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专题01 概率的进一步认识
考点类型
知识一遍过
（一）概率的定义及计算公式
①概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率，记为=
②概率公式：随机事件A的概率。
（二）求概率的方法
（1）列表法：
当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，不重不漏地列举出所有可能的结果，再求出概率。
（2）树状法：
当试验中存在三个及以上的元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用画树状图的方式，不重不漏地列举出所有可能的结果，再求出概率。
（三）利用频率估计概率
大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率。
考点一遍过
考点1：列表、树状图求概率——摸球放回型
典例1：一个不透明的口袋中有三个小球，一个标有字母，另外两个都标有字母，所标字母不同外，其它完全相同，小明和小刚做摸球游戏，小明从中随机摸出一个小球记下字母后放回并搅匀，小刚再随机摸出一个小球，两次摸出的小球所标字母相同则小明赢，所标字母不同则小刚赢．
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，表示出所有可能出现的结果：
(2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)这个游戏规则对双方不公平
【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数即可；
（2）根据概率公式求出小明赢和小刚赢的概率，然后进行比较，即可得出答案
此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【详解】（1）列表得：
由列表可知可能出现的结果共9种
（2）∵共有9种等可能的情况数，其中两次摸的小球所标字母相同的有5种，所标字母不同的有4种，
∴小明赢的概率是，小刚赢的概率是
∵
∴这个游戏规则对双方不公平
【变式1】一个不透明的口袋中装有个红球和个白球，这些球除颜色外其它完全相同．
(1)从中随机摸出个球是白球的概率为 ．
(2)从中随机摸出个球，记下颜色后放回，摇匀后再随机摸出个球，记下颜色．求两次摸出的球颜色相同的概率．（请用画树状图或列表等方法给出分析过程）
【答案】(1)；
(2)，过程见解析．
【分析】（）根据概率计算公式计算即可；
（）根据题意画树状图，再根据概率计算公式计算即可；
本题考查概率计算公式，画树状图或列表得出所有的情况，找出符合条件的情况数是解题的关键．
【详解】（1）从中随机摸出个球是白球的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图：
一共有种情况，两次摸出的球颜色相同共有种，
∴两次摸出的球颜色相同的概率为．
【变式2】某校在七年级各班开展了“红五月、唱红歌、颂祖国”合唱比赛，小明、小红和小亮都想成为本次活动的“班级领唱”（三个人的演唱水平都一样），为了决定让谁来“领唱”，王老师设计了一个摸球游戏：在一个不透明的袋子里装有除颜色外其余均相同的一黄、一白两个乒乓球，三个人先后从袋子中摸出一个乒乓球，记下颜色后放回，下一个人再摸，然后记下颜色，重复这样的过程，直至三个人都记下所摸出乒乓球的颜色时，游戏结束．王老师说如果摸出“两黄一白”小明领唱，如果摸出“两白一黄”小亮领唱，如果摸出“三个同色”则小红领唱，你认为王老师的方案是否公平？请用树状图说明理由．
【答案】王老师的方案不公平，树状图和理由见解析
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再分别找出“两黄一白”，“两白一黄”，“三个同色”的结果数，进而计算出三人分别领唱的概率即可得到结论．
【详解】解：王老师的方案不公平，理由如下：
画树状图如下：
由树状图可知，一共有8种等可能性的结果数，其中“两黄一白”的结果数有3种，“两白一黄”的结果数有3种，“三个同色”的结果数有2种，
∴小明领唱的概率为，小亮领唱的概率为，小红领唱的概率为，
∵，
∴王老师的方案不公平．
【变式3】一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．
(1)直接写出两次取出的小球标号的和等于5的概率；
(2)若摸取第一个小球后不放回，请用列表或画树状图法求两次取出的小球标号的和等于5的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了求简单事件的概率，列表法或画树状图求概率；
（1）求出所有可能的结果数及两次取出的小球标号的和等于5的结果数，由概率公式即可求得结果；
（2）列表，根据列表可得所有可能结果数，两次取出的小球标号的和等于5的结果数，由概率公式可求得结果．
【详解】（1）解：所有可能的结果数为种，其中再次取出的小球标号的和为5的情况有：1与4、4与1、2与3、3与2共4种，则两次取出的小球标号的和等于5的概率为；
（2）解：依题意列表如下：
1 2 3 4
1 —— (2，1) (3，1) (4，1)
2 (1，2) —— (3，2) (4，2)
3 (1，3) (2，3) —— (4，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) ——
由上表可知，摸取第一个小球后不放回，共有12种等可能的结果，其中“两次取出的小球标号的和等于5”的结果有4种，
∴P(两次取出的小球标号的和等于5)＝．
考点2：列表、树状图求概率——摸球不放回型
典例2：某中学为减轻学生的学习压力，准备组织初三年级周末进行徒步活动，现已想好两个徒步地点：长虫山、抚仙湖．准备以抽签的方式决定徒步地点．规则为：一个不透明纸箱里，装有型号完全相同的3个红球和2个黑球，先后从纸箱里摸出两个球（不放回），若两次所摸球的颜色相同，则去长虫山；否则，去抚仙湖．
(1)求第一次摸到红球的概率为________；
(2)请用树状图或者列表表示出所有摸球的结果；
(3)请用概率知识判断两个徒步地点被选中的可能性是否相同？若不相同，你认为更容易选中哪个地点．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)两个徒步地点被选中的可能性不相同，去抚仙湖徒步的可能性更大
【分析】（1）根据简单的概率公式解答即可．
（2）利用画树状图法解答即可．
（3）计算颜色相同的概率，颜色不同的概率，比较大小，确定可能性的大小．
本题考查了简单地概率公式，树状图法求概率，游戏公平性，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键．
【详解】（1）根据题意，得摸到红球的概率为，
故答案为：．
（2）根据题意，设红球用A，B，C表示，黑球用D，E表示，画树状图如下：
一共有20种等可能性，其中颜色相同的有8种等可能性，颜色不同的有12种等可能性．
（3）根据题意，颜色相同的有8种等可能性，颜色不同的有12种等可能性，
∴去长虫山的概率为；去抚仙湖的概率为
故两个徒步地点被选中的可能性不相同，去抚仙湖徒步的可能性更大．
【变式1】某超市为回馈广大消费者，在开业周年之际举行摸球抽奖活动．摸球规则如下：在一只不透明的口袋中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后先从中任意摸出1个球(不放回)，再从余下的2个球中任意摸出1个球．
(1)请用画树状图或列表的方法列出所有等可能出现的结果；
(2)活动设置了一等奖和二等奖两个奖次，一等奖的获奖率低于二等奖．现规定摸出颜色不同的两球和摸出颜色相同的两球分别对应不同奖次，请写出它们分别对应的奖次，并说明理由．
【答案】(1)共有6种等可能出现的结果
(2)摸出颜色不同的两球对应的奖次为二等奖，摸出颜色相同的两球对应的奖次为一等奖
【分析】此题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）画出树状图即可；
（2）由树状图可知，摸出颜色不同的两球的结果有4种，摸出颜色相同的两球的结果有2种，再由概率公式去摸出颜色不同的两球的概率和摸出颜色相同的两球的概率，进而得出结论．
【详解】（1）解：画树状图如下：
共有6种等可能出现的结果；
（2）摸出颜色不同的两球对应的奖次为二等奖，摸出颜色相同的两球对应的奖次为一等奖，
理由如下：
由树状图可知，摸出颜色不同的两球的结果有4种，摸出颜色相同的两球的结果有2种，
∴摸出颜色不同的两球的概率为，摸出颜色相同的两球的概率为，
∵一等奖的获奖率低于二等奖，，
∴摸出颜色不同的两球对应的奖次为二等奖，摸出颜色相同的两球对应的奖次为一等奖．
【变式2】不透明的口袋里装有如图所示的标有数字的三种颜色的小球（大小、形状相同），其中红球有个，蓝球有个，现从中任意摸出一个是红球的概率为．
(1)求袋中黄球的个数；
(2)第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用树状图法或列表法求两次摸到都是红球的概率；
(3)若小明共摸次球（每次摸个球，摸后放回），球面得分之和为，问：小明有哪几种摸法？（只考虑分数的组合，不考虑个球被摸出的先后顺序）
【答案】(1)袋中黄球的个数是1个
(2)
(3)有三种摸法：摸红球次，黄球次；摸红球次，黄球次，蓝球次；摸红球次，黄球次，蓝球次
【分析】本题考查概率的知识，解题的关键是掌握概率的运用，树状图和列表法求出所有结果的可能性，进行解答，即可．
（1）根据题意，设有个黄球，根据概率公式，即可；
（2）根据题意，运用树状图和列表法求出所有结果的可能性，进行解答，即可；
（3）设小明摸到红球有次，摸到黄球有次，则摸到蓝球有次，再根据球面得分之和为，进行计算，即可．
【详解】（1）设有个黄球
∵红球有个，蓝球有个，任意摸出一个是红球的概率为
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：袋中黄球的个数是个．
（2）列表法如下：
红 红 蓝 黄
红 / （红，红） （红，蓝） （红，黄）
红 （红，红） / （红，蓝） （红，黄）
蓝 （红，蓝） （红，蓝） / （蓝，黄）
黄 （红，黄） （红，黄） （黄，蓝） /
共种等可能的结果，其中两次摸到都是红球的有种，
∴两次摸到都是红球的概率为．
（3）设小明摸到红球有次，摸到黄球有次，则摸到蓝球有次
∴
整理得：
∴
∵，，均为自然数
∴当时，，；
当时，，；
当时，，；
综上所述，小明共有三种摸法：摸红球次，黄球次；摸红球次，黄球次，蓝球次；摸红球次，黄球次，蓝球次．
【变式3】在一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”“丽”“山”“西”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
(1)若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“山”的概率为________．
(2)甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图(或列表法)，求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“山西”的概率；
(3)乙从中任取一球，记下汉字后再放回口袋中，然后再从中任取一球，记下取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“山西”的概率为，不画树状图或列表，写出的值，并比较，的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）总的等可能结果有4种，概率为；
（2）总的等可能结果有12种，其中满足要求的有4种，；
（3）总的等可能结果有种，其中满足要求的有，概率为；
【详解】（1）解：汉字刚好是“山”的概率为；
（2）解：如图，总的等可能结果有12种，其中满足要求的有4种，
∴恰能组成“美丽”或“山西”的概率．

（3）解：同理可得：总的等可能结果有种，其中满足要求的有，
∴．
【点睛】本题考查概率的计算，列举法求概率；能够用树状图或列表工具得出所有等可能结果是解题的关键．
考点3：列表、树状图求概率——转盘抽奖型
典例3：某家电商场举办年终促销活动，其中之一是消费满3500元参与抽奖活动，抽奖活动设置的翻奖牌的正面、背面如图所示．
(1)抽奖得到“手机”的概率是 ；
(2)请你设计一个翻奖牌，包含“手机”“空气炸锅”“护眼灯”“洗衣液”“谢谢参与”，使得最后抽到“护眼灯”的概率是 ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了概率公式，解题的关键是：
（1）一共有9张牌，其中2张手机的牌，再根据公式计算；
（2）根据可能性的大小，保证“护眼灯”有3张即可，设计九张牌中有三张写着“护眼灯”，其它的六张牌中“手机”“空气炸锅” “洗衣液”各一张，“谢谢参与”三张，答案不唯一．
【详解】（1）解：由题意可知一共有9张牌，其中“手机”有2张，则抽到“手机”奖品的可能性是：，
故答案为：；
（2）解：设计九张牌中有三张写着“护眼灯”，其它的六张牌中“手机”“空气炸锅” “洗衣液”各一张，“谢谢参与”三张，答案不唯一．
如图：
【变式1】如图，现有一转盘被平均分成八等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．

(1)转动转盘，转出的数字不大于4的概率是_______；
(2)小明和小强玩转盘游戏，转出的数字为2的倍数小明胜，为3的倍数小强胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请你设计出公平的游戏规则．
【答案】(1)
(2)不公平；设计的方案：转出数字是奇数，则小明胜，转出数字是偶数，则小强胜（答案不唯一，设计方案正确即可）
【分析】本题主要考查了几何概率、概率的应用等知识点，掌握几何概率的求法成为解题的关键．
（1）转出的数字不大于4的可能是1、2、3、4这4种结果，利用概率公式即可解答；
（2）先分别求出转出的数字为2的倍数、3的倍数的概率，然后再比较即可判定游戏的公平性；然后设计出公平的游戏方案即可．
【详解】（1）解：转出的数字不大于4的可能是1、2、3、4这4种结果，则转出的数字不大于4的概率是．
故答案为：．
（2）解：转出的数字为2的倍的可能是2、4、6、8，即小明胜的概率为；转出的数字为3的倍的可能是3、6、9，即小强胜的概率为；由，故该游戏不公平；
设计的方案：转出数字是奇数，则小明胜，转出数字是偶数，则小强胜．
【变式2】5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，主办方设了6个展馆，分别是：A国际综合馆，B东数西算馆，C数字产业馆，D产业数字馆，E创新场景馆，F数字生活馆，某校七年级某班同学计划参观其中一个展馆．
(1)如图①，小红设计了一个均匀的转盘被等分成6个扇形，用字母A，B，C，D，E，F分别表示六个展馆，转动转盘，当转盘停止后，指针落在某一区域，就参观相应的展馆．若转动转盘，指针落在“E创新场景馆”区域的概率是 ；
(2)小红希望转动转盘时，指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，同时又要让每个展馆都有被选中的机会，于是设计了被等分成8个扇形的如图②所示的转盘，请按小红的要求在图②的扇形中填上代表各展馆的字母，并求出指针落在“A国际综合馆”区域的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查利用概率公式求概率，掌握概率公式是解题的关键．
（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）把其中3个扇形标A即可．
【详解】（1）解：∵指针落在任一区域的可能性相同，
∴指针落在“E创新场景馆”区域的概率是；
（2）∵每个展馆都有被选中的机会，
∴先将每个展馆都填在一个区域内，
又指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，
∴剩下的两个区域都填上即可，
如图所示：
指针落在“A国际综合馆”区域的概率．
【变式3】某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案：
方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品；
方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转）
(1)若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为________；
(2)若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果；
(3)如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由．
【答案】(1)
(2)图见解析，共有9种等可能的结果
(3)会选择方案二；理由见解析
【分析】本题考查了概率公式以及列表法与树状图法求概率，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）利用概率公式求解；
（2）根据题意画出树状图即可解决；
（3）利用（2）中树状图求出方案二中领取一份奖品的概率，然后比较两个方案中领取一份奖品的概率的大小来判断选择哪个方案．
【详解】（1）解：若转动一次转盘，指针指向数字1的概率为，
故答案为：；
（2）解：树状图如图，共有9种等可能的结果；
（3）解：会选择方案二．
理由：由（2）可得，方案二中，领取到一份奖品的概率为，
，
选择方案二．
考点4：列表、树状图求概率——比赛型
典例4：贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）本题考查了概率的计算，逐局分析胜负计算概率即可解题．
（2）本题考查了用列举法求概率，考虑前4局中乙恰好当1次裁判出现的局数，逐一计算概率，即可解题．
【详解】（1）解：要第4局甲当裁判，则第3局甲输，
第1局甲当裁判，
第2局甲为选手，
每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，
第2局甲获胜，
第4局甲当裁判的概率；
（2）解：第1局甲当裁判，
乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局，
当在第2局时的概率，
当在第3局时的概率，
当在第4局时的概率，
乙恰好当1次裁判的概率．
【变式1】甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题，
(1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率；
(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？
【答案】(1)
(2)甲
【分析】（1）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉两次所有可能出现的情况，进而求出捉2次，捉到丙的概率；
（2）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉三次所有可能出现的情况，通过甲、乙、丙被捉到的次数得出结论．
【详解】（1）解：如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下：

共有4种可能出现的结果，其中第2次捉到丙的只有1种，
所以甲为开始蒙眼人，捉两次，第二次捉到丙的概率为．
（2）如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下：

共有8种可能出现的结果，其中第3次提到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种，
根据所有结果出现的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人．
【点睛】本题考查用树状图法求随机事件发生的概率．列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
【变式2】某篮球运动员去年共参加40场比赛，其中3分球的命中率为0.25，平均每场有12次3分球未投中．
(1)该运动员去年的比赛中共投出多少个3分球？共投中多少个3分球？
(2)在其中的一场比赛中，该运动员3分球共出手20次，小明说，该运动员这场比赛中一定投中了5个3分球，你认为小明的说法正确吗？请说明理由．
【答案】(1)共投出640个3分球，共投中160个3分球
(2)说法不正确；理由见解析
【分析】（1）设该运动员共出手x个3分球，则3分球命中0.25x个，未投中0.75x个，根据“某篮球运动员去年共参加40场比赛，平均每场有12次3分球未投中”列出方程，解方程即可；
（2）根据概率的意义知某事件发生的概率，就是在大量重复试验的基础上事件发生的频率稳定到的某个值；由此加以理解即可．
【详解】（1）解：设该运动员共投出x个3分球．
∵3分球的命中率为0.25，
∴3分球的未命中率为1－0.25＝0.75．
根据题意，得 ＝12．
解得x＝640．
∴0.25x＝0.25×640＝160(个)．
答：运动员去年的比赛中共投出640个3分球，共投中160个3分球．
（2）解：小明的说法不正确；3分球的命中率为0.25，是相对于40场比赛来说的，而在其中的一场比赛中，虽然该运动员3分球共出手20次，但是该运动员在这场比赛中不一定投中了5个3分球．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、概率的意义．解题的关键是理解概率的意义．
【变式3】杨华与季红用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，同时抽出两张．规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1分；当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，季红得1分（如图2）．问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？
【答案】（1）游戏对双方不公平
（2）改为：当拼成的图形是小人时杨华得3分，其余规则不变，就能使游戏对双方公平（答案不唯一）
【分析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【详解】解：（1）这个游戏对双方不公平
∵；；
；，
∴杨华平均每次得分为（分）；
季红平均每次得分为（分）．
∵＜，
∴游戏对双方不公平
（2）改为：当拼成的图形是小人时杨华得3分，其余规则不变，就能使游戏对双方公平．（答案不唯一，其他规则可参照给分）
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
考点5：列表、树状图求概率——卡片型
典例5：在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为、0、1，卡片除了数字不同外，其余都相同．
(1)从盒子中随机抽取一张卡片，抽中负数的概率是多少？
(2)先从盒子中随机抽取一张卡片，卡片不放回，再随机抽取一张卡片，请你用列表或画树状图的方法，求出两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的概率．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，有理数的概念，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）找出三种卡片中负数卡片的个数即可求出所求的概率；
（2）用列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出抽取的卡片上的数字之积为有理数的情况数，即可得到答案．
【详解】（1）解：总共有3种等可能事件，其中抽中负数有，1种情况，
故从盒子中随机抽取一张卡片，抽中负数的概率是；
（2）解：方法1：画树状图如下：
共有6种等可能的结果：
、、、、、
乘积分别为：0，，0，0，，0
所以两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的有4种，
则两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的概率为．
方法2：列表如下：
第1张第2张 0 1
—— 0， 1，
0 ，0 —— 1，0
1 ，1 0，1 ——
共有6种等可能的结果：
、、、、、
乘积分别为：0，，0，0，，0
所以两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的有4种，
则两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的概率为．
【变式1】人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动，人工智能市场在应用领域分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同）将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上从中随机抽取一张，记录卡片的内容质放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．
【答案】P（抽取到的两张卡片内容一致）
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意，画图如下：
共有16个等可能的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4，
所以，P（抽取到的两张卡片内容一致）．
【变式2】甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，赵星在了解甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．

(1)赵星从中随机抽取一张卡片，所抽取的卡片上的文字是“文”的概率为______．
(2)赵星从中随机抽取一张卡片不放回，张涵再从中随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率．
【答案】(1)
(2)图见解析，
【分析】此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率；
（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两名同学抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）通过卡片上的文字，可以看到是轴对称图形的为“文”，所以卡片上的文字是轴对称图形的概率为；
（2）画树状图如下：

由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的可能性有2种，
∴两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率为．
【变式3】现有五张背面完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字，2，3，把这五张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
(1)随机抽取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为正数的概率；
(2)先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点Q的横坐标，再从剩下的卡片中随机抽取一张，其上的数字作为点Q的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点Q在第二象限内的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，判断点所在的象限等等，熟知概率计算公式是解题的关键．
（1）用写有正数的卡片数除以卡片的总数即可得到答案；
（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到点Q在第二象限内的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵一共有5张卡片，其中写有正数的卡片有3张，且每张卡片被抽取到的概率相同，
∴随机抽取一张卡片，抽取的卡片上的数字为正数的概率为；
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有20种等可能性的结果数，其中点Q在第二象限内的结果数有，共6种，
∴点Q在第二象限内的概率为．
考点6：列表、树状图求概率——实际应用型
典例6：在学校开展的数学活动课上，小明、小红和小刚制作了一个正三棱锥(质量均匀，4个面完全相同)，并在各个面上分别标记数字1，2，3，4，游戏规则如下：小明和小刚投掷三棱锥各1次，并记录底面的数字，如果两次投掷所得底面数字相等，那么重新投掷；如果两次投掷所得底面数字的和小于5，那么小明赢；如果两次投掷所得底面数字的和等于5，那么小红赢；如果两次投掷所得底面数字的和大于5，那么小刚赢．
(1)投掷1次，底面数字出现3是 事件(填“不可能”“必然”或“随机”)；投掷两次，底面数字和为5的概率为 ．
(2)请用列表或画树状图的方法表示上述游戏中所有可能出现的结果，分别求出小明、小红和小刚赢的概率，并判断此游戏对三人是否公平．
【答案】(1)随机，
(2)此游戏对三人是公平的
【分析】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了列表法与树状图法．
（1）根据题意在表格内列举出所有情形，找出所有等可能的情况数，得出投掷两次，底面数字和为5的情况即可求解；
（2）根据题意列出表格，分别求出三人获胜得概率，比较即可得到游戏公平与否．
【详解】（1）解：投掷1次，底面数字出现3是随机事件；
列表如下：
1 2 3 4
1 3 4 5
2 3 5 6
3 4 5 7
4 5 6 7
从上表可知，共有12种等可能的情况，投掷两次，底面数字和为5的情况有4种，
故投掷两次，底面数字和为5的概率为，
故答案为：随机，；
（2）由（1）可知，两次投掷所得底面数字的和小于5的情况有4种，则小明赢的概率为，
两次投掷所得底面数字的和等于5的情况有4种，则小红赢的概率为，
两次投掷所得底面数字的和大于5的情况有4种，则小刚赢的概率为，
故此游戏对三人是公平的．
【变式1】2024年4月23日是第29个世界读书日．为了营造多读书、读好书的氛围，我校举办了第十届校园读书节．在班级组织的“读书分享会”活动中，小明和小华都想当主持人，但只有一个名额、小华建议用游戏的方法来选人，如图，现有一个圆形转盘被平均分成份，分别标有、、、、、这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转），求：
(1)转动转盘一次，转出的数字为的概率是______；
(2)若小明转动两次后转到的数字分别是和，小明再转动一次，转出的数字与前两次转出的数字分别作为三条线段的长度（长度单位均相同），则这三条线段能构成等腰三角形的概率是______；
(3)自由转动转盘，若转出的数字是偶数，小明参加；若转出的数字大于，小华参加；你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不公平，理由见解析
【分析】本题考查概率公式，游戏的公平性，三角形的三边关系，
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）小明再转动一次，转出的数字共有6种等可能结果，其中与前两次转出的数字分别作为三条线段能构成等腰三角形的有4、5这2种结果，再根据概率公式求解即可；
（3）因为自由转动转盘共有6种等可能解雇，其中转出的数字是偶数的有2、4这2种结果，转出的数字大于4的有5、7、9这3种结果，再求出小明与小华参加的概率，继而可得答案．
【详解】（1）解：（1）转动转盘一次，转出的数字为3的概率是，
故答案为：；
（2）小明再转动一次，转出的数字共有6种等可能结果，其中与前两次转出的数字分别作为三条线段能构成等腰三角形的有4、5这2种结果，
所以这三条线段能构成等腰三角形的概率是，
故答案为：；
（3）这个游戏不公平，理由如下：
因为自由转动转盘共有6种等可能解雇，其中转出的数字是偶数的有2、4这2种结果，转出的数字大于4的有5、7、9这3种结果，
所以小明参加的概率为，小华参加的概率为，
因为，
所以这个游戏不公平．
【变式2】2024年5月18日是第48个国际博物馆日，主题为“博物馆致力于教育与研究”本届国际博物馆日中国主会场定于陕西历史博物馆秦汉馆．为了提升博物馆的服务质量，以便更好地发挥其文化宣扬和传承方面的作用，某博物馆面向社会招募志愿者．某校现有10名志愿者准备参加该博物馆志愿服务工作，其中男生6人，女生4人．
(1)若从这10名志愿者中随机选取一人作为联络员，则选到女生的概率为______；
(2)若该博物馆的某项工作只在甲、乙两名志愿者中选一名，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2、3、4、5的扑克牌（背面完全相同）洗匀后，数字朝下放于桌面，甲先从四张牌中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的牌中随机抽取一张，若所抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则，乙参加．请用画树状图或列表法说明该游戏对双方公平吗？
【答案】(1)
(2)这个游戏不公平
【分析】本题考查的是用概率公式求概率，游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）直接利用概率公式求出即可；
（2）利用树状图表示出所有可能进而利用概率公式求出两人的概率，再比较概率大小即可得出结论．
【详解】（1）解：共10名志愿者，女生4人，
选到女生的概率是：；
故答案为：．
（2）解：根据题意画图如下：
共有12种情况，和为偶数的情况有4种，
牌面数字之和为偶数的概率是，
甲参加的概率是，乙参加的概率是，
这个游戏不公平．
【变式3】某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，对八、九年级学生进行了航天科普知识竞赛（百分制），并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）其中，八年级20名学生的成绩是：96，80，96，91，99，96，90，100，89，82，85，96，87，96，84，81，90，82，86，94．
九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，92，92，93，94．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 90 90 b 38.7
九年级 90 c 100 38.1
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述a、b、c的值：_____，____，____；
(2)若该校九年级共1400人参加了此次航天科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀的九年级学生人数．
(3)为了激发学生对航天科技的兴趣，学校决定派一个年级去内蒙古展览馆参观航天成果展，特为八年级和九年级的学生设计了一个转盘游戏，各年级分别派一名代表摸奖，获胜年级参观展览．具体规则如下：其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9，如图所示．具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给八年级，否则票给九年级（指针指在线上重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平．
【答案】(1)40；96，
(2)980人
(3)游戏公平，见解析
【分析】（1）根据频数=样本容量×所占百分数，计算A，B的频数，后求得D的频数，再根据众数，中位数的定义计算解答．
（2）利用样本估计总体的思想计算即可．
（3）利用画树状图计算即可．本题考查了中位数，众数、样本估计，扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键．
【详解】（1）A的频数为： (人)，B的频数为： (人)，
C的频数为：6 (人)，
∴D的频数为（人），
∴，
故a为40；
96，80，96，91，99，96，90，100，89，82，85，96，87，96，84，81，90，82，86，94，出现次数最多是数据是96，
故b为96；
根据中位数是第10个数据，第11个数据的平均数，即，
故答案为：40；96，．
（2）根据题意，得：(人) ．
（3）公平，
根据题意，画树状图如下：
一共有12种等可能性，恰好是偶数可能性有6种，
∴八年级获胜的概率是，九年级获胜的概率是．
概率相等，
故游戏公平．
考点7：列表、树状图求概率——其他应用型
典例7：小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏。他们用四个字母做成枚棋子，如图，棋子A有1枚，棋子B有2枚，棋子C有3枚，棋子D有4枚．“字母棋”的游戏规则如下：①游戏时两人各摸一枚棋子进行比赛称为一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；②棋子A胜棋子B、棋子C，棋子B胜棋子C、棋子D，棋子C胜棋子D，棋子D胜棋子A；③相同棋子不分胜负．

(1)若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是多少
(2)已知小玲先摸到了棋子C，小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，这一轮小玲胜小军的概率是多少
(3)当小玲摸到什么棋子时，胜小军的概率最大
【答案】(1)
(2)小玲胜小军的概率是
(3)当小玲摸到棋子B时，胜小军的概率最大
【分析】（1）画出树状图，根据概率公式进行作答即可；
（2）已知小玲先摸到了棋子C，还剩9枚棋子，因为棋子C胜棋子D，只有４枚棋子，即可知道这一轮小玲胜小军的概率；
（3）分情况讨论，根据概率的大小即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意，画出树状图：

共有个等可能的结果，小玲摸到棋子C的结果有3个，
所以若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是；
（2）解：因为小玲先摸到了棋子C，若小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，那小军摸到棋子的结果有9个，只有当小军摸到棋子D，此时小玲胜小军，所以这一轮小玲胜小军的概率为；
（3）解：①若小玲摸到A棋，小军摸到B，C棋，小玲胜，
∴小玲胜小军的概率是；
②若小莹摸到B棋，小军摸到D，C棋，小玲胜，
∴小玲胜小军的概率是；
③若小玲摸到C棋，小军摸到D棋，小玲胜，
小玲胜小军的概率是；
④若小玲摸到D棋，小军摸到A棋，小玲胜，
∴小玲胜小军的概率是；
∵，由此可见，小玲摸到B棋，小玲胜小军的概率最大．
【点睛】本题考查了树状图法以及概率公式，正确掌握概率公式是解题的关键．
【变式1】疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．现在学校需在东门、南门和西门分别增加一人测温，甲、乙、丙三人被随机增派到三个校门测温．小明每天走东门进校，小丽每天走西门进校．请用所学概率知识解决下列问题：
（1）写出甲、乙、丙被分配到三个校门测温的所有可能结果；
（2）小明、小丽两人中，进校时谁遇到甲的可能性大？请说明理由．
【答案】（1）有6种，见解析；（2）一样大，见解析．
【分析】（1）画树状图，计算判断；（2）计算各自的概率，比较大小判断即可．
【详解】解：（1）画树状图如图：
共有6个等可能的结果；
（2）小明、小丽两人中，进校时遇到甲的可能性一样大，理由如下：
由（1）可知，共有6个等可能的结果，其中甲分配在东门的结果有2个，甲分配在西门的结果有2个，
∴小明进校时谁遇到甲的概率为，
小丽进校时谁遇到甲的概率为，
∴小明、小丽两人中，进校时遇到甲的可能性一样大．
【点睛】本题考查了画树状图确定等可能性，判断游戏的公平性，准确画树状图，并用概率公式计算事件的概率是解题的关键．
【变式2】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：（为了方便记录，把a≤x＜b记作：[a，b）．）
最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
【答案】（1）；（2）900元，300元，-100元，
【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25） C和最高气温低于20 C的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．
（2）当温度大于等于25°C时，需求量为500，求出Y=900元；当温度在[20，25）°C时，需求量为300，求出Y=300元；当温度低于20°C时，需求量为200，求出Y=-100元，从而当温度大于等于20 C时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率．
【详解】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间[20，25） C和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54，
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位： C）有关．
如果最高气温不低于25 C，需求量为500瓶，
如果最高气温位于区间[20，25） C，需求量为300瓶，
如果最高气温低于20 C，需求量为200瓶，
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p＝；
（2）∵当温度大于等于25 C时，需求量为500瓶，Y＝450×2＝900元；
当温度在[20，25） C时，需求量为300瓶，Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元；
当温度低于20 C时，需求量为200瓶，Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元；
∴当温度大于等于20 C时，Y＞0，
∵由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20 C的天数有：
90﹣（2+16）＝72，
∴估计Y大于零的概率P＝．
【点睛】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，用运算作出推理论证，找出Y>0的天数是解决问题的关键．
【变式3】福州第十九中学每年的校园科学文化艺术节中的“爱心义卖会”活动，是学校同学们表现爱心的重要活动，在2021年的义卖会上，九年某班的同学设计了一个“爱心盲盒大抽奖”的活动，其规则如下：通过购买爱心小盲盒，每个爱心小盲盒3元，根据小盲盒内事先藏好的数字，可以进行兑奖，而每一位参与活动的同学都有4个小盲盒可以选择，其中一个小盲盒藏有数字4，可以兑换4元，有一个小盲盒藏有数字2，可以兑换2元，剩余的两个小盲盒藏有数字1，可以兑换1元，每位同学最多只能买2个小盲盒．
(1)张同学购买了两个小盲盒，用列表法或树状图的方法求出求他购买的第1个小盲盒里藏有数字4的概率：______；
(2)李同学手上有7元，请用概率统计的知识说明，从李同学最终在手上的钱的平均值为依据，她是买一个小盲盒好，还是两个小盲盒好．
【答案】(1)
(2)李同学应该买一个小盲盒好，理由见解析
【分析】（1）用列表法展示12种等可能的结果数，找出张同学购买的第1个小盲盒里藏有数字4的结果数，然后根据概率公式求解；
（2）先分别计算出李同学购买一个小盲盒和两个小盲盒后最终在手上的钱的平均值，然后再比较即可判断．
【详解】（1）解：列表得：
4 2 1 1
4 /
2 /
1 /
1 /
共有12种等可能情况，记购买的第1个小盲盒里藏有数字4为事件A，共3种情况，
∴．
故答案为：．
（2）若李同学购买1个小盲盒，花去3元，还有4元，
则可兑换4元的概率为，兑换2元的概率为，兑换1元的概率为，
因此此时李同学最终在手上的钱的平均值为：（元）；
若李同学购买2个小盲盒，花去6元，还有1元，
由（1）可知，
可兑换6元的概率为，
可兑换5元的概率为，
可兑换3元的概率为，
可兑换2元的概率为，
因此此时李同学最终在手上的钱的平均值为：（元）；
∵，
∴李同学应该买一个小盲盒好．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率和概率的应用．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．理解和掌握概率公式的应用是解题的关键．
考点8：利用频率估计概率
典例8：一个不透明的袋子中装有4个质地大小均相同的小球，这些小球分别标有数字4、5、6、，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个小球，并计算摸出的这2个小球上的数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验．试验数据如下表：
摸球总次数 10 20 60 120 180 240 330 450
“和为10”出现的频数 2 10 24 37 58 82 110 150
“和为10”出现的频率 0.20 0.50 0.40 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33
解答下列问题：
(1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为10”的频率趋于稳定．请估计出现“和为10”的概率是______；
(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为11的概率是，那么的值可以取8吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果的值不可以取8，请写出一个符合要求的值．
【答案】(1)
(2)详情见解析
【分析】本题考查了概率的应用，运用列表法或树状图求概率即可．
【详解】（1）由表中数据可得，出现“和为10”的频率稳定在左右，所以估计出现“和为10”的概率是；
（2）假设x的值可以取8，列表如下：
乙 甲 4 5 6 8
4 × 9 10 12
5 9 × 11 13
6 10 11 × 14
8 12 13 14 ×
当，摸出的这两个小球上数字之和为11的概率为，
如果摸出的这两个小球上数字之和为11的概率是，x的值不可以取8；
乙 甲 4 5 6 x
4 × 9 10
5 9 × 11
6 10 11 ×
x ×
由上表可知一共有12种等可能结果，要想数字之和为11的概率是，就要出现4次数字之和为11的结果，
x的值可以为7．
【变式1】某研发机构新培育了一种玉米种子，在相同条件下该种玉米种子发芽的试验结果如图所示．
根据试验结果回答下列问题．
(1)估计这种玉米种子发芽的概率是______（精确到0.1）．
(2)如果该种玉米种子发芽后的成秧率为，那么在相同条件下种10000粒该种玉米种子大约可得到多少棵玉米秧苗？
【答案】(1)0.9
(2)8100棵
【分析】本题考查了由频率估计概率，正确得出这种玉米种子发芽的概率是解此题的关键．
（1）由统计图即可得出答案；
（2）根据题意列式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：由图可得：随实验次数增加，这种玉米种子发芽的频率逐渐稳定在为0.9附近，故估计这种玉米种子发芽的概率是0.9；
（2）解：由题意得：（棵），
∴种10000粒该种玉米种子大约可得到棵玉米秧苗．
【变式2】一只不透明的袋子中装有若干个白球和其他颜色的球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中摸出一个球，然后放回摇匀再摸，在摸球实验中得到下列表中的部分数据：
摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500
摸出白球的频数 14 26 128 198 267 399 500
摸出白球的频率
(1)请将表补充完整；
(2)画出“摸出白球”的频率折线统计图，得摸出白球的概率估计值是 ；（精确到到0.01）
(3)若袋中共有200个球，则袋中可能有 个白球．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
(3)66
【分析】本题考查了画折线统计图，频率估计概率，频数、频率与实验总次数的关系，掌握这些知识是关键．
（1）由频数、频率与摸球次数的关系可求得摸球40次，摸出白球14的概率；也可求得摸球1000次且频率为时摸出白球的频数，因而可补充完整表格；
（2）按折线统计图的画法画图即可；根据统计图即可估计出概率；
（3）根据（2）中概率的近似值，即可计算出袋中白球可能的个数．
【详解】（1）解：，；
补充完整表格如下：
摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500
摸出白球的频数 14 26 128 198 267 332 399 500
摸出白球的频率
（2）解：折线统计图如下：
由图知，摸出白球的概率估计值是；
故答案为：．
（3）解：由（2）知，摸出白球的概率估计值是，
则袋中200个球，白球可能为：（个）
故答案为：66．
【变式3】“五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究．
【确定调查方式】
（1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是______；（只填序号）
①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本
②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本
③随机抽取100个麦穗的长度作为样本
【整理分析数据】
（2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并将调查所得的数据整理如下：
试验田100个麦穗长度频率分布表
长度 频率
0.04
0.45
0.30
0.09
合计 1
根据以上图表信息，解答下列问题：
①频率分布表中的______；
②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）
【作出合理估计】
（3）请你估计长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为多少．
【答案】（1）③（2）①0.12，频数分布直方图见详解 （3）
【分析】本题主要考查了抽样调查的合理性，补全频数分布直方图的相关知识，掌握抽样调查以及读懂频数分布直方图是解题的关键．
（1）根据抽样调查的特点回答即可．
（2）①用1减去其他频率即可求出m的值．②先求出麦穗长度频率分布在之间的频数，然后即可补全频数分布直方图
（3）把长度不小于的麦穗的频率相加即可求解．
【详解】解：（1）∵抽样调查方式样本的选取需要的是广泛性和可靠性，
∴抽样调查方式合理的是随机抽取100个麦穗的长度作为样本，
故答案为：③
（2）①频率分布表中的，
故答案为：0.12，
②麦穗长度频率分布在之间的频数有：，
频数分布直方图补全如下：
（3），
故长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为．
考点9：统计概率综合
典例9：第六届天七数学文化节期间，学校开展了丰富多彩的游园活动．王老师为了解本班学生对华容道、数独、24点、七巧板这4项活动的喜爱情况，在本班学生中随机抽查部分学生，对他们最喜爱的游园项目（每人只选一项）进行问卷调查，将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图，A：华容道，B：数独，C：24点，D：七巧板）．请根据统计图解答下列问题：
(1)本次调查中，王老师一共调查了 名学生；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)为进一步优化游园活动，提升活动的体验感，王老师从被调查最喜爱A和D学生中分别选取一名学生分享参与文化节活动的感受与建议，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)20
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图；
（1）用条形统计图中B类别的人数除以扇形统计图中B的百分比可得共调查的学生人数．
（2）求出A类别中女生的人数，补全条形统计图即可．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）本次调查中，王老师一共调查了（名）．
故答案为：20．
（2）由题意得，A类别的人数为（人），
∴A类别中女生的人数为（人），
补全条形统计图如图1所示．
（3）列表如下：
男 女
男 （男，男） （男，女）
男 （男，男） （男，女）
女 （女，男） （女，女）
共有6种等可能的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的结果有3种，
∴恰好选中一名男生和一名女生的概率为．
【变式1】2021年，“碳中和，碳达峰”成为高频热词，为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图，请结合统计图，回答下列问题：
(1)参加这次调查的学生总人数为 人；
(2)扇形统计图中，B，C部分扇形所对应的圆心角分别是 ， ；
(3)将条形统计图补充完整；
(4)在D类的学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)40
(2)，
(3)见解析
(4)
【分析】（1）根据A类别人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
（2）用分别乘以B，C部分人数所占比例即可；
（3）由（2）的结果即可补全图形；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果为8种，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）参加这次调查的学生总人数为（人）
故答案为：40；
（2）扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是，
C部分人数为（人），
∴C部分扇形所对应的圆心角为，
故答案为：，；
（3）补全条形统计图如下：
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果为8种，
∴所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为．
【点睛】此题考查的是树状图法求概率以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．正确画出树状图是解题的关键．也考查了条形统计图和扇形统计图．
【变式2】2023年以来，受宏观政策利好等多重因素影响，旅游行业驶入全面复苏新通道．我校数学兴趣小组就“我最喜欢的清远旅游景点”随机调查了某小区居民，选取其中四个有名的旅游景点，分别为：A连州地下河；B连南千年瑶寨；C黄腾峡生态旅游区；D英德宝晶宫．每人只能从中选一个景点，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，解答下列问题：
(1)参与本次抽样调查的小区居民人数是______； B所在扇形的圆心角度数是______；
(2)请把条形统计图补充完整；
(3)若甲、乙两名游客从这四个景区中任选一个景区旅游，请用树状图或列表法求出他们选择同一景区的概率．
【答案】(1)150人；；
(2)图见解析；
(3)．
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键．
（1）由扇形统计图可得扇形统计图中D的百分比，用条形统计图中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得参与本次抽样调查的小区居民人数；用乘以B的人数所占的百分比，即可得出答案．
（2）求出选择景点人数，补全条形统计图即可．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及他们选择同一景区的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：扇形统计图中D的百分比为，
参与本次抽样调查的小区居民人数是（人．
所在扇形的圆心角度数是．
故答案为：150人；．
（2）选择A景点人数为（人．
补全条形统计图如图所示．
（3）列表如下：
共有16种等可能的结果，其中他们选择同一景区的结果有4种，
他们选择同一景区的概率为．
【变式3】打造书香文化，培养阅读习惯，某校举行了以“礼、才、恩”为主题的读书活动，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（：政史类，：文学类，：科技类，：艺术类，：其他类）．柳老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．

根据以上信息，解答下列问题：
(1)此次被调查的学生人数为________名，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，“科技类”所对应的圆心角度数是________度；
(3)若该校有名学生，请你估计最喜欢阅读文学类书籍的学生人数；
(4)甲同学从，，三类书籍中随机选择一种，乙同学从，，三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
【答案】(1)，补全条形统计图见解析；
(2)；
(3)估计最喜欢阅读文学类书籍的学生有人；
(4)．
【分析】（）根据的人数及所占比值求出总人数，总人数减去的人数，可求人数，再补全统计图即可；
（）乘以所占总人数的比值，即可求出“科技类”所对应的圆心角度数；
（）由该校共有学生人数乘以最喜欢阅读文学类书籍的学生人数所占的比例即可；
（）画树状图，共有种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有种，再由概率公式求解即可；
本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
【详解】（1）被调查的学生总人数为：（名），
∴：艺术类人数为（名），
补全条形统计图如图所示：

故答案为：；
（2）“科技类”所对应的圆心角度数为：，
故答案为：；
（3）∵（人），
∴估计最喜欢阅读文学类书籍的学生有人；
（4）画树状图如下：

由图可知，共有种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有种，即，，
∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为．
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专题01 概率的进一步认识
考点类型
知识一遍过
（一）概率的定义及计算公式
①概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率，记为=
②概率公式：随机事件A的概率。
（二）求概率的方法
（1）列表法：
当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，不重不漏地列举出所有可能的结果，再求出概率。
（2）树状法：
当试验中存在三个及以上的元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用画树状图的方式，不重不漏地列举出所有可能的结果，再求出概率。
（三）利用频率估计概率
大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率。
考点一遍过
考点1：列表、树状图求概率——摸球放回型
典例1：一个不透明的口袋中有三个小球，一个标有字母，另外两个都标有字母，所标字母不同外，其它完全相同，小明和小刚做摸球游戏，小明从中随机摸出一个小球记下字母后放回并搅匀，小刚再随机摸出一个小球，两次摸出的小球所标字母相同则小明赢，所标字母不同则小刚赢．
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，表示出所有可能出现的结果：
(2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【变式1】一个不透明的口袋中装有个红球和个白球，这些球除颜色外其它完全相同．
(1)从中随机摸出个球是白球的概率为 ．
(2)从中随机摸出个球，记下颜色后放回，摇匀后再随机摸出个球，记下颜色．求两次摸出的球颜色相同的概率．（请用画树状图或列表等方法给出分析过程）
【变式2】某校在七年级各班开展了“红五月、唱红歌、颂祖国”合唱比赛，小明、小红和小亮都想成为本次活动的“班级领唱”（三个人的演唱水平都一样），为了决定让谁来“领唱”，王老师设计了一个摸球游戏：在一个不透明的袋子里装有除颜色外其余均相同的一黄、一白两个乒乓球，三个人先后从袋子中摸出一个乒乓球，记下颜色后放回，下一个人再摸，然后记下颜色，重复这样的过程，直至三个人都记下所摸出乒乓球的颜色时，游戏结束．王老师说如果摸出“两黄一白”小明领唱，如果摸出“两白一黄”小亮领唱，如果摸出“三个同色”则小红领唱，你认为王老师的方案是否公平？请用树状图说明理由．
【变式3】一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．
(1)直接写出两次取出的小球标号的和等于5的概率；
(2)若摸取第一个小球后不放回，请用列表或画树状图法求两次取出的小球标号的和等于5的概率．
1 2 3 4
1 —— (2，1) (3，1) (4，1)
2 (1，2) —— (3，2) (4，2)
3 (1，3) (2，3) —— (4，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) ——
考点2：列表、树状图求概率——摸球不放回型
典例2：某中学为减轻学生的学习压力，准备组织初三年级周末进行徒步活动，现已想好两个徒步地点：长虫山、抚仙湖．准备以抽签的方式决定徒步地点．规则为：一个不透明纸箱里，装有型号完全相同的3个红球和2个黑球，先后从纸箱里摸出两个球（不放回），若两次所摸球的颜色相同，则去长虫山；否则，去抚仙湖．
(1)求第一次摸到红球的概率为________；
(2)请用树状图或者列表表示出所有摸球的结果；
(3)请用概率知识判断两个徒步地点被选中的可能性是否相同？若不相同，你认为更容易选中哪个地点．
【变式1】某超市为回馈广大消费者，在开业周年之际举行摸球抽奖活动．摸球规则如下：在一只不透明的口袋中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后先从中任意摸出1个球(不放回)，再从余下的2个球中任意摸出1个球．
(1)请用画树状图或列表的方法列出所有等可能出现的结果；
(2)活动设置了一等奖和二等奖两个奖次，一等奖的获奖率低于二等奖．现规定摸出颜色不同的两球和摸出颜色相同的两球分别对应不同奖次，请写出它们分别对应的奖次，并说明理由．
【变式2】不透明的口袋里装有如图所示的标有数字的三种颜色的小球（大小、形状相同），其中红球有个，蓝球有个，现从中任意摸出一个是红球的概率为．
(1)求袋中黄球的个数；
(2)第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用树状图法或列表法求两次摸到都是红球的概率；
(3)若小明共摸次球（每次摸个球，摸后放回），球面得分之和为，问：小明有哪几种摸法？（只考虑分数的组合，不考虑个球被摸出的先后顺序）
【变式3】在一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”“丽”“山”“西”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
(1)若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“山”的概率为________．
(2)甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图(或列表法)，求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“山西”的概率；
(3)乙从中任取一球，记下汉字后再放回口袋中，然后再从中任取一球，记下取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“山西”的概率为，不画树状图或列表，写出的值，并比较，的大小．
考点3：列表、树状图求概率——转盘抽奖型
典例3：某家电商场举办年终促销活动，其中之一是消费满3500元参与抽奖活动，抽奖活动设置的翻奖牌的正面、背面如图所示．
(1)抽奖得到“手机”的概率是 ；
(2)请你设计一个翻奖牌，包含“手机”“空气炸锅”“护眼灯”“洗衣液”“谢谢参与”，使得最后抽到“护眼灯”的概率是 ．
【变式1】如图，现有一转盘被平均分成八等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．

(1)转动转盘，转出的数字不大于4的概率是_______；
(2)小明和小强玩转盘游戏，转出的数字为2的倍数小明胜，为3的倍数小强胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请你设计出公平的游戏规则．
【变式2】5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，主办方设了6个展馆，分别是：A国际综合馆，B东数西算馆，C数字产业馆，D产业数字馆，E创新场景馆，F数字生活馆，某校七年级某班同学计划参观其中一个展馆．
(1)如图①，小红设计了一个均匀的转盘被等分成6个扇形，用字母A，B，C，D，E，F分别表示六个展馆，转动转盘，当转盘停止后，指针落在某一区域，就参观相应的展馆．若转动转盘，指针落在“E创新场景馆”区域的概率是 ；
(2)小红希望转动转盘时，指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，同时又要让每个展馆都有被选中的机会，于是设计了被等分成8个扇形的如图②所示的转盘，请按小红的要求在图②的扇形中填上代表各展馆的字母，并求出指针落在“A国际综合馆”区域的概率．
【变式3】某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案：
方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品；
方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转）
(1)若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为________；
(2)若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果；
(3)如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由．
考点4：列表、树状图求概率——比赛型
典例4：贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．
【变式1】甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题，
(1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率；
(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？
【变式2】某篮球运动员去年共参加40场比赛，其中3分球的命中率为0.25，平均每场有12次3分球未投中．
(1)该运动员去年的比赛中共投出多少个3分球？共投中多少个3分球？
(2)在其中的一场比赛中，该运动员3分球共出手20次，小明说，该运动员这场比赛中一定投中了5个3分球，你认为小明的说法正确吗？请说明理由．
【变式3】杨华与季红用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，同时抽出两张．规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1分；当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，季红得1分（如图2）．问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？
考点5：列表、树状图求概率——卡片型
典例5：在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为、0、1，卡片除了数字不同外，其余都相同．
(1)从盒子中随机抽取一张卡片，抽中负数的概率是多少？
(2)先从盒子中随机抽取一张卡片，卡片不放回，再随机抽取一张卡片，请你用列表或画树状图的方法，求出两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的概率．
【变式1】人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动，人工智能市场在应用领域分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同）将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上从中随机抽取一张，记录卡片的内容质放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．
【变式2】甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，赵星在了解甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．

(1)赵星从中随机抽取一张卡片，所抽取的卡片上的文字是“文”的概率为______．
(2)赵星从中随机抽取一张卡片不放回，张涵再从中随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率．
【变式3】现有五张背面完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字，2，3，把这五张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
(1)随机抽取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为正数的概率；
(2)先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点Q的横坐标，再从剩下的卡片中随机抽取一张，其上的数字作为点Q的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点Q在第二象限内的概率．
考点6：列表、树状图求概率——实际应用型
典例6：在学校开展的数学活动课上，小明、小红和小刚制作了一个正三棱锥(质量均匀，4个面完全相同)，并在各个面上分别标记数字1，2，3，4，游戏规则如下：小明和小刚投掷三棱锥各1次，并记录底面的数字，如果两次投掷所得底面数字相等，那么重新投掷；如果两次投掷所得底面数字的和小于5，那么小明赢；如果两次投掷所得底面数字的和等于5，那么小红赢；如果两次投掷所得底面数字的和大于5，那么小刚赢．
(1)投掷1次，底面数字出现3是 事件(填“不可能”“必然”或“随机”)；投掷两次，底面数字和为5的概率为 ．
(2)请用列表或画树状图的方法表示上述游戏中所有可能出现的结果，分别求出小明、小红和小刚赢的概率，并判断此游戏对三人是否公平．
1 2 3 4
1 3 4 5
2 3 5 6
3 4 5 7
4 5 6 7
【变式1】2024年4月23日是第29个世界读书日．为了营造多读书、读好书的氛围，我校举办了第十届校园读书节．在班级组织的“读书分享会”活动中，小明和小华都想当主持人，但只有一个名额、小华建议用游戏的方法来选人，如图，现有一个圆形转盘被平均分成份，分别标有、、、、、这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转），求：
(1)转动转盘一次，转出的数字为的概率是______；
(2)若小明转动两次后转到的数字分别是和，小明再转动一次，转出的数字与前两次转出的数字分别作为三条线段的长度（长度单位均相同），则这三条线段能构成等腰三角形的概率是______；
(3)自由转动转盘，若转出的数字是偶数，小明参加；若转出的数字大于，小华参加；你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【变式2】2024年5月18日是第48个国际博物馆日，主题为“博物馆致力于教育与研究”本届国际博物馆日中国主会场定于陕西历史博物馆秦汉馆．为了提升博物馆的服务质量，以便更好地发挥其文化宣扬和传承方面的作用，某博物馆面向社会招募志愿者．某校现有10名志愿者准备参加该博物馆志愿服务工作，其中男生6人，女生4人．
(1)若从这10名志愿者中随机选取一人作为联络员，则选到女生的概率为______；
(2)若该博物馆的某项工作只在甲、乙两名志愿者中选一名，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2、3、4、5的扑克牌（背面完全相同）洗匀后，数字朝下放于桌面，甲先从四张牌中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的牌中随机抽取一张，若所抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则，乙参加．请用画树状图或列表法说明该游戏对双方公平吗？
【变式3】某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，对八、九年级学生进行了航天科普知识竞赛（百分制），并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）其中，八年级20名学生的成绩是：96，80，96，91，99，96，90，100，89，82，85，96，87，96，84，81，90，82，86，94．
九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，92，92，93，94．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 90 90 b 38.7
九年级 90 c 100 38.1
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述a、b、c的值：_____，____，____；
(2)若该校九年级共1400人参加了此次航天科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀的九年级学生人数．
(3)为了激发学生对航天科技的兴趣，学校决定派一个年级去内蒙古展览馆参观航天成果展，特为八年级和九年级的学生设计了一个转盘游戏，各年级分别派一名代表摸奖，获胜年级参观展览．具体规则如下：其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9，如图所示．具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给八年级，否则票给九年级（指针指在线上重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平．
考点7：列表、树状图求概率——其他应用型
典例7：小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏。他们用四个字母做成枚棋子，如图，棋子A有1枚，棋子B有2枚，棋子C有3枚，棋子D有4枚．“字母棋”的游戏规则如下：①游戏时两人各摸一枚棋子进行比赛称为一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；②棋子A胜棋子B、棋子C，棋子B胜棋子C、棋子D，棋子C胜棋子D，棋子D胜棋子A；③相同棋子不分胜负．

(1)若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是多少
(2)已知小玲先摸到了棋子C，小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，这一轮小玲胜小军的概率是多少
(3)当小玲摸到什么棋子时，胜小军的概率最大
【变式1】疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．现在学校需在东门、南门和西门分别增加一人测温，甲、乙、丙三人被随机增派到三个校门测温．小明每天走东门进校，小丽每天走西门进校．请用所学概率知识解决下列问题：
（1）写出甲、乙、丙被分配到三个校门测温的所有可能结果；
（2）小明、小丽两人中，进校时谁遇到甲的可能性大？请说明理由．
【变式2】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：（为了方便记录，把a≤x＜b记作：[a，b）．）
最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
【变式3】福州第十九中学每年的校园科学文化艺术节中的“爱心义卖会”活动，是学校同学们表现爱心的重要活动，在2021年的义卖会上，九年某班的同学设计了一个“爱心盲盒大抽奖”的活动，其规则如下：通过购买爱心小盲盒，每个爱心小盲盒3元，根据小盲盒内事先藏好的数字，可以进行兑奖，而每一位参与活动的同学都有4个小盲盒可以选择，其中一个小盲盒藏有数字4，可以兑换4元，有一个小盲盒藏有数字2，可以兑换2元，剩余的两个小盲盒藏有数字1，可以兑换1元，每位同学最多只能买2个小盲盒．
(1)张同学购买了两个小盲盒，用列表法或树状图的方法求出求他购买的第1个小盲盒里藏有数字4的概率：______；
(2)李同学手上有7元，请用概率统计的知识说明，从李同学最终在手上的钱的平均值为依据，她是买一个小盲盒好，还是两个小盲盒好．
考点8：利用频率估计概率
典例8：一个不透明的袋子中装有4个质地大小均相同的小球，这些小球分别标有数字4、5、6、，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个小球，并计算摸出的这2个小球上的数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验．试验数据如下表：
摸球总次数 10 20 60 120 180 240 330 450
“和为10”出现的频数 2 10 24 37 58 82 110 150
“和为10”出现的频率 0.20 0.50 0.40 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33
解答下列问题：
(1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为10”的频率趋于稳定．请估计出现“和为10”的概率是______；
(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为11的概率是，那么的值可以取8吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果的值不可以取8，请写出一个符合要求的值．
【变式1】某研发机构新培育了一种玉米种子，在相同条件下该种玉米种子发芽的试验结果如图所示．
根据试验结果回答下列问题．
(1)估计这种玉米种子发芽的概率是______（精确到0.1）．
(2)如果该种玉米种子发芽后的成秧率为，那么在相同条件下种10000粒该种玉米种子大约可得到多少棵玉米秧苗？
【变式2】一只不透明的袋子中装有若干个白球和其他颜色的球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中摸出一个球，然后放回摇匀再摸，在摸球实验中得到下列表中的部分数据：
摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500
摸出白球的频数 14 26 128 198 267 399 500
摸出白球的频率
(1)请将表补充完整；
(2)画出“摸出白球”的频率折线统计图，得摸出白球的概率估计值是 ；（精确到到0.01）
(3)若袋中共有200个球，则袋中可能有 个白球．
摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500
摸出白球的频数 14 26 128 198 267 332 399 500
摸出白球的频率
【变式3】“五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究．
【确定调查方式】
（1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是______；（只填序号）
①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本
②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本
③随机抽取100个麦穗的长度作为样本
【整理分析数据】
（2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并将调查所得的数据整理如下：
试验田100个麦穗长度频率分布表
长度 频率
0.04
0.45
0.30
0.09
合计 1
根据以上图表信息，解答下列问题：
①频率分布表中的______；
②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）
【作出合理估计】
（3）请你估计长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为多少．
考点9：统计概率综合
典例9：第六届天七数学文化节期间，学校开展了丰富多彩的游园活动．王老师为了解本班学生对华容道、数独、24点、七巧板这4项活动的喜爱情况，在本班学生中随机抽查部分学生，对他们最喜爱的游园项目（每人只选一项）进行问卷调查，将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图，A：华容道，B：数独，C：24点，D：七巧板）．请根据统计图解答下列问题：
(1)本次调查中，王老师一共调查了 名学生；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)为进一步优化游园活动，提升活动的体验感，王老师从被调查最喜爱A和D学生中分别选取一名学生分享参与文化节活动的感受与建议，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
【变式1】2021年，“碳中和，碳达峰”成为高频热词，为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图，请结合统计图，回答下列问题：
(1)参加这次调查的学生总人数为 人；
(2)扇形统计图中，B，C部分扇形所对应的圆心角分别是 ， ；
(3)将条形统计图补充完整；
(4)在D类的学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
【变式2】2023年以来，受宏观政策利好等多重因素影响，旅游行业驶入全面复苏新通道．我校数学兴趣小组就“我最喜欢的清远旅游景点”随机调查了某小区居民，选取其中四个有名的旅游景点，分别为：A连州地下河；B连南千年瑶寨；C黄腾峡生态旅游区；D英德宝晶宫．每人只能从中选一个景点，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，解答下列问题：
(1)参与本次抽样调查的小区居民人数是______； B所在扇形的圆心角度数是______；
(2)请把条形统计图补充完整；
(3)若甲、乙两名游客从这四个景区中任选一个景区旅游，请用树状图或列表法求出他们选择同一景区的概率．
【变式3】打造书香文化，培养阅读习惯，某校举行了以“礼、才、恩”为主题的读书活动，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（：政史类，：文学类，：科技类，：艺术类，：其他类）．柳老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．

根据以上信息，解答下列问题：
(1)此次被调查的学生人数为________名，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，“科技类”所对应的圆心角度数是________度；
(3)若该校有名学生，请你估计最喜欢阅读文学类书籍的学生人数；
(4)甲同学从，，三类书籍中随机选择一种，乙同学从，，三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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