【强化训练】北师大九上第四章:专题07 图形的相似单元过关(培优版)(原卷版+解析版)

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【强化训练】北师大九上第四章:专题07 图形的相似单元过关(培优版)(原卷版+解析版)

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专题07 图形的相似单元过关(培优版)
考试范围:第四章;考试时间:120分钟;总分:150分
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
评卷人得分
一、单选题
1.如图,已知中,,若,,,则的长是( )

A. B. C. D.
2.在如图所示的网格中,每个小正方形的边长为1,点都在格点上,点O是和的位似中心,则与的周长比为(  )
A. B. C. D.
3.已知(,),则下列比例式成立的是( )
A. B. C. D.
4.如图,直线l1∥l2∥l 3,直线AC分别交l1、l2、l 3于点A、B、C,直线DF分别交l1、l2、l 3于点D、E、F,AC与DF相交于点H,若AH=2,HB=3,BC=7,DE=4,则EF等于( ) .
A. B. C. D.以上不对
5.如图,已知,则下列表达式正确的是  
A. B. C. D.
6.如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,则线段CD的长为(  )
A.2 B. C.3 D.
7.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,AD的中点,若AB=6,BC=8,则△AEF的面积是( )

A.3 B.4 C.5 D.6
8.如图,在平面直角坐标系中,大鱼与小鱼是关于原点的位似图形,则下列说法中正确的是( )
A.大鱼与小鱼的相似比是
B.对应点到位似中心的距离比是
C.大鱼与小鱼的面积比是
D.若小鱼上一点的坐标是,则在大鱼上的对应点的坐标是(,)
9.如图,在矩形中,,,于,于,平分交于点,交延长线与点,则下列说法中正确的有( )个
①;②;③;④;⑤
A.2 B.3 C.4 D.5
10.如图,在边长为1的正方形ABCD中,动点F,E分别以相同的速度从D,C两点同时出发向C和B运动(任何一个点到达即停止),连接AE、BF交于点P,过点P作交BC于M点,交CD于N点,连接MN,在运动过程中则下列结论:
①;②;③;④;⑤线段MN的最小值为;其中正确的结论有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
第II卷(非选择题)
评卷人得分
二、填空题
11.如果线段a、b、c、d满足,则 = .
12.若两个三角形是相似形,其中一个三角形的两个角分别是60°、50°.则另一个三角形的最小的内角为 .
13.如图,在中,,,,点D为上一点,且,以为边向右侧作等边,点M为的中点,连接,将等边绕点C在平面内自由旋转,当B、D、E三点共线时,则的长为 .
14.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,∠AED=∠B,射线AG分别交线段DE,BC于点F,G,且.若,则= .
15.如图,每相邻4个钉点是边长为1个单位的小正方形顶点,钉点,的连线与钉点,的连线相交于点,则
(1)与是否垂直? (填是与否)
(2)
(3) .
16.如图,已知是等边三角形,点D、E分别在边、上,且,连接并延长至点F,使,连接,,连接并延长交于点G.若,则 .


评卷人得分
三、解答题
17.三角形三条边上的中线交于一点,这个点叫三角形的重心.如图,点G是的重心,连接.
(1)求证:;
(2)若,求的长.
18.如图,在平行四边形ABCD中,BC=8,点E、F是对角线BD上的两点,且BE=EF=FD,AE的延长线交BC于点G,GF的延长线交AD于点H.
(1)求HD的长;
(2)设的面积为a,求四边形AEFH的面积.(用含a的代数式表示)
19.如图,的顶点都在网格点上.
(1)以点为位似中心,把按放大,在轴的左侧,画出放大后的,其中点的对应点为点,点的对应点为点;
(2)点的坐标是________;
(3)________.
20.如图,已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上.
(1)如果,且AD+DE+AE=15,求△ABC的周长;
(2)如果DE∥BC,过点D作DF∥AC,交BC于点F,且AE=7,CE=3,BF,求FC的值.
21.在物理学中我们学过光的反射定律.数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度,测量步骤如下:
①如图,在地面上的点处放置一块平面镜(镜子大小忽略不计),小华站在的延长线上,当小华从平面镜中刚好看到树的顶点时,测得小华到平面镜的距离米,小华的眼睛到地面的距离米;
②将平面镜从点沿的延长线移动米到点处,小华移动到点处时,小华的眼睛又刚好在平面镜中看到树的顶点,这时测得小华到平面镜的距离米.
请根据以上测量过程及数据求出树的高度.

22.如图,把矩形ABCD沿AC折叠,使点D与点E重合,AE交BC于点F,过点E作EG//CD交AC于点G,交CF于点H,连接DG.
(1)求证:四边形ECDG是菱形;
(2)若cm,cm,求AC的长.
23.如图1,正三角形中,是边上的一点,以点为顶点作,分别交,于点,.
(1)当时,与的关系是______;
(2)将绕点顺时针旋转,当时,求的值;
(3)如图2,若在正三角形中边的延长线上,点与点重合,点落在延长线上,,,求长.
24.【问题初探】
(1)在数学活动课上,李老师给出如下问题:
如图1,在中,,.点,在上,且,探究线段的数量关系.
如图2,小鹏在探索过程中发现,这三条线段的数量关系不是简单的和或差的关系,于是就考虑能否将这三条线段转化到同一个三角形中,进而探索其数量关系,联想到近期学的旋转变换,小鹏同学给出如下探索思路:过点C作的垂线,并在垂线上截取,连接,通过证明三角形全等,得出对应的线段相等,进而将线段的数量关系转化为与的数量关系.请你根据小鹏的解题思路,写出证明过程.
【学以致用】
(2)如图3,在四边形中,,,,,求的长.
图3
25.如图,在矩形中,,,,点从点出发,沿方向匀速运动,速度为;同时,点从点出发,沿方向匀速运动,速度为,连接,设运动时间为比 ,请解答下列问题:
(1)当为何值时,?
(2)设四边形的面积为,求与的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻,使,,三点在同一直线上?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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专题07 图形的相似单元过关(培优版)
考试范围:第四章;考试时间:120分钟;总分:150分
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
评卷人得分
一、单选题
1.如图,已知中,,若,,,则的长是( )

A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例的方法即可求解.
【详解】解:在中,,
∴,
∴,且,,,
∴,
∴,
故选:.
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的知识,掌握以上知识是解题的关键.
2.在如图所示的网格中,每个小正方形的边长为1,点都在格点上,点O是和的位似中心,则与的周长比为(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】先利用位似的性质得到,相似比为,然后根据相似三角形的性质求解.
【详解】解:∵点O是和的位似中心,
∴,相似比为 ,
∴与的周长比为.
故选:D.
【点睛】本题考查了位似变换:如果两个图形不仅是相似图形,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.位似图形必须是相似形,对应点的连线都经过同一点;对应边平行或共线.
3.已知(,),则下列比例式成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据若(,),则,进行逐一判断即可求解.
【详解】解:A.可化为,故此项符合题意;
B. 可化为,故此项不符合题意;
C. 可化为,故此项不符合题意;
D. 可化为,故此项不符合题意.
故选:A.
【点睛】本题考查了比例是性质,掌握性质是解题的关键.
4.如图,直线l1∥l2∥l 3,直线AC分别交l1、l2、l 3于点A、B、C,直线DF分别交l1、l2、l 3于点D、E、F,AC与DF相交于点H,若AH=2,HB=3,BC=7,DE=4,则EF等于( ) .
A. B. C. D.以上不对
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例即可列出比例式进行求解.
【详解】设EH为x,则DH=DE-x=4-x
∵l1∥l2
∴,即
解得x=
又∵l2∥l 3,
∴,即
解得EF=
故选C.
【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例,解题的关键是熟知分线段成比例定理的性质.
5.如图,已知,则下列表达式正确的是  
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】题目中给出的条件主要是角度相等,观察图形,寻找其他等角,根据“有两个角对应相等的三角形相似”,找出图中所有相似三角形,对答案逐一判断.
【详解】,
,即,
,,

,,

,选项错误;

,选项错误;

,选项正确;

,选项错误;
故选:.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质,认真观察图形,找到角的相等关系,运用判定定理找出所有相似三角形是关键.
6.如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,则线段CD的长为(  )
A.2 B. C.3 D.
【答案】D
【分析】直接利用A,B点坐标得出AB的长,再利用位似图形的性质得出CD的长.
【详解】解:∵A(6,6),B(8,2),
∴AB==2,
∵以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,
∴线段CD的长为:×2=.
故选:D.
【点睛】本题考查了位似图形,解题的关键是熟悉位似图形的性质.
7.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,AD的中点,若AB=6,BC=8,则△AEF的面积是( )

A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】A
【分析】因为四边形ABCD是矩形,所以AD=BC=8,∠BAD=90°,,又因为点E,F分别是AO,AD的中点,所以EF为三角形AOD的中位线,推出,,AF:AD=1:2由此即可解决问题.
【详解】解:∵四边形ABCD是矩形,AB=6,BC=8
∴,
∵E,F分别是AO.AD中点,
∴,

AF:AD=1:2,
∴△AEF的面积为3,
故选:A.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、矩形的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于基础题,中考常考题型.
8.如图,在平面直角坐标系中,大鱼与小鱼是关于原点的位似图形,则下列说法中正确的是( )
A.大鱼与小鱼的相似比是
B.对应点到位似中心的距离比是
C.大鱼与小鱼的面积比是
D.若小鱼上一点的坐标是,则在大鱼上的对应点的坐标是(,)
【答案】C
【分析】根据位似比等于相似比,面积比等于相似比的平方,逐一进行判断即可.
【详解】解:A、大鱼与小鱼的相似比是,选项错误,不符合题意;
B、大鱼与小鱼的对应点到位似中心的距离比是,选项错误,不符合题意;
C、大鱼与小鱼的面积比是,选项正确,符合题意;
D、若小鱼上一点的坐标是,则在大鱼上的对应点的坐标是,选项错误,不符合题意;
故选C.
【点睛】本题考查位似图形.熟练掌握位似比等于相似比,面积比等于相似比的平方,是解题的关键.
9.如图,在矩形中,,,于,于,平分交于点,交延长线与点,则下列说法中正确的有( )个
①;②;③;④;⑤
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】D
【分析】证明即可判断①;证明为等腰直角三角形得到,即可判断②;证明,得到,求出即可求出MN;连接AC证明,推出AC=CF,由此得到BD=CF,判断④;利用射影定理证明.
【详解】∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,
∵,,
∴∠AGD=∠BEC=,
∴,
∴,故①正确;
∵平分,
∴∠BAN=∠DAN,
∵∠ANB=∠DAN,
∴∠BAN=∠ANB,
∴BN=AB,
∴为等腰直角三角形,
∴,故②正确;
∵AD∥BC,
∴,
∴,
∵,
∴,故③正确;
连接,
∵∠BAC=∠ABD,∠DBC+∠ABF=∠DBC+∠BCE=,
∴,
设,则,,
∴,
∴为等腰三角形,
∴,故④正确;
在中,AG⊥BD,
∴,故⑤正确.
综上,D正确.
故选:D
【点睛】此题考查矩形的性质,等腰三角形的判定及性质,全等三角形的判定及性质,勾股定理,相似三角形的判定及性质,射影定理,这是一道较综合的三角形题型,需熟练掌握各知识点才能正确解答.
10.如图,在边长为1的正方形ABCD中,动点F,E分别以相同的速度从D,C两点同时出发向C和B运动(任何一个点到达即停止),连接AE、BF交于点P,过点P作交BC于M点,交CD于N点,连接MN,在运动过程中则下列结论:
①;②;③;④;⑤线段MN的最小值为;其中正确的结论有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】C
【分析】①动点F,E分别以相同的速度从D,C两点同时出发,所以DF=CE,从而得到FC=BE,利用SAS证明;②由得到;③由得到∠EAB=∠FBC,从而有∠FBC+∠BEA=90°,所以;④由CF=BE,BF=AE,把问题转化为证明BE2=AE·PE,结论成立;⑤在矩形PNCM中,MN=PC,所以问题转化为求PC的最值,P的运动轨迹是以AB为直径的圆,所以PC的最小值是AB中点与C的连线段减去AB的一半.
【详解】解:①动点F,E分别以相同的速度从D,C两点同时出发,
∴DF=CE,
∴DC-DF=BC-CE,即FC=BE,
又∵FC=AB,∠C=∠ABC,
∴,所以①正确;
②由得到,所以②正确;
③∵,
∴∠EAB=∠FBC,
又∵∠EAB +∠BEA=90°,
∴∠FBC +∠BEA=90°,
∴∠BPE=90°,即,③正确;
④∵∠EBP=∠EAB,∠BEA=∠BEA,
∴△BEP∽△AEB,
∴,即BE2=AE·PE,
又∵BE=CF,AE=BF,
∴,④正确;
⑤在矩形PNCM中,MN=PC,所以问题转化为求PC的最值,P的运动轨迹是以AB为直径的圆,所以PC的最小值是AB中点与C的连线段减去AB的一半,如图,Q是AB中点,PC的最小值即CQ-PQ,
CQ=,
PQ=,
∴ PC的最小值是,⑤错误;
故选C.
【点睛】本题考查了相似三角形、圆、正方形的性质,解题的关键是掌握动点最值问题的解法.
第II卷(非选择题)
评卷人得分
二、填空题
11.如果线段a、b、c、d满足,则 = .
【答案】
【分析】设,,则,,代入计算即可求得答案.
【详解】∵线段满足,
∴设,,则,,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题考查了比例线段以及比例的性质,设出适当的未知数可使解题简便.
12.若两个三角形是相似形,其中一个三角形的两个角分别是60°、50°.则另一个三角形的最小的内角为 .
【答案】50°
【分析】先求出三角形的另一个角,比较后得出三角形的最小的内角为50°.再根据相似三角形的性质得出结论.
【详解】解:∵一个三角形的两个角分别为60°、50°,
∴另一个角为180°-(60°+50°)=70°,
∴三角形的最小的内角为50°.
∵两个三角形相似,
∴相似的另一个三角形的最小的内角为50°.
故答案为:50°.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质,解题的关键是掌握三角形的内角和定理及相似三角形的性质.
13.如图,在中,,,,点D为上一点,且,以为边向右侧作等边,点M为的中点,连接,将等边绕点C在平面内自由旋转,当B、D、E三点共线时,则的长为 .
【答案】3或4/4或3
【分析】本题考查了旋转的性质,含30度直角三角形的特征,相似三角形的性质和判定,作出辅助线是解题的关键.当B、D、E三点共线时,要分情况讨论,一种是在直线上方共线,一种是在直线下方共线,分别画出两种图形,利用相似三角形的性质即可解答.
【详解】解:在中,,,,
∴,,
以为边向右侧作等边,点M为的中点,
∴,,,
当B、D、E三点共线时
①如图:
过C作于点E,则,,
在中,由勾股定理可得,
∴,,
∴,,
又∵,
∴,
∴,
∴,即,
∴;
②如图:
过C作于点F,则,,
在中,由勾股定理可得,
∴,,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,即,
∴,
故答案为:3或4.
14.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,∠AED=∠B,射线AG分别交线段DE,BC于点F,G,且.若,则= .
【答案】1
【分析】先证△ADF∽△ACG利用相似三角形的性质得到 ,由于 ,故而,得到.
【详解】∵∠AED=∠B,∠DAE=∠CAB,
∴∠ADF=∠C.
又∵,
∴△ADF∽△ACG.
∴,
∵,
∴,
∴.
故答案为1.
【点睛】掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
15.如图,每相邻4个钉点是边长为1个单位的小正方形顶点,钉点,的连线与钉点,的连线相交于点,则
(1)与是否垂直? (填是与否)
(2)
(3) .
【答案】 是 /
【分析】如图,连接,,,,由四边形是矩形得根据 ,可得,即得,则即得;根据勾股定理求得,再由,得,所以.
【详解】解:连接,,,,如图所示:
∵四边形是矩形,
∴,
∵, ,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴;
∵,,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴ ;
故答案为:是; ;.
【点睛】本题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的判定及两条直线垂直问题的证明等知识与方法,证明三角形相似是解题的关键.
16.如图,已知是等边三角形,点D、E分别在边、上,且,连接并延长至点F,使,连接,,连接并延长交于点G.若,则 .

【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质.如图,延长、交于点H,由是等边三角形,可知,,由,可得,证、是等边三角形,则,,证明,则,即,证明,则,解得,证明,则,进而可得结果.
【详解】解:如图,延长、交于点H,

∵是等边三角形,
∴,,
∵,
∴,
∵,
∴是等边三角形,
∴,
∵,,
∴是等边三角形,
∴,,
∴,
∴,
∴,即,
∵,
∴,
又∵,
∴,
∴,
解得,
∵,,
∴,
∴,
故答案为:.

评卷人得分
三、解答题
17.三角形三条边上的中线交于一点,这个点叫三角形的重心.如图,点G是的重心,连接.
(1)求证:;
(2)若,求的长.
【答案】(1)见解析;(2).
【分析】(1)由点G是的重心可得点E和点D分别是和的中点,证明,由相似三角形的性质得,即可得证;
(2)先证明,由相似三角形的性质得,即,由AD=6即可求得GD的长.
【详解】(1)证明:∵点G是的重心,
∴点E和点D分别是和的中点
∴,

又∵,
∴,

∴;
(2)由(1)知,
∴,
∵,
∴,
∴ ,


∵AD=6,
∴.
【点睛】本题考查三角形的重心、三角形的中位线、三角形相似,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
18.如图,在平行四边形ABCD中,BC=8,点E、F是对角线BD上的两点,且BE=EF=FD,AE的延长线交BC于点G,GF的延长线交AD于点H.
(1)求HD的长;
(2)设的面积为a,求四边形AEFH的面积.(用含a的代数式表示)
【答案】(1)2;(2)
【分析】(1)根据平行四边形的性质得,根据相似三角形的判定得,,由BE=EF=FD可得出,,根据相似三角形的性质即可求解;
(2)由BE=EF可得与的面积相等,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得与的值,-即可得四边形AEFH的面积.
【详解】解:(1)∵平行四边形ABCD,BC=8,
∴,=8,
∴,,
∴,,
∵BE=EF=FD,
∴,,
∴BG=AD=4,HD=BG,
∴HD=2;
(2)∵BE=EF,
∴=a,
∴,
∵,,,,
∴,,
∴四边形AEFH的面积=-=.
【点睛】本题考查平行四边形的性质,相似三角形的判定和性质,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.
19.如图,的顶点都在网格点上.
(1)以点为位似中心,把按放大,在轴的左侧,画出放大后的,其中点的对应点为点,点的对应点为点;
(2)点的坐标是________;
(3)________.
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】
本题主要考查了位似作图,位似图形的性质.
(1)依据点为位似中心,把按放大,在轴的左侧,即可画出放大后的;
(2)依据点的位置,即可得到点的对应点的坐标;
(3)依据相似三角形的面积之比等于位似比的平方,即可得到,进而得出.
【详解】(1)
解:如图所示,即为所求;
(2)
解:点的对应点的坐标是,
故答案为:;
(3)
解:由题可得,,

又位似比为,


故答案为:.
20.如图,已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上.
(1)如果,且AD+DE+AE=15,求△ABC的周长;
(2)如果DE∥BC,过点D作DF∥AC,交BC于点F,且AE=7,CE=3,BF,求FC的值.
【答案】(1)25;(2)
【分析】(1)通过证明△ADE∽△ABC,可得,即可求解;
(2)由题意可证四边形DECF是平行四边形,可得DF=EC=3,通过证明△DFB∽△ACB,可得,可求BC的长,即可求解.
【详解】解:(1)∵,∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC,
∴,
∴,
∵AD+DE+AE=15,
∴AB+AC+BC=25,
∴△ABC的周长为25;
(2)如图,
∵DE∥BC,DF∥AC,
∴四边形DECF是平行四边形,
∴DF=EC=3,
∵DF∥AC,
∴△DFB∽△ACB,
∴,
∴,
∴BC=6,
∴FC=BC﹣BF=6.
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,掌握相似三角形的性质是本题的关键.
21.在物理学中我们学过光的反射定律.数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度,测量步骤如下:
①如图,在地面上的点处放置一块平面镜(镜子大小忽略不计),小华站在的延长线上,当小华从平面镜中刚好看到树的顶点时,测得小华到平面镜的距离米,小华的眼睛到地面的距离米;
②将平面镜从点沿的延长线移动米到点处,小华移动到点处时,小华的眼睛又刚好在平面镜中看到树的顶点,这时测得小华到平面镜的距离米.
请根据以上测量过程及数据求出树的高度.

【答案】树的高度为米.
【分析】根据题意得出,利用相似三角形的性质得出,的长进而得出答案.
【详解】解:设米,米.
,,



,,




解得:,

树的高度为米.
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用,正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键.
22.如图,把矩形ABCD沿AC折叠,使点D与点E重合,AE交BC于点F,过点E作EG//CD交AC于点G,交CF于点H,连接DG.
(1)求证:四边形ECDG是菱形;
(2)若cm,cm,求AC的长.
【答案】(1)见解析;(2)cm.
【分析】(1)根据折叠的性质,邻边相等的平行四边形为菱形证得结论;
(2)如图,连接ED交AC于点O,构造相似三角形△DCO∽△ACD,由该相似三角形的对应边成比例求得DC2=OC AC,可求AC的长.
【详解】解:(1)证明:由折叠可知DC=EC,∠DCG=∠ECG.
∵EG//CD,
∴∠DCG=∠EGC
∴∠EGC=∠ECG.
∴EG=EC.
∴EG=DC.
∴四边形ECDG是平行四边形.
∵EG=EC,
∴平行四边形ECDG是菱形.
(2)连接ED交AC于点O,
∵四边形ECDG是菱形,
∴ED⊥AC,.
∴∠DOC=90°.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADC=90°.
∴∠ADC=∠DOC
∵∠ACD=∠DCO
∴△DCO∽△ACD.
∴.
∴.
设OC=x,则CG=2x,AC=,
∴.
解得(不合题意,舍去)
∴.
∴.
【点睛】本题考查了翻折变换,矩形的性质,菱形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.
23.如图1,正三角形中,是边上的一点,以点为顶点作,分别交,于点,.
(1)当时,与的关系是______;
(2)将绕点顺时针旋转,当时,求的值;
(3)如图2,若在正三角形中边的延长线上,点与点重合,点落在延长线上,,,求长.
【答案】(1)相等
(2)2
(3)
【分析】(1)根据等边三角形的性质得到∠B=∠C=60°,根据三角形的内角和和平角的定义得到∠BED=∠CDF,根据全等三角形的性质得到BD=CF;
(2)根据等边三角形的性质得到∠B=∠C=60°,求得∠FDC=∠DEB,根据相似三角形的性质即可得到结论;
(3)根据已知条件得到∠DAB=∠FDC,求得∠ABD=∠DCF,根据相似三角形的性质得到,得到BD=2,根据勾股定理即可得到结论.
【详解】(1)解:相等,
理由:∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,
∵∠EDF=60°,
∴∠BDE+∠BED=∠BDE+∠CDF=120°,
∴∠BED=∠CDF,
∵BE=CD,
∴△BDE≌△CFD(AAS),
∴BD=CF,
故答案为:相等;
(2)解:∵△ABC为正三角形,
∴∠B=∠C=60°,
∵∠EDC=∠EDF+∠FDC=∠DEB+∠B,
又∠EDF=60°,
∴∠FDC=∠DEB,
∴△BDE∽△CFD,
∴,
∵BE=2CD,
∴ ;
(3)解:∵∠ADC=∠ADB+∠FDC=60°,
∠ABC=∠ADB+∠DAB=60°,
∴∠DAB=∠FDC,
∵∠ABC=∠ACB,
∴∠ABD=∠DCF,
∴△BDA∽△CFD,
∴,,
∴ ,
∵AB=2,
∴CD=4,
∴BD=2,
作△ABC的高AH,则BH=1,DH=3,
在△ABH中,由勾股定理得,,
在△ABH中,由勾股定理得,

∴DF=2AD=4.
【点睛】本题考查了几何变换综合题,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,等边三角形的性质,证得△BDE≌△CFD和△BDA∽△CFD是解题的关键.
24.【问题初探】
(1)在数学活动课上,李老师给出如下问题:
如图1,在中,,.点,在上,且,探究线段的数量关系.
如图2,小鹏在探索过程中发现,这三条线段的数量关系不是简单的和或差的关系,于是就考虑能否将这三条线段转化到同一个三角形中,进而探索其数量关系,联想到近期学的旋转变换,小鹏同学给出如下探索思路:过点C作的垂线,并在垂线上截取,连接,通过证明三角形全等,得出对应的线段相等,进而将线段的数量关系转化为与的数量关系.请你根据小鹏的解题思路,写出证明过程.
【学以致用】
(2)如图3,在四边形中,,,,,求的长.
图3
【答案】(1)结论:,理由见详解;(2)
【分析】(1)由小鹏的操作过程得知,,先证,再证,得出 在中运用勾股定理即可求解;
(2)作,且使,证明,得出,,再证明,得出,过点作交的延长线于点,得出,,,在中,运用勾股定理求解;
【详解】(1)结论:.
证明:如图,由小鹏的操作过程得知,,
又∵.
又∵,
在中,,
(2)解:如图,作,且使,
∵,
∴.
∴.
∵,
∴.
∴,
在和中,
∵.
∴.
∵.
∴.
∴,得.
过点作交的延长线于点,
则,
∴.
∴.
在中,.
∴.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,勾股定理,直角三角形的性质,三角形内角和定理等知识点,解题的关键是构建正确的辅助线.
25.如图,在矩形中,,,,点从点出发,沿方向匀速运动,速度为;同时,点从点出发,沿方向匀速运动,速度为,连接,设运动时间为比 ,请解答下列问题:
(1)当为何值时,?
(2)设四边形的面积为,求与的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻,使,,三点在同一直线上?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2);(3)存在,
【分析】(1)利用矩形的性质先求解,再利用平行线分线段成比例列方程求解即可;
(2)如图②所示,过点作于点,先利用相似三角形的性质得出BF,PF,再利用面积的和即可得出结论;
(3)如图③所示,过点作于点,判断出,得出PG=t,EG=t,再判断出得出比例式建立方程求解即可得出结论.
【详解】解:(1)如图①所示.
∵四边形是矩形,∴.
∴,.
在中,,,
根据勾股定理,得:.
由题意,得,,
∴,.
∵,,,
∴.
∴.
∴.
∴.
(2)如图②所示,过点作于点,
∴.
∴.
∵,
∴.
∴.
∴.
∴,.
∴.


(3)存在.理由如下:
如图③所示,过点作于点,
∴.
∴.
∴.
∴.
∴,.
∴.
∵.
∴.
∴.
∴.
∴.
∴或(舍去).
∴当时,,,三点在同一直线上.
【点睛】本题是四边形综合题,主要考查了矩形的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理的应用,几何图形面积的求法,同时考查一元二次方程的解法,掌握以上知识是解题的关键.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
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