二次函数是解题的关键.设P、Q同时出发后经过,的面积为,则,,,进而得到S的表达式;由于S的表达式为二次函数的形式,将其化为顶点式,再结合t的取值范围就能得出面积的最大值.【详解】解:设P、Q同时出发后经过,的面积为S cm2.则,,,则.∵,,点P的运动速度为,点Q的运动速度为,∴,∴,∴时,S有最大值,最大值为9,即的最大面积为故选:C.10.如图所示,A,B,C,D为矩形的四个顶点,AB=16cm,AD=8cm,动点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以3cm/s的速度向B移动,一直到达B为止;点Q以2cm/s的速度向D移动.当P,Q两点从出发开始几秒时,点P和点Q的距离是10cm.(若一点到达终点,另一点也随之停止运动)( )A.2s或s B.1s或s C.s D.2s或s【答案】D【分析】设当P、Q两点从出发开始到x秒时,点P和点Q的距离是10cm,此时AP=3xcm,DQ=(16-2x)cm,利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程,解之即可得出结论.【详解】解:设当P、Q两点从出发开始到xs时,点P和点Q的距离是10cm,此时AP=3xcm,DQ=(16-2x)cm,根据题意得:(16-2x-3x)2+82=102,解得:x1=2,x2=,答:当P、Q两点从出发开始到2s或s时,点P和点Q的距离是10cm.故选:D.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理,利用勾股定理找出关于x的一元二次方程是解题的关键.11.在中,,动点P从点A沿线段向点B移动,一动点Q从点B沿线段向点C移动,两点同时开始移动,点的速度为,点的速度为,当到达点时两点同时停止运动.若使的面积为,则点P运动的时间是( )A.1s B.4s C.5s或1s D.4s或1s【答案】A【分析】设点运动的时间为 ,则, ,利用三角形的面积计算公式,即可得出关于的一元二次方程,解之即可得出的值,再结合当到达点时两点同时停止运动,即可得出点运动的时间.【详解】解:设点运动的时间为 ,则, ,依题意得:,整理得:,解得:,,当到达点时两点同时停止运动,,,.故选:A.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.12.如图,在等腰中,,,动点P从点A出发沿向点B移动,作,,当的面积为面积的一半时,点P移动的路程为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】设AP=xcm,则PB=(8 x)cm,求出∠A=45°,∠APR=90°,得到PR=PA=xcm,然后根据 PQCR的面积为△ABC面积的一半列方程求解即可.【详解】解:设AP=xcm,则PB=(8 x)cm,∵∠B=90°,AB=BC=8cm,∴∠A=45°,∵PRBC,∴∠APR=90°,∴PR=PA=xcm,∵ PQCR的面积为△ABC面积的一半,∴,解得:,∴点P移动的路程为4cm.故选:B.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质,一元二次方程的应用,根据几何图形的性质得出方程是解题的关键.13.如图,在中,,,,点从点开始沿边向点以的速度移动,点从点开始沿向点以的速度移动,当点到达点时,均停止运动,若的面积等于,则运动时间为( ) A.秒 B.秒 C.秒或秒 D.秒或秒【答案】A【分析】根据题意当运动时间为秒时,,则,,可用含的式子表示的面积,列方程求解即可.【详解】解:当运动时间为秒时,,则,,根据题意得:,即,整理得:,解得:,,当时,,不符合题意,舍去,∴,∴运动时间为秒,故选:.【点睛】本题主要考查动点与几何图形的综合,理解动点运动的规律,掌握几何图形面积的计算方法,解一元二次方程的方法等是解题的关键.14.如图,E为正方形ABCD边AB上一动点(不与A重合),AB=4,将△DAE绕着点A逆时针旋转90°得到△BAF,再将△DAE沿直线DE折叠得到△DME.下列结论:①连接AM,则AM∥FB;②连接FE,当F,E,M共线时,AE=4﹣4;③连接EF,EC,FC,若△FEC是等腰三角形,则AE=4﹣4,其中正确的个数有( )个.A.3 B.2 C.1 D.0【答案】A【分析】①正确,如图1中,连接AM,延长DE交BF于J,想办法证明BF⊥DJ,AM⊥DJ即可;②正确,如图2中,当F、E、M共线时,易证∠DEA=∠DEM=67.5°,在MD上取一点J,使得ME=MJ,连接EJ,设AE=EM=MJ=x,则EJ=JD=x,构建方程即可解决问题;③正确,如图3中,连接EC,CF,当EF=CE时,设AE=AF=m,利用勾股定理构建方程即可解决问题.【详解】解:①如下图,连接AM,延长DE交BF于J,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠DAE=∠BAF=90°,由题意可得AE=AF,∴△BAF≌△DAE(SAS),∴∠ABF=∠ADE,∵∠ADE+∠AED=90°,∠AED=∠BEJ,∴∠BEJ+∠EBJ=90°,∴∠BJE=90°,∴DJ⊥BF,由翻折可知:EA=EM,DM=DA,∴DE垂直平分线段AM,∴BF∥AM,故①正确;②如下图,当F、E、M共线时,易证∠DEA=∠DEM=67.5°,在MD上取一点J,使得ME=MJ,连接EJ,则由题意可得∠M=90°,∴∠MEJ=∠MJE=45°,∴∠JED=∠JDE=22.5°,∴EJ=JD,设AE=EM=MJ=x,则EJ=JD=x,则有x+x =4,∴x=4﹣4,∴AE=4﹣4,故②正确;③如下图,连接CF,当EF=CE时,设AE=AF=m,则在△BCE中,有2m =4 +(4-m)2,∴m=4﹣4或-4﹣4 (舍弃),∴AE=4﹣4,故③正确;故选A.【点睛】本题考查旋转变换,翻折变换,正方形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考选择题中的压轴题.15.如图,在中,,AB=,BC=.点从点开始沿边向点以的速度移动,同时点从点开始沿边向点以的速度移动,当其中一点到达终点时,另一点随即停止.当四边形的面积为时,点的运动时间为( )A. B.或 C. D.或【答案】C【分析】先求出的面积,得出当四边形的面积为时△BPQ的面积,设运动时间为t,则,,根据三角形面积公式列出关于他t的方程,解方程即可.【详解】解:∵在中,,AB=,BC=,∴,∴当四边形的面积为时,,设运动时间为t,则,,∴,解得:,,∵点P在AB上的运动时间为:,∴,∴不符合题意,即当四边形的面积为时,点的运动时间为2s,故C正确,符合题意.故选:C.【点睛】本题主要考查了动点问题,三角形的面积公式,解二元一次方程组,设运动时间为t,根据题意列出关于t的方程,是解题的关键.二、填空题16.中,,,.点P从点A出发,以1个单位/秒的速度在线段上向点B做直线运动,同时,点Q从点B出发,以2个单位/秒的速度在线段上向点C做直线运动(当其中一个点到达终点时,另一个点立即停止),运动 秒后,面积为5.【答案】1【分析】设运动时间为t,再根据题意用t表示出的长,再根据三角形的面积公式列出方程求解即可.【详解】解:如图:设运动时间为t, 由题意可得:,则,解得:,∵面积为5,∴,即,解得:(舍去),∴当时,即1秒运动后,的面积为5.故答案为1.【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的应用,根据题意列出关于时间t的方程以及检验是解答本题的关键.17.如图所示,在建筑工地上,为了支撑一堵墙,用一根长为5m的木材,顶端撑在墙上,底端撑在地面上,,现为了增加支撑效果,底端向前移动m,问:顶端需上移多少米?在这个问题中,设顶端上移x米,则可列方程为 .【答案】或【分析】在中,利用勾股定理可求出的长,设顶端上移x米,利用勾股定理,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解.【详解】解:在中,,∴.设顶端上移米, 如图,∴依题意得:故答案为:或.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.18.在中,,,,动点,分别从点,同时开始移动(移动方向如图所示),点P的速度为,点Q的速度为,点 Q移动到点C后停止,点P也随之停止移动,若使的面积为,则点P运动的时间是 .【答案】【分析】设出动点P,Q运动t秒,能使的面积为,用t分别表示出和的长,利用三角形的面积计算公式即可解答.【详解】解:设动点,运动秒时,能使的面积为,则的长为,的长为.可列方程为,解得,(舍去),动点,运动3秒时,能使的面积为.故答案为:3.【点睛】此题考查一元二次方程的应用,借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题.19.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动;同时,点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动,点P运动到点B时,点Q也停止运动;当△PQC的面积等于16cm2时,运动时间为 s.【答案】2.【分析】设运动时间为xs(0≤x≤6),则PB=(12-2x)cm,CQ=(6-x)cm,利用三角形面积的计算公式结合△PQC的面积等于16cm2,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论.【详解】设运动时间为xs(0≤x≤6),则PB=(12﹣2x)cm,CQ=(6﹣x)cm,依题意,得:(12﹣2x)(6﹣x)=16,整理,得:x2﹣12x+20=0,解得:x1=2,x2=10(不合题意,舍去).故答案为:2.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.20.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=4cm,一动点P从点A出发沿着AC方向以2cm/s的速度运动,另一动点Q从C出发沿着CB边以1cm/s的速度运动,P,Q两点同时出发,运动 秒时,△PCQ的面积是△ABC面积的.【答案】2【分析】设运动了t秒,根据三角形的面积公式可以得出△ABC面积为×4×8=16,△PCQ的面积为t(8﹣2t),由题意列出方程解答即可.【详解】解:∵S△PCQ=t(8﹣2t),S△ABC=×4×8=16,∴t(8﹣2t)=16×,整理得t2﹣4t+4=0,解得t=2.即:运动2秒时△PCQ的面积为△ABC面积的.故答案是:2.【点睛】本题考查了一元二次方程、三角形的面积,根据题目给出的条件,找出相等关系构造方程是解题的难点和关键.21.如图,在四边形中,,,,,点P从点A出发,以每秒的速度沿折线方向运动,点Q从点D出发,以每秒速度沿线段方向向点C运动.已知动点P,Q同时出发,当点Q运动到点C时,P,Q运动停止,设运动时间为t.(1)当 秒时,四边形为平行四边形;(2)在点P、点Q的运动过程中,当 秒时,的面积为?【答案】 2 或或【分析】(1)当四边形为平行四边形时,,由此构建方程解决问题即可;(2)分两种情况进行讨论:即①当点P在线段上,②当点P在线段上,根据两种情况点的位置,可以确定t的值.【详解】解:(1)当四边形为平行四边形时,,,,如图,,,,解得:,故答案为:2;(2)如图1,过A点作于M,则四边形是矩形,,,,,;①当点P在线段上时,即时,如图3,,解得;②当点P在线段上时,即时,如图4,,, ,整理得:,即,解得:或,,或,综上所述,或或,的面积为,故答案为:或或.【点睛】本题考查了直角梯形,矩形的判定和性质,平行四边形的判定与性质,勾股定理的应用以及三角形的面积等,分类讨论的思想是本题的关键.22.如图,在中,,,点从点出发,以的速度沿边向终点做匀速运动,同时,点从点出发,以的速度沿边向终点移动,当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动,则经过 秒,的面积为. 【答案】1【分析】设经过t秒的面积为,根据题意得:,,再根据,得到关于t的方程,即可求解.【详解】解:设经过t秒的面积为,根据题意得:,,∴,∵,∴,解得:或4(舍去),即经过1秒,的面积为.故答案为:1【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用,直角三角形的面积,根据题意得到关于t的方程是解题的关键.23.如图,在正方形中,,以B为圆心,长为半径画弧,点E为弧上一点,于F,连接,若,则的值为 .【答案】2【分析】过E作EG⊥BC于G,连结BE,设EF=x,由EF⊥CD,四边形ABCD为正方形,可证四边形EGCF为矩形,可求BG=4-x,在Rt△EBG中, EG=,在Rt△EGC中,CE=,由EC-EF=2,可得-x=2,移项两边平方得,解得,可求CE=,从而求得CF=2.【详解】解:过E作EG⊥BC于G,连结BE,设EF=x,∵EF⊥CD,四边形ABCD为正方形,∴∠EFC=∠FCG=∠EGC=90°,AB=BC=BE=4,∴四边形EGCF为矩形,∴EF=GC=x,EG=FC,∴BG=4-x,在Rt△EBG中, EG=在Rt△EGC中,CE=∵EC-EF=2,∴-x=2,∴ =2+x,两边平方得,整理得,解得,∴CE=,∴CF=故答案为:2.【点睛】本题考查正方形的性质,矩形的判定与性质,勾股定理,,掌握正方形的性质。矩形的判定与性质,勾股定理,利用构造方程是解题关键.24.在中,且,点E是上一动点,连接,过点E作的垂线,交边于点F,则的最大值为 . 【答案】【分析】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识,正确得出点的位置是解题关键.取的中点,连接,先确定出点为以点为圆心,为直径的圆与边的交点,从而可得当与相切时,最小,取最大值,再设,则,在中,利用勾股定理可求出的值,由此即可得.【详解】解:如图,取的中点,连接, 由圆周角定理可知,点为以点为圆心,为直径的圆与边的交点,,则当取最大值时,最小,即最小,由圆的性质可知,当与相切时,最小,则此时,∵在中,且,,,是等腰直角三角形,,设,则,在中,,即,解得或(不符合题意,舍去),,,所以的最大值为,故答案为:.25.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,点P从点A开始沿AB向B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC向C点以2cm/s的速度移动,如果P,Q分别从A,B同时出发, 秒后△PBQ的面积等于8cm2. 【答案】4或2【分析】首先设x秒后△PBQ的面积等于8cm2,进而可得PB=6-x,QB=2x,再根据三角形的面积公式可得(6-x)2x=8,再解即可.【详解】解:设x秒后△PBQ的面积等于8cm2,由题意得:(6-x)2x=8,解得:x1=2,x2=4,故答案为2或4.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用,关键是正确理解题意,掌握三角形的面积公式.三、解答题26.如图,长方形中,,动点分别从点A、C同时出发,点P以的速度向终点B移动,点Q以的速度向点D移动,当有一点到达终点时,另一点也停止运动.设运动的时间为t,问:(1)当时,四边形的面积是多少?(2)当t为何值时,点P和点Q的距离是?(3)当__________s时,以点为顶点的三角形是等腰三角形(直接写出答案)【答案】(1)5cm (2)或(3)或或或【分析】本题考查了矩形的性质,勾股定理,等腰三角形的性质,梯形的面积公式,一元二次方程的解法的应用.解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键.(1)当时, 可以得出,就有,由梯形的面积就可以得出四边形的面积;(2)如图1, 作于E,在中,由勾股定理建立方程求出其解即可,如图2, 作于E,在中, 由勾股定理建立方程求出其解即可;(3)分情况讨论, 如图3, 当时, 如图4, 当时, 如图5, 当时,由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论.【详解】(1)解: ∵四边形是矩形,∴.∵,∴∴.答:四边形面积是 5cm ;(2)解:如图1, 作于E,∴,∵,∴四边形是矩形,∴.∵,∴.在中, 由勾股定理, 得,解得:;如图2,作于E, ∴.∵,∴.∵,∴四边形是矩形,∴∴,∴在中,由勾股定理,得,解得:.综上所述: 或;(3)解:如图3, 当时, 作于E, ∴,∵,∴四边形是矩形,∴,∵,∴.∵,∴ ,在中, 由勾股定理, 得,解得:.如图4, 当时, 作于E, ∴.∵,∴四边形是矩形,∴,∵,∴.∴,解得:;如图5, 当时, ∵,∴,∵,在中,由勾股定理,得解得, (舍去),综上所述: 或或或.故答案为:或或或.27.如图,在中,,,,动点从点开始沿边向点以的速度移动,动点从点开始沿边向点以的速度移动,如果,两点分别从,两点同时出发,设运动时间为 .(1)用含x的式子表示: , , ,(2)当的面积为时,求运动时间;(3)四边形的面积能否等于?若能,求出运动的时间;若不能,说明理由.【答案】(1);;(2)2或4(3)不可能,理由见解析【分析】(1)由题意可得,,从而可以解决问题;(2)表示出,,解方程即可;(3)表示出,,解方程即可.【详解】(1)解:根据题意得:,,∵,故答案为:2x;;4x;(2)解:,,∴,解得:或4,当的面积为时,或4;(3)解:四边形的面积不能等于172,理由如下:,∴,解得或,,四边形的面积不可能等于.【点睛】本题是动点问题,主要考查了图形的面积,一元二次方程的解法,解决问题的关键是能够化动为静,并且注意的取值范围,属于常考题.28.如图①,在中,于D,,点E是上一动点(不与点A,D重合),在内作矩形,点F在上,点G、H在上,设,连接. (1)设矩形的面积为,的面积为,令,求y关于x的函数解析式;(要求写出自变量的取值范围)(2)如图②,点M是(1)中得到的函数图象上的任意一点,N的坐标为,当为等腰三角形时,求点M的坐标.【答案】(1)(2)或或【分析】(1)由题意可求出,即得出,再结合矩形的性质可求出,即得出,从而得出,,进而可求出.又可证,结合勾股定理即可求出,从而可求出,再作比,化简即可得出答案,最后由题意即可确定x的取值范围;(2)根据题意画出图象,分类讨论:①当时,如图点;②当时,如图点;③当时,如图点,分别根据等腰三角形的定义结合勾股定理即可求解.【详解】(1)解:∵,∴.∵,∴.∵四边形是矩形,∴,.∴,∴,∴,,∴.∵,,∴.∵,∴,∴,∴.∵点E是上一动点(不与点A,D重合),∴,∴y关于x的函数解析式为;(2)解:分类讨论:①当时,如图点,∵,∴,∴,∴此时点坐标为;②当时,如图点,过点作轴于点P.∵,∴. 设,∴解得:(舍去负值),∴,∴此时点坐标为;③当时,如图点,过点作轴于点P.∵,∴.设,∴.∵,∴,解得:,(舍),∴,∴此时点坐标为. 综上可知点M的坐标为或或.【点睛】本题考查矩形的性质,一次函数的实际应用,等腰三角形的定义,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,一元二次方程的实际应用等知识.利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键.29.如下图,中,,,,一动点从点出发沿着方向以的速度运动,另一动点从出发沿着边以的速度运动,两点同时出发,运动时间为.(1)当运动时间为时,__________,__________;(用含的代数式表示)(2)若的面积是面积的,求的值.【答案】(1),;(2)的值为2;【分析】(1)本题考查三角形上动点问题的列代数,根据路程等于速度乘以时间结合线段长度即可得到答案;(2)本题考查三角形上动点问题及一元二次方程应用问题,根据面积列式求解即可得到答案;【详解】(1)解:由题意可得,∵,,一动点从点出发沿着方向以的速度运动,另一动点从出发沿着边以的速度运动,∴,,∴,故答案为:,;(2)解:根据题意得:,整理得:,解得:.答:的值为2.30.阅读以下材料,并按要求完成相应的任务.给定一个矩形,如果存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半,那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形. 如图,矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形.任务:当矩形的长为8,宽为1时,它是否存在“减半”矩形?如果存在,请求出“减半”矩形的长和宽;如果不存在,请说明理由.【答案】存在,长为8,宽为1的矩形存在“减半”矩形,且“减半”矩形的长为,宽为.【分析】假设存在,设“减半”矩形的长为x,则宽为(-x),根据矩形的面积公式,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较大值即可得出结论.【详解】假设存在,设“减半”矩形的长为x,则宽为(﹣x),依题意,得:x(﹣x)=×8×1,整理,得:x2﹣x+4=0,解得:x1=,x2=.当x=时,﹣x=,符合题意;当x=时,﹣x=>,不合题意,舍去.∴长为8,宽为1的矩形存在“减半”矩形,且“减半”矩形的长为,宽为.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.31.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=16,DC=12,AD=21,动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动.设运动的时间为t(秒).(1)设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式;(2)当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形 【答案】(1)s=96﹣6t (2)或【分析】(1)点P作PM⊥BC,垂足为M,则四边形PDCM为矩形,根据三角形的面积公式就可以利用t表示,就得到S与t之间的函数关系式;(2)以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形,可以分三种情况:①若PQ=BQ,②若BP=BQ,③若PB=PQ.在Rt△PMQ中根据勾股定理,就得到一个关于t的方程,就可以求出t.【详解】解:(1)过点P作PM⊥BC于M,则四边形PDCM为矩形.∴PM=DC=12,∵QB=16﹣t,∴S=QB PM=(16﹣t)×12=96﹣6t(2)由图可知,CM=PD=2t,CQ=t,若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形,可以分三种情况:①若PQ=BQ,在Rt△PMQ中,PQ2=t2+122,由PQ2=BQ2得t2+122=(16﹣t)2,解得t=;②若BP=BQ,在Rt△PMB中,PB2=(16﹣2t)2+122,由PB2=BQ2得(16﹣2t)2+122=(16﹣t)2,即3t2﹣32t+144=0,此时,△=(﹣32)2﹣4×3×144=﹣704<0,所以此方程无解,∴BP≠BQ.③若PB=PQ,由PB2=PQ2得t2+122=(16﹣2t)2+122得t1=,t2=16(不合题意,舍去).综上所述,当t=或t=时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形.【点睛】本题主要考查梯形、等腰三角形的特殊性质,在解题过程中要注意数形结合,注意分情况讨论.32.如图,在矩形中,点O为坐标原点,点B的坐标为,点在坐标轴上,点P在边上,直线,直线.(1)分别求直线与x轴,直线与的交点坐标;(2)已知点M在第一象限,且是直线上的点,若是等腰直角三角形,求点M的坐标;(3)已知矩形的顶点N在直线上,Q是坐标平面内的点,且N点的横坐标为x,请求出x的取值范围.【答案】(1)直线l1与x轴交点坐标为(,0),直线l2与AB的交点坐标为(1,1);(2)(2,3)或(,);(3)≤x≤或≤x≤【分析】(1)根据坐标轴上点的坐标特征可求直线l1与x轴,直线l2与AB的交点坐标;(2)分三种情况:①若点A为直角顶点时,点M在第一象限;②若点P为直角顶点时,点M在第一象限;③若点M为直角顶点时,点M在第一象限;进行讨论可求点M的坐标;(3)根据矩形的性质可求N点的横坐标x的取值范围.【详解】解:(1)将y=0代入直线l1:当y=0时,2x+1=0,则直线l1与x轴交点坐标为(,0),直线l2:当y=1时,2x-1=1,即x=1,则直线l2与AB的交点坐标为(1,1);(2)①若点A为直角顶点时,点M在第一象限,连结AC,如图1,∠APB>∠ACB>45°,∴△APM不可能是等腰直角三角形,∴点M不存在;②若点P为直角顶点时,点M在第一象限,如图2,过点M作MN⊥CB,交CB的延长线于点N,∵∠APM=∠APB+∠MPN=90°,∠PAB+∠APB=90°,∴∠PAB=∠MPN,又AP=PM,∠ABP=∠MNP=90°,∴Rt△ABP≌Rt△PNM(AAS),∴AB=PN=2,MN=BP,设M(x,2x-1),则MN=x-2,∴2x-1=2+1-(x-2),∴x=2,∴M( 2,3);③若点M为直角顶点时,点M在第一象限,如图3,设M1(x,2x-1),过点M1作M1G1⊥OA,交BC于点H1,同②可得:Rt△AM1G1≌Rt△PM1H1,∴AG1=M1H1=1-(2x-1),∴x+1-(2x-1)=2,解得,x=0,∴M1(0,-1)(不合题意舍去);设M2(x,2x-1),同理可得x+2x-1-1=2,∴x=,∴M2(,);综上所述,点M的坐标为(2,3)或(,);(3)当点N在直线l2上时,∵点N的横坐标为x,∴N(x,2x-1),当点P和点B重合时,P(2,1),∴AP的中点G坐标为(1,1),∵四边形ANPQ是矩形,∴∠ANB=90°,∴NG=AP=1,∴(x-1)2+(2x-1-1)2=1,∴x=(点N在AB上方的横坐标)或x=(点N在AB下方的横坐标),当点P和点C重合时,P(2,0),AP的中点G'坐标为(1,),同理:NG'=AP=,∴(x-1)2+(2x-1-)2=,∴x=(和点N在AB上方构成的四边形是矩形的横坐标)或x=(和点N在AB下方构成的四边形是矩形的横坐标),∴≤x≤或≤x≤.【点睛】本题考查了四边形综合题,涉及的知识点有:坐标轴上点的坐标特征,等腰直角三角形的性质,矩形的性质,分类思想的应用,方程思想的应用,综合性较强,有一定的难度.33.如图:在直角坐标系中,长方形中,,点D从点C出发,沿射线方向以每秒2个单位长的速度移动,点E从点O出发,沿射线方向以每秒1个单位长的速度运动,设点E的运动时间为t秒.(1)如图1,当t为何值时,的面积为1;(2)当是的角平分线时,求出此时点E的坐标;(3)当t为何值时,是等腰三角形?【答案】(1)秒或2秒或秒;(2)(,0)或(,0);(3)秒或秒或秒或5秒【分析】(1)分点E在y轴正半轴时,点E在y轴负半轴时,两种情况,根据三角形面积公式列出方程求解;(2)分点E在点A左侧,点E在点A右侧,画出图形,求出OE的长即可得到点E坐标;(3)分CD=CE,DC=DE,CE=DE三种情况,结合等腰三角形的性质和勾股定理列出方程求解即可.【详解】解:(1)∵长方形OABC中,OA=BC=10,OC=AB=5,∴C(0,5),A(10,0),B(10,5),若△ODE的面积为1,当点E在y轴正半轴时,则,解得:或;当点E在y轴负半轴时,则,解得:(舍)或;综上:当t为秒或2秒或秒时,△ODE的面积为1;(2)如图,若点E在点A左侧,∵CE平分∠OEB,则∠OEC=∠BEC,∵OA∥BC,∴∠BCE=∠OEC,∴∠BEC=∠BCE,∴BC=BE=10,∴AE==,∴OE=OA-AE=,即E(,0);若点E在点A右侧,同理可得:BC=BE=10,∴AE==,∴OE=OA+AE=,即E(,0);(3)∵是等腰三角形,若CD=CE,∵CE≥CO,∴此时点D必在y轴负半轴,则CD=CE=2t,OE=t,在△OCE中,,解得:t=(负值舍去);若DC=DE,当点D在y轴正半轴时,CD=DE=2t,OE=t,则OD=5-2t,在△ODE中,,解得:t=或(舍);当点D在y轴负半轴时,CD=DE=2t,OE=t,则OD=2t-5,在△ODE中,,解得:t=(舍)或;若CE=DE,∵OE⊥CD,∴OC=OD=5,即CD=10,∴t=10÷2=5.综上:当t为或或或5时,是等腰三角形.【点睛】此题是四边形综合题,主要考查了矩形的性质,角平分线的意义,等腰三角形的性质,用运动时间t表示线段是解本题的关键,根据题意画出图形是本题的难点.34.如图,在直角梯形中,,.动点P从点D出发,沿射线的方向以每秒2个单位的速度运动,动点Q从点C出发,沿射线 的方向以每秒1个单位的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点P运动到点A时,点Q随之停止运动.设运动的时间为t(秒),当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形? 【答案】或【详解】以B,P,Q为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况:当时,当时,当时,由等腰三角形的性质就可以得出结论.【分析】解:如图1,当时,过点P作于E,∴,∵,∴,∴,∴.∵,∴,∴四边形是矩形,∴,∴.解得:; 如图2,当时,过点Q作于E,同理可证四边形是矩形,∴,,∴,在中,由勾股定理,得,∴,解得:; 如图3,当时,过点P作于E,同理可证明四边形是矩形,∴,∴,∵,∴,在中,由勾股定理得,∴,∴,∴,故方程无解.综上所述,或时,以B,P,Q三点为顶点的三角形为等腰三角形. 【点睛】本题考查了勾股定理的运用,矩形的性质的运用,等腰三角形的性质的运用,一元二次方程的解法的运用,解答时根据等腰三角形的性质建立方程是关键.35.如图,中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动,在C点停止,点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动,在B点停止.(1)如果点P,Q分别从A、C同时出发,经过几秒钟,使?(2)如果点P从点A先出发2s,点Q再从点C出发,经过几秒钟后?(3)如果点P、Q分别从A、C同时出发,经过几秒钟后PQ=BQ?【答案】(1)2或4;(2)2;(3).【分析】本题可设P出发x秒后,符合已知条件:在(1)中,,,,根据题意列方程求解即可;在(2)中,,,,进而可列出方程,求出答案;在(3)中,,,,利用勾股定理和列出方程,即可求出答案.【详解】(1)P、Q同时出发,经过秒钟,,由题意得:∴,解得:,.经2秒点P到离A点1×2=2cm处,点Q离C点2×2=4cm处,经4秒点P到离A点1×4=4cm处,点Q到离C点2×4=8cm处,经验证,它们都符合要求.答:P、Q同时出发,经过2秒或4秒,.(2)设P出发t秒时,则Q运动的时间为秒,由题意得:,∴,解得:.因此经4秒点P离A点1×4=4cm,点Q离C点2×(4﹣2)=4cm,符合题意.答:P先出发2秒,Q再从C出发,经过2秒后.(3)设经过秒钟后PQ=BQ,则,,,,解得:,(不合题意,舍去),答:经过秒钟后PQ=BQ.【点睛】此题考查了一元二次方程的实际运用,解题的关键是弄清图形与实际问题的关系,另外,还要注意解的合理性,从而确定取舍.21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 微专题03 一元二次方程动点问题通关专练(原卷版).docx 微专题03 一元二次方程动点问题通关专练(解析版).docx