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专题02 相似三角形的判定
考点类型
知识一遍过
（一）相似三角形的判定
相似三角形的判定
判定1：两个三角形对应边成比例，则这两个三角形相似 如图 ∵；∴
判定2：两个三角形有两个角对应相等，则这两个三角形相似 如图 ∵；∴
判定3：两个三角形有两边成比例，及其夹角相等，则这两个三角形相似 如图 ∵；；∴
考点一遍过
考点1：相似多边形
典例1：下列图形中，不一定相似的是（ ）
A．两条对角线的比相等的两个平行四边形
B．邻边之比相等的两个矩形
C．有一组角对应相等的两个菱形
D．四条边对应成比例且对应角相等的两个平行四边形
【答案】A
【分析】相似多边形要求各边对应成比例，各角对应相等，按照定义逐一判断即可．
【详解】A.两条对角线的比相等的两个平行四边形对应角不一定相等，不一定相似，故此选项符合题意；
B. 邻边之比相等的两个矩形各边对应成比例，各角对应相等，一定相似，故此选项不符合题意；
C.有一组角对应相等的两个菱形各边对应成比例，各角对应相等，一定相似，故此选项不符合题意；
D. 四条边对应成比例且对应角相等的两个平行四边形一定相似，故此选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查相似形，解题的关键熟悉四边形的性质．
【变式1】下列图形中不一定是相似图形的是（ ）
A．两个等边三角形 B．两个等腰直角三角形
C．两个菱形 D．两个正方形
【答案】C
【分析】根据相似多边形的定义判断即可．
【详解】因为两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等，
所以两个等边三角形一定相似，
故A不符合题意；
因为两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等，
所以两个等腰直角三角形一定相似，
故B不符合题意；
因为两个菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等，
所以两个菱形不一定相似，
故C符合题意；
因为两个正方形的对应边成比例，对应角相等，
所以两个正方形一定相似，
故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了相似多边形即对应边成比例，对应角相等的两个多边形，熟练掌握定义是解题的关键．
【变式2】下列图形都相似吗？为什么？
（1）所有的正方形都相似吗？
（2）所有的矩形都相似吗？
（3）所有的菱形都相似吗？
（4）所有的等边三角形都相似吗？
（5）所有的等腰三角形都相似吗？
（6）所有的等腰梯形都相似吗？
（7）所有的等腰直角三角形都相似吗？
（8）所有的正五边形都相似吗？
相似， 不一定相似．
【答案】 （1）（4）（7）（8） （2）（3）（5）（6）
【分析】根据正方形、矩形、菱形、等边三角形、等腰三角形、等腰梯形、等腰直角三角形及正五边形的性质进行判断即可．
【详解】解：（1）正方形的四条边相等，四个角都等于90°，所以对应边成比例，对应角都相等，所以所有的正方形都相似；
（2）矩形的四个角都等于90°，但对应边不一定成比例，所以所有的矩形不一定相似；
（3）菱形的四条边相等，对应边成比例，但对应角不一定相等，所以所有的菱形不一定相似；
（4）等边三角形的三条边相等，三个角都等于60°，所以所有的等边三角形的对应边都成比例，对应角都相等，所以所有的等边三角形都相似；
（5）等腰三角形的两条边相等，两个底角相等，但所有等腰三角形的对应边不一定成比例，对应角也不一定相等，所以所有的等腰三角形不一定相似；
（6）等腰梯形的两条腰相等，两对底角相等，但所有等腰梯形的对应边不一定成比例，对应角也不一定相等，所以所有的等腰梯形不一定相似；
（7）所有的等腰直角三角形都有两个45°角和一个90°角，所以所有等腰直角三角形的对应角都相等，所以所有的等腰直角三角形都相似；
（8）正五边形的五条边相等，五个角相等，所以所有对应边成比例，对应角都相等，所以所有的正五边形都相似．
所以（1）（4）（7）（8）一定相似；
（2）（3）（5）（6）不一定相似．
故答案为：（1）（4）（7）（8）；（2）（3）（5）（6）．
【点睛】本题考查了相似图形的知识，熟练掌握各特殊图形的性质是解题的关键，难度一般．
【变式3】我们已经学习了相似三角形，也知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形.比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．
现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，请指出其中哪几对是相似图形 .
【答案】①④
【分析】根据相似图形的定义，对题中所给图形一一分析，判断它们的边长、对角线等所有元素都是否对应成比例，从而选出正确答案．
【详解】①两个圆，所有元素都对应成比例，符合相似形的定义；
②两个菱形，边的比一定相等，而对应角不一定对应相等，故不是相似图形；
③两个长方形，对应角的度数一定相等，但对应边的比值不一定相等，故不是相似图形；
④两个正六边形，所有元素都对应成比例，符合相似形的定义．
∴①④是相似图形．
故答案为①④．
【点睛】本题考查的是相似图形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．
考点2：相似多边形的性质
典例2：如图，矩形被分割成个全等的矩形，若这个矩形都和矩形相似，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是相似多边形的性质，根据全等图形的性质得到，根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】解：设，
个小矩形全等，
，
每个小矩形都与矩形相似
，
，
，
：： ．
故选：B．
【变式1】如图，把矩形对折，折痕为，如果矩形和矩形相似，则它们的相似比为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，设矩形的长，宽，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得．
【详解】解：设矩形的长，宽，
则，
矩形与矩形相似，
，即，
即．
．
故选：A．
【变式2】如图，矩形被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形与原矩形相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：①对应角相等；②对应边的比相等是解题的关键．设，，则，求出，根据矩形与原矩形相似，得出，即，求出，即可得出答案．
【详解】解：设，，则，
即，
∴，
∵矩形与原矩形相似，
∴，
即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即原矩形的较长边与较短边的比值是．
故答案为：．
【变式3】如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似图形的相似比、勾股定理，设方格的边长为1，由勾股定理可得，，从而即可 求解，掌握相似比的定义是解题的关键．
【详解】解：设方格的边长为1，
则，，
五边形五边形，
∴五边形与五边形的相似比是为，
故答案为：．
考点3：相似三角形的判定条件
典例3：如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定方法，由角的和差得，由相似三角形的判定方法逐一判断，即可求解；掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解： ，
，
，
A.由两边对应成比例及其夹角相等的两三角形相似得，故不符合题意；
B.由两角对应成相等的两三角形相似得，故不符合题意；
C.无法判断，故符合题意；
D.由两角对应成相等的两三角形相似得，故不符合题意；
故选：C．
【变式1】如图，不能使得成立的条件是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
A、∵，，∴，故不符合题意；
B、∵，，∴，故不符合题意；
C、不能推出，故符合题意；
D、∵，∴，∵，∴，故不符合题意；
故选：C．
【变式2】直线与的边相交于点，与边相交于点，下列各条件：
①，②，③，④，⑤，能够判断的是 ．
【答案】②⑤
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
根据相似三角形的判定方法，分别进行判定即可得出答案．
【详解】解：①∵，
∴，故此选项错误；
②，可以根据相似三角形的判定方法中的平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，判断出，故此选项正确；
③，缺少夹角相等，故不能判定，故此选项错误；
④，又∵，
∴，故此选项错误；
⑤可以变形为：，
又∵，
∴，故此选项正确；
故正确的有2个．
故答案为：②⑤．
【变式3】如图所示，能判定的有 ．
①；②；③；④．
【答案】①②③
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，已知有公共角，①②可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定，③可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定，④对应边成比例但无法得到其夹角相等，即无法判断两个三角形相似，
熟练掌握相似三角形的几种判定方法是解题的关键．
【详解】解：由图可得：，
，
，
①∵，
∴，
∴，
故①能判定；
②∵，
∴，
∴，
故②能判定；
③∵，
∴，
即两组对应边的比相等且相应的夹角相等，
∴，
故③能判定；
④，
对应边成比例但无法得到其夹角相等，
故④不能判定；
故答案为：①②③．
考点4：格点中相似三角形
典例4：如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（ ）

A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形
C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形
【答案】B
【分析】先计算出每条边的长度，再进行比较即可，选出适合的选项．
【详解】解：设每个正方格边长为1，
则，
，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
【变式1】如图，在正方形网格上有个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥．在②～⑥中，与①相似的三角形有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】设网格的边长为1，则①三角形的三边之比是，分别求出五个三角形的三边的比，符合这个结果就是与①相似的．
【详解】解：①三角形的三边之比是，
②中，，
③中，
④中，
⑤中，
⑥中，
故与①相似的三角形的序号是③④⑤．
故选C．
【点睛】本题主要考查两三角形相似，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑．
【变式2】如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E均为格点，则∠ADB+∠AEB＝ ．
【答案】45°
【分析】根据勾股定理得到AC＝＝，求得＝，根据相似三角形的性质得到∠ADB＝∠CAE，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】∵AC＝＝，CD＝1，CE＝2，
∴＝，＝＝，
∴＝，
∵∠ACD＝∠ECA，
∴△ACD∽△ECA，
∴∠ADB＝∠CAE，
∴∠ADB+∠AEB＝∠AEB+∠CAE＝∠ACB＝45°，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，求得△ACD∽△ECA是解题的关键．
【变式3】如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是 ．
【答案】/0.5
【分析】先确定最短边最小为1，根据对应边成比例，确定另外两条边的长度，作出图形即可．
【详解】解：△ABC的边长分别为，5，，作一个边长为1，，的三角形即可．
如图，△CFE即为所求，面积＝×1×1＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
考点5：证明三角形相似
典例5：如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，利用等量代换可得，再根据相似三角形的判定即可得证．
【详解】证明：在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【变式1】如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．

(1)如图①，当点在线段上，且时，求证：；
(2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质．
（1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：；
（2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：．
【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，
，，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
；
（2）证明：和是两个全等的等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
．
【变式2】如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
（1）由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论；
（2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性质结合勾股定理可求得．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，，
∴，
由勾股定理得：．
【变式3】如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．

(1)证明：；
(2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】（1）根据平角的概念和三角形内角和定理证明，然后根据相似三角形的判定定理得出结论；
（2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，有三种情况：①，②，③；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质及，求出即可．
【详解】（1）证明：∵，，，
，
；
（2）解： ，，
是等腰直角三角形，
，
，
由勾股定理得：，
①当时，
，
，
，
，
，
点D在上运动时（点D不与重合）,点E在上，
此情况不符合题意．
②当时，如图，
，
由（1）可知：，，
∴，
，
；
③当时，，

∵
是等腰三角形，，即，
．
综上，或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握分类讨论思想的应用是解题的关键．
考点6：相似三角形与坐标系问题
典例6：如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3）
【答案】A
【分析】根据已知条件，易证△AOC∽△BOA．运用相似三角形的性质求OC即得解
【详解】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC
∴△AOC∽△BOA
即
∴OC=1
∴点C的坐标是（0，1）．
故选A
【点睛】求点的坐标的问题可以转化为求线段的长度的问题，本题利用了三角形的相似的性质．
【变式1】如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形(顶点为网格线的交点)，要使ΔABC∽ΔPBD，则点P的位置应落在

A．点上 B．点上 C．点上 D．点上
【答案】B
【分析】由图可知∠BPD一定是钝角，若要△ABC∽△PBD，则PB、PD与AB、AC的比值必须相等，可据此进行判断．
【详解】解：由图知：∠BAC是钝角，又△ABC∽△PBD，
则∠BPD一定是钝角，∠BPD=∠BAC，
又BA=2，AC=2，
∴BA：AC=1：，
∴BP：PD=1：或BP：PD=：1，
只有P2符合这样的要求，故P点应该在P2．
故选B．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质，以及勾股定理的运用，相似三角形的对应角相等，对应边成比例，书写相似三角形时，对应顶点要对应．熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键
【变式2】在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是 ．
【答案】或
【分析】要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知△OAB的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可．
【详解】根据题意： OA=2，OB=1，AB=，
△ABC和△OAB相似应分两种情况讨论，
当∠BAC=90°时，如图，△ABC即为所作
∵△ABC∽△OBA，
AB∶OB=BC∶BA，即：∶1=BC∶，
解得BC=5，
∴OC=4，
∴C点坐标为(4，0)，
当∠ABC=90°时，AB∶OB=∶BA，
=，=5，
此时C点坐标为(3，2)，
综上所述，C点坐标为 (4，0)或(3，2)，
故答案为：（4，0）或（3，2）．
【点睛】本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．
【变式3】在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，时，点C的坐标是 ．
【答案】
【分析】先通过条件证明，然后根据相似三角形对应边成比例即可求出CO，从而得到点C的坐标．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴,
由点的坐标为，点的坐标为，可知AO=4，BO=2，
∴，即CO=1，
∴点C的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，坐标系内点的坐标，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
考点7：相似三角形与动点问题
典例7：如图，在矩形中，为线段上的一个动点（点不与 两点重合），连结接，过点作交于，连结．与是否相似？并说明理由；
【答案】．理由见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及等角的正切相等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．用，可得到和一对锐角相等，再加上一对直角相等，可证相似．
【详解】．理由如下：
，
，
四边形是矩形，
，
，
又，
．
【变式1】如图，直线a∥b，点M、N分别为直线a和直线b上的点，连接M，N，∠1＝70°，点P是线段MN上一动点，直线DE始终经过点P，且与直线a，b分别交于点D、E，设∠NPE＝α．
（1）证明△MPD∽△NPE．
（2）当△MPD与△NPE全等时，直接写出点P的位置．
（3）当△NPE是等腰三角形时，求α的值．
【答案】（1）见解析；（2）点P是MN的中点；（3）40° 或70° 或55°
【分析】(1)利用相似三角形的判定定理证明即可；
(2)根据全等三角形对应边相等得到MP＝NP，即点P是MN的中点；
(3)需要分类讨论：PN＝PE、PE＝NE、PN＝NE，再根据三角形内角和计算即可．
【详解】(1)证明：∵a∥b，
∴△MPD∽△NPE．
(2)∵a∥b，
∴∠MDP＝∠NEP，
∴当△MPD与△NPE全等时， MP＝NP，即点P是MN的中点；
(3)∵a∥b，
∴∠1＝∠PNE＝70°，
①若PN＝PE时，
∴∠PNE＝∠PEN＝70°．
∴a＝180°﹣∠PNE﹣∠PEN＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
∴∠a＝40°；
②若EP＝EN时，则a＝∠PNE＝70°；
③若NP＝NE 时，则∠PEN＝α，此时2α＝180°﹣∠PNE＝110°，
∴α＝∠PEN═55°；
综上所述，α的值是40° 或70° 或55°．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、全等三角形的性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟知相关性质，会根据等腰三角形底边不同进行分类讨论．
【变式2】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当t为何值时，以B、E、D为顶点的三角形与△ABC相似？
【答案】当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为2或3.5；
【分析】求出AB=2BC=4cm，分两种情况：①当∠EDB=∠ACB=90°时，DE∥AC，△EBD∽△ABC，得出AE=BE=AB=2cm，即可得出t=2s；②当∠DEB=∠ACB=90°时，证出△DBE∽△ABC，得出∠BDE=∠A=30°，因此BE=BD=cm，得出AE=3.5cm，t=3.5s；即可得出结果．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∴AB=2BC=4cm，
分两种情况：
①当∠EDB=∠ACB=90°时，
DE∥AC，△EBD∽△ABC，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD=BC=1cm，E为AB的中点，AE=BE=AB=2cm，
∴t=2s；
②当∠DEB=∠ACB=90°时，
∵∠B=∠B，
∴△DBE∽△ABC，
∴∠BDE=∠A=30°，
∴BE=BD=cm，
∴AE=3.5cm，
∴t=3.5s；
综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为2或3.5；
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，注意分类讨论．
【变式3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm．现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是3cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为ts．
求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t＝2s时，P、Q两点之间的距离是多少？
（3）当t为多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
【答案】（1）Rt△CPQ的面积为S＝﹣6t2+24t（0＜t＜4）；（2）PQ＝10cm；（3）t＝2秒或t＝秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【分析】(1)由点P,点Q的运动速度和运动时间,又知AC,BC的长,可将CP.CQ用含t的表达式求出,代入直角三角形面积公式S△CPQ=CP CQ求解
(2)在Rt△CPQ中,当t=2秒,可知CP、CQ的长,运用勾股定理可将PQ的长求出
(3)应分两种情况:当R△CPQ∽R△CAB时 根据 ,可将时间t求出;当Rt△ CPQ∽Rt△CBA时,根据 ,可求出时间t.
【详解】（1）由题意得AP＝4t，CQ＝3t，则CP＝16﹣4t，
因此Rt△CPQ的面积为S＝ CP×CQ＝ （16﹣4t）×3t＝﹣6t2+24t（0＜t＜4）；
（2）由题意得AP＝4t，CQ＝3t，则CP＝16﹣4t，
当t＝2秒时，CP＝16﹣4t＝8cm，CQ＝3t＝6cm，
在Rt△CPQ中，由勾股定理得PQ＝ ；
（3）由题意得AP＝4t，CQ＝3t，则CP＝16﹣4t，
∵AC＝16cm，BC＝12cm．
∴①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t＝2秒；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时， ，即，解得t＝ 秒．
因此t＝2秒或t＝秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【点睛】此题考查了相似三角形，勾股定理，三角形面积，解题关键在于把含t的表达式代入
考点8：“手拉手”旋转相似模型
典例8：综合与实践-问题情境：
如图1，已知在中，分别是上的点，且．
(1)操作发现：求证：．
(2)深入探究：在图1的基础上，将绕着点逆时针旋转一个角度得到图2，连接，那么（1）中的结论是否仍然成立？请判断并说明理由．
拓展探究：
(3)如图3，当旋转到点在一条直线上时，与交于点，若，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)成立，理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例的综合运用，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
（1）根据平行线的性质可证，由此即可求解；
（2）根据旋转的性质可证，由此即可求解；
（3）根据题意可得，，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
（2）解：成立，理由如下：
由旋转的性质得，
∴，即，
由（1）得，
∴，
∴，
∴（1）中的结论仍成立．
（3）解：由（2）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【变式1】综合与实践
问题情境：
数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，将等腰直角三角形绕点C顺时针旋转一定角度，得到等腰直角三角形，连结，，猜想与之间的数量关系．
问题解决：
（1）①在等腰直角三角形中，________；
②与之间的数量关系是________．
操作探究：
（2）善思小组受此问题的启发，先将两个大小不同的等腰直角三角形和按如图3所示的方式摆放，再将等腰直角三角形绕点C顺时针旋转到如图3所示的位置，连接，，猜想与之间的数量关系，并说明理由．
（3）勤奋小组突发奇想，将图2中的等腰直角三角形绕点C旋转一定角度后，点E刚好落在线段上，如图4，连接．若，请直接写出线段的长．
【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）．
【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定：
（1）①由勾股定理得到，则；②由旋转，得，，，证明，即可得到；
（2）由旋转，得．证明．即可得到．
（3）由旋转，得．证明．可得．
【详解】解：（1）①∵在中，，
∴，
∴，
故答案为：；
②由旋转，得，，，
．
．
．
．
（2）．
理由：由旋转，得．
，，
．
．
，即．
（3）由旋转，得．
，，
．
．
．
，
．
【变式2】问题发现：
(1)如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝k AC(k＞1)，D是AB上一点，DE∥BC，则BD，EC的数量关系为　 　．
类比探究
(2)如图2，将△AED绕着点A顺时针旋转，旋转角为a(0°＜a＜90°)，连接CE，BD，请问(1)中BD，EC的数量关系还成立吗？说明理由
拓展延伸：
(3)如图3，在(2)的条件下，将△AED绕点A继续旋转，旋转角为a(a＞90°)．直线BD，CE交于F点，若AC＝1，AB＝，则当∠ACE＝15°时，BF CF的值为 ．
【答案】(1)BD＝k EC；(2)成立，理由见解析；(3)1或2.
【分析】问题发现：（1）由平行线分线段成比例可得，即可得BD＝k EC；
类比探究：（2）通过证明△ABD∽△ACE，可得＝k，即可得BD＝k EC；
拓展延伸：（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可得∠ACE＝∠ABD，即可证∠BFC＝90°，由直角三角形的性质和勾股定理可求BF CF的值．
【详解】问题发现：
(1)∵DE∥BC，
∴，
∵AB＝k AC，
∴BD＝k EC，
故答案为BD＝k EC；
类比探究：
(2)成立，
理由如下：连接BD
由旋转的性质可知，∠BAD＝∠CAE
∵，
∴△ABD∽△ACE，
∴＝k，
故BD＝k EC；
拓展延伸：
(3)BF CF的值为2或1；
由旋转的性质可知∠BAD＝∠CAE
∵，
∴△ABD∽△ACE
∴∠ACE＝15°＝∠ABD
∵∠ABC+∠ACB＝90°
∴∠FBC+∠FCB＝90°
∴∠BFC＝90°
∵∠BAC＝90°，AC＝1，AB＝，
∴tan∠ABC＝，
∴∠ABC＝30°
∴∠ACB＝60°
分两种情况分析：
①如图2，
∴在Rt△BAC中，∠ABC＝30°，AC＝1，
∴BC＝2AC＝2，
∵在Rt△BFC中，∠CBF＝30°+15°＝45°，BC＝2
∴BF＝CF＝
∴BF CF＝()2＝2
②如图3，
设CF＝a，在BF上取点G，使∠BCG＝15°
∵∠BCF＝60°+15°＝75°，∠CBF＝∠ABC﹣∠ABD＝30°﹣15°＝15°，
∴∠CFB＝90°
∴∠GCF＝60°
∴CG＝BG＝2a，GF＝a．
∵CF2+BF2＝BC2
∴a2+(2a+a） 2＝22，
解得a2＝2﹣，
∴BF CF＝(2+)a a＝(2+) a2＝1，
即：BF CF＝1或2．
故答案为1或2．
【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，证明△ABD∽△ACE是本题的关键．
【变式3】如图①，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F．
(1)在图①中，求的值：
(2)如图②将正方形绕点C顺时针方向旋转角，探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似的判定与性质等，解题的关键是利用特殊角作辅助线构造特殊三角形．
（1）由正方形的性质可得，，可证，，可得，由平行线分线段成比例可得；
（2）由正方形的性质可得，即可证，可得，则．
【详解】（1）四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
；
（2）
理由如下：
如图②，四边形，四边形是正方形，
，，
，，
，
，，
，且，
，
，
即
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专题02 相似三角形的判定
考点类型
知识一遍过
（一）相似三角形的判定
相似三角形的判定
判定1：两个三角形对应边成比例，则这两个三角形相似 如图 ∵；∴
判定2：两个三角形有两个角对应相等，则这两个三角形相似 如图 ∵；∴
判定3：两个三角形有两边成比例，及其夹角相等，则这两个三角形相似 如图 ∵；；∴
考点一遍过
考点1：相似多边形
典例1：下列图形中，不一定相似的是（ ）
A．两条对角线的比相等的两个平行四边形
B．邻边之比相等的两个矩形
C．有一组角对应相等的两个菱形
D．四条边对应成比例且对应角相等的两个平行四边形
【变式1】下列图形中不一定是相似图形的是（ ）
A．两个等边三角形 B．两个等腰直角三角形
C．两个菱形 D．两个正方形
【变式2】下列图形都相似吗？为什么？
（1）所有的正方形都相似吗？
（2）所有的矩形都相似吗？
（3）所有的菱形都相似吗？
（4）所有的等边三角形都相似吗？
（5）所有的等腰三角形都相似吗？
（6）所有的等腰梯形都相似吗？
（7）所有的等腰直角三角形都相似吗？
（8）所有的正五边形都相似吗？
相似， 不一定相似．
【变式3】我们已经学习了相似三角形，也知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形.比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．
现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，请指出其中哪几对是相似图形 .
考点2：相似多边形的性质
典例2：如图，矩形被分割成个全等的矩形，若这个矩形都和矩形相似，则（ ）
A．3 B． C． D．
【变式1】如图，把矩形对折，折痕为，如果矩形和矩形相似，则它们的相似比为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式2】如图，矩形被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形与原矩形相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 ．
【变式3】如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是 ．
考点3：相似三角形的判定条件
典例3：如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，不能使得成立的条件是（ ）

A． B． C． D．
【变式2】直线与的边相交于点，与边相交于点，下列各条件：
①，②，③，④，⑤，能够判断的是 ．
【变式3】如图所示，能判定的有 ．
①；②；③；④．
考点4：格点中相似三角形
典例4：如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（ ）

A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形
C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形
【变式1】如图，在正方形网格上有个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥．在②～⑥中，与①相似的三角形有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E均为格点，则∠ADB+∠AEB＝ ．
【变式3】如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是 ．
考点5：证明三角形相似
典例5：如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：．
【变式1】如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．

(1)如图①，当点在线段上，且时，求证：；
(2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：．
【变式2】如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【变式3】如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．

(1)证明：；
(2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．
考点6：相似三角形与坐标系问题
典例6：如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3）
【变式1】如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形(顶点为网格线的交点)，要使ΔABC∽ΔPBD，则点P的位置应落在

A．点上 B．点上 C．点上 D．点上
【变式2】在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是 ．
【变式3】在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，时，点C的坐标是 ．
考点7：相似三角形与动点问题
典例7：如图，在矩形中，为线段上的一个动点（点不与 两点重合），连结接，过点作交于，连结．与是否相似？并说明理由；
【变式1】如图，直线a∥b，点M、N分别为直线a和直线b上的点，连接M，N，∠1＝70°，点P是线段MN上一动点，直线DE始终经过点P，且与直线a，b分别交于点D、E，设∠NPE＝α．
（1）证明△MPD∽△NPE．
（2）当△MPD与△NPE全等时，直接写出点P的位置．
（3）当△NPE是等腰三角形时，求α的值．
【变式2】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当t为何值时，以B、E、D为顶点的三角形与△ABC相似？
【变式3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm．现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是3cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为ts．
求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t＝2s时，P、Q两点之间的距离是多少？
（3）当t为多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
考点8：“手拉手”旋转相似模型
典例8：综合与实践-问题情境：
如图1，已知在中，分别是上的点，且．
(1)操作发现：求证：．
(2)深入探究：在图1的基础上，将绕着点逆时针旋转一个角度得到图2，连接，那么（1）中的结论是否仍然成立？请判断并说明理由．
拓展探究：
(3)如图3，当旋转到点在一条直线上时，与交于点，若，，求的值．
【变式1】综合与实践
问题情境：
数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，将等腰直角三角形绕点C顺时针旋转一定角度，得到等腰直角三角形，连结，，猜想与之间的数量关系．
问题解决：
（1）①在等腰直角三角形中，________；
②与之间的数量关系是________．
操作探究：
（2）善思小组受此问题的启发，先将两个大小不同的等腰直角三角形和按如图3所示的方式摆放，再将等腰直角三角形绕点C顺时针旋转到如图3所示的位置，连接，，猜想与之间的数量关系，并说明理由．
（3）勤奋小组突发奇想，将图2中的等腰直角三角形绕点C旋转一定角度后，点E刚好落在线段上，如图4，连接．若，请直接写出线段的长．
【变式2】问题发现：
(1)如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝k AC(k＞1)，D是AB上一点，DE∥BC，则BD，EC的数量关系为　 　．
类比探究
(2)如图2，将△AED绕着点A顺时针旋转，旋转角为a(0°＜a＜90°)，连接CE，BD，请问(1)中BD，EC的数量关系还成立吗？说明理由
拓展延伸：
(3)如图3，在(2)的条件下，将△AED绕点A继续旋转，旋转角为a(a＞90°)．直线BD，CE交于F点，若AC＝1，AB＝，则当∠ACE＝15°时，BF CF的值为 ．
【变式3】如图①，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F．
(1)在图①中，求的值：
(2)如图②将正方形绕点C顺时针方向旋转角，探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论．
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