资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台专题07 图形的相似单元过关(培优版)考试范围:第四章;考试时间:120分钟;总分:150分注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷(选择题)评卷人得分一、单选题1.如图,已知中,,若,,,则的长是( ) A. B. C. D.2.在如图所示的网格中,每个小正方形的边长为1,点都在格点上,点O是和的位似中心,则与的周长比为( )A. B. C. D.3.已知(,),则下列比例式成立的是( )A. B. C. D.4.如图,直线l1∥l2∥l 3,直线AC分别交l1、l2、l 3于点A、B、C,直线DF分别交l1、l2、l 3于点D、E、F,AC与DF相交于点H,若AH=2,HB=3,BC=7,DE=4,则EF等于( ) .A. B. C. D.以上不对5.如图,已知,则下列表达式正确的是 A. B. C. D.6.如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,则线段CD的长为( )A.2 B. C.3 D.7.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,AD的中点,若AB=6,BC=8,则△AEF的面积是( ) A.3 B.4 C.5 D.68.如图,在平面直角坐标系中,大鱼与小鱼是关于原点的位似图形,则下列说法中正确的是( )A.大鱼与小鱼的相似比是B.对应点到位似中心的距离比是C.大鱼与小鱼的面积比是D.若小鱼上一点的坐标是,则在大鱼上的对应点的坐标是(,)9.如图,在矩形中,,,于,于,平分交于点,交延长线与点,则下列说法中正确的有( )个①;②;③;④;⑤A.2 B.3 C.4 D.510.如图,在边长为1的正方形ABCD中,动点F,E分别以相同的速度从D,C两点同时出发向C和B运动(任何一个点到达即停止),连接AE、BF交于点P,过点P作交BC于M点,交CD于N点,连接MN,在运动过程中则下列结论:①;②;③;④;⑤线段MN的最小值为;其中正确的结论有( )A.2个 B.3个 C.4个 D.5个第II卷(非选择题)评卷人得分二、填空题11.如果线段a、b、c、d满足,则 = .12.若两个三角形是相似形,其中一个三角形的两个角分别是60°、50°.则另一个三角形的最小的内角为 .13.如图,在中,,,,点D为上一点,且,以为边向右侧作等边,点M为的中点,连接,将等边绕点C在平面内自由旋转,当B、D、E三点共线时,则的长为 .14.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,∠AED=∠B,射线AG分别交线段DE,BC于点F,G,且.若,则= .15.如图,每相邻4个钉点是边长为1个单位的小正方形顶点,钉点,的连线与钉点,的连线相交于点,则(1)与是否垂直? (填是与否)(2)(3) .16.如图,已知是等边三角形,点D、E分别在边、上,且,连接并延长至点F,使,连接,,连接并延长交于点G.若,则 . 评卷人得分三、解答题17.三角形三条边上的中线交于一点,这个点叫三角形的重心.如图,点G是的重心,连接.(1)求证:;(2)若,求的长.18.如图,在平行四边形ABCD中,BC=8,点E、F是对角线BD上的两点,且BE=EF=FD,AE的延长线交BC于点G,GF的延长线交AD于点H.(1)求HD的长;(2)设的面积为a,求四边形AEFH的面积.(用含a的代数式表示)19.如图,的顶点都在网格点上.(1)以点为位似中心,把按放大,在轴的左侧,画出放大后的,其中点的对应点为点,点的对应点为点;(2)点的坐标是________;(3)________.20.如图,已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上.(1)如果,且AD+DE+AE=15,求△ABC的周长;(2)如果DE∥BC,过点D作DF∥AC,交BC于点F,且AE=7,CE=3,BF,求FC的值.21.在物理学中我们学过光的反射定律.数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度,测量步骤如下:①如图,在地面上的点处放置一块平面镜(镜子大小忽略不计),小华站在的延长线上,当小华从平面镜中刚好看到树的顶点时,测得小华到平面镜的距离米,小华的眼睛到地面的距离米;②将平面镜从点沿的延长线移动米到点处,小华移动到点处时,小华的眼睛又刚好在平面镜中看到树的顶点,这时测得小华到平面镜的距离米.请根据以上测量过程及数据求出树的高度. 22.如图,把矩形ABCD沿AC折叠,使点D与点E重合,AE交BC于点F,过点E作EG//CD交AC于点G,交CF于点H,连接DG.(1)求证:四边形ECDG是菱形;(2)若cm,cm,求AC的长.23.如图1,正三角形中,是边上的一点,以点为顶点作,分别交,于点,.(1)当时,与的关系是______;(2)将绕点顺时针旋转,当时,求的值;(3)如图2,若在正三角形中边的延长线上,点与点重合,点落在延长线上,,,求长.24.【问题初探】(1)在数学活动课上,李老师给出如下问题:如图1,在中,,.点,在上,且,探究线段的数量关系.如图2,小鹏在探索过程中发现,这三条线段的数量关系不是简单的和或差的关系,于是就考虑能否将这三条线段转化到同一个三角形中,进而探索其数量关系,联想到近期学的旋转变换,小鹏同学给出如下探索思路:过点C作的垂线,并在垂线上截取,连接,通过证明三角形全等,得出对应的线段相等,进而将线段的数量关系转化为与的数量关系.请你根据小鹏的解题思路,写出证明过程.【学以致用】(2)如图3,在四边形中,,,,,求的长.图325.如图,在矩形中,,,,点从点出发,沿方向匀速运动,速度为;同时,点从点出发,沿方向匀速运动,速度为,连接,设运动时间为比 ,请解答下列问题:(1)当为何值时,?(2)设四边形的面积为,求与的函数关系式;(3)是否存在某一时刻,使,,三点在同一直线上?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台专题07 图形的相似单元过关(培优版)考试范围:第四章;考试时间:120分钟;总分:150分注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷(选择题)评卷人得分一、单选题1.如图,已知中,,若,,,则的长是( ) A. B. C. D.【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例的方法即可求解.【详解】解:在中,,∴,∴,且,,,∴,∴,故选:.【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的知识,掌握以上知识是解题的关键.2.在如图所示的网格中,每个小正方形的边长为1,点都在格点上,点O是和的位似中心,则与的周长比为( )A. B. C. D.【答案】D【分析】先利用位似的性质得到,相似比为,然后根据相似三角形的性质求解.【详解】解:∵点O是和的位似中心,∴,相似比为 ,∴与的周长比为.故选:D.【点睛】本题考查了位似变换:如果两个图形不仅是相似图形,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.位似图形必须是相似形,对应点的连线都经过同一点;对应边平行或共线.3.已知(,),则下列比例式成立的是( )A. B. C. D.【答案】A【分析】根据若(,),则,进行逐一判断即可求解.【详解】解:A.可化为,故此项符合题意;B. 可化为,故此项不符合题意;C. 可化为,故此项不符合题意;D. 可化为,故此项不符合题意.故选:A.【点睛】本题考查了比例是性质,掌握性质是解题的关键.4.如图,直线l1∥l2∥l 3,直线AC分别交l1、l2、l 3于点A、B、C,直线DF分别交l1、l2、l 3于点D、E、F,AC与DF相交于点H,若AH=2,HB=3,BC=7,DE=4,则EF等于( ) .A. B. C. D.以上不对【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例即可列出比例式进行求解.【详解】设EH为x,则DH=DE-x=4-x∵l1∥l2∴,即解得x=又∵l2∥l 3,∴,即解得EF=故选C.【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例,解题的关键是熟知分线段成比例定理的性质.5.如图,已知,则下列表达式正确的是 A. B. C. D.【答案】C【分析】题目中给出的条件主要是角度相等,观察图形,寻找其他等角,根据“有两个角对应相等的三角形相似”,找出图中所有相似三角形,对答案逐一判断.【详解】,,即,,,,,,,,选项错误;,,选项错误;,,选项正确;,,选项错误;故选:.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质,认真观察图形,找到角的相等关系,运用判定定理找出所有相似三角形是关键.6.如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,则线段CD的长为( )A.2 B. C.3 D.【答案】D【分析】直接利用A,B点坐标得出AB的长,再利用位似图形的性质得出CD的长.【详解】解:∵A(6,6),B(8,2),∴AB==2,∵以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,∴线段CD的长为:×2=.故选:D.【点睛】本题考查了位似图形,解题的关键是熟悉位似图形的性质.7.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,AD的中点,若AB=6,BC=8,则△AEF的面积是( ) A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【分析】因为四边形ABCD是矩形,所以AD=BC=8,∠BAD=90°,,又因为点E,F分别是AO,AD的中点,所以EF为三角形AOD的中位线,推出,,AF:AD=1:2由此即可解决问题.【详解】解:∵四边形ABCD是矩形,AB=6,BC=8∴,∵E,F分别是AO.AD中点,∴,,AF:AD=1:2,∴△AEF的面积为3,故选:A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、矩形的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于基础题,中考常考题型.8.如图,在平面直角坐标系中,大鱼与小鱼是关于原点的位似图形,则下列说法中正确的是( )A.大鱼与小鱼的相似比是B.对应点到位似中心的距离比是C.大鱼与小鱼的面积比是D.若小鱼上一点的坐标是,则在大鱼上的对应点的坐标是(,)【答案】C【分析】根据位似比等于相似比,面积比等于相似比的平方,逐一进行判断即可.【详解】解:A、大鱼与小鱼的相似比是,选项错误,不符合题意;B、大鱼与小鱼的对应点到位似中心的距离比是,选项错误,不符合题意;C、大鱼与小鱼的面积比是,选项正确,符合题意;D、若小鱼上一点的坐标是,则在大鱼上的对应点的坐标是,选项错误,不符合题意;故选C.【点睛】本题考查位似图形.熟练掌握位似比等于相似比,面积比等于相似比的平方,是解题的关键.9.如图,在矩形中,,,于,于,平分交于点,交延长线与点,则下列说法中正确的有( )个①;②;③;④;⑤A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【分析】证明即可判断①;证明为等腰直角三角形得到,即可判断②;证明,得到,求出即可求出MN;连接AC证明,推出AC=CF,由此得到BD=CF,判断④;利用射影定理证明.【详解】∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∵,,∴∠AGD=∠BEC=,∴,∴,故①正确;∵平分,∴∠BAN=∠DAN,∵∠ANB=∠DAN,∴∠BAN=∠ANB,∴BN=AB,∴为等腰直角三角形,∴,故②正确;∵AD∥BC,∴,∴,∵,∴,故③正确;连接,∵∠BAC=∠ABD,∠DBC+∠ABF=∠DBC+∠BCE=,∴,设,则,,∴,∴为等腰三角形,∴,故④正确;在中,AG⊥BD,∴,故⑤正确.综上,D正确.故选:D【点睛】此题考查矩形的性质,等腰三角形的判定及性质,全等三角形的判定及性质,勾股定理,相似三角形的判定及性质,射影定理,这是一道较综合的三角形题型,需熟练掌握各知识点才能正确解答.10.如图,在边长为1的正方形ABCD中,动点F,E分别以相同的速度从D,C两点同时出发向C和B运动(任何一个点到达即停止),连接AE、BF交于点P,过点P作交BC于M点,交CD于N点,连接MN,在运动过程中则下列结论:①;②;③;④;⑤线段MN的最小值为;其中正确的结论有( )A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】C【分析】①动点F,E分别以相同的速度从D,C两点同时出发,所以DF=CE,从而得到FC=BE,利用SAS证明;②由得到;③由得到∠EAB=∠FBC,从而有∠FBC+∠BEA=90°,所以;④由CF=BE,BF=AE,把问题转化为证明BE2=AE·PE,结论成立;⑤在矩形PNCM中,MN=PC,所以问题转化为求PC的最值,P的运动轨迹是以AB为直径的圆,所以PC的最小值是AB中点与C的连线段减去AB的一半.【详解】解:①动点F,E分别以相同的速度从D,C两点同时出发,∴DF=CE,∴DC-DF=BC-CE,即FC=BE,又∵FC=AB,∠C=∠ABC,∴,所以①正确;②由得到,所以②正确;③∵,∴∠EAB=∠FBC,又∵∠EAB +∠BEA=90°,∴∠FBC +∠BEA=90°,∴∠BPE=90°,即,③正确;④∵∠EBP=∠EAB,∠BEA=∠BEA,∴△BEP∽△AEB,∴,即BE2=AE·PE,又∵BE=CF,AE=BF,∴,④正确;⑤在矩形PNCM中,MN=PC,所以问题转化为求PC的最值,P的运动轨迹是以AB为直径的圆,所以PC的最小值是AB中点与C的连线段减去AB的一半,如图,Q是AB中点,PC的最小值即CQ-PQ,CQ=,PQ=,∴ PC的最小值是,⑤错误;故选C.【点睛】本题考查了相似三角形、圆、正方形的性质,解题的关键是掌握动点最值问题的解法.第II卷(非选择题)评卷人得分二、填空题11.如果线段a、b、c、d满足,则 = .【答案】【分析】设,,则,,代入计算即可求得答案.【详解】∵线段满足,∴设,,则,,∴,故答案为:.【点睛】本题考查了比例线段以及比例的性质,设出适当的未知数可使解题简便.12.若两个三角形是相似形,其中一个三角形的两个角分别是60°、50°.则另一个三角形的最小的内角为 .【答案】50°【分析】先求出三角形的另一个角,比较后得出三角形的最小的内角为50°.再根据相似三角形的性质得出结论.【详解】解:∵一个三角形的两个角分别为60°、50°,∴另一个角为180°-(60°+50°)=70°,∴三角形的最小的内角为50°.∵两个三角形相似,∴相似的另一个三角形的最小的内角为50°.故答案为:50°.【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质,解题的关键是掌握三角形的内角和定理及相似三角形的性质.13.如图,在中,,,,点D为上一点,且,以为边向右侧作等边,点M为的中点,连接,将等边绕点C在平面内自由旋转,当B、D、E三点共线时,则的长为 .【答案】3或4/4或3【分析】本题考查了旋转的性质,含30度直角三角形的特征,相似三角形的性质和判定,作出辅助线是解题的关键.当B、D、E三点共线时,要分情况讨论,一种是在直线上方共线,一种是在直线下方共线,分别画出两种图形,利用相似三角形的性质即可解答.【详解】解:在中,,,,∴,,以为边向右侧作等边,点M为的中点,∴,,,当B、D、E三点共线时①如图:过C作于点E,则,,在中,由勾股定理可得,∴,,∴,,又∵,∴,∴,∴,即,∴;②如图:过C作于点F,则,,在中,由勾股定理可得,∴,,∴,,∵,∴,∴,∴,即,∴,故答案为:3或4.14.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,∠AED=∠B,射线AG分别交线段DE,BC于点F,G,且.若,则= .【答案】1【分析】先证△ADF∽△ACG利用相似三角形的性质得到 ,由于 ,故而,得到.【详解】∵∠AED=∠B,∠DAE=∠CAB,∴∠ADF=∠C.又∵,∴△ADF∽△ACG.∴,∵,∴,∴.故答案为1.【点睛】掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.15.如图,每相邻4个钉点是边长为1个单位的小正方形顶点,钉点,的连线与钉点,的连线相交于点,则(1)与是否垂直? (填是与否)(2)(3) .【答案】 是 /【分析】如图,连接,,,,由四边形是矩形得根据 ,可得,即得,则即得;根据勾股定理求得,再由,得,所以.【详解】解:连接,,,,如图所示:∵四边形是矩形,∴,∵, ,∴,∴,∴,∴,∴,∴;∵,,,∴,∵,∴,∴,∴ ;故答案为:是; ;.【点睛】本题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的判定及两条直线垂直问题的证明等知识与方法,证明三角形相似是解题的关键.16.如图,已知是等边三角形,点D、E分别在边、上,且,连接并延长至点F,使,连接,,连接并延长交于点G.若,则 . 【答案】【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质.如图,延长、交于点H,由是等边三角形,可知,,由,可得,证、是等边三角形,则,,证明,则,即,证明,则,解得,证明,则,进而可得结果.【详解】解:如图,延长、交于点H, ∵是等边三角形,∴,,∵,∴,∵,∴是等边三角形,∴,∵,,∴是等边三角形,∴,,∴,∴,∴,即,∵,∴,又∵,∴,∴,解得,∵,,∴,∴,故答案为:. 评卷人得分三、解答题17.三角形三条边上的中线交于一点,这个点叫三角形的重心.如图,点G是的重心,连接.(1)求证:;(2)若,求的长.【答案】(1)见解析;(2).【分析】(1)由点G是的重心可得点E和点D分别是和的中点,证明,由相似三角形的性质得,即可得证;(2)先证明,由相似三角形的性质得,即,由AD=6即可求得GD的长.【详解】(1)证明:∵点G是的重心,∴点E和点D分别是和的中点∴,∴又∵,∴,∴∴;(2)由(1)知,∴,∵,∴,∴ ,∴∴∵AD=6,∴.【点睛】本题考查三角形的重心、三角形的中位线、三角形相似,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.18.如图,在平行四边形ABCD中,BC=8,点E、F是对角线BD上的两点,且BE=EF=FD,AE的延长线交BC于点G,GF的延长线交AD于点H.(1)求HD的长;(2)设的面积为a,求四边形AEFH的面积.(用含a的代数式表示)【答案】(1)2;(2)【分析】(1)根据平行四边形的性质得,根据相似三角形的判定得,,由BE=EF=FD可得出,,根据相似三角形的性质即可求解;(2)由BE=EF可得与的面积相等,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得与的值,-即可得四边形AEFH的面积.【详解】解:(1)∵平行四边形ABCD,BC=8,∴,=8,∴,,∴,,∵BE=EF=FD,∴,,∴BG=AD=4,HD=BG,∴HD=2;(2)∵BE=EF,∴=a,∴,∵,,,,∴,,∴四边形AEFH的面积=-=.【点睛】本题考查平行四边形的性质,相似三角形的判定和性质,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.19.如图,的顶点都在网格点上.(1)以点为位似中心,把按放大,在轴的左侧,画出放大后的,其中点的对应点为点,点的对应点为点;(2)点的坐标是________;(3)________.【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】本题主要考查了位似作图,位似图形的性质.(1)依据点为位似中心,把按放大,在轴的左侧,即可画出放大后的;(2)依据点的位置,即可得到点的对应点的坐标;(3)依据相似三角形的面积之比等于位似比的平方,即可得到,进而得出.【详解】(1)解:如图所示,即为所求;(2)解:点的对应点的坐标是,故答案为:;(3)解:由题可得,,,又位似比为,,.故答案为:.20.如图,已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上.(1)如果,且AD+DE+AE=15,求△ABC的周长;(2)如果DE∥BC,过点D作DF∥AC,交BC于点F,且AE=7,CE=3,BF,求FC的值.【答案】(1)25;(2)【分析】(1)通过证明△ADE∽△ABC,可得,即可求解;(2)由题意可证四边形DECF是平行四边形,可得DF=EC=3,通过证明△DFB∽△ACB,可得,可求BC的长,即可求解.【详解】解:(1)∵,∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC,∴,∴,∵AD+DE+AE=15,∴AB+AC+BC=25,∴△ABC的周长为25;(2)如图,∵DE∥BC,DF∥AC,∴四边形DECF是平行四边形,∴DF=EC=3,∵DF∥AC,∴△DFB∽△ACB,∴,∴,∴BC=6,∴FC=BC﹣BF=6.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,掌握相似三角形的性质是本题的关键.21.在物理学中我们学过光的反射定律.数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度,测量步骤如下:①如图,在地面上的点处放置一块平面镜(镜子大小忽略不计),小华站在的延长线上,当小华从平面镜中刚好看到树的顶点时,测得小华到平面镜的距离米,小华的眼睛到地面的距离米;②将平面镜从点沿的延长线移动米到点处,小华移动到点处时,小华的眼睛又刚好在平面镜中看到树的顶点,这时测得小华到平面镜的距离米.请根据以上测量过程及数据求出树的高度. 【答案】树的高度为米.【分析】根据题意得出,利用相似三角形的性质得出,的长进而得出答案.【详解】解:设米,米.,,,,,,,,,,,解得:,,树的高度为米.【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用,正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键.22.如图,把矩形ABCD沿AC折叠,使点D与点E重合,AE交BC于点F,过点E作EG//CD交AC于点G,交CF于点H,连接DG.(1)求证:四边形ECDG是菱形;(2)若cm,cm,求AC的长.【答案】(1)见解析;(2)cm.【分析】(1)根据折叠的性质,邻边相等的平行四边形为菱形证得结论;(2)如图,连接ED交AC于点O,构造相似三角形△DCO∽△ACD,由该相似三角形的对应边成比例求得DC2=OC AC,可求AC的长.【详解】解:(1)证明:由折叠可知DC=EC,∠DCG=∠ECG.∵EG//CD,∴∠DCG=∠EGC∴∠EGC=∠ECG.∴EG=EC.∴EG=DC.∴四边形ECDG是平行四边形.∵EG=EC,∴平行四边形ECDG是菱形.(2)连接ED交AC于点O,∵四边形ECDG是菱形,∴ED⊥AC,.∴∠DOC=90°.∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=90°.∴∠ADC=∠DOC∵∠ACD=∠DCO∴△DCO∽△ACD.∴. ∴.设OC=x,则CG=2x,AC=,∴.解得(不合题意,舍去)∴.∴.【点睛】本题考查了翻折变换,矩形的性质,菱形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.23.如图1,正三角形中,是边上的一点,以点为顶点作,分别交,于点,.(1)当时,与的关系是______;(2)将绕点顺时针旋转,当时,求的值;(3)如图2,若在正三角形中边的延长线上,点与点重合,点落在延长线上,,,求长.【答案】(1)相等(2)2(3)【分析】(1)根据等边三角形的性质得到∠B=∠C=60°,根据三角形的内角和和平角的定义得到∠BED=∠CDF,根据全等三角形的性质得到BD=CF;(2)根据等边三角形的性质得到∠B=∠C=60°,求得∠FDC=∠DEB,根据相似三角形的性质即可得到结论;(3)根据已知条件得到∠DAB=∠FDC,求得∠ABD=∠DCF,根据相似三角形的性质得到,得到BD=2,根据勾股定理即可得到结论.【详解】(1)解:相等,理由:∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,∵∠EDF=60°,∴∠BDE+∠BED=∠BDE+∠CDF=120°,∴∠BED=∠CDF,∵BE=CD,∴△BDE≌△CFD(AAS),∴BD=CF,故答案为:相等;(2)解:∵△ABC为正三角形,∴∠B=∠C=60°,∵∠EDC=∠EDF+∠FDC=∠DEB+∠B,又∠EDF=60°,∴∠FDC=∠DEB,∴△BDE∽△CFD,∴,∵BE=2CD,∴ ;(3)解:∵∠ADC=∠ADB+∠FDC=60°,∠ABC=∠ADB+∠DAB=60°,∴∠DAB=∠FDC,∵∠ABC=∠ACB,∴∠ABD=∠DCF,∴△BDA∽△CFD,∴,,∴ ,∵AB=2,∴CD=4,∴BD=2,作△ABC的高AH,则BH=1,DH=3,在△ABH中,由勾股定理得,,在△ABH中,由勾股定理得,,∴DF=2AD=4.【点睛】本题考查了几何变换综合题,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,等边三角形的性质,证得△BDE≌△CFD和△BDA∽△CFD是解题的关键.24.【问题初探】(1)在数学活动课上,李老师给出如下问题:如图1,在中,,.点,在上,且,探究线段的数量关系.如图2,小鹏在探索过程中发现,这三条线段的数量关系不是简单的和或差的关系,于是就考虑能否将这三条线段转化到同一个三角形中,进而探索其数量关系,联想到近期学的旋转变换,小鹏同学给出如下探索思路:过点C作的垂线,并在垂线上截取,连接,通过证明三角形全等,得出对应的线段相等,进而将线段的数量关系转化为与的数量关系.请你根据小鹏的解题思路,写出证明过程.【学以致用】(2)如图3,在四边形中,,,,,求的长.图3【答案】(1)结论:,理由见详解;(2)【分析】(1)由小鹏的操作过程得知,,先证,再证,得出 在中运用勾股定理即可求解;(2)作,且使,证明,得出,,再证明,得出,过点作交的延长线于点,得出,,,在中,运用勾股定理求解;【详解】(1)结论:.证明:如图,由小鹏的操作过程得知,,又∵.又∵,在中,,(2)解:如图,作,且使,∵,∴.∴.∵,∴.∴,在和中,∵.∴.∵.∴.∴,得.过点作交的延长线于点,则,∴.∴.在中,.∴.【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,勾股定理,直角三角形的性质,三角形内角和定理等知识点,解题的关键是构建正确的辅助线.25.如图,在矩形中,,,,点从点出发,沿方向匀速运动,速度为;同时,点从点出发,沿方向匀速运动,速度为,连接,设运动时间为比 ,请解答下列问题:(1)当为何值时,?(2)设四边形的面积为,求与的函数关系式;(3)是否存在某一时刻,使,,三点在同一直线上?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2);(3)存在,【分析】(1)利用矩形的性质先求解,再利用平行线分线段成比例列方程求解即可;(2)如图②所示,过点作于点,先利用相似三角形的性质得出BF,PF,再利用面积的和即可得出结论;(3)如图③所示,过点作于点,判断出,得出PG=t,EG=t,再判断出得出比例式建立方程求解即可得出结论.【详解】解:(1)如图①所示.∵四边形是矩形,∴.∴,.在中,,,根据勾股定理,得:.由题意,得,,∴,.∵,,,∴.∴.∴.∴.(2)如图②所示,过点作于点,∴.∴.∵,∴.∴.∴.∴,.∴.∴.(3)存在.理由如下:如图③所示,过点作于点,∴.∴.∴.∴.∴,.∴.∵.∴.∴.∴.∴.∴或(舍去).∴当时,,,三点在同一直线上.【点睛】本题是四边形综合题,主要考查了矩形的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理的应用,几何图形面积的求法,同时考查一元二次方程的解法,掌握以上知识是解题的关键.21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 专题07 图形的相似单元过关(培优版)(原卷版).docx 专题07 图形的相似单元过关(培优版)(解析版).docx