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专题04 相似三角形的应用
考点类型
知识一遍过
（一）相似三角形的应用举例
（1）测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
（2）测量物体宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
考点一遍过
考点1：相似三角形应用——测树高
典例1：如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度，用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点，且点，，在同一直线上．已知，，求这棵树的高度．
【变式1】如图所示，在离某建筑物处有一棵树，在某时刻，长的竹竿垂直地面，影长为，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为，那么这棵树高约有多少米？
【变式2】《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高．
【变式3】在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的名同学选择了测量学校里的三棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为米的标杆的影长为米，甲树的影长为米（如图1）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米．
小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得台阶上的影子长为米，一级台阶的高为米，落在地面上的影长为米．
根据以上测量结果，解答以下问题：
(1)甲树的高度为_______米；
(2)求乙树的高度；
(3)求丙树的高度．
考点2：相似三角形应用——影长问题
典例2：小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，数学活动小组的同学对该塔进行了测量，测量方法如下：如图，小鑫在小雁塔的影子顶端处竖直立一根木棒，并测得此时木棒的影长，然后，小鑫在的延长线上找出一点，使得、、三点在同一直线上，并测得，已知图中所有点均在同一平面内，木棒，，，请根据以上测量数据，求小雁塔的高度．
【变式1】如图，王琳同学在晚上由路灯走向路灯，当他行到处时发现，他在路灯下的影长为米，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了米到处，此时他在路灯下的影子恰好位于路灯的正下方（已知王琳身高米，路灯高米）
(1)标出王琳站在处在路灯下的影子；
(2)计算王琳站在处在路灯下的影长；
(3)计算路灯的高度．
【变式2】某一时刻高度为的甲树在太阳光照射下的示意图如图，线段表示甲树在太阳光下的影子，且．
(1)请在图中画出统一时刻乙数的影子；
(2)此时距离两棵树不远处身高为的小华的影长是多少？
【变式3】在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法，利用灯光下的影子长来测量一路灯高度．如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是，然后甲从出发沿方向继续向前走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是．已知甲同学直立时的身高为，求路灯离地面的高度．
考点3：相似三角形应用——测河宽
典例3：如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点2米远的点，立一根长为1米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？
【变式1】某乡镇为创建特色小镇，决定在该乡镇的一条河上修建一座步行观光桥，因此要先测量河宽．如图，该河道两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点C和点D，分别在的延长线上取点E、F，使得，经测量，米，米，且点F到河岸的距离为90米．已知于点B，请你根据提供的数据，帮助他们计算河宽．

【变式2】学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即米）的点处懒北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即三点共线，三点共线）．已知电线杆之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离为30米，求这条河的宽度．
【变式3】九（1）班同学到野外上数学活动课，为测量河的宽度(河的两岸平行)，设计了如下方案：如图，同学们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在的延长线上取点，使得．经测量米，米，且点E到河岸的距离为6米．已知于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算河的宽度．

考点4：相似三角形应用——杠杆问题
典例4：“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话的意思，是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动.如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图是用杠杆撬石头的示意图，点C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起，已知与的比为，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压 cm．
【变式2】如图1是某物体的支架实物图，图2是其右侧部分抽象后的几何图形，其中是支杆上一可转动点，，是中间竖杆上的一动点，当点沿滑动时，点随之在地面上滑动，点是动点能到达的最顶端位置，当运动到点时，与重合于竖杆，经测量，设，竖杆的最下端到地面的距离．
（1）求的长．
（2）当点运动时，试求出与的函数关系式．
【变式3】幼儿园购买了一个板长AB=4m，支架OC高0.8m的翘翘板，支点O在板AB的中点．因支架过高不宜小朋友玩，故把它暂时存放在高2.4m的车库里，准备改装．现有几个小朋友把板的一端A按到地面上．
（1）板的另一端B会不会碰到车库的顶部；
（2）能否通过移动支架，使B点恰好碰到车库的顶部？若能，求出此时支点O的位置；若不能，请说明理由．
考点5：相似三角形应用——古代文化
典例5：龙是中国等东亚区域古代神话传说中的神异动物，是中华民族最具代表性的传统文化之一．恰逢龙年，政府部门在某广场上做了一个龙形雕像．某数学兴趣小组想要利用所学知识测量该雕像的高度．如图雕像的高度为，在地面上取两点，分别竖立两根高均为的标杆和，两标杆间隔为，并且雕像，标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察点，三点也在一条直线上．已知在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出该龙形雕像的高度．
【变式1】《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前．其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺．立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长为一丈五尺．同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长为五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），，，问竹竿长为几丈几尺？
【变式2】大雁塔位于陕西省西安市城南大慈恩寺内，是全国著名的古代建筑，被视为古都西安的象征，小明和小华决定带着皮尺用自己学到的知识测量大雁塔的高度．恰逢雨后天晴，两人用如下方法测量：如图，小明半蹲在地上，小华站在小明和大雁塔之间，两人适当调整位置，当小明的眼睛A、小华的头顶C、塔顶E刚好在同一条直线上时，两人分别标注自己的位置B，D，用皮尺测出，且小华刚好在距离自己的一小滩水（记为M）中看到了塔顶E（点B，D，M，F在同一条直线上）．小华身高，小明蹲地观测时眼睛与地面之间的距离．请根据提供的相关信息，求大雁塔的高（结果精确到）．

【变式3】我国古代数学著作《九章算术》中有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”它的大意是：如图，已知四边形是矩形，尺，尺，尺，求井深为多少尺？
考点6：相似三角形应用——测楼高
典例6：西安城墙是中国现存规模最大、保存最完整的古代城垣．李华和张明相约去城墙游玩并打算用学过的知识测量城墙的高度．如图，是城墙外的一棵树，李华首先在城墙上从A处观察树顶C，测得树顶C的俯角为；然后，张明在城墙外，阳光下，某一时刻，当他走到点F处时，他的影子顶端与树的影子顶端恰好在G处重合．张明的身高米，米，米，米，已知点B、G、F、D在一条水平线上，图中所有的点都在同一平面内，，，，请求出城墙的高度．（参考数据：）
【变式1】拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．

【变式2】阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：
清虚阁，位于山西省晋中市榆次老城中，俗称南阁，建成于明代成化五年（），是榆次区境内仅见的，也是晋中地区稀有的古代阁楼式建筑杰作，如图，某中学数学实践小组利用节假日时间到现场测量清虚阁的高度．
步骤一：在地面BC上取两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且清虚阁，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处，从处观察点，三点成一线；
步骤二：从标杆后退到处，从处观察点，三点也成一线．
下面是某同学根据测量结果，计算清虚阁的高度时的部分过程：
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
......
任务：
(1)请根据上面的思路，补充剩余的解答过程．
(2)该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
【变式3】钟楼是西安标志性的建筑之一，建于1384年，是中国古代遗留下来众多钟楼中保存最完整的一座．为了对钟楼有基本的认识，小明和小亮运用所学的数学知识对钟楼进行了测量，由于无法直接测量出它的高度，他们先在地面选择了一点C放置平面镜，小明到F点时正好在平面镜中看到顶尖A，小明的眼睛距地面的高度EF=1.5米；然后在点D处放置平面镜小亮到H点时正好在平面镜中看到顶尖A（点B、C、F、D、H共线）．小亮的眼睛距地面的高度GH=1.6米，此时测得俯角∠KGD=39°，如图，已知CF=1米，DF=20米，AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据以上测量数据及信息，计算钟楼的高度，（参考数据：sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8）
考点7：相似三角形应用——矩形综合
典例7：如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，交于点．
(1)当点恰好为中点时，______．
(2)若矩形的周长为，求出的长度．
【变式1】汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时(如图1)，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度．
【变式2】张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高，张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点H．

(1)当点P恰好为中点时，______；
(2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长；
(3)若这个零件的边．则这个零件的长、宽各是多少？
【变式3】如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，．
(1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子；
(2)经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度．
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专题04 相似三角形的应用
考点类型
知识一遍过
（一）相似三角形的应用举例
（1）测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
（2）测量物体宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
考点一遍过
考点1：相似三角形应用——测树高
典例1：如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度，用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点，且点，，在同一直线上．已知，，求这棵树的高度．
【答案】这棵树的高度为
【分析】利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
答：这棵树的高度为．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息，确定出相似三角形是解题的关键．
【变式1】如图所示，在离某建筑物处有一棵树，在某时刻，长的竹竿垂直地面，影长为，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为，那么这棵树高约有多少米？
【答案】这棵树高．
【分析】因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同，利用竹竿这个参照物就可以求出图中的，是的影子，然后加上CD就是树高．
【详解】过点作交于点
则，
，即
答：这棵树高．
【点睛】解决此类问题的关键是利用在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同这个结论，列出方程求解．
【变式2】《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高．
【答案】树高为
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案．
【详解】解：据题意可得，，
，
．
，，，
，
，
．
答：树高为．
【变式3】在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的名同学选择了测量学校里的三棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为米的标杆的影长为米，甲树的影长为米（如图1）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米．
小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得台阶上的影子长为米，一级台阶的高为米，落在地面上的影长为米．
根据以上测量结果，解答以下问题：
(1)甲树的高度为_______米；
(2)求乙树的高度；
(3)求丙树的高度．
【答案】(1)
(2)乙树的高度为米
(3)丙树的高度为米
【分析】（1）根据同一时刻物体的高度与影长比例相同解答即可；
（2）根据同一时刻物体的高度与影长比例相同解答即可；
（3）根据同一时刻物体的高度与影长比例相同解答即可；
本题考查了同一时刻物体的高度与影长比例相同，熟练运用同一时刻物体的高度与影长比例相同是解题的关键．
【详解】（1）解：∵设甲树的高度为米，根据题意得，
，
解得：，
∴甲树的高度为米，
故答案为米；
（2）解：如图，设为乙树的高度，
∵米，米，
∴米 ，
∴，
解得：，
∴米，
∴（米），
∴乙树的高度为米．
（3）解：设影长所对应的树高为米，根据题意得，
∴，
解得：，
∴影长所对应的树高为米；
设影长所对应的树高为米，根据题意得，
∴，
解得：，
∴影长所对应的树高为米，
设影长所对应的树高为米，根据题意得，
∴，
解得：，
∴影长所对应的树高为米，
∴丙树的高度为（米）．
考点2：相似三角形应用——影长问题
典例2：小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，数学活动小组的同学对该塔进行了测量，测量方法如下：如图，小鑫在小雁塔的影子顶端处竖直立一根木棒，并测得此时木棒的影长，然后，小鑫在的延长线上找出一点，使得、、三点在同一直线上，并测得，已知图中所有点均在同一平面内，木棒，，，请根据以上测量数据，求小雁塔的高度．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行投影．先证，推出；再根据平行投影的性质，推出，，进而可得，代入数值求出，进而可得小雁塔的高度．
【详解】解： ，，
，
又 ，
，
；
由平行投影可知，
，
又 ，
，
，
，即，
解得，
代入，得，
解得，
即小雁塔的高度为．
【变式1】如图，王琳同学在晚上由路灯走向路灯，当他行到处时发现，他在路灯下的影长为米，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了米到处，此时他在路灯下的影子恰好位于路灯的正下方（已知王琳身高米，路灯高米）
(1)标出王琳站在处在路灯下的影子；
(2)计算王琳站在处在路灯下的影长；
(3)计算路灯的高度．
【答案】(1)线段
(2)米
(3)米
【分析】本题考查相似三角形的应用，
（1）影子为光线与物高相交得到的阴影部分；
（2）证明，利用对应边成比例可得长；
（3）证明，利用对应边成比例可得长，也就是路灯的高度；
解题的关键是掌握：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
【详解】（1）解：线段为王琳在站在处路灯下的影子；
（2）根据题意知：，，，，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
答：王琳站在处在路灯下的影长为米；
（3）由（2）知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
答：路灯的高度为米．
【变式2】某一时刻高度为的甲树在太阳光照射下的示意图如图，线段表示甲树在太阳光下的影子，且．
(1)请在图中画出统一时刻乙数的影子；
(2)此时距离两棵树不远处身高为的小华的影长是多少？
【答案】(1)画图见解析；
(2)小华的影长是米．
【分析】（）根据相似三角形画出图形；
（）根据相似三角形的性质求出小华的影长；
本题考查了平行投影，相似三角形的应用，解题的关键是掌握知识点的应用．
【详解】（1）如图，连接，过作，交于点，
∴即为所求；
（2）设小华的影长是米，
由题意得：，
解得：，
答：小华的影长是米．
∴路灯离地面的高度为．
【变式3】在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法，利用灯光下的影子长来测量一路灯高度．如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是，然后甲从出发沿方向继续向前走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是．已知甲同学直立时的身高为，求路灯离地面的高度．
【答案】路灯离地面的高度为
【分析】本题考查了相似三角形的应用，设，，由题意得出，推出，，由相似三角形的性质列式计算即可得出答案．
【详解】解：设，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
解得：，
考点3：相似三角形应用——测河宽
典例3：如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点2米远的点，立一根长为1米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？
【答案】河宽是米
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的应用．熟练掌握矩形的判定与性质，相似三角形的应用是解题的关键．
如图，延长交的延长线于点H，则四边形是矩形，，，证明，则，可求，则，（米），证明，则，可求，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，延长交的延长线于点H，则四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∵，
∴（米），
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴（米），
∴河宽是米．
【变式1】某乡镇为创建特色小镇，决定在该乡镇的一条河上修建一座步行观光桥，因此要先测量河宽．如图，该河道两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点C和点D，分别在的延长线上取点E、F，使得，经测量，米，米，且点F到河岸的距离为90米．已知于点B，请你根据提供的数据，帮助他们计算河宽．

【答案】宽为120米
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，过F作于G，则，证明，可得，再，得到，即可解答，熟练证明三角形相似是解题的关键.
【详解】解：如图所示，过F作于G，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴河宽为120米.

【变式2】学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即米）的点处懒北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即三点共线，三点共线）．已知电线杆之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离为30米，求这条河的宽度．
【答案】这条河的宽度为30米
【分析】本题考查相似三角形的应用，延长交于点，设这条河的宽度为x米．由相似三角形对应高的比等于相似比得到，代入有关数据列方程求解方程，即可得到河的宽度．
【详解】解：延长交于点，如解图所示．
依题意，米，米．
设这条河的宽度为米．
，
．
，
即，
解得．
答：这条河的宽度为30米．
【变式3】九（1）班同学到野外上数学活动课，为测量河的宽度(河的两岸平行)，设计了如下方案：如图，同学们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在的延长线上取点，使得．经测量米，米，且点E到河岸的距离为6米．已知于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算河的宽度．

【答案】8米
【分析】过作于，依据，即可得出，依据，即可得到，进而得出的长．
【详解】解：如图所示，过作于，

，
，
，
，
，，
，
又，
，
，即，
解得：，
桥的长度为8米．
【点睛】本题主要考查了利用相似三角形的实际应用．掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
考点4：相似三角形应用——杠杆问题
典例4：“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话的意思，是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动.如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点C向下压的长度是解题的关键．
【详解】解：解：由题意得，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
【变式1】如图是用杠杆撬石头的示意图，点C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起，已知与的比为，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压 cm．
【答案】60
【分析】如图：都与水平线的垂直，M，N是垂足，则，即，然后根据相似三角形的对应边成比例求解即可．
【详解】解：如图，都与水平线的垂直，M，N是垂足，则，
∵，
∴，
∴=，
∵与的比为，
∴，即，
∴当cm时，cm，
故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压60cm．
故答案为：60．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的实际应用，正确作出辅助线、构造相似三角形是解题的关键．
【变式2】如图1是某物体的支架实物图，图2是其右侧部分抽象后的几何图形，其中是支杆上一可转动点，，是中间竖杆上的一动点，当点沿滑动时，点随之在地面上滑动，点是动点能到达的最顶端位置，当运动到点时，与重合于竖杆，经测量，设，竖杆的最下端到地面的距离．
（1）求的长．
（2）当点运动时，试求出与的函数关系式．
【答案】（1）80cm；（2）
【分析】（1）运动到点时，与重合于竖杆，计算即可；
（2）过点作于点，可证，由相似三角形的性质列出等量关系式即可求出与的函数关系式．
【详解】（1）∵当运动到点时，与重合于竖杆，
∴由题意可得；
（2）
如图，过点作于点，
，，
，
，
，
，
整理可得：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式3】幼儿园购买了一个板长AB=4m，支架OC高0.8m的翘翘板，支点O在板AB的中点．因支架过高不宜小朋友玩，故把它暂时存放在高2.4m的车库里，准备改装．现有几个小朋友把板的一端A按到地面上．
（1）板的另一端B会不会碰到车库的顶部；
（2）能否通过移动支架，使B点恰好碰到车库的顶部？若能，求出此时支点O的位置；若不能，请说明理由．
【答案】（1） 板的另一端B不会碰到车库顶部；（2） 能．此时支点O距离A点米．
【详解】试题分析：（1）过点B作BD⊥AC，由相似三角形的判定定理可得出△AOC∽△ABD，再根据相似三角形的对应边成比例求出BD的长即可；
（2）由已知得BD=2.4m，再根据求出AO的长，进而可得出结论．
试题解析：（1）过点B作BD⊥AC，
∵OC⊥AC，
∴OC∥BD，
∴△AOC∽△ABD
∴，
∵AO=OB=2，OC=0.8，
∴BD=1.6（m）＜2.4（m）
∴板的另一端B不会碰到车库顶部；
（2）能．
∵由已知得BD=2.4m，
∴，即，
∴AO=（m）
答：此时支点O距离A点米．
考点：相似三角形的应用．
考点5：相似三角形应用——古代文化
典例5：龙是中国等东亚区域古代神话传说中的神异动物，是中华民族最具代表性的传统文化之一．恰逢龙年，政府部门在某广场上做了一个龙形雕像．某数学兴趣小组想要利用所学知识测量该雕像的高度．如图雕像的高度为，在地面上取两点，分别竖立两根高均为的标杆和，两标杆间隔为，并且雕像，标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察点，三点也在一条直线上．已知在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出该龙形雕像的高度．
【答案】该龙形雕像的高度为
【分析】
本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法及其性质是解题的关键．
根据题意，可得，，可求出的长，由此即可求解．
【详解】解：由题意得，，，，，，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，且，，
∴，
解得，则，
则，即，
解得：，
答：该龙形雕像的高度为．
【变式1】《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前．其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺．立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长为一丈五尺．同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长为五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），，，问竹竿长为几丈几尺？
【答案】四丈五尺
【分析】根据题意，利用相似性质，在同一时刻同一平面内，太阳光下均相等，列式求解即可得到答案．
【详解】解：1丈＝10尺，1尺＝10寸，
一丈五尺15尺，一尺五寸尺，尺，
由题意知，，，
∴，
∴，
∴，解得（尺），
答：竹竿长为四丈五尺．
【点睛】本题考查利用相似测高，读懂题意，熟练掌握在同一时刻同一平面内，太阳光下均相等，利用相似三角形的性质是解决问题的关键．
【变式2】大雁塔位于陕西省西安市城南大慈恩寺内，是全国著名的古代建筑，被视为古都西安的象征，小明和小华决定带着皮尺用自己学到的知识测量大雁塔的高度．恰逢雨后天晴，两人用如下方法测量：如图，小明半蹲在地上，小华站在小明和大雁塔之间，两人适当调整位置，当小明的眼睛A、小华的头顶C、塔顶E刚好在同一条直线上时，两人分别标注自己的位置B，D，用皮尺测出，且小华刚好在距离自己的一小滩水（记为M）中看到了塔顶E（点B，D，M，F在同一条直线上）．小华身高，小明蹲地观测时眼睛与地面之间的距离．请根据提供的相关信息，求大雁塔的高（结果精确到）．

【答案】
【分析】过点作于点，交于点，则，，，，设，则，先根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，交于点，

则，，，，
设，则，
由题意得：，，
由反射角等于入射角得：，
，
，
，，
，
解得，
，
∵，
，
，即，
解得，经检验，是所列方程的解，且符合题意，
答：大雁塔的高约为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
【变式3】我国古代数学著作《九章算术》中有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”它的大意是：如图，已知四边形是矩形，尺，尺，尺，求井深为多少尺？
【答案】井深为57.5尺
【分析】方法一：根据已知条件证明，得到，代入计算即可；方法二：根据已知条件证明，得到，代入计算即可
【详解】解：方法一：
四边形是矩形，，
，
，
即．
（尺）．
答：井深为57.5尺．
方法二：
四边形是矩形，，
，
，
即
．
（尺）．
答：井深为57.5尺．
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，准确计算是解题的关键．
考点6：相似三角形应用——测楼高
典例6：西安城墙是中国现存规模最大、保存最完整的古代城垣．李华和张明相约去城墙游玩并打算用学过的知识测量城墙的高度．如图，是城墙外的一棵树，李华首先在城墙上从A处观察树顶C，测得树顶C的俯角为；然后，张明在城墙外，阳光下，某一时刻，当他走到点F处时，他的影子顶端与树的影子顶端恰好在G处重合．张明的身高米，米，米，米，已知点B、G、F、D在一条水平线上，图中所有的点都在同一平面内，，，，请求出城墙的高度．（参考数据：）
【答案】12米
【分析】过点C作于点M，四边形是矩形，，得到，利用正切函数计算即可，本题考查了矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，正切函数的应用，熟练掌握相似的判定和性质，正切函数是解题的关键．
【详解】解：如图，过点C作于点M，
∵，，，
∴四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
∵米，米，米，米，
∴，米，
∴米，米，
∴米，
∵，
∴，
∵，
∴米，
∴米，
答：城墙高12米．
【变式1】拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．

【答案】36m
【分析】设，则，通过证明，得到，即，同理得到，则可建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设，则
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
同理可证，
∴，即，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
∴，
∴该古建筑的高度为36m．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质建立方程是解题的关键．
【变式2】阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：
清虚阁，位于山西省晋中市榆次老城中，俗称南阁，建成于明代成化五年（），是榆次区境内仅见的，也是晋中地区稀有的古代阁楼式建筑杰作，如图，某中学数学实践小组利用节假日时间到现场测量清虚阁的高度．
步骤一：在地面BC上取两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且清虚阁，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处，从处观察点，三点成一线；
步骤二：从标杆后退到处，从处观察点，三点也成一线．
下面是某同学根据测量结果，计算清虚阁的高度时的部分过程：
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
......
任务：
(1)请根据上面的思路，补充剩余的解答过程．
(2)该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
【答案】(1)见解析
(2)没有太阳光，或测量楼阁的影子长度有困难（答案不唯一）
【分析】（1）根据题意，将已知数据代入比例式进行计算即可求解；
（2）原因可能是没有太阳光，或测量楼阁的影子长度有困难．
【详解】（1）解：∴，
即，
∴，
解得，，
∴，
即，
∴
（2）没有太阳光，或测量楼阁的影子长度有困难（答案不唯一）
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式3】钟楼是西安标志性的建筑之一，建于1384年，是中国古代遗留下来众多钟楼中保存最完整的一座．为了对钟楼有基本的认识，小明和小亮运用所学的数学知识对钟楼进行了测量，由于无法直接测量出它的高度，他们先在地面选择了一点C放置平面镜，小明到F点时正好在平面镜中看到顶尖A，小明的眼睛距地面的高度EF=1.5米；然后在点D处放置平面镜小亮到H点时正好在平面镜中看到顶尖A（点B、C、F、D、H共线）．小亮的眼睛距地面的高度GH=1.6米，此时测得俯角∠KGD=39°，如图，已知CF=1米，DF=20米，AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据以上测量数据及信息，计算钟楼的高度，（参考数据：sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8）
【答案】钟楼的高度为36米．
【分析】设AB=x，BC=y, 根据题意求出△ABC∽△EFC，△ABD∽△GHD，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】如图设AB=x，BC=y．∵AB⊥BD，GH⊥BH，
∴∠ABC=∠EFC=90°，
∵∠ACB=∠ECF，
∴△ACB∽△ECF，
∴，
∴，
∴x=y ①
同理：△ADB∽△GDH，
∴，
∴=tan39°=0.8 ②
由①②解得y=36（米），
答：钟楼的高度为36米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据相似三角形的判定得到△ABC∽△EFC，△ABD∽△GHD.
考点7：相似三角形应用——矩形综合
典例7：如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，交于点．
(1)当点恰好为中点时，______．
(2)若矩形的周长为，求出的长度．
【答案】(1)60
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高之比等于相似比；
（1）由，得到，代入即可求解，
（2）根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，从而得到的长，
【详解】（1）解：∵为中点，
∴，
∵在矩形中，，
∴，，
∴，
∴，
∴ ．
故答案为：．
（2）解：∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴
∴．
∴四边形为矩形，
∴，，
∵矩形的周长为
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式1】汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时(如图1)，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，过点作于点，交于点，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，交于点．
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【变式2】张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高，张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点H．

(1)当点P恰好为中点时，______；
(2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长；
(3)若这个零件的边．则这个零件的长、宽各是多少？
【答案】(1)60
(2)这个零件的边长为；
(3)矩形的长为，宽为．
【分析】本题考查了相似三角形的应用．
（1）根据，得到，利用相似三角形的性质可得到答案；
（2）设正方形的边长为，根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，据此求解即可；
（3）设矩形的宽为，则长为，然后根据相似三角形，列出比例关系式求解．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
，
∴；
故答案为：60；
（2）解：∵四边形为正方形，
∴，，
设正方形的边长为，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
答：这个零件的边长为；
（3）解：设矩形宽为，则长为，
同理，
∴，
∴，
解得，，
故矩形的长为，宽为．
【变式3】如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，．
(1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子；
(2)经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度．
【答案】(1)见解析
(2)米
【分析】（1）连接并延长交于点P，连接并延长交于F，点P和即为所求；
（2）先求出米，证明，得到，即，则米．
【详解】（1）解：如图所示，点P和即为所求；
（2）解：∵米，米，
∴米，
∵，，即，
∴，
∴，即，
∴米，
∴路灯灯泡距地面的高度为米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用举例，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
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