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专题03 概率进一步认识单元过关（培优版）
考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．如图所示的电路图中，当随机闭合，，，中的两个开关时，灯泡能发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让灯泡发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，能让灯泡发光的有6种情况，
∴能让灯泡发光的概率为．
故选：C．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
2．为了监测PM2.5的值对人民的危害，我市准备成立监测小组，决定从包含甲的5位技术人员中抽调3人组成监测小组，则甲一定抽调到监测小组的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由从包含甲的5位技术人员中抽调3人组成监测小组，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】∵从包含甲的5位技术人员中抽调3人组成监测小组，
∴甲一定抽调到监测小组的概率是：．
故选C．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3．如图，飞镖投一个被平均分成6份的圆形靶子，那么飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出阴影部分面积占圆形靶子面积的比例，根据这个比例即可求解．
【详解】∵阴影部分面积占圆形靶子面积的
∴飞镖落在阴影部分的概率是
故选：C．
【点睛】本题主要考查几何概率的计算：解题的关键是正确理解阴影部分面积占圆形靶子面积的比例即为飞镖落在阴影部分的概率．
4．在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2，那么可以估算出m的值为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】D
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可．
【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2，
∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为0.2，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率．
5．在一个不透明的袋子里装有2个红球1个黄球，这3个小球除了颜色不同外，其它都相同，贝贝同学摸出一个球后放回口袋再摸一个；莹莹同学一次摸2个球，两人分别记录下小球的颜色，关于两个摸到1个红球1个黄球和2个红球的概率的描述中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】【分析】根据题意用列表法表示出贝贝摸出球的所有可能结果，根据表格可知所有等可能的结果共有9中种，其中贝贝摸到1红1黄的共有4种，贝贝摸到2红的共有4种，根据概率公式即可得出贝贝摸到1红1黄的概率及贝贝摸到2红的概率；莹莹同学一次摸2个球，一共有3种情况：红1红2，红1黄，红2黄.根据概率公式即可得出莹莹摸到1红1黄的概率及莹莹摸到2红的概率，再将它们的概率进行比较即可.
【详解】不透明的袋子里装有2个红球1个黄球，贝贝同学摸出一个球后放回口袋再摸一个，
红1 红2 黄
红1 红1，红1 红2，红1 黄，红1
红2 红1，红2 红2，红2 黄，红2
黄 红1，黄 红2，黄 黄，黄
一种9种结果， P（贝贝摸到1红1黄）=，P（贝贝摸到2红）=，
莹莹同学一次摸2个球，一共有3种情况：红1红2，红1黄，红2黄，
P（莹莹摸到1红1黄）=， P（莹莹摸到2红）=，
A. ，错误，
B. ，错误，
C. ，错误，
D. ，正确，
故选D.
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点是：概率=所求情况数与总情况数之比．
6．不透明的袋中装有个分别标有数字，，的小球，这些球除数字不同外，其它均相同．从中随机取出一个球，以该球上的数字作为十位数，再从袋中剩余个球中随机取出一个球，以该球上的数字作为个位数，所得的两位数大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与20比较大小，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，所得数字比20大的有4种情况，
∴所得的两位数大于20的概率为.
故选D.
【点睛】考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
7．在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题解析：根据题意可得：口袋里共有12只球，其中白球2只，红球6只，黑球4只，故从口袋中取出一个球是黑球的概率：P（黑球）=.
故选B.
【点睛】本题考查概率的求法与运用．一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率：P(A)=.
8．如图①为三等分的圆形转盘，图②为装有小球（小球除颜色不同外，其他均相同）的不透明口袋，随机转动转盘一次，然后再从不透明的口袋中随机摸出一个球，则指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】这是一个两步概率问题，根据列表得出全部等可能的结果，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意，列表如下：
蓝球1 蓝球2 红球
红1 （红1，蓝球1） （红1，蓝球2） （红1，红球）
红2 （红2，蓝球1） （红2，蓝球2） （红2，红球）
蓝 （蓝，蓝球1） （蓝，蓝球2） （蓝，红球）
由表可知，共有9种等可能的结果，其中指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色的结果有2种，
（指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色），
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
9．如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积．
【详解】p由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.35，于是把0.35作为概率．
设不规则图案的面积为xcm2，则有
解得：x=14
即不规则图案的面积为14cm2．
故选：B．
【点睛】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于0.35附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．
10．某中学初三年级四个班，四个数学老师分别任教不同的班．期末考试时，学校安排统一监考，要求同年级数学老师交换监考，那么安排初三年级数学考试时可选择的监考方案有（　　）种．
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【分析】可分4个位置，对于每个位置做出可能的判断，列出树状图即可．
【详解】设4个班级分别为A、B、C、D，相对应的4个老师分别为a，b，c，d，画树状图为：
由图中可以看出，共有9种情况．
故选B．
【点睛】本题考查了用列树状图的方法解决问题，注意应去掉本班教师监考本班学生的排法.
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是 ．
【答案】
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把、、分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即、、、，
∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，列出树状图是解题的关键．
12．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，分别记下向上的面的点数，得到的点数之和为3的概率是 ．
【答案】
【分析】列举出所有情况，看掷得面朝上的点数之和是3的情况占总情况的多少即可．
【详解】解：列表如下：
显然和为3的情况共有2种，总情况数为36种，得到的点数之和为3的概率是．
故答案为：．
【点睛】此题考查采用列表法或者采用树状图法求概率，还用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，正确列表或画树状图是解题的关键．
13．从某鱼塘捕鱼条后做好标记放回，隔一段时间再捕条鱼，发现其中带标记的有条，那么鱼塘中约有 条鱼．
【答案】2000
【分析】带标记鱼的频率近似等于概率．利用概率求出鱼塘中鱼的总数即可.
【详解】设池中有x条鱼，
带标记的鱼的概率近似等于，解得x=2000，
故鱼塘中约有2000条鱼.
故答案为2000
【点睛】本题考查利用频率估算概率，得到带标记的鱼的概率是解题关键．
14．一个不透明的袋子中装有4个小球，上面分别标有数字-2，-1，1，2，小球除所标数字不同外，其他完全相同.摇匀后从中随机摸出一球，记下数字为a，不放回，再随机摸出一球，记下数字为b，以此来确定点M的坐标为（a，b），则点M落在直线y＝x+1上的概率为
【答案】
【分析】通过列表得出所有等可能结果即可，找出落在直线上的情况数，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：列表如下：
-2 -1 1 2
-2 (-1，-2) (1，-2) (2，-2)
-1 (-2，-1) (1，-1) (2，-1）
1 (-2，1) (-1，1) (2，1)
2 (-2，2) (-1，2) (1，2)
由表知，共有12种等可能结果，在直线上的情况有：(-2，-1)，(1，2)，共2中，
所以满足条件的概率为：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，以及判断点是否在一次函数图象上．理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
15．在一个暗箱里放有m个大小相同、质地均匀的白球，为了估计白球的个数，再放入3个同白球大小、质地均相同，只有颜色不同的黄球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，推算m的值大约是 ．
【答案】7
【分析】根据频率可估算出摸到黄球的概率为30%，根据概率公式列方程求出m的值即可得答案．
【详解】∵大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，
∴摸到黄球的概率为30%，
∴=30%，
解得：m=7，
故答案为：7
【点睛】本题考查了用频率估计概率及概率公式，大量重复的试验中，频率是一个比较稳定的值，它可以估计事件的概率；熟练掌握概率公式是解题关键．
16．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图的“风车”图案（阴影部分）．若图中的四个直角三角形的较长直角边为，较短直角边为，现随机向图大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．
【答案】
【分析】此题考查了几何概率，根据题意易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可求解，求出阴影区域的面积是解题的关键．
【详解】解：如图，
由题意可知，，，
∴，
∴，
则中间小正方形的面积为，
小正方形的外阴影部分的，
∴阴影部分的面积为，
∴针尖落在阴影区域的概率为，
故答案为：．
评卷人得分
三、解答题
17．一只不透明的袋子中装有标号分别为1、2、3、4、5的5个小球，这些球除标号外都相同．
（1）从袋中任意摸出一个球，摸到标号为偶数的概率是　 ；
（2）先从袋中任意摸出一个球后不放回，将球上的标号作为十位上的数字，再从袋中任意摸出一个球，将球上的标号作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数是奇数的概率．
【答案】（1）；（2）组成的两位数是奇数的概率为．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有20种等可能的结果数，找出组成的两位数是奇数的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】解：（1）从袋中任意摸出一个球，摸到标号为偶数的概率；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中组成的两位数是奇数的结果数为12，
所以组成的两位数是奇数的概率．
【点睛】本题主要考查了列表法与树状图法求概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
18．为感受华夏五千年的文明脉络，某校组织学生开展“璀璨历史，古都魅力”的研学之旅，策划了三条研学路线让学生选择：A．秦文化，走进秦始皇兵马俑；B．唐文化，走在丝路上的传奇；C．汉文化，走进汉长安城未央宫遗址．每人只能选择一条线路，小明和小红两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了三张不透明的卡片，正面分别写上字母，代表线路，卡片除了正面的字母以外其余完全相同，将三张卡片正面向下洗匀，小明先随机抽取一张卡片，记下字母后放回、洗匀，小红再随机抽取一张卡片．请用画树状图或者列表法，求两人抽到同一路线的概率．
【答案】
【分析】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有9种等可能的结果，其中两人抽到同一路线的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：依题意，画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中小明和小红两人都抽到相同字母的结果有3种，即两人抽到同一路线的结果有3种，
∴两人抽到同一路线的结果的概率是．
19．小聪和小明周末相约到泰兴银杏公园晨练，这个公园有，，三个入口，她们可随机选择一个入口进入公园，假设选择每个入口的可能性相同．
(1)小聪进入泰兴银杏公园时，从入口处进入的概率为______；
(2)用树状图或列表法，求她们两人选择不同入口进入泰兴银杏公园的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据概率计算公式进行求解即可；
（2）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，然后找到她们两人选择不同入口进入泰兴银杏公园的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵一共有A、B、C三个入口，进入每个入口的概率相同，
∴小聪进入泰兴银杏公园时，从入口处进入的概率为，
故答案为：；
（2）解：列表如下：
由表格可得一共有种等可能性的结果数，其中她们两人选择不同入口进入泰兴银杏公园的结果数有种，
∴她们两人选择不同入口进入泰兴银杏公园的概率．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键．
20．邮票素有“国家名片”之称，2022年北京冬奥会和2022年卡塔尔世界杯均发行了相关邮票，如图分别是两张冬奥会和两张世界杯的邮票．

某班级举行一个关于两次盛会的有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品．
(1)在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“北京冬奥会冰墩墩邮票”的概率为______．
(2)在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到的都是“卡塔尔世界杯”的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式；
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽到的都是“卡塔尔世界杯”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得，恰好抽到“北京冬奥会冰墩墩邮票”的概率是．
故答案为：．
（2）将枚邮票分别记为，，，，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽到的都是“卡塔尔世界杯”的结果有：，共种，
∴恰好抽到的都是“卡塔尔世界杯”的概率为．
21．某校在举行运动会时成立了志愿者服务队，设立四个服务监督岗：．安全监督岗；．卫生监督岗；．文明监督岗；．检录服务岗．小明和小丽报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
(1)小明被分配到文明监督岗的概率为___________；
(2)用列表法或画树状图法，求小明和小丽被分配到同一个服务监督岗的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到小明和小丽被分配到同一个服务监岗的结果，再利用概率公式求解即可．
【详解】（1）∵设立了四个“服务监督岗”，而“文明监督岗”是其中之一，
∴小明被分配到“文明监督岗”的概率为．
（2）根据题意列表如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小丽被分配到同一个服务监岗的结果数为4，
所以小明和小丽被分配到同一个服务监岗的概率是：．
【点睛】本题主要考查用列表法或画树状图法求概率，理清题意，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．
22．如图，A、B、C、D四张卡通图片是西安进行核酸检测的贴纸“清零四宝”，卡片的正面分别印有A：大熊猫，B：金丝猴，C：羚牛，D：朱鹮这四个图案（这四张卡片除正面图安外，其余都相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀．
(1)从中随机抽取一张，抽得的卡片是“大熊猫”图案的概率是 ；
(2)若从这四张卡通图片中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张中随机抽取一张，请利用画树状图或列表的方法，求这两张卡片上的动物均为哺乳动物的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）先画树状图得到所有的等可能性的结果数，然后找到两张卡片上的动物均为哺乳动物的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：∵一共有四张卡片，每张卡片被抽到的概率是一样，
∴从中随机抽取一张，抽得的卡片是“大熊猫”图案的概率是；
（2）解：列树状图如下所示：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中两张卡片上的动物均为哺乳动物（A、B、C是哺乳动物）的结果数有6种，
∴两张卡片上的动物均为哺乳动物的概率为．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，列表法或树状图法求解概率，熟知概率的相关知识是解题的关键．
23．湘江中学九年级开展了“读一本好书”的活动，通过抽样对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类别，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了如图不完整的频数分布表和扇形统计图．
类别 频数（人数） 频率
小说 0.5
戏剧 4
散文 10 0.25
其他 6
合计 m 1
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)计算：m＝　 　；
(2)在扇形统计图中，“戏剧”类所占的百分比为　 　；
(3)在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从中任意选出2名同学参加学校的戏剧社团，请用画树状图或列表的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率．
【答案】(1)40
(2)10%
(3)
【分析】（1）用散文的频数除以其频率即可求得样本总数m；
（2）用喜欢戏剧的人数除以样本总数即可求得喜欢戏剧的百分比；
（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是乙与丙的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：∵喜欢散文的有10人，频率为0.25，
∴m＝10÷0.25＝40；
故答案为：40；
（2）解：∵喜欢戏剧的有4人，
∴“戏剧”类所占的百分比为×100%＝10%；
故答案为：10%；
（3）解：画树状图，如图所示：
所有等可能的情况有12种，其中恰好是乙与丙的情况有2种，
则P（乙和丙）＝＝．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
24．为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A，，三种午餐供师生选择，单价分别是10元，12元，15元，为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A，，三种午餐购买情况的数据制成统计表，又根据过去平均每份午餐的利润与周销售量之间的关系绘制成条形统计图：
种类 数量（份）
A 1800
2300
900
请你根据以上信息，解答下列问题：
(1)该校师生上周购买午餐费用的中位数是______．
(2)为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人只能选择两种不同的午餐交替食用，试通过列表或画树状图的方法求该校学生小芳选择“”组合的概率；
(3)经分析与预测，该校师生购买午餐的种类与数量相对稳定．根据规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价．
①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价；
②为了便于操作，配餐公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，请问应把哪一种午餐的单价调整为多少元？
【答案】(1)12
(2)
(3)①需要；②应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润不超过且更接近3元
【分析】（1）中位数要求将三种午餐价格从小到大排列，找到最中间的一个数字；
（2）根据题意画树状图，即可解答；
（3）①根据条形统计图找到A、B、C的利润，算出总利润并除以总人数，计算平均利润，与3元对比即可；②对于调低单价，对A、B、C三种午餐分别计算每个降价1元之后的利润，要明白降的越多，距离3元的利润越远的道理，因此在A、B、C三种午餐分别降价1元时比较哪种情况更符合要求即可作答．
【详解】（1）解：全校师生上周购买午餐的份数为（份），
对于5000份数据，按照从小到大排列后，中位数为第2500和2501个数的平均数，通过统计表知，（A+B）一共为（份），因此中位数为B午餐的费用，即为12．
故答案为：12；
（2）树状图如下：

根据树状图能够得到共有6种情况，其中“BC”组合共有2种情况，
∴小芳选择“”组合的概率为；
（3）①根据条形统计图得知，A的利润为2元，B的利润为4元，C的利润为3元，
平均利润为：（元），
∵，因此应调低午餐单价；
②假设调低A单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
调低B单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
调低C单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
当A、B、C调的越低，利润就越低，因此距离3元的利润就会越远，故最低即为降低1元；为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，综上所述，应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元．
【点睛】本题主要考查了中位数的概念及求法、统计表和条形统计图的综合运用、用列表法或树状图法求概率等知识，学会综合运用条形统计图和统计表，得到要分析的数据是解题的关键．
25．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
【答案】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜，；（2）不是，田忌获胜的所有对阵是，，，，，，
【分析】（1）通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率；
（2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率．
【详解】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜．
此时，比赛的所有可能对阵为：
，，
，，共四种．
其中田忌获胜的对阵有
，，共两种，
故此时田忌获胜的概率为．
（2）不是．
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是．
综上所述，田忌获胜的所有对阵是
，，，
，，．
齐王的出马顺序为时，比赛的所有可能对阵是
，，，
，，，
共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵，
所以，此时田忌获胜的概率．
【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查推理能力、应用意识，考查统计与概率思想；通过列举所有对阵情况，求得概率是解题的关键．
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专题03 概率进一步认识单元过关（培优版）
考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．如图所示的电路图中，当随机闭合，，，中的两个开关时，灯泡能发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．为了监测PM2.5的值对人民的危害，我市准备成立监测小组，决定从包含甲的5位技术人员中抽调3人组成监测小组，则甲一定抽调到监测小组的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，飞镖投一个被平均分成6份的圆形靶子，那么飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2，那么可以估算出m的值为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．20
5．在一个不透明的袋子里装有2个红球1个黄球，这3个小球除了颜色不同外，其它都相同，贝贝同学摸出一个球后放回口袋再摸一个；莹莹同学一次摸2个球，两人分别记录下小球的颜色，关于两个摸到1个红球1个黄球和2个红球的概率的描述中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．不透明的袋中装有个分别标有数字，，的小球，这些球除数字不同外，其它均相同．从中随机取出一个球，以该球上的数字作为十位数，再从袋中剩余个球中随机取出一个球，以该球上的数字作为个位数，所得的两位数大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图①为三等分的圆形转盘，图②为装有小球（小球除颜色不同外，其他均相同）的不透明口袋，随机转动转盘一次，然后再从不透明的口袋中随机摸出一个球，则指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（ ）
A． B． C． D．
10．某中学初三年级四个班，四个数学老师分别任教不同的班．期末考试时，学校安排统一监考，要求同年级数学老师交换监考，那么安排初三年级数学考试时可选择的监考方案有（　　）种．
A．8 B．9 C．10 D．12
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是 ．
12．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，分别记下向上的面的点数，得到的点数之和为3的概率是 ．
13．从某鱼塘捕鱼条后做好标记放回，隔一段时间再捕条鱼，发现其中带标记的有条，那么鱼塘中约有 条鱼．
14．一个不透明的袋子中装有4个小球，上面分别标有数字-2，-1，1，2，小球除所标数字不同外，其他完全相同.摇匀后从中随机摸出一球，记下数字为a，不放回，再随机摸出一球，记下数字为b，以此来确定点M的坐标为（a，b），则点M落在直线y＝x+1上的概率为
-2 -1 1 2
-2 (-1，-2) (1，-2) (2，-2)
-1 (-2，-1) (1，-1) (2，-1）
1 (-2，1) (-1，1) (2，1)
2 (-2，2) (-1，2) (1，2)
15．在一个暗箱里放有m个大小相同、质地均匀的白球，为了估计白球的个数，再放入3个同白球大小、质地均相同，只有颜色不同的黄球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，推算m的值大约是 ．
16．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图的“风车”图案（阴影部分）．若图中的四个直角三角形的较长直角边为，较短直角边为，现随机向图大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．
评卷人得分
三、解答题
17．一只不透明的袋子中装有标号分别为1、2、3、4、5的5个小球，这些球除标号外都相同．
（1）从袋中任意摸出一个球，摸到标号为偶数的概率是　 ；
（2）先从袋中任意摸出一个球后不放回，将球上的标号作为十位上的数字，再从袋中任意摸出一个球，将球上的标号作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数是奇数的概率．
18．为感受华夏五千年的文明脉络，某校组织学生开展“璀璨历史，古都魅力”的研学之旅，策划了三条研学路线让学生选择：A．秦文化，走进秦始皇兵马俑；B．唐文化，走在丝路上的传奇；C．汉文化，走进汉长安城未央宫遗址．每人只能选择一条线路，小明和小红两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了三张不透明的卡片，正面分别写上字母，代表线路，卡片除了正面的字母以外其余完全相同，将三张卡片正面向下洗匀，小明先随机抽取一张卡片，记下字母后放回、洗匀，小红再随机抽取一张卡片．请用画树状图或者列表法，求两人抽到同一路线的概率．
19．小聪和小明周末相约到泰兴银杏公园晨练，这个公园有，，三个入口，她们可随机选择一个入口进入公园，假设选择每个入口的可能性相同．
(1)小聪进入泰兴银杏公园时，从入口处进入的概率为______；
(2)用树状图或列表法，求她们两人选择不同入口进入泰兴银杏公园的概率．
20．邮票素有“国家名片”之称，2022年北京冬奥会和2022年卡塔尔世界杯均发行了相关邮票，如图分别是两张冬奥会和两张世界杯的邮票．

某班级举行一个关于两次盛会的有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品．
(1)在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“北京冬奥会冰墩墩邮票”的概率为______．
(2)在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到的都是“卡塔尔世界杯”的概率．
21．某校在举行运动会时成立了志愿者服务队，设立四个服务监督岗：．安全监督岗；．卫生监督岗；．文明监督岗；．检录服务岗．小明和小丽报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
(1)小明被分配到文明监督岗的概率为___________；
(2)用列表法或画树状图法，求小明和小丽被分配到同一个服务监督岗的概率．
22．如图，A、B、C、D四张卡通图片是西安进行核酸检测的贴纸“清零四宝”，卡片的正面分别印有A：大熊猫，B：金丝猴，C：羚牛，D：朱鹮这四个图案（这四张卡片除正面图安外，其余都相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀．
(1)从中随机抽取一张，抽得的卡片是“大熊猫”图案的概率是 ；
(2)若从这四张卡通图片中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张中随机抽取一张，请利用画树状图或列表的方法，求这两张卡片上的动物均为哺乳动物的概率．
23．湘江中学九年级开展了“读一本好书”的活动，通过抽样对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类别，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了如图不完整的频数分布表和扇形统计图．
类别 频数（人数） 频率
小说 0.5
戏剧 4
散文 10 0.25
其他 6
合计 m 1
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)计算：m＝　 　；
(2)在扇形统计图中，“戏剧”类所占的百分比为　 　；
(3)在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从中任意选出2名同学参加学校的戏剧社团，请用画树状图或列表的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率．
24．为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A，，三种午餐供师生选择，单价分别是10元，12元，15元，为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A，，三种午餐购买情况的数据制成统计表，又根据过去平均每份午餐的利润与周销售量之间的关系绘制成条形统计图：
种类 数量（份）
A 1800
2300
900
请你根据以上信息，解答下列问题：
(1)该校师生上周购买午餐费用的中位数是______．
(2)为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人只能选择两种不同的午餐交替食用，试通过列表或画树状图的方法求该校学生小芳选择“”组合的概率；
(3)经分析与预测，该校师生购买午餐的种类与数量相对稳定．根据规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价．
①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价；
②为了便于操作，配餐公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，请问应把哪一种午餐的单价调整为多少元？
25．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
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