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专题01 投影与视图
考点类型
知识一遍过
（一）投影相关概念
（1）平行投影由平行光线形成的投影．
（2）中心投影由同一点(点光源)发出的光线形成的投影．
（3）在平行投影中求影长，一般把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出的影长．
（二）三视图相关概念
（1）三视图
主视图：从正面看到的图形.
俯视图：从上面看到的图形.
左视图：从左面看到的图形.
（2）三视图的对应关系
长对正：主视图与俯视图的长相等，且相互对正；
高平齐：主视图与左视图的高相等，且相互平齐；
宽相等：俯视图与左视图的宽相等，且相互平行．
（3）常见几何体的三视图常见几何体的三视图
正方体：正方体的三视图都是正方形.
圆柱：圆柱的三视图有两个是矩形，另一个是圆.
圆锥：圆锥的三视图中有两个是三角形，另一个是圆.
球的三视图都是圆.
考点一遍过
考点1：平行投影
典例1：如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶的G点处．若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为（　　）
A．3m B．3.6m C．4m D．4.8m
【变式1】如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆和一根高7米的电线杆，它们都与地面垂直．某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在地面上的影子的 长为10米，落在围墙上的影子的长度为2米，而电线杆落在地面上的影子的长 为 5米，则落在围墙上的影子的长为 米．

【变式3】公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子长为（直线过底面圆心），则：
（1）小山包的半径为 ；
（2）小山包的高为 ．（取）
考点2：中心投影
典例2：手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁4米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米，如图2所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则光源与小明的距离应（ ）
A．增加0.5米 B．增加1米 C．增加2米 D．减少1米
【变式1】下列各种现象中，属于中心投影现象的是（ ）
A．阳光下旗杆的影子 B．台灯下书本的影子 C．太阳光下广告牌的影子 D．正午阳光下的树影
【变式2】如图，如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是 m．
【变式3】如图所示，在某点光源下有两根直杆，垂直于平整的地面，甲杆的影子为，乙杆的影子一部分落在地面上的处，一部分落在斜坡上的处．
①点光源所在的位置是 （从，，，中选择一个）；
②若点光源发出的过点的光线，斜坡与地面的夹角为，米，米，则乙杆的高度为 米．
考点3：正投影
典例3：某同学身高，那么这名同学的正投影的长（ ）．
A．小于 B．等于 C．大于 D．小于或等于
【变式1】下列说法正确的是（　　）
A．物体在太阳光下产生的投影是物体的正投影
B．正投影一定是平行投影
C．物体在灯光下产生的投影是物体的正投影
D．正投影可能是中心投影
【变式2】如图，把一块正方形硬纸板P（记为正方形ABCD）放在三个不同位置：三种情形下纸板的正投影各是什么形状？
（1）纸板平行于投影面；
（2）纸板倾斜于投影面；
（3）纸板垂直于投影面．
通过观察、测量可知：
（1）当纸板P平行于投影面β时，P的正投影与P的 ；
（2）当纸板P倾斜于投影面β时，P的正投影与P的 ；
（3）当纸板P垂直于投影面β时，P的正投影成为 ．
【变式3】下列投影中，正投影是 (只填序号)．
考点4：判断几何体的三视图
典例4：如图，图中几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，这种连接方式不但可以承受较大的荷载，而且允许产生一定的变形．右图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（ ）
B．
C． D．
【变式2】如图所示的几何体中，主视图与左视图都是长方形的是 ．
【变式3】下列某种几何体从正面、左面、上面看到的形状图都相同，则这个几何体是 （填写序号）①三棱锥；②圆柱；③球．
考点5：由三视图还原几何体
典例5：如图，这是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）

A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
【变式1】如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）

A．五棱柱 B．圆柱 C．长方体 D．五棱锥
【变式2】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．（结果保留）
【变式3】如图是某个几何体的三视图，则该几何体是 ．

考点6：由三视图判断小方块的个数
典例6：用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如下图所示，从上面看到形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题：

(1) __________，__________，__________；
(2)这个几何体最少由__________个小立方块搭成；
(3)请在网格图中画出小立方块最多时几何体的左视图．
【变式1】如图是由一些相同的小正方体组成的几何体．

(1)请在指定位置画出该几何体三视图；
(2)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果左视图和俯视图的形状不变，那么最多可以再添加______个小正方体．
【变式2】如图是用10个棱长是，大小相同的小正方体搭成的几何体．
(1)请你画出该几何体的三种视图（不要涂成阴影）．
(2)这个几何体的表面积是 （包含底部）；
(3)如果要保证俯视图和左视图不变，最多可以增加 个小正方体；
(4)如果要保证三个视图都不变，最多可以增加 个小正方体．
【变式3】在桌面上，用若干个完全相同的小正方体堆成的一个几何体A，每个小正方体的棱长为acm，如图所示．
(1)请画出这个几何体A的三视图．
(2)若将此几何体A的表面喷上红漆（放在桌面上的一面不喷），则几何体A上喷上红漆的面积为 cm2（用含a的代数式表示）；
(3)若现在你的手头还有这样的一些棱长为acm的小正方体可添放在几何体A上，要保持主视图和左视图不变，则最多可以添加 个小正方体．
考点7：作几何体的三视图
典例7：在如图的方格图中画出如图所示（图中单位：）的几何体的主视图、左视图和俯视图，每个小方格的边长代表．

【变式1】（1）美术张老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把几何体放置在桌面，小聪同学已经画出了它的主视图，请你帮助她完成这个几何体的其它视图．

（2）如图是两根木杆及其影子的图形．

①这个图形反映的是中心投影还是平行投影？
②请你在图中画出表示小树影长的线段．（画出的影长加粗加黑）
【变式2】如图，是由一个长方体和圆柱组合而成的几何体，长方体的宽与圆柱底面圆的直径相等，圆柱的高是长方体的高的2倍．
(1)画出该几何体的主视图和左视图；
主视图： 左视图：
(2)若长方体的长为，宽为，高为，求该几何体的表面积和体积（取3）．
【变式3】在平整的地面上，有若5个完全相同的棱长为1的小正方体堆成的一个几何体，如图所示．

(1)请在方格纸中分别画出它的主视图、左视图和俯视图；

(2)如果将小正方体放到小正方体的正上方，则它的 视图会发生改变．（填“主”或“左”或“俯”）
考点8：由三视图求表面积与体积
典例8：一个几何体的三个视图如图所示（单位：）．
(1)写出这个几何体的名称：__________；
(2)若其俯视图为正方形，根据图中数据计算这个几何体的表面积．
【变式1】如图是一个几何体的三视图．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)画出这个几何体的表面展开图；
(3)根据图中的数据，求这个几何体的侧面积．
【变式2】从不同方向观察一个几何体，所得的平面图形如图所示，
(1)写出这个几何体的名称：______；
(2)求这个几何体的侧面积和表面积．（结果保留）
【变式3】如图所示为一几何体的三种视图．（单位：）
(1)通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据，可以得出左视图中的 ， ；
(2)根据图中所标数据，求这个几何体的侧面积．
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专题01 投影与视图
考点类型
知识一遍过
（一）投影相关概念
（1）平行投影由平行光线形成的投影．
（2）中心投影由同一点(点光源)发出的光线形成的投影．
（3）在平行投影中求影长，一般把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出的影长．
（二）三视图相关概念
（1）三视图
主视图：从正面看到的图形.
俯视图：从上面看到的图形.
左视图：从左面看到的图形.
（2）三视图的对应关系
长对正：主视图与俯视图的长相等，且相互对正；
高平齐：主视图与左视图的高相等，且相互平齐；
宽相等：俯视图与左视图的宽相等，且相互平行．
（3）常见几何体的三视图常见几何体的三视图
正方体：正方体的三视图都是正方形.
圆柱：圆柱的三视图有两个是矩形，另一个是圆.
圆锥：圆锥的三视图中有两个是三角形，另一个是圆.
球的三视图都是圆.
考点一遍过
考点1：平行投影
典例1：如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶的G点处．若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为（　　）
A．3m B．3.6m C．4m D．4.8m
【答案】C
【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可．
【详解】解：作，，则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
由题意得，
∴，即，
∴，
∴，
故选：C．
【变式1】如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】太阳的位置和高度决定了影子的方向和长短．一天中，阳光下物体的影子变化规律是上午影子由长逐渐变短；下午影子由短逐渐变长．方向由西逐渐转向东．
【详解】解：一天中太阳位置的变化规律是：从东到西．太阳的高度变化规律是：低高低．影子位置的变化规律是：从西到东，影子的长短变化规律是：长短长．根据影子变化的特点，按时间顺序给这五张照片排序是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行投影，了解物体在阳光下影子的变化规律是解答此题的关键．
【变式2】如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆和一根高7米的电线杆，它们都与地面垂直．某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在地面上的影子的 长为10米，落在围墙上的影子的长度为2米，而电线杆落在地面上的影子的长 为 5米，则落在围墙上的影子的长为 米．

【答案】3
【分析】本题主要考查了平行投影、矩形的判定与性质等知识点，根据平行投影的对应边成比例列出方程成为解题的关键．
如图：过点E作于M，过点G作于N．利用矩形的性质和平行投影的知识可以得到比例式，即，然后求出即可．
【详解】解：如图：过点E作于M，过点G作于N．
由题意得：四边形是矩形，
则，，，．
∵，
∴，
由平行投影可知：，即，
解得：．
故答案为：3．
【变式3】公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子长为（直线过底面圆心），则：
（1）小山包的半径为 ；
（2）小山包的高为 ．（取）
【答案】
【分析】此题考查平行投影，解题关键是根据通过三角形相似，将小山包的高转化为的长进行求解．根据平行投影，即可得相似三角形，那么可得到，根据圆锥底面周长求出圆锥底面圆的半径，最后推论出高．
【详解】连接，过作于，
由题意可知，
∴
∵圆锥底面周长为．
∴，解得，
∵,
∴
∴小山包的高为．
故答案为：，．
考点2：中心投影
典例2：手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁4米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米，如图2所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则光源与小明的距离应（ ）
A．增加0.5米 B．增加1米 C．增加2米 D．减少1米
【答案】C
【分析】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质，解题是关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．
【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示小狗手影，则，作，延长交于，则，
，，
∴，，
∴，
∴，
∵米，米，
∴，
令，则，
∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，如图，
，
即，，，
∴，则，
∴米，
∴光源与小明的距离应增加米，
故选：C．
【变式1】下列各种现象中，属于中心投影现象的是（ ）
A．阳光下旗杆的影子 B．台灯下书本的影子 C．太阳光下广告牌的影子 D．正午阳光下的树影
【答案】B
【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，根据平移投影和中心投影的定义对各选项进行判断．
【详解】解：A、阳光下旗杆的影子为平行投影，所以A选项不合题意；
B、台灯下书本的影子为中心投影，所以B选项符合题意；
C、阳光下广告牌的影子为平行投影，所以C选项不合题意；
D、正午阳光下的树影为平行投影，所以D选项不合题意．
故选：B．
【变式2】如图，如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是 m．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
根据题意可得：，，，从而可得，，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
由题意得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴路灯的高度是,
故答案为：．
【变式3】如图所示，在某点光源下有两根直杆，垂直于平整的地面，甲杆的影子为，乙杆的影子一部分落在地面上的处，一部分落在斜坡上的处．
①点光源所在的位置是 （从，，，中选择一个）；
②若点光源发出的过点的光线，斜坡与地面的夹角为，米，米，则乙杆的高度为 米．
【答案】 C
【分析】（1）利用甲杆的影子为，乙杆的影子一部分落在地面上的，一部分落在斜坡上即可得到点光源的位置；
（2）延长交于点，已知点光源发出的过点的光线，，可得，根据，可得，在中，已知，可得，结合，即可求得乙杆的高度；
【详解】（1）如图所示，点即为点光源所在的位置，
故答案为：C
（2）延长交于点，
∵点光源发出的过点的光线，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴
∴乙杆的高度为米．
故答案为：
【点睛】本题主要考查中心投影及勾股定理的应用，根据已知条件确定点光源的位置是解题的关键．
考点3：正投影
典例3：某同学身高，那么这名同学的正投影的长（ ）．
A．小于 B．等于 C．大于 D．小于或等于
【答案】D
【分析】本题考查了正投影的定义，在物体的平行投影中，投影线垂直于投影面，则该平行投影称为正投影，分两种情况：当投影线垂直于地面时，当投影线平行于地面时，即可得出答案，熟练掌握正投影的定义是解此题的关键．
【详解】解：当投影线垂直于地面时，此时这名同学的正投影的长为小于，
当投影线平行于地面时，此时这名同学的正投影的长为等于，
综上所述，某同学身高，那么这名同学的正投影的长小于或等于，
故选：D．
【变式1】下列说法正确的是（　　）
A．物体在太阳光下产生的投影是物体的正投影
B．正投影一定是平行投影
C．物体在灯光下产生的投影是物体的正投影
D．正投影可能是中心投影
【答案】B
【分析】首先明确：平行投射线垂直于投影面的称为正投影；接下来根据正投影的定义进行分析即可得答案．
【详解】解：A．物体在太阳光下产生的投影不一定是物体的正投影，错误，不合题意；
B．正投影一定是平行投影，正确，符合题意；
C．物体在灯光下产生的投影不一定是物体的正投影，错误，不合题意；
D．正投影是平行投影，错误，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查平行投影中正投影的相关知识，解题需掌握正投影的特点．
【变式2】如图，把一块正方形硬纸板P（记为正方形ABCD）放在三个不同位置：三种情形下纸板的正投影各是什么形状？
（1）纸板平行于投影面；
（2）纸板倾斜于投影面；
（3）纸板垂直于投影面．
通过观察、测量可知：
（1）当纸板P平行于投影面β时，P的正投影与P的 ；
（2）当纸板P倾斜于投影面β时，P的正投影与P的 ；
（3）当纸板P垂直于投影面β时，P的正投影成为 ．
【答案】 形状、大小一样 形状、大小发生变化 一条线段
【解析】略
【变式3】下列投影中，正投影是 (只填序号)．
【答案】③④⑤⑥
【详解】试题解析：根据正投影的定义可得③④⑤⑥所代表的投影是正投影.
考点4：判断几何体的三视图
典例4：如图，图中几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三视图的知识，左视图是指视点在物体的左侧，投影在物体的右侧的视图．找到从左面看所得到的图形即可，注意看不到的线应该表示为虚线．
【详解】解：从左面看该几何体，得到的视图是一个矩形，且中间有两条水平的虚线．
如图：
故选：B．
【变式1】榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，这种连接方式不但可以承受较大的荷载，而且允许产生一定的变形．右图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（ ）
B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三视图，掌握俯视图是从上面看到的图形是解题关键．注意：可见部分的轮廓线用实线表示，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线用虚线表示．
根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得答案．
【详解】解：根据主视图可以发现，顶端是一个上宽下窄的梯形，
从上往下看立体图，可以得到俯视图的形状应该是四根实线夹着两根虚线的长方形，如图，
故选：D．
【变式2】如图所示的几何体中，主视图与左视图都是长方形的是 ．
【答案】（1）、（3）、（4）
【分析】根据三视图判断即可.
【详解】(1)中主视图与左视图是长方形；
(3)中主视图与左视图是长方形；
(4)中主视图与左视图是长方形；
故答案为：（1）、（3）、（4）
【点睛】本题考查了几何图形的三视图，解题的关键在于正确识别三视图.
【变式3】下列某种几何体从正面、左面、上面看到的形状图都相同，则这个几何体是 （填写序号）①三棱锥；②圆柱；③球．
【答案】③
【分析】根据常见几何体的三视图可得答案．
【详解】解：球的三视图均为全等的圆，
故答案为③．
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及三视图的概念．
考点5：由三视图还原几何体
典例5：如图，这是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）

A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
【答案】C
【分析】本题考查了由三视图还原几何体．熟练掌握由三视图还原几何体是解题的关键．
由俯视图可知底面为四边形，由主视图和左视图均为三角形可知该几何体是四棱锥，然后作答即可．
【详解】解：由三视图可知，该几何体是四棱锥，
故选：C．
【变式1】如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）

A．五棱柱 B．圆柱 C．长方体 D．五棱锥
【答案】A
【分析】根据三视图可知正视图是一个正五边形，左视图是一个大长方形，里面有两个小长方形，俯视图是一个大长方形，竖着分成两个小长方形且有两条线看不见，由此即可得到答案．
【详解】解：由三视图可知正视图是一个正五边形，左视图是一个大长方形，里面有两个小长方形，俯视图是一个大长方形，竖着分成两个小长方形且有两条线看不见，由此可知这个几何体是五棱柱，
故选A．
【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，解题的关键在于能够正确理解图中的三视图．
【变式2】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．（结果保留）
【答案】
【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．本题考查三视图与几何体的关系，正确判断几何体的特征是解题的关键，考查计算能力．
【详解】解：由三视图可知，原几何体是一个正方体中间去掉一个圆柱体，如图：
正方体的边长为，圆柱体的直径为2，两者的高度都为3，
该几何体的体积为，
故答案为∶．
【变式3】如图是某个几何体的三视图，则该几何体是 ．

【答案】三棱柱
【分析】根据三视图进行判断即可．
【详解】解：由三视图可知，该几何体是三棱柱，
故答案为：三棱柱．
【点睛】本题考查了由三视图还原几何体．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
考点6：由三视图判断小方块的个数
典例6：用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如下图所示，从上面看到形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题：

(1) __________，__________，__________；
(2)这个几何体最少由__________个小立方块搭成；
(3)请在网格图中画出小立方块最多时几何体的左视图．
【答案】(1)3，1，1
(2)9
(3)见解析
【分析】本题考查简单组合体的三视图
（1）根据主视图，俯视图可直接得出a、b、c的值；
（2）在各个位置上摆放相应的小正方体，直至最少即可；
（3）在俯视图上的相应位置标注相应位置所摆放的小立方体的个数，即可画出数量最多时的左视图．
【详解】（1）解：由主视图和俯视图可知，，
故答案为：3，1，1；
（2）解：最少时，即，而e所在的“列”最少有一处为2即可，
因此，最少需要（个），
故答案为：9；
（3）解：在俯视图上的相应位置标注相应位置所摆放的小立方体的个数，数量最多时的左视图如下：
．
【变式1】如图是由一些相同的小正方体组成的几何体．

(1)请在指定位置画出该几何体三视图；
(2)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果左视图和俯视图的形状不变，那么最多可以再添加______个小正方体．
【答案】(1)见详解
(2)4
【分析】此题主要考查了三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；俯视图决定底层立方块的个数，易错点是由主视图得到其余层数里最多的立方块个数．
（1）根据三视图的概念作图即可得；
（2）保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再在第2和3列各添加小正方体．
【详解】（1）解：如图所示：

（2）解：如图所示：从俯视图上看：

在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加4个小正方体．
故答案为：4．
【变式2】如图是用10个棱长是，大小相同的小正方体搭成的几何体．
(1)请你画出该几何体的三种视图（不要涂成阴影）．
(2)这个几何体的表面积是 （包含底部）；
(3)如果要保证俯视图和左视图不变，最多可以增加 个小正方体；
(4)如果要保证三个视图都不变，最多可以增加 个小正方体．
【答案】(1)画图见解析
(2)36
(3)4
(4)1
【分析】本题主要考查简单几何题的三视图的画法，熟练掌握主视图、左视图、俯视图的画法是解题的关键．
（1）根据三视图的概念求解即可；
（2）直接利用三视图分别乘以2求解即可；
（3）根据俯视图和左视图求解即可；
（4）根据主视图，俯视图和左视图求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：∵小正方体的棱长是，
∴
这个几何体的表面积是；
（3）解：要使俯视图和左视图不变，
即在主视图的的上面加放小立方体，
故最多可加4个；
（4）解：要使主视图，俯视图和左视图不变，
只能最下面一层的中间小正方体上增加1个小正方体
故最多可加1个．
【变式3】在桌面上，用若干个完全相同的小正方体堆成的一个几何体A，每个小正方体的棱长为acm，如图所示．
(1)请画出这个几何体A的三视图．
(2)若将此几何体A的表面喷上红漆（放在桌面上的一面不喷），则几何体A上喷上红漆的面积为 cm2（用含a的代数式表示）；
(3)若现在你的手头还有这样的一些棱长为acm的小正方体可添放在几何体A上，要保持主视图和左视图不变，则最多可以添加 个小正方体．
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)4
【分析】本题主要考查了三视图：
（1）根据三视图的定义，画出三视图即可；
（2）根据露出的小正方体的面数，可得几何体的喷上红漆的面积；
（3）在第一层的第二排前面可以加一个小正方体，在第一层的第三列当中，前面可以加一个正方体，在第二层的第二列可以加一个正方体，所以最多可以添加的是三个小正方体；
【详解】（1）解：如图，
（2）解：露出表面的一共有30个，每个的面积都是，
则这个几何体的总面积为：；
故答案为：
（3）解：由题意可得，在第一层的第二排前面可以加一个小正方体，在第一层的第三列当中，前面可以加两个正方体，在第二层的第二列可以加一个正方体；即要保持主视图和左视图不变，最多可以添加四个小正方体．
故答案为：4
考点7：作几何体的三视图
典例7：在如图的方格图中画出如图所示（图中单位：）的几何体的主视图、左视图和俯视图，每个小方格的边长代表．

【答案】见解析
【分析】本题考查了画三视图；用到的知识点为：主视图、俯视图、左视图；它们分别是从正面看，从上面看，从左面看得到的平面图形．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等；注意看不见的轮廓线要画虚线．分别从正面、左面、上面看得到的图形即可．看到的棱用实线表示，实际存在但是被挡住看不见的棱用虚线表示．
【详解】解：如图，

【变式1】（1）美术张老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把几何体放置在桌面，小聪同学已经画出了它的主视图，请你帮助她完成这个几何体的其它视图．

（2）如图是两根木杆及其影子的图形．

①这个图形反映的是中心投影还是平行投影？
②请你在图中画出表示小树影长的线段．（画出的影长加粗加黑）
【答案】（1）见解析；（2）①中心投影；②见解析
【分析】（1）根据三视图的定义画出图形即可；
（2）①利用中心投影的定义画出图形即可；
②利用中心投影的性质画出图形即可；
【详解】（1）左视图和俯视图如下：

（2）①是中心投影，点O是投影中心；
②如图，线段即为所求；

【点睛】此题主要考查了三视图的画法以及中心投影知识点，解题的关键是理解中心投影的性质，掌握三视图的定义．
【变式2】如图，是由一个长方体和圆柱组合而成的几何体，长方体的宽与圆柱底面圆的直径相等，圆柱的高是长方体的高的2倍．
(1)画出该几何体的主视图和左视图；
主视图： 左视图：
(2)若长方体的长为，宽为，高为，求该几何体的表面积和体积（取3）．
【答案】(1)见解析
(2)表面积是；体积是
【分析】本题考查了三视图及求几何体的表面积和体积，掌握三视图的概念及观察出几何体的结构是解题关键．
（1）根据“对一个物体在三个投影面内进行正投影，在正面内得到的由前往后观察物体的视图，叫做主视图；在侧面内得到的由左往右观察物体的视图，叫做左视图”相关概念，画出对应视图的图形即可；
（2）根据几何体的表面积=长方体的表面积+圆柱体的侧面面积，几何体的体积=长方体的体积+圆柱体的体积，计算即可得出答案．
【详解】（1）解：主视图和左视图，如图所示．
（2）解：长方体的长为，宽为，高为，长方体的宽与圆柱底面圆的直径相等，圆柱的高是长方体的高的2倍，
圆柱底面圆的直径是，圆柱的高为，
设长方体的表面积是，圆柱体的侧面积为，则
，
，
圆柱体的表面积为：，
设长方体的体积是，圆柱体的体积为，则
，
,
圆柱体的体积为:
答：几何体的表面积是，体积是．
【变式3】在平整的地面上，有若5个完全相同的棱长为1的小正方体堆成的一个几何体，如图所示．

(1)请在方格纸中分别画出它的主视图、左视图和俯视图；

(2)如果将小正方体放到小正方体的正上方，则它的 视图会发生改变．（填“主”或“左”或“俯”）
【答案】(1)见解析
(2)主
【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体：
（1）根据主视图，左视图，俯视图分别是从正面看，从左面看，从上面看看到的图形进行画图即可；
（2）画出移到后的三视图即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：如图所示，为移动后的三视图，
∴只有主视图发生改变，
故答案为：主．

考点8：由三视图求表面积与体积
典例8：一个几何体的三个视图如图所示（单位：）．
(1)写出这个几何体的名称：__________；
(2)若其俯视图为正方形，根据图中数据计算这个几何体的表面积．
【答案】(1)长方体
(2)
【分析】本题考查几何体的三视图，熟知常见几何体的三视图是解答的关键．
（1）根据三个方向看到的图形可得出该几何体是长方体；
（2）根据三视图中数据，由长方体的表面积公式求解即可．
【详解】（1）解：由三个方向看到的图形可得，该几何体是长方体，
故答案为：长方体；
（2）解：由所给数据，该长方体的底面是边长为的正方形，高为，
∴这个几何体的表面积为．
【变式1】如图是一个几何体的三视图．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)画出这个几何体的表面展开图；
(3)根据图中的数据，求这个几何体的侧面积．
【答案】(1)三棱柱
(2)见详解
(3)
【分析】本题考查三视图、几何体的侧面展开图等知识，解题的关键是理解三视图、看懂三视图．
（1）根据三视图，即可解决问题；
（2）画出正三棱柱的表面展开图即可；
（3）侧面展开图是矩形，求出矩形的面积即可．
【详解】（1）解：根据三视图可知这个几何体的名称是三棱柱．
（2）这个几何体的表面展开图如下：（答案不唯一）
（3）这个几何体的侧面积是．
【变式2】从不同方向观察一个几何体，所得的平面图形如图所示，
(1)写出这个几何体的名称：______；
(2)求这个几何体的侧面积和表面积．（结果保留）
【答案】(1)圆柱
(2)圆柱的侧面积为，圆柱的体积为
【分析】本题考查从不同方向看几何体，圆柱的侧面积和体积．
（1）根据从不同方向看几何体的图形，判断即可；
（2）根据圆柱的侧面积底面圆的周长高，圆柱的表面积侧面积底面积代数求解即可．
【详解】（1）解：依题意，根据三视图，这个几何体是圆柱；
故答案为：圆柱；
（2）解：依题意，底面半径为，高为3，
∴圆柱的侧面积；
∴圆柱的表面积．
【变式3】如图所示为一几何体的三种视图．（单位：）
(1)通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据，可以得出左视图中的 ， ；
(2)根据图中所标数据，求这个几何体的侧面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由三视图可知，该几何体为三棱柱，底面为边长为4的等边三角形，高为10，因此，b等于底面三角形的高；
（2）三棱住的侧面积等于底面周长与高的乘积．
【详解】（1）解：由三视图可知，该几何体为三棱柱，底面为边长为4的等边三角形，高为10，
因此，，
故答案为：，；
（2）解： ，
即这个几何体的侧面积为．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，求三棱柱的侧面积等知识点，解题的关键是根据所给三视图判断出几何体的形状．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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