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专题06 图形的相似单元过关（基础版）
考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．如图，直线 ，若，，，则的长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查平行性分线段成比例，掌握线段成比例的计算方法是解题的关键．
根据，可得，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
2．在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是原点O，若△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2，且点A的坐标是（1，3），则它的对应点A1的坐标是（ ）
A．（-3，-1） B．（-2，-6） C．（2，6）或（-2，-6） D．（-1，-3）
【答案】C
【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，即可求出答案.
【详解】由位似变换中对应点坐标的变化规律得：点的对应点的坐标是或，即点的坐标是或
故选：C.
【点睛】本题考查了位似变换中对应点坐标的变化规律，理解位似的概念，并熟记变化规律是解题关键.
3．已知：，且的面积：的面积，则两三角形周长比为（ ）
A．1:4 B．1:2 C．1:16 D．1:5
【答案】B
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，先求出两三角形的相似比，再根据相似三角形的周长的比等于相似比解答．
【详解】解：∵△ABC的面积：△A′B′C′的面积=1：4，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比=1：2，
∴两三角形周长比为1：2．
故选B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比的性质，求出两三角形的相似比是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】D
【分析】把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．
【详解】解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，
而A（1，2），C（3，1），
∴D（2，4），F（6，2），
∴DF＝=，
故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 k．
5．在△ABC中，AB＝48cm，BC＝40cm，CA＝36cm，一个和它相似的三角形的最短边是12cm，那么该三角形最长边是（　　）
A．48cm B．16cm C．36cm D．144cm
【答案】B
【分析】根据相似三角形的性质得出关于x的方程，求出方程的解即可．
【详解】解：设三角形的最长边为x cm，
在△ABC中，AB＝48cm，BC＝40cm，CA＝36cm，一个和它相似的三角形的最短边是12cm，
∴，
解得：x＝16，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，能根据相似三角形的性质得出方程是解此题的关键，注意：相似三角形的对应边的比相等．
6．如果，则下列各式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：∵，
∴；
A．∵，∴，故该选项正确，不符合题意；
B．，故该选项正确，不符合题意；
C．∵，∴，故该选项正确，不符合题意；
D．，故该选项不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了比例的性质，能正确运用比例的性质进行变形是解此题的关键，如果，那么，反之亦然．
7．如图，是Rt△斜边上的高，，，则的长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【分析】由是Rt△斜边上的高，可得∠ADC=∠BDC=90°，可证△ACD∽△CBD，可得CD2=AD BD，求出AD,再求AB．
【详解】解：∵是Rt△斜边上的高，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2=AD BD，
∴AD=9，
∴AB=AD+BD=13．
故选择：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题关键是理解相似三角形性质．
8．如图，两条直线被三条平行线所截，，，，长为（ ）
A． B．6 C． D．7
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
9．如图，利用标杆测量建筑物的高度．如果标杆高，测得，，则建筑物的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的应用，先根据题意得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的值，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
10．如图△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点E是AB中点，将△CAE沿着直线CE翻折，得到△CDE，连接AD，则线段AD的长等于（　　）
A．8 B． C． D．10
【答案】C
【分析】延长CE交AD于F，连接BD，先判定△ABC∽△CAF，即可得到CF=6.4，EF=CF-CE=1.4，再依据EF为△ABD的中位线，即可得出BD=2EF=2.8，最后根据∠ADB=90°，即可运用勾股定理求得AD的长．
【详解】解：如图，延长CE交AD于F，连接BD，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∵∠ACB=90°，CE为中线，
∴CE=AE=BE，
∴∠ACF=∠BAC，
又∵∠AFC=∠BCA=90°，
∴△ABC∽△CAF，
∴ 即
∴CF=6.4，
∴EF=CF-CE=1.4，
由折叠可得，AC=DC，AE=DE，
∴CE垂直平分AD，
又∵E为AB的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴BD=2EF=2.8，
∵AE=BE=DE，
∴∠DAE=∠ADE，∠BDE=∠DBE，
又∵∠DAE+∠ADE+∠BDE+∠DBE=180°，
∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=90°，
∴Rt△ABD中，
故选C．
【点睛】本题考查了翻折变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质等知识的综合运用，解题的关键是作辅助线构造相似三角形，灵活运用所学知识解决问题．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．在同一时刻，小红测得小亮的影长为，教学楼的影长为，已知小亮的身高为，那么教学楼的高度为 m．
【答案】18
【分析】教学楼的高度为，再根据同一时刻物高与影长影长成正比即可得出结论．
【详解】解：设教学楼的高度为，
∵小亮的影长为，教学楼的影长为，小亮的身高为，
∴，解得，
即教学楼的高度为．
故答案为：18．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
12．已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据等比性质，可得答案．
【详解】解：由等比性质，得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟知等比性质是解题关键．
13．已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为 ．
【答案】（4，2）或（－4，－2）
【分析】根据位似变换的定义，作出图形，可得结论．
【详解】解：如图，观察图象可知，点A的对应点的坐标为（4，2）或（-4，-2）．
故答案为：（4，2）或（-4，-2）．
【点睛】本题考查作图-位似变换，解题的关键是正确作出点A的对应点E，G，点B的对应点F，H．
14．如图，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，F是的中点，连接，则的面积是 ．
【答案】
【分析】延长和，相交于点G，根据，得，根据平分得，根据得，利用ASA 可证明，则，，即可得，根据F是的中点得是的中位线，即可得，，根据得，利用ASA可证明，即可得，根据得，可得，进行计算得，即可得．
【详解】解：如图所示，延长和，相交于点G，
∵，，
∴是直角三角形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴（ASA），
∴，，
∴，
∵F是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∴（ASA），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积：
=
=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线，角平分线的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，添加辅助线．
15．如图，在平行四边形中，E为的中点，交于F，若，则 ．

【答案】180
【分析】根据平行四边形的性质可得，再根据是的中点，可得相似比，求出的长，最终可求的长．
【详解】解：平行四边形，
，，
，，
，
为的中点，
，
即，
，
，
，
故答案为：180．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形相似的运用，解题的关键在于根据中点求出相似比，进而求出线段的长度．
16．如图，点为的边上一点，，．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】利用相似三角形的对应边成比例计算即可．
【详解】解：，
，
即，
或（不合题意，舍去）．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练运用相似三角形的对应边成比例列出比例式是解题的关键．
评卷人得分
三、解答题
17．如图，，和分别是它们的中线，与是否相似？如果相似，试确定其周长比和面积比．
【答案】相似，与的周长比是1∶2，面积比是1∶4．
【分析】根据相似三角形的性质证明，∠G=∠C，进而证明△BDC∽△FHG，问题即可解决．
【详解】解：△BDC和△FHG相似．
证明如下：
∵Rt△ABC∽Rt△EFG，
∴，∠G=∠C；而AC=2DC，EG=2GH，
∴，
∴△BDC∽△FHG，
∵EF=2AB，
∴其周长比和面积比分别为1∶2和1∶4．
【点睛】该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
18．如图，在△ABC中，，AB＝12，AE＝6，EC＝4，求AD的长．
【答案】AD长为7.2．
【分析】直接利用和比例性质直接计算出AD的长．
【详解】解：∵，AB=12，AE=6，EC=4，
∴DB=AB-AD=12-AD，
∴，
解得AD=7.2，
故AD长为7.2．
【点睛】本题考查了比例的性质，求得DB=12-AD是解题的关键．
19．已知：中，，，用尺规求作一条过点B的直线，使得截出的一个三角形与相似并证明．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见详解
【分析】作∠ABC的角平分线，交AC于点D，再根据两角对应相等即可．
【详解】解：如图，直线BD即为所求．
证明：∵，，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠BCD=36°，
∴∠BCD=∠A，
∵∠C=∠A，
∴
【点睛】本题主要考查了角平分线的作法，以及三角形相似的判定，解题的关键是三角形相似的判定．
20．如图在平面坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．
（1）将向右平移三个单位长度得到，在平面直角坐标系中做出．
（2）以原点O为位似中心，在第一象限内将放大为原来的2倍得到，做出．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据点平移的坐标变换规律写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）把点A、B、C的横纵坐标都乘以2得到点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．
【详解】解：（1）平移后坐标为 ，
如图所示，三角形为求作图形；
（2）以原点O为位似中心，在第一象限内将放大为原来的2倍则
如图所示，三角形为求作图形．
【点睛】本题考查了作图 位似变换、平移变换，解题关键是找到对应点，顺次连接得出图形．
21．在中，，，垂足为，，，求的面积．
【答案】20
【分析】利用相似三角形的判定和性质，先求出△ADC∽△CDB，再根据对应边成比例，可求出CD的值，故可求出面积．
【详解】根据题里的已知条件，可知∠CAD＋∠ACD＝90°，∠CAD＋∠CBD＝90°，
所以∠ACD＝∠CBD，而∠ADC＝∠CDB＝90°，
所以△ADC∽△CDB，则，
把AD＝8，DB＝2代入得，CD CD＝AD DB＝2×8＝16，
所以CD＝4．
∴的面积为AB×CD=×10×4=20．
【点睛】此题运用了相似三角形的判定和性质，两个角对应相等，则两三角形相似．
22．如图，已知直线，分别交直线m，n于点A，C，E，B，D，F，，求的长．
【答案】．
【分析】由直线，根据平行线分线段成比例定理，即可得，又由，，，即可求得的长，则可求得答案．
【详解】解：，
，
，，，
，
解得：，
．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
23．如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD于点E．
（1）求证：△CDE∽△FAE；
（2）当E是AD的中点且BC＝2CD时，直接写出图中所有与∠F相等的角．
【答案】（1）见解析；（2）图中所有与∠F相等的角为∠DCE、∠BCF、∠AEF、∠DCE，理由见解析
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形就可以证明△CDE∽△FAE；
（2）根据（1）和E是AD的中点可以得到△CDE≌△FAE，然后根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠DCE＝∠F，∠CDE＝∠FAE，
∴△CDE∽△FAE；
（2）解：图中所有与∠F相等的角为∠DCE、∠BCF、∠AEF、∠DCE，理由如下：
由（1）得：∠DCE＝∠F，
∵△CDE∽△FAE，DE＝EA，
∴△CDE≌△FAE，
∴CD＝AF，
∴BF＝2CD，
∵BC＝2CD，AD＝BC＝2AE＝2DE，
∴BF＝BC，AF＝AE，CD＝DE，
∴∠F＝∠BCF，∠AEF＝∠F，∠DEC＝∠DCE．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定和平行四边形的性质是解题的关键．
24．如图，在矩形和矩形中，，，连接交于点，
(1)求的值；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等证明，即可求解；
（2）根据，，可得，由，可得，进而可以解决问题．
【详解】（1）解：如图，设与交于点，
∵在矩形和矩形中，，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，两个角互余的三角形是直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想是解题的关键．
25．如图，已知中，，P是边上一点，以为边作（C，D在同侧），使，，连接．
(1)如图1，若D在上方且，求度数；
(2)如图2．若D在BC上方且，判断与的位置关系，并说明理由；
(3)如图3，若，，，则的最小值为（直接写出结果）．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)的最小值为
【分析】（1）作交于H，根据全等三角形的判定和性质得出，即可解决问题；
（2）作于H，在上截取，使得，利用全等三角形的判定和性质得出，，即可得出结果；
（3）连接，作交的延长线于H，由相似三角形的判定和性质得出，，再由含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，作交于H，
∵，
∴都是等边三角形，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴；
（2）如图，结论：，
理由：作于H，在上截取，使得，
∵，
∴
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴
∴；
（3）如图所示，连接，作交的延长线于H，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴点D的运动轨迹是直线（与的夹角为，如图所示），
∵，
∴，
根据垂线段最短可知，的最小值为．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．
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专题06 图形的相似单元过关（基础版）
考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．如图，直线 ，若，，，则的长为（　　）

A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是原点O，若△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2，且点A的坐标是（1，3），则它的对应点A1的坐标是（ ）
A．（-3，-1） B．（-2，-6） C．（2，6）或（-2，-6） D．（-1，-3）
3．已知：，且的面积：的面积，则两三角形周长比为（ ）
A．1:4 B．1:2 C．1:16 D．1:5
4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）
A． B．2 C．4 D．
5．在△ABC中，AB＝48cm，BC＝40cm，CA＝36cm，一个和它相似的三角形的最短边是12cm，那么该三角形最长边是（　　）
A．48cm B．16cm C．36cm D．144cm
6．如果，则下列各式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是Rt△斜边上的高，，，则的长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
8．如图，两条直线被三条平行线所截，，，，长为（ ）
A． B．6 C． D．7
9．如图，利用标杆测量建筑物的高度．如果标杆高，测得，，则建筑物的高度是（ ）
A． B． C． D．
10．如图△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点E是AB中点，将△CAE沿着直线CE翻折，得到△CDE，连接AD，则线段AD的长等于（　　）
A．8 B． C． D．10
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．在同一时刻，小红测得小亮的影长为，教学楼的影长为，已知小亮的身高为，那么教学楼的高度为 m．
12．已知，则的值为 ．
13．已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为 ．
14．如图，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，F是的中点，连接，则的面积是 ．
15．如图，在平行四边形中，E为的中点，交于F，若，则 ．

16．如图，点为的边上一点，，．若，则的长为 ．
评卷人得分
三、解答题
17．如图，，和分别是它们的中线，与是否相似？如果相似，试确定其周长比和面积比．
18．如图，在△ABC中，，AB＝12，AE＝6，EC＝4，求AD的长．
19．已知：中，，，用尺规求作一条过点B的直线，使得截出的一个三角形与相似并证明．（保留作图痕迹，不写作法）
20．如图在平面坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．
（1）将向右平移三个单位长度得到，在平面直角坐标系中做出．
（2）以原点O为位似中心，在第一象限内将放大为原来的2倍得到，做出．
21．在中，，，垂足为，，，求的面积．
22．如图，已知直线，分别交直线m，n于点A，C，E，B，D，F，，求的长．
23．如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD于点E．
（1）求证：△CDE∽△FAE；
（2）当E是AD的中点且BC＝2CD时，直接写出图中所有与∠F相等的角．
24．如图，在矩形和矩形中，，，连接交于点，
(1)求的值；
(2)求的度数．
25．如图，已知中，，P是边上一点，以为边作（C，D在同侧），使，，连接．
(1)如图1，若D在上方且，求度数；
(2)如图2．若D在BC上方且，判断与的位置关系，并说明理由；
(3)如图3，若，，，则的最小值为（直接写出结果）．
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