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专题07 图形的相似单元过关（培优版）
考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．如图，已知中，，若，，，则的长是（ ）

A． B． C． D．
2．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点都在格点上，点O是和的位似中心，则与的周长比为（　　）
A． B． C． D．
3．已知（，），则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线l1∥l2∥l 3，直线AC分别交l1、l2、l 3于点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l 3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，若AH=2，HB=3，BC=7，DE=4，则EF等于( ) ．
A． B． C． D．以上不对
5．如图，已知，则下列表达式正确的是　　
A． B． C． D．
6．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．
7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB=6，BC=8，则△AEF的面积是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，在平面直角坐标系中，大鱼与小鱼是关于原点的位似图形，则下列说法中正确的是（ ）
A．大鱼与小鱼的相似比是
B．对应点到位似中心的距离比是
C．大鱼与小鱼的面积比是
D．若小鱼上一点的坐标是，则在大鱼上的对应点的坐标是（，）
9．如图，在矩形中，，，于，于，平分交于点，交延长线与点，则下列说法中正确的有（ ）个
①；②；③；④；⑤
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），连接AE、BF交于点P，过点P作交BC于M点，交CD于N点，连接MN，在运动过程中则下列结论：
①；②；③；④；⑤线段MN的最小值为；其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．如果线段a、b、c、d满足，则 = .
12．若两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别是60°、50°．则另一个三角形的最小的内角为 ．
13．如图，在中，，，，点D为上一点，且，以为边向右侧作等边，点M为的中点，连接，将等边绕点C在平面内自由旋转，当B、D、E三点共线时，则的长为 ．
14．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．若，则＝ ．
15．如图，每相邻4个钉点是边长为1个单位的小正方形顶点，钉点，的连线与钉点，的连线相交于点，则
（1）与是否垂直？ （填是与否）
（2）
（3） ．
16．如图，已知是等边三角形，点D、E分别在边、上，且，连接并延长至点F，使，连接，，连接并延长交于点G．若，则 ．


评卷人得分
三、解答题
17．三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图，点G是的重心，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
18．如图，在平行四边形ABCD中，BC=8，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=EF=FD，AE的延长线交BC于点G，GF的延长线交AD于点H．
（1）求HD的长；
（2）设的面积为a，求四边形AEFH的面积．（用含a的代数式表示）
19．如图，的顶点都在网格点上．
(1)以点为位似中心，把按放大，在轴的左侧，画出放大后的，其中点的对应点为点，点的对应点为点；
(2)点的坐标是________；
(3)________．
20．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上．
（1）如果，且AD+DE+AE＝15，求△ABC的周长；
（2）如果DE∥BC，过点D作DF∥AC，交BC于点F，且AE＝7，CE＝3，BF，求FC的值．
21．在物理学中我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度，测量步骤如下：
①如图，在地面上的点处放置一块平面镜(镜子大小忽略不计)，小华站在的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点时，测得小华到平面镜的距离米，小华的眼睛到地面的距离米；
②将平面镜从点沿的延长线移动米到点处，小华移动到点处时，小华的眼睛又刚好在平面镜中看到树的顶点，这时测得小华到平面镜的距离米．
请根据以上测量过程及数据求出树的高度．

22．如图，把矩形ABCD沿AC折叠，使点D与点E重合，AE交BC于点F，过点E作EG//CD交AC于点G，交CF于点H，连接DG．
（1）求证：四边形ECDG是菱形；
（2）若cm，cm，求AC的长．
23．如图1，正三角形中，是边上的一点，以点为顶点作，分别交，于点，．
(1)当时，与的关系是______；
(2)将绕点顺时针旋转，当时，求的值；
(3)如图2，若在正三角形中边的延长线上，点与点重合，点落在延长线上，，，求长．
24．【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：
如图1，在中，，．点，在上，且，探究线段的数量关系．
如图2，小鹏在探索过程中发现，这三条线段的数量关系不是简单的和或差的关系，于是就考虑能否将这三条线段转化到同一个三角形中，进而探索其数量关系，联想到近期学的旋转变换，小鹏同学给出如下探索思路：过点C作的垂线，并在垂线上截取，连接，通过证明三角形全等，得出对应的线段相等，进而将线段的数量关系转化为与的数量关系．请你根据小鹏的解题思路，写出证明过程．
【学以致用】
（2）如图3，在四边形中，，，，，求的长．
图3
25．如图，在矩形中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，设运动时间为比 ，请解答下列问题：
（1）当为何值时，？
（2）设四边形的面积为，求与的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使，，三点在同一直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
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专题07 图形的相似单元过关（培优版）
考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．如图，已知中，，若，，，则的长是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例的方法即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∴，且，，，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的知识，掌握以上知识是解题的关键．
2．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点都在格点上，点O是和的位似中心，则与的周长比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用位似的性质得到，相似比为，然后根据相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵点O是和的位似中心，
∴，相似比为 ，
∴与的周长比为．
故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．
3．已知（，），则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据若(，)，则，进行逐一判断即可求解．
【详解】解：A.可化为，故此项符合题意；
B. 可化为，故此项不符合题意；
C. 可化为，故此项不符合题意；
D. 可化为，故此项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了比例是性质，掌握性质是解题的关键．
4．如图，直线l1∥l2∥l 3，直线AC分别交l1、l2、l 3于点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l 3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，若AH=2，HB=3，BC=7，DE=4，则EF等于( ) ．
A． B． C． D．以上不对
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例即可列出比例式进行求解.
【详解】设EH为x，则DH=DE-x=4-x
∵l1∥l2
∴,即
解得x=
又∵l2∥l 3，
∴,即
解得EF=
故选C.
【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例，解题的关键是熟知分线段成比例定理的性质.
5．如图，已知，则下列表达式正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】题目中给出的条件主要是角度相等，观察图形，寻找其他等角，根据“有两个角对应相等的三角形相似”，找出图中所有相似三角形，对答案逐一判断.
【详解】，
，即，
，，
，
，，
，
，选项错误；
，
，选项错误；
，
，选项正确；
，
，选项错误；
故选：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，认真观察图形，找到角的相等关系，运用判定定理找出所有相似三角形是关键.
6．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】直接利用A，B点坐标得出AB的长，再利用位似图形的性质得出CD的长．
【详解】解：∵A（6，6），B（8，2），
∴AB＝＝2，
∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴线段CD的长为：×2＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了位似图形，解题的关键是熟悉位似图形的性质．
7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB=6，BC=8，则△AEF的面积是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】因为四边形ABCD是矩形，所以AD=BC=8，∠BAD=90°，，又因为点E，F分别是AO，AD的中点，所以EF为三角形AOD的中位线，推出，，AF:AD=1:2由此即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8
∴，
∵E，F分别是AO．AD中点，
∴，
，
AF:AD=1:2，
∴△AEF的面积为3，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
8．如图，在平面直角坐标系中，大鱼与小鱼是关于原点的位似图形，则下列说法中正确的是（ ）
A．大鱼与小鱼的相似比是
B．对应点到位似中心的距离比是
C．大鱼与小鱼的面积比是
D．若小鱼上一点的坐标是，则在大鱼上的对应点的坐标是（，）
【答案】C
【分析】根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、大鱼与小鱼的相似比是，选项错误，不符合题意；
B、大鱼与小鱼的对应点到位似中心的距离比是，选项错误，不符合题意；
C、大鱼与小鱼的面积比是，选项正确，符合题意；
D、若小鱼上一点的坐标是，则在大鱼上的对应点的坐标是，选项错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查位似图形．熟练掌握位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方，是解题的关键．
9．如图，在矩形中，，，于，于，平分交于点，交延长线与点，则下列说法中正确的有（ ）个
①；②；③；④；⑤
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】证明即可判断①；证明为等腰直角三角形得到，即可判断②；证明，得到，求出即可求出MN；连接AC证明，推出AC=CF，由此得到BD=CF，判断④；利用射影定理证明.
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵，，
∴∠AGD=∠BEC=，
∴，
∴，故①正确；
∵平分，
∴∠BAN=∠DAN，
∵∠ANB=∠DAN，
∴∠BAN=∠ANB，
∴BN=AB，
∴为等腰直角三角形，
∴，故②正确；
∵AD∥BC，
∴，
∴，
∵,
∴，故③正确；
连接，
∵∠BAC=∠ABD，∠DBC+∠ABF=∠DBC+∠BCE=,
∴，
设，则，，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，故④正确；
在中，AG⊥BD，
∴，故⑤正确．
综上，D正确.
故选：D
【点睛】此题考查矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，射影定理，这是一道较综合的三角形题型，需熟练掌握各知识点才能正确解答.
10．如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），连接AE、BF交于点P，过点P作交BC于M点，交CD于N点，连接MN，在运动过程中则下列结论：
①；②；③；④；⑤线段MN的最小值为；其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】①动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发，所以DF＝CE，从而得到FC＝BE，利用SAS证明；②由得到；③由得到∠EAB＝∠FBC，从而有∠FBC＋∠BEA＝90°，所以；④由CF＝BE，BF＝AE，把问题转化为证明BE2＝AE·PE，结论成立；⑤在矩形PNCM中，MN＝PC，所以问题转化为求PC的最值，P的运动轨迹是以AB为直径的圆，所以PC的最小值是AB中点与C的连线段减去AB的一半．
【详解】解：①动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发，
∴DF＝CE，
∴DC－DF＝BC－CE，即FC＝BE，
又∵FC＝AB，∠C＝∠ABC，
∴，所以①正确；
②由得到，所以②正确；
③∵，
∴∠EAB＝∠FBC，
又∵∠EAB ＋∠BEA＝90°，
∴∠FBC ＋∠BEA＝90°，
∴∠BPE＝90°，即，③正确；
④∵∠EBP＝∠EAB，∠BEA＝∠BEA，
∴△BEP∽△AEB，
∴，即BE2＝AE·PE，
又∵BE＝CF，AE＝BF，
∴，④正确；
⑤在矩形PNCM中，MN＝PC，所以问题转化为求PC的最值，P的运动轨迹是以AB为直径的圆，所以PC的最小值是AB中点与C的连线段减去AB的一半，如图，Q是AB中点，PC的最小值即CQ－PQ，
CQ＝，
PQ＝，
∴ PC的最小值是，⑤错误；
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形、圆、正方形的性质，解题的关键是掌握动点最值问题的解法．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．如果线段a、b、c、d满足，则 = .
【答案】
【分析】设，，则，，代入计算即可求得答案.
【详解】∵线段满足，
∴设，，则，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例线段以及比例的性质，设出适当的未知数可使解题简便．
12．若两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别是60°、50°．则另一个三角形的最小的内角为 ．
【答案】50°
【分析】先求出三角形的另一个角，比较后得出三角形的最小的内角为50°．再根据相似三角形的性质得出结论．
【详解】解：∵一个三角形的两个角分别为60°、50°，
∴另一个角为180°-（60°+50°）=70°，
∴三角形的最小的内角为50°．
∵两个三角形相似，
∴相似的另一个三角形的最小的内角为50°．
故答案为：50°．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理及相似三角形的性质．
13．如图，在中，，，，点D为上一点，且，以为边向右侧作等边，点M为的中点，连接，将等边绕点C在平面内自由旋转，当B、D、E三点共线时，则的长为 ．
【答案】3或4/4或3
【分析】本题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的特征，相似三角形的性质和判定，作出辅助线是解题的关键．当B、D、E三点共线时，要分情况讨论，一种是在直线上方共线，一种是在直线下方共线，分别画出两种图形，利用相似三角形的性质即可解答．
【详解】解：在中，，，，
∴，，
以为边向右侧作等边，点M为的中点，
∴，，，
当B、D、E三点共线时
①如图：
过C作于点E，则，，
在中，由勾股定理可得，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
②如图：
过C作于点F，则，，
在中，由勾股定理可得，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：3或4．
14．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．若，则＝ ．
【答案】1
【分析】先证△ADF∽△ACG利用相似三角形的性质得到 ,由于 ，故而，得到．
【详解】∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，
∴∠ADF＝∠C．
又∵，
∴△ADF∽△ACG．
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为1．
【点睛】掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
15．如图，每相邻4个钉点是边长为1个单位的小正方形顶点，钉点，的连线与钉点，的连线相交于点，则
（1）与是否垂直？ （填是与否）
（2）
（3） ．
【答案】 是 /
【分析】如图，连接，，，，由四边形是矩形得根据 ，可得，即得，则即得；根据勾股定理求得，再由，得，所以．
【详解】解：连接，，，，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ；
故答案为：是； ；．
【点睛】本题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的判定及两条直线垂直问题的证明等知识与方法，证明三角形相似是解题的关键．
16．如图，已知是等边三角形，点D、E分别在边、上，且，连接并延长至点F，使，连接，，连接并延长交于点G．若，则 ．

【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．如图，延长、交于点H，由是等边三角形，可知，，由，可得，证、是等边三角形，则，，证明，则，即，证明，则，解得，证明，则，进而可得结果．
【详解】解：如图，延长、交于点H，

∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
解得，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．

评卷人得分
三、解答题
17．三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图，点G是的重心，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）由点G是的重心可得点E和点D分别是和的中点，证明，由相似三角形的性质得，即可得证；
（2）先证明，由相似三角形的性质得，即，由AD=6即可求得GD的长．
【详解】（1）证明：∵点G是的重心，
∴点E和点D分别是和的中点
∴，
∴
又∵，
∴，
∴
∴；
（2）由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴
∴
∵AD=6，
∴．
【点睛】本题考查三角形的重心、三角形的中位线、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．如图，在平行四边形ABCD中，BC=8，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=EF=FD，AE的延长线交BC于点G，GF的延长线交AD于点H．
（1）求HD的长；
（2）设的面积为a，求四边形AEFH的面积．（用含a的代数式表示）
【答案】（1）2；（2）
【分析】（1）根据平行四边形的性质得，根据相似三角形的判定得，，由BE=EF=FD可得出，，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）由BE=EF可得与的面积相等，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得与的值，-即可得四边形AEFH的面积．
【详解】解：（1）∵平行四边形ABCD，BC=8，
∴，=8，
∴，，
∴，，
∵BE=EF=FD，
∴，，
∴BG=AD=4，HD=BG，
∴HD=2；
（2）∵BE=EF，
∴=a，
∴，
∵，，，，
∴，，
∴四边形AEFH的面积=-=．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
19．如图，的顶点都在网格点上．
(1)以点为位似中心，把按放大，在轴的左侧，画出放大后的，其中点的对应点为点，点的对应点为点；
(2)点的坐标是________；
(3)________．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】
本题主要考查了位似作图，位似图形的性质．
（1）依据点为位似中心，把按放大，在轴的左侧，即可画出放大后的；
（2）依据点的位置，即可得到点的对应点的坐标；
（3）依据相似三角形的面积之比等于位似比的平方，即可得到，进而得出．
【详解】（1）
解：如图所示，即为所求；
（2）
解：点的对应点的坐标是，
故答案为：；
（3）
解：由题可得，，
，
又位似比为，
，
．
故答案为：．
20．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上．
（1）如果，且AD+DE+AE＝15，求△ABC的周长；
（2）如果DE∥BC，过点D作DF∥AC，交BC于点F，且AE＝7，CE＝3，BF，求FC的值．
【答案】（1）25；（2）
【分析】（1）通过证明△ADE∽△ABC，可得，即可求解；
（2）由题意可证四边形DECF是平行四边形，可得DF＝EC＝3，通过证明△DFB∽△ACB，可得，可求BC的长，即可求解．
【详解】解：（1）∵，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∵AD+DE+AE＝15，
∴AB+AC+BC＝25，
∴△ABC的周长为25；
（2）如图，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴DF＝EC＝3，
∵DF∥AC，
∴△DFB∽△ACB，
∴，
∴，
∴BC＝6，
∴FC＝BC﹣BF＝6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键．
21．在物理学中我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度，测量步骤如下：
①如图，在地面上的点处放置一块平面镜(镜子大小忽略不计)，小华站在的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点时，测得小华到平面镜的距离米，小华的眼睛到地面的距离米；
②将平面镜从点沿的延长线移动米到点处，小华移动到点处时，小华的眼睛又刚好在平面镜中看到树的顶点，这时测得小华到平面镜的距离米．
请根据以上测量过程及数据求出树的高度．

【答案】树的高度为米．
【分析】根据题意得出，利用相似三角形的性质得出，的长进而得出答案．
【详解】解：设米，米．
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
解得：，
，
树的高度为米．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．
22．如图，把矩形ABCD沿AC折叠，使点D与点E重合，AE交BC于点F，过点E作EG//CD交AC于点G，交CF于点H，连接DG．
（1）求证：四边形ECDG是菱形；
（2）若cm，cm，求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）cm．
【分析】（1）根据折叠的性质，邻边相等的平行四边形为菱形证得结论；
（2）如图，连接ED交AC于点O，构造相似三角形△DCO∽△ACD，由该相似三角形的对应边成比例求得DC2=OC AC，可求AC的长．
【详解】解：（1）证明：由折叠可知DC=EC，∠DCG=∠ECG．
∵EG//CD，
∴∠DCG=∠EGC
∴∠EGC=∠ECG．
∴EG=EC．
∴EG=DC．
∴四边形ECDG是平行四边形．
∵EG=EC，
∴平行四边形ECDG是菱形．
（2)连接ED交AC于点O，
∵四边形ECDG是菱形，
∴ED⊥AC，．
∴∠DOC=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°．
∴∠ADC=∠DOC
∵∠ACD=∠DCO
∴△DCO∽△ACD．
∴．
∴．
设OC=x，则CG=2x，AC=，
∴．
解得（不合题意，舍去）
∴．
∴．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
23．如图1，正三角形中，是边上的一点，以点为顶点作，分别交，于点，．
(1)当时，与的关系是______；
(2)将绕点顺时针旋转，当时，求的值；
(3)如图2，若在正三角形中边的延长线上，点与点重合，点落在延长线上，，，求长．
【答案】(1)相等
(2)2
(3)
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠B＝∠C＝60°，根据三角形的内角和和平角的定义得到∠BED＝∠CDF，根据全等三角形的性质得到BD＝CF；
（2）根据等边三角形的性质得到∠B＝∠C＝60°，求得∠FDC＝∠DEB，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）根据已知条件得到∠DAB＝∠FDC，求得∠ABD＝∠DCF，根据相似三角形的性质得到，得到BD＝2，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：相等，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠EDF＝60°，
∴∠BDE+∠BED＝∠BDE+∠CDF＝120°，
∴∠BED＝∠CDF，
∵BE＝CD，
∴△BDE≌△CFD（AAS），
∴BD＝CF，
故答案为：相等；
（2）解：∵△ABC为正三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠DEB＋∠B，
又∠EDF＝60°，
∴∠FDC＝∠DEB，
∴△BDE∽△CFD，
∴，
∵BE＝2CD，
∴ ；
（3）解：∵∠ADC＝∠ADB＋∠FDC＝60°，
∠ABC＝∠ADB＋∠DAB＝60°，
∴∠DAB＝∠FDC，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABD＝∠DCF，
∴△BDA∽△CFD，
∴，，
∴ ，
∵AB＝2，
∴CD＝4，
∴BD＝2，
作△ABC的高AH，则BH＝1，DH＝3，
在△ABH中，由勾股定理得，，
在△ABH中，由勾股定理得，
，
∴DF＝2AD＝4.
【点睛】本题考查了几何变换综合题，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，证得△BDE≌△CFD和△BDA∽△CFD是解题的关键．
24．【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：
如图1，在中，，．点，在上，且，探究线段的数量关系．
如图2，小鹏在探索过程中发现，这三条线段的数量关系不是简单的和或差的关系，于是就考虑能否将这三条线段转化到同一个三角形中，进而探索其数量关系，联想到近期学的旋转变换，小鹏同学给出如下探索思路：过点C作的垂线，并在垂线上截取，连接，通过证明三角形全等，得出对应的线段相等，进而将线段的数量关系转化为与的数量关系．请你根据小鹏的解题思路，写出证明过程．
【学以致用】
（2）如图3，在四边形中，，，，，求的长．
图3
【答案】（1）结论：，理由见详解；（2）
【分析】（1）由小鹏的操作过程得知，，先证，再证，得出 在中运用勾股定理即可求解；
（2）作，且使，证明，得出，，再证明，得出，过点作交的延长线于点，得出，，，在中，运用勾股定理求解；
【详解】（1）结论：．
证明：如图，由小鹏的操作过程得知，，
又∵．
又∵，
在中，，
（2）解：如图，作，且使，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
在和中，
∵．
∴．
∵．
∴．
∴，得．
过点作交的延长线于点，
则，
∴．
∴．
在中，．
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是构建正确的辅助线．
25．如图，在矩形中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，设运动时间为比 ，请解答下列问题：
（1）当为何值时，？
（2）设四边形的面积为，求与的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使，，三点在同一直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，
【分析】（1）利用矩形的性质先求解，再利用平行线分线段成比例列方程求解即可；
（2）如图②所示，过点作于点，先利用相似三角形的性质得出BF，PF，再利用面积的和即可得出结论；
（3）如图③所示，过点作于点，判断出，得出PG=t，EG=t，再判断出得出比例式建立方程求解即可得出结论．
【详解】解：（1）如图①所示．
∵四边形是矩形，∴．
∴，．
在中，，，
根据勾股定理，得：．
由题意，得，，
∴，．
∵，，，
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）如图②所示，过点作于点，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴，．
∴．
∴
．
（3）存在．理由如下：
如图③所示，过点作于点，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴，．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴或（舍去）．
∴当时，，，三点在同一直线上．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，几何图形面积的求法，同时考查一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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