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微专题01 二次函数图像与各系数关系通关专练
一、单选题
1．二次函数图象如图，下列结论：
；
；
当时，；
；
若，且，则．
其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．③④⑤ D．②③⑤
2．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．对称轴为直线x＝l，直线y＝﹣x+c与抛物线交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，现有下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）＜a+b；④a＜﹣1．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
3．已知二次函数的图象与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点，在该函数图象上．二次函数中的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x … 0 1 3 …
y … 2 5 5 …
下列结论：
①抛物线的对称轴是直线；
②这个函数的最大值大于5；
③点B的坐标是；
④当，时，
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．③④ D．②③④
4．已知二次函数的与的部分对应值如表：
下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④抛物线与轴的两个交点间的距离是；⑤若是抛物线上两点，则；⑥. 其中正确的个数是( )
A． B． C． D．
5．已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；其中正确的结论有（ ）

A．个 B．个 C．个 D．个
6．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①b2﹣4ac＜0；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c=0；
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤当x＞0时，y随x增大而减小．
其中结论正确的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．抛物线（a，b，c为常数）开口向下且过点 ，下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为A(3，0)，下列说法错误的是（　　）
A．b2＞4ac B．abc＜0
C．4a﹣2b+c＞0 D．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大
10．二次函数的图象如图，那么一次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
11．已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A． B． C．当时， D．
12．如图，已知二次函数的对称轴为直线.有下列4个结论：①；②；③；④（是不等于1的实数）.其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，若点A坐标为，点B坐标为，有下列结论：
①；②；③；④当时，．
其中结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论①abc＞0；②b＜a+c；③4a﹣2b+c＞0；④2c＜3b；其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．如图，若二次函数图象的对称轴为，与y轴交于点C，与x轴交于点A、和点B，点，则①；②，③，④当时，，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．二次函数的图象如图所示，以下结论：①；②；③；④若，是一元二次方程的两个根，且则，正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
18．如图，函数与在同一平面直角坐标系中的图象不可能是（ ）
A． B． C． D．
19．已知抛物线的y与x的部分对应值如下表：
x … 0 1 3 4 …
y … 2 4 2 2 …
下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．当时，
C．y的最大值为4
D．当时，y随x的增大而减小
20．如图，二次函数的图象的对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③是抛物线上两点，则；④对于任意实数，都有．其中正确的结论个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
21．二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：①；②；③方程的两根分别为；④若方程有四个根，则这四个根的和为.其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，m），与y轴的交点在（0，﹣4），（0，﹣3）之间（包含端点），下列结论：①abc＞0；②4ac-b2＞0；③ac＜0；④1≤a；⑤关于x的方程ax2+bx+c+2﹣m＝0没有实数根．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
23．如图，二次函数的图象如图，给出以下四个结论：①②，③，④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
24．如图所示是二次函数的图像，则一次函数的图像不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
25．二次函数（）的图象如图所示，下列结论：①，②，③，④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
26．二次函数（，，是常数，）图像的对称轴是直线，其图像如图所示，对于下列说法：①；②；③；④当时，．其中正确的是 （填正确结论的序号）．
27．如图是二次函数的图象，下列结论：①二次三项式的最大值为4；②；③；④；⑤使成立的x的取值范围是．其中正确的结论有： ．（填上序号即可）
28．写一个你喜欢的实数m的值，使得事件“对于二次函数，当时，y随x的增大而增大”成为随机事件，这个实数m的值 ．
29．如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．
30．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＜0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）；⑥若点A（，y1），B（，y2）在该函数图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）．
31．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论；
①b2-4ac＜0②x＜0时，y随x的增大而增大③a-b+c＜0④abc＞0⑤2a+b＞0
其中，正确结论是
32．已知函数（为实数）．对于任意正实数，当时，随着的增大而增大，则的取值范围为 ．
33．二次函数的图像如图所示，①②③④⑤当时，．⑥当时，随的增大而减小，其中正确的是 （填序号）．
34．如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③关于的一元二次方程的两根分别为和；④若点、、均在二次函数图象上，则；⑤为任意实数其中正确的结论有 填序号．
35．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，图象过（1，0）点，部分图象如图所示，下列判断：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＜0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2，其中正确判断的序号是 ．
36．已知抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如图，则以下结论：①；②当时，随增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤，其中正确结论是 填序号
37．如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点．下列结论：①；②：③若和是抛物线上两点，则，④对于任意实数，均有．其中正确结论的序号是
38．如图，抛物线交x轴于点A，B（A在B的左侧），交y轴的正半轴于点C，抛物线的对称轴为直线，点D在点B的右侧，直线的解析式为．下列结论①；②；③；④．其中正确的是 ．
39．抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．下列结论中：①；②2a+b＝0；③a+c＞0；④若点A（m，n）在该抛物线上，则．其中正确的序号是 ．
40．已知抛物线如图所示，那么点在第 象限．
41．如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．（填序号）

42．如图，抛物线的对称轴为直线x＝1，以下4个结论：
①；②；③，其中；④．
其中正确结论的有 ．（填序号）
43．抛物线（a、b、c是常数，且）经过点，其中，且对称轴是直线，下列结论：①；②；③ 当t为全体实数时，总成立；④ 若，该抛物线上存在、两点，满足，则m的取值范围是，其中正确的有 ．
44．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：
①2a+b＜0；
②﹣1≤a≤﹣；
③对于任意实数m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0总成立；
④关于x的方程ax2+bx+c＝n+1有两个不相等的实数根．
其中结论正确的序号是 ．
45．如图所示，二次函数的图象的对称轴是直线x=1，且经过点（0，2）.有下列结论：①abc>0；②；③（m为常数）；④；⑤和x=7时函数值相等；⑥若，，在该函数图象上，则；⑦15a＋c＜0.其中错误的结论是 （填序号）.
46．如图所示为二次函数在平面直角坐标系中的大致图像，与x轴交于点，则下列描述：①，②，③，④方程有两个不相等的实数根，⑤当时，y随x的增大而增大．其中正确的是 （填序号）
47．二次函数的图象的一部分如图所示，己知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤点是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为．其中正确的有 （填序号）．

48．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的序号为 ．
49．抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③若，则时的函数值小于时的函数值；④点一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是 ．
50．如图，已知抛物线的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴的负半轴交于点C，且，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ．

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微专题01 二次函数图像与各系数关系通关专练
一、单选题
1．二次函数图象如图，下列结论：
；
；
当时，；
；
若，且，则．
其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．③④⑤ D．②③⑤
【答案】D
【分析】利用抛物线开口方向确定，利用抛物线的对称轴得到，利用抛物线与轴的交点位置确定，从而可对①②进行判断；利用二次函数的最值问题可对③进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与轴的另一个交点在的右侧，则时，，即，则可对④进行判断；利用抛物线的对称性可对⑤进行判断．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
∴，，，
∴，
∴①错误，故不符合要求；
∵，
∴，
∴②正确，故符合要求；
由二次函数的性质可知，当时，有最大值，
当时，，
即当时，，
∴③正确；故符合要求；
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在点的左侧，
∴抛物线与轴的另一个交点在的右侧，
时，，
即，
∴④错误，故不符合要求；
若，即，且，
则当和时，函数值相等，
∴与关于直线对称，
∴，
∴⑤正确，故符合要求；
综上，正确的有②③⑤，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于数形结合并灵活运用知识．
2．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．对称轴为直线x＝l，直线y＝﹣x+c与抛物线交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，现有下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）＜a+b；④a＜﹣1．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【分析】利用二次函数的性质逐个分析即可
【详解】∵抛物线的对称轴为直线，
∴b=-2a，即b+2a=0，
∴2a+b+c=c，
∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-1，0）右侧，
∴当x=-1时，函数值小于0，
即a-b+c＜0，
故②正确；
∵x=1时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴x（ax+b）≤a+b，
故③错误；
∵直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴x=3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a+3b+c＜-3+c，
而b=-2a，
∴9a-6a＜-3，
解得a＜-1，
故④正确．
综上，正确的是：①②④
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．也考查了二次函数图象与系数的关系．
3．已知二次函数的图象与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点，在该函数图象上．二次函数中的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x … 0 1 3 …
y … 2 5 5 …
下列结论：
①抛物线的对称轴是直线；
②这个函数的最大值大于5；
③点B的坐标是；
④当，时，
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．③④ D．②③④
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可得答案．
【详解】解：将，代入得，
解得，
，
抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
①错误，②正确．
点A坐标为，
点B坐标为，③错误．
，，
点C到对称轴的距离小于点D到对称轴的距离，
，④正确．
故选：B．
4．已知二次函数的与的部分对应值如表：
下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④抛物线与轴的两个交点间的距离是；⑤若是抛物线上两点，则；⑥. 其中正确的个数是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用待定系数法求出抛物线解析式，则可对①进行判断；求出抛物线的对称轴则可对②进行判断；利用抛物线与x轴的两个交点可对③④进行判断；根据二次函数的增减性可对⑤进行判断；根据a、b、c的具体数值可对⑥进行判断．
【详解】解：由表格可知：抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0），∴设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把（﹣1，5）代入得：5＝a×（﹣1）×（﹣1﹣4），解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x，所以①正确；
∵（0，0）与（4，0）关于抛物线的对称轴对称，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，所以②正确；
∵抛物线的开口向上，且与x轴交于点（0，0）、（4，0），∴当0＜x＜4时，y＜0，所以③错误；
抛物线与x轴的两个交点（0，0）与（4，0）间的距离是4，所以④正确；
若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则，所以x1与x2的大小不能确定，所以⑤错误；
∵a=1，b=－4，c=0，∴，所以⑥错误．
综上，正确的个数有3个，故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数的解析式、抛物线与x轴的交点以及二次函数与不等式等知识，属于常见题型，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；其中正确的结论有（ ）

A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象和性质，依次判断，即可．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为：，
∴，
∵当时，，
∴，
∴错误；
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴错误；
∵抛物线的对称轴为：，
∴当时和时，值相等，
∴当时，；当时，，
∴，
∴正确；
∵抛物线与轴有两个不同的交点，
∴有两个不同的解，
∴，
∴正确；
综上所述，正确的结论为： ．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的联系．
6．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①b2﹣4ac＜0；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c=0；
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤当x＞0时，y随x增大而减小．
其中结论正确的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=﹣2a，结合图象当x=-1时，y=0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．
【详解】函数图象与x轴有2个交点，则b2﹣4ac＞0，故①错误；
函数的对称轴是x=1，则与x轴的另一个交点是（3，0），
则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，故②正确；
函数的对称轴是x1，∴b=-2a，由图象可知：当x=-1时，y=a-b+c=0，∴a+2a+c=3a+c=0，故③正确；
函数与x轴的交点是（﹣1，0）和（3，0）则当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，故④正确；
当x＞1时，y随x的增大而减小，则⑤错误．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
7．抛物线（a，b，c为常数）开口向下且过点 ，下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据抛物线开口向下，可得a＜0，再根据题意得到抛物线的对称轴为直线，从而得到b＜0，再由当x=0时，y=c＞0，可得①正确；根据当x=-2时，y＜0，即，可得②正确；再由当x=-1时，y＞0，可得，再得到，可得③正确；根据方程有两个不相等的实数根，可得函数与直线有两个交点，可得④正确，即可求解．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线过点 ，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴b＜0，
如图，
当x=0时，y=c＞0，
∴，故①正确；
当x=-2时，y＜0，即，故②正确；
当x=-1时，y＞0，即，
∵a＜0，，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴函数与直线有两个交点，即
∵抛物线过点，
∴，
∴抛物线与直线有两个交点，
∴抛物线的顶点的纵坐标，
∵a＜0，
∴，故④正确，
∴正确的有4个．
故选：A
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键在理解系数对图象的影响，a决定抛物线的开口方向和大小，b联同a决定对称轴的位置，c决定图象与y轴的交点位置，还有x轴上方的点对应的y>0，下方的点对应的y<0．
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据各选项中一次函数与二次函数图像分别判断各自a值的正负，若同正或同负，则判断该选项为符合题意的选项．
【详解】解： A、直线经过二、四象限，则，抛物线开口向上，则，矛盾，故不符合题意；
B、直线经过二、四象限，则，抛物线开口向上，则，由抛物线与y轴交点在x轴下方，得，故符合题意；
C、直线经过二、四象限，则，抛物线开口向下，则，抛物线与y轴交点在x轴上方，得，矛盾，故不符合题意；
D、直线经过一、三象限，则，抛物线开口向下，则，矛盾，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数图象与系数的关系．解题的关键在于熟练掌握系数与函数图象的关系．
9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为A(3，0)，下列说法错误的是（　　）
A．b2＞4ac B．abc＜0
C．4a﹣2b+c＞0 D．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】由抛物线的开口方向和与x轴的交点个数可得a＜0，c＞0，b＝﹣2a＞0，∴△＝b2﹣4ac＞0，可判断选项A，B，由抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），可得当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，可判断C，D选项，即可求解．
【详解】解：∵抛物线开口向下，顶点在第一象限，
∴抛物线与x轴有两个交点，a＜0，c＞0，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，所以A选项不合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，即b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，所以选项B不合题意；
∵对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为A（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0）
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，
故选项C符合题意，选项D不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解答关键是应用数形结合思想解题．
10．二次函数的图象如图，那么一次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的图像可以得出，从而得出，再根据一次函数的性质即可求出一次函数过二、三、四象限．
【详解】解：由图像可得
∴
∴一次函数的图像过二、三、四象限
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的性质，熟练掌握二次函数和一次函数的性质是解答此题的关键．
11．已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A． B． C．当时， D．
【答案】B
【分析】首先根据二次函数图象开口方向可得 ，根据图象与y轴交点可得，再根据二次函数的对称轴，结合a的取值可判定出，根据的正负即可判断出①的正误；把代入函数关系式中得，由题意知关于对称轴的对称点为，结合图象，可判断②③的正误；由图象可以直接看出抛物线与轴的交点个数，进而可判断④的正误．
【详解】解：根据图象可得： ，
对称轴：直线
∵
∴ ，
∴， 故A正确；
把代入函数关系式中得
由题意知关于对称轴的对称点为
∴，故B错误；
由图象与性质可知当时，，故C正确；
由图象可知抛物线与轴有两个交点
∴的判根公式，故D正确；
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程的联系．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．
12．如图，已知二次函数的对称轴为直线.有下列4个结论：①；②；③；④（是不等于1的实数）.其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由抛物线开口方向、对称轴、与y轴交点的位置可分别求出a、b、c的符号，可判断①；当x=－1时，y＜0，可判断②；当x=3时，y＜0，再根据对称轴即可判断③；根据二次函数的最值问题可知x=1时，y有最大值，则（），变形得（）可判断④.
【详解】解：由图象可知，.
∵，∴，∴，故①错误；
由图象可知，当时.函数值小于0.即.故②正确；
∵对称轴，∴.
又∵x=3时，y＜0，∴，∴，得，故③正确；
当时，的值最大，此时，；
而当，时，，所以.
故，即.故④正确.
故答案选：C.
【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线的开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定.
13．已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据图象得出a＜0，，c＞0，结合图象上的点和与x轴交点个数即可逐项判断．
【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，
∴，
∴2a+b＝0，b＞0
∴abc＜0，∴①和②错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴有两交点，
∴故③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c图象可知，当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，故④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
14．如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，若点A坐标为，点B坐标为，有下列结论：
①；②；③；④当时，．
其中结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先根据抛物线开口向下，且与x轴交于正半轴两点，与y轴负半轴相交，推出二次函数各系数的正负，再根据抛物线与x轴的交点求出对称轴为，再得出，，从而判断②③，最后根据二次函数的性质判断④．
【详解】解：根据题意抛物线开口向下，与y轴负半轴交于点C，
∴，
∵，
∴，
∴，
故①错误；
∵A坐标为，点B坐标为，
∴抛物线对称轴为，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
故③正确；
∵抛物线的对称轴为，
∴当时，，
故④错误．
∴正确的有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征及抛物线与x轴的交点，解题的关键是根据点在二次函数图象上及二次函数的对称性推出二次函数各系数之间的关系．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论①abc＞0；②b＜a+c；③4a﹣2b+c＞0；④2c＜3b；其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出的符号，再利用特殊值法分析得出各选项．
【详解】（1）∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵对称轴x＝＝1
，∴b＝﹣2a＞0，
抛物线交y轴于正半轴，得：c＞0，
∴abc＜0，故选项①错误．
（2）根据抛物线在x＝﹣1时，y＜0，即y＝a×+b(﹣1)+c＝a﹣b+c＜0
∴a+c＜b，故选项②错误．
（3）当x＝﹣2时，y＜0；则4a﹣2b+c＜0，故选项③错误．
（4）根据抛物线在x＝﹣1时，y＜0，即y＝a﹣b+c＜0，
∵b＝﹣2a＞0，a＝﹣，
∴﹣﹣b+c＜0，
即3b＞2c，故选项④正确．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求得系数之间的关系，以及二次函数与方程之间的转换．
16．如图，若二次函数图象的对称轴为，与y轴交于点C，与x轴交于点A、和点B，点，则①；②，③，④当时，，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查二次函数性质，对称轴，二次函数与一元二次方程的关系等知识点，根据二次函数的性质，对称轴，二次函数与一元二次方程的关系逐个判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，，
∵是抛物线的对称轴，
，
，
，故①错误，
∵过点，
∴，故②错误，
由图象可得抛物线与x轴交于两点，
∴，故③错误，
根据对称轴可得A点横坐标为 ，
由图象可得，
当时，，故④正确，
综上所述有1个正确，
故选：A．
17．二次函数的图象如图所示，以下结论：①；②；③；④若，是一元二次方程的两个根，且则，正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．根据抛物线的开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标，得出，，，即可判断①正确；根据图像与x轴有两个交点，得出，判断②正确．根据，，判定③错误．根据一元二次方程与二次函数的关系可以判断④错误．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴，
∴，故①正确．
∵图像与x轴有两个交点，
∴，
∴，故②正确．
∵，
∴，故③错误．
∵，是一元二次方程的两个根，
∴，表示函数值时，两个自变量的值，
∵抛物线与直线x轴的交点横坐标为、2，且，
∴根据函数图象可知，故④错误；
综上分析可知，正确的有2个．
故选：A．
18．如图，函数与在同一平面直角坐标系中的图象不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分a＞0与a＜0两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论．
【详解】解：先求，函数与的交点，
解得：，
两个交点分别为，
∴函数与交于x轴同一点，
当a＞0时，二次函数的图象开口向上、对称轴在y轴的右侧，一次函数的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于x轴同一点；
当a＜0时，二次函数的图象开口向下、对称轴在y轴的左侧，一次函数的图象经过第二、三、四象限，且两个函数的图象交于x轴同一点．
故选项B不可能．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是根据、与0的大小关系进行分类讨论．
19．已知抛物线的y与x的部分对应值如下表：
x … 0 1 3 4 …
y … 2 4 2 2 …
下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．当时，
C．y的最大值为4
D．当时，y随x的增大而减小
【答案】B
【分析】利用表格中数据得出抛物线对称轴以及对应坐标轴交点，进而根据图表内容找到方程即时x的取值范围，得出答案即可．
【详解】A.由图表中数据可得出函数解析式：,∵，故此函数开口向下，故此选项错误；
B.把（0，2），（1，4）（3，2）分别代入解析式，得，解得，
函数解析式 ，顶点坐标为，
∵
∴抛物线开口向下，函数有最大值．
∴当时，，故此选项正确；
C.当时，，低于顶点坐标，故此选项错误；
D.当时，y随x的增大而减小，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是根据表中数据确定抛物线的解析式．
20．如图，二次函数的图象的对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③是抛物线上两点，则；④对于任意实数，都有．其中正确的结论个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正确判断的前提．根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．
【详解】解：二次函数的图象开口向上，
，
二次函数图象的对称轴为直线，
，
，故①正确；
时，函数值与时相等，
由图象知，时，，
时，，故②正确；
，函数图象开口向上，
，故③错误；
当时，为二次函数最小值，
对于任意实数，都有，
，故④正确；
即正确的有3个，
故选：C．
21．二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：①；②；③方程的两根分别为；④若方程有四个根，则这四个根的和为.其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】利用二次函数的图象与性质逐一对选项进行分析即可.
①利用开口方向，对称轴及抛物线与y轴的交点即可判断；②根据a,b,c之间的关系进行化简判断即可；③利用a,b,c之间的关系对方程进行化简，然后解方程即可；④先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后根据根与系数的关系即可得出结论.
【详解】由题可知二次函数的顶点坐标为，∴整理得
①由题图可得，∴，①正确；
②，②正确；
③将代入得，
∴方程可化为，解得，③正确；
④去绝对值可化为与，由方程可得两根之和为，由方程可得两根之和为，∴方程的四根之和为，④错误.故正确结论的个数有3个.
故选：C.
【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键.
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，m），与y轴的交点在（0，﹣4），（0，﹣3）之间（包含端点），下列结论：①abc＞0；②4ac-b2＞0；③ac＜0；④1≤a；⑤关于x的方程ax2+bx+c+2﹣m＝0没有实数根．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，
∴a>0
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴在y轴的右侧，
∴
∴
又∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交y轴的负半轴，
∴
∴，故①正确，符合题意；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，
∴，即，故②错误，不符合题意；
③∵抛物线的顶点坐标为（1，m），与x轴的一个交点为A（-1，0）
∴对称轴为x=1
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）
∴当x=3时，y=，
∴ac =0，故③错误，不符合题意；
④当x=-1时，y=a-b+c=0，则c=-a+b，
由-4≤c≤-3，得-4≤-a+b≤-3，
图象的对称轴为x=1，故b=-2a，得-4≤-3a≤-3，
故1≤a≤正确，符合题意；
⑤y=ax2+bx+c的顶点为（1，m），即当x=1时y有最小值m．
而y=m-2和y=ax2+bx+c无交点，即方程ax2+bx+c=m-2无解，
∴关于x的方程ax2+bx+c+2-m=0没有实数根，故⑤正确，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
23．如图，二次函数的图象如图，给出以下四个结论：①②，③，④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据图象与坐标轴的交点情况判④，根据图象与轴的交点个数判断③，根据顶点的坐标判断①，根据对称轴判断②．
【详解】解：由于顶点的纵坐标大于0，所以当时，，故①正确；
由于抛物线的对称轴，所以，故②错误；
由于抛物线与轴有两个交点，所以，故③错误；
由于抛物线开口向下，所以，由于，，所以，故④错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系,解题的关键是掌握二次函数的图象为抛物线，当，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与轴的交点坐标为；当，抛物线与轴有两个交点；当，抛物线与轴有一个交点；当，抛物线与轴没有交点．
24．如图所示是二次函数的图像，则一次函数的图像不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a、b、c的正负情况，再由一次函数的性质解答．
【详解】解：由图象开口向上可知a＞0，
对称轴x=＜0，得b＞0，
抛物线与y轴交于原点下方，得c＜0
∴bc＜0
所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
25．二次函数（）的图象如图所示，下列结论：①，②，③，④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵对称轴为直线，
∴，所以②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在原点和（1，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（2，0）和（1，0）之间，
∴x=2时，y＜0，即，所以③错误．
∵当x=1时，y＞0，∴，∵当x=－1时，y＜0，∴，
∴，
∴，所以④正确；
故正确的为①②④，
故选C．
二、填空题
26．二次函数（，，是常数，）图像的对称轴是直线，其图像如图所示，对于下列说法：①；②；③；④当时，．其中正确的是 （填正确结论的序号）．
【答案】①②③
【分析】根据二次函数的图像可知，图像开口向上，与轴的负半轴相交，与轴有两个交点，对称轴为，由此即可求解．
【详解】解：二次函数（，，是常数，），
①图像开口向上，
∴，故①正确；
②与轴的负半轴相交，
∴，，
∵对称轴为，
∴，且，
∴，则，故②正确；
③当时，，在轴的下方，
∴，故③正确；
④当时，图像在轴的下方，即，故④错误．
综上所述，正确的有：①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，掌握二次函数中系数与图像的位置关系是解题的关键．
27．如图是二次函数的图象，下列结论：①二次三项式的最大值为4；②；③；④；⑤使成立的x的取值范围是．其中正确的结论有： ．（填上序号即可）
【答案】①③
【分析】利用二次函数的顶点坐标与开口方向即可判定①正确；利用待定系数法求得a，b，c的值即可判定②③④，结合图象可得成立的x的取值范围是两部分，由此可得结论．
本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象的性质和待定系数法是解题的关键．
【详解】解：由抛物线的图象可知：二次函数的图象的顶点为，抛物线开口向下，
∴二次函数有最大值4，
∴二次三项式的最大值为4，故①的结论正确；
由抛物线的图象可知：抛物线经过，，三点，
∴，解得：
∴，故②的结论不正确；
∴，故③的结论正确；
∴，故④的结论不正确；
由抛物线的图象可知：成立的x的取值范围是或，故⑤的结论不正确，
综上，正确的结论有：①③，
故答案为：①③．
28．写一个你喜欢的实数m的值，使得事件“对于二次函数，当时，y随x的增大而增大”成为随机事件，这个实数m的值 ．
【答案】m＞1的实数
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可
【详解】实数m的值m＞1,使得事件对于二次函数
,当x>2时,y随x的增大，则5m-3>2,解的:m>1.
而增大”成为随机事件
故答案为: m＞1
【点睛】此题考查随机事件和二次函数图象与系数的关系，解题关键在于找到y随x的增大
而增大的点
29．如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．
【答案】①②④
【分析】由二次函数的图象与性质，判断出，，再由根的判别式（不相等的两个根）得出，对称轴得出．①②由上述条件加减乘除运算即可判断出结论；③由对称轴与抛物线交点即为顶点，值最大，利用不等式的基本性质即可判断出结论；④联立与，利用韦达定理、两根相加小于3建立关系即可判断得出．
【详解】解：图象开口向下且与轴交于点，与轴交于，两点，
，，．
对称轴，
，．
当时，，①、②正确．
时，，
，即，③错误．
直线与抛物线相交，且点的横坐标小于3，
，
，解得，④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数关系的理解能力．主要涉及二次函数图象与系数的关系（开口向上、开口向下），根的判别式（两个不相等的根、两个相等的根、无根），韦达定理等知识点．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
30．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＜0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）；⑥若点A（，y1），B（，y2）在该函数图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）．
【答案】②④⑤．
【分析】根据二次函数的图象及其性质即可求出答案．
【详解】①由图象可知：a<0，c>0，
对称轴：x= >0，
∴b>0
∴abc<0，故①错误；
②由于抛物线与x轴有两个交点，
∴△= b2 4ac>0，
即b2>4ac，故②正确；
③由于对称轴为x=1，
∴( 1,0)与(3,0)关于x=1对称，
令x=2时，
∴y=4a+2b+c>0，故③错误；
④令x= 1，
∴y=a b+c<0，
∵ =1，
∴a= ,
∴ b+c<0，
∴2c<3b，故④正确；
⑤由于x=1，y=a+b+c，a<0
∴该二次函数的最大值为a+b+c，
当m≠1时，
∴y=am2+bm+c，
∴a+b+c> am2+bm+c，
∴a+b> am2+bm，
即a+b>m(am+b)，故⑤正确；
⑥（，y1）与(, y1)关于x=1对称，
∵>,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在x>1上，y随着x的增大而减小，
∴y1< y2，故⑥错误；
故答案为②④⑤．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系.
31．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论；
①b2-4ac＜0②x＜0时，y随x的增大而增大③a-b+c＜0④abc＞0⑤2a+b＞0
其中，正确结论是
【答案】②③⑤
【分析】利用抛物线与x轴有2个交点和判别式的意义对①进行判断；利用二次函数的性质对②进行判断；利用x=-1时，y＜0可对③进行判断；由抛物线开口向下得到a＜0，由抛物线的对称轴在y轴右侧得b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对④进行判断；利用对称轴方程得到-＞1，则可对⑤进行判断．
【详解】∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2-4ac＞0，所以①错误；
∵x＜0在对称轴的左侧，
∴y随x的增大而增大，所以②正确；
∵x=-1时，y＜0，
∴a-b+c＜0，所以③正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，即b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以④错误；
∵-＞1，
而a＜0，
∴b＞-2a，即2a+b＞0，所以⑤正确．
故答案为②③⑤．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
32．已知函数（为实数）．对于任意正实数，当时，随着的增大而增大，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】只求m的一个值即可．当时，抛物线对称轴为直线，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，根据题意，得，可确定m的范围，在范围内取m的一个值即可．
【详解】解:∵，
∴抛物线开口向上，
对称轴为
因此,对于任给的正实数，只在，都有随的增大而增大,
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性等知识点，主要考查数形结合的数学思想．
33．二次函数的图像如图所示，①②③④⑤当时，．⑥当时，随的增大而减小，其中正确的是 （填序号）．
【答案】①③⑤
【分析】本题主要考查二次函数的图像与系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴、抛物线的增减性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：由图可知，开口向上，图像与轴负半轴相交，故，
对称轴，，
，
，则①正确；
图像与轴有两个交点，
，则②错误；
对称轴为，
，则③正确；
由图可知，当时，将带入，
得，则④错误；
由图可知，当时，，则⑤正确；
当时，随的增大，先减小再增大，则⑥错误；
故答案为：①③⑤．
34．如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③关于的一元二次方程的两根分别为和；④若点、、均在二次函数图象上，则；⑤为任意实数其中正确的结论有 填序号．
【答案】①②③
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点为（1，0）即可判断①；根据抛物线对称轴为直线x=-1结合当x=-1时，y＜0即可判断②；根据抛物线的对称轴可以求出抛物线与x轴的另一个交点为（-3，0）即可判断③；根据抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大即可判断④；根据抛物线在x=-1时有最小值即可判断⑤．
【详解】解：抛物线过点，
．故①正确．
抛物线的对称轴是直线，开口向上，
，．
．
当时，．
，
．
．故②正确．
抛物线对称轴为，过点．
抛物线过点．
关于的一元二次方程的两根分别为和，故③正确．
点到对称轴的距离为：．
到对称轴的距离为：，
到对称轴的距离为：．
抛物线开口向上．
．故④错误．
抛物线开口向上，对称轴为：，
当时，有最小值，
当时，函数值不小于．
．
．故⑤错误．
故答案为；．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，正确掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
35．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，图象过（1，0）点，部分图象如图所示，下列判断：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＜0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2，其中正确判断的序号是 ．
【答案】②③．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系，逐一判断选项，即可求出答案．
【详解】①由图象可知：a＞0，c＜0，对称轴：x＝＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①错误．
②由抛物线的对称性可知：△＞0，即b2﹣4ac＞0，故②正确．
③∵＝﹣1，
∴b＝2a，
令x＝1代入，y＝a+b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴5a﹣2b+c＝5a﹣4a﹣3a＝﹣2a＜0，故③正确．
④（﹣0.5，y1）与（﹣1.5，y1）关于直线x＝﹣1对称，
由于﹣1.5＞﹣2，
∴y1＜y2，故④错误．
故答案为：②③．
【点睛】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是掌握二次函数的性质，函数图像上点的坐标特征，对称轴方程，属于中考常考题型．
36．已知抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如图，则以下结论：①；②当时，随增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤，其中正确结论是 填序号
【答案】②③④
【分析】利用图像信息，以及二次函数的性质即可一一判断．
【详解】解：∵二次函数与x轴有两个交点，
∴b24ac＞0，故①错误，
观察图像可知：当x＞1时，y随x增大而减小，故②正确，
∵A在（-3，0），（-2，0）之间，顶点D（-1，2），
∵抛物线与x轴的另一个交点为在（0，0）和（1，0）之间，
∴x=1时，y=a+b+c＜0，故③正确，
∵当m＞2时，抛物线与直线y=m没有交点，
∴方程ax2+bx+cm=0没有实数根，故④正确，
∵对称轴，
∴b=2a，
∵a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，故⑤错误，
故答案为：②③④
【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，根的判别式、抛物线与X轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
37．如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点．下列结论：①；②：③若和是抛物线上两点，则，④对于任意实数，均有．其中正确结论的序号是
【答案】①④/④①
【分析】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，掌握抛物线的对称性和增减性是解答本题的关键．根据所给的二次函数图像，得到，，的正负，再结合抛物线的对称性和增减性，对每一项进行判断，得出答案．
【详解】解：①由题目中所给函数图像知：
，，，
，
故①正确；
②抛物线经过点，且对称轴是直线，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
则，
故②不正确；
③ ，，
又抛物线开口向上，
抛物线上离对称轴越近的点的纵坐标越小，
故，
故③不正确；
④抛物线的对称轴是直线，
，
即．
又抛物线经过点，
，
将代入得，
，
又当时，
函数取得最小值为：，
当时的函数值不小于，
即．
故④正确．
故正确结论的序号为：①④．
故答案为：①④．
38．如图，抛物线交x轴于点A，B（A在B的左侧），交y轴的正半轴于点C，抛物线的对称轴为直线，点D在点B的右侧，直线的解析式为．下列结论①；②；③；④．其中正确的是 ．
【答案】①②④
【分析】根据抛物线开口向上，与y轴交点在y轴正半轴，得到，再根据抛物线的对称轴为直线，得到即可判断①；根据当时，即可判断②③；求出直线与抛物线的两个交点的横坐标为，，得到，即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交点在y轴正半轴，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵当时，，
∴，故②正确；
∴，即，
∴，故③错误；
联立得到，
∴，
解得或，
∴，
∴，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的性质是解题的关键．
39．抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．下列结论中：①；②2a+b＝0；③a+c＞0；④若点A（m，n）在该抛物线上，则．其中正确的序号是 ．
【答案】①②③④．
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴，顶点坐标和最大值（最小值）进行解答即可得．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴，
∴a、b异号，
∴b>0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∴，
故①正确；
∵抛物线的对称轴是，
∴，
则，
∴，
故②正确；
把点（4，0）代入得：，
又∵，
∴，
，
∴，
∴，
∵a<0，
∴，
即，
故③正确；
当x=1时，该函数取得最大值，此时，
当点A（m，n）在该抛物线上，此时，
∴，
故④正确；
综上，①②③④正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
40．已知抛物线如图所示，那么点在第 象限．
【答案】二
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向和对称轴位置确定的符号，抛物线与轴的交点确定的符号，即可确定点所在的象限．
【详解】解：由抛物线的图象得，，，
，
在第二象限．
故答案为：二．
41．如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．（填序号）

【答案】②④/④②
【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，抛物线与轴交点的个数判断②；对称轴判断③；特殊点判断④；掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．
【详解】解：抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴的交于负半轴，
∴，，
∴，；故①③错误；
由图象可知，抛物线与轴有两个交点，
∴；故②正确；
当时，，即：；故④正确；
综上：正确的是②④；
故答案为：②④．
42．如图，抛物线的对称轴为直线x＝1，以下4个结论：
①；②；③，其中；④．
其中正确结论的有 ．（填序号）
【答案】①②④
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，分别观察，，时的函数值，进而对所得结论进行判断即可．
【详解】解：①由图象可知：，，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴，结论②正确；
③当时，y的值最大．此时，，
而当时，，其中，
所以，
故，即，故③错误．
④由对称知，当时，函数值大于0，即，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
43．抛物线（a、b、c是常数，且）经过点，其中，且对称轴是直线，下列结论：①；②；③ 当t为全体实数时，总成立；④ 若，该抛物线上存在、两点，满足，则m的取值范围是，其中正确的有 ．
【答案】①②④
【分析】由抛物线的开口方向及对称轴，可确定b的符号，再可确定抛物线与x轴的另一个交点，结合二次函数的性质即可确定c的符号，从而可判断①；由①得，当时有，只要确定的大小，利用函数的增减性即可判断②；由题意知，函数当时取得最大值，因此，对任意实数t，都有，整理即可判断③；由抛物线上存在、两点，满足，则应在对称轴的两侧，则有，解不等式组即可，从而可判断④，最后可确定答案．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，，
∴，即，
∴；
∵抛物线经过点，其中，
∴由抛物线的对称性质，抛物线的另一个交点为，
∴，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴当时，时，，
∴，
故①正确；
由①得，
则当时有，
∵，
∴，
即，
由函数的增减性知，
故②正确；
由题意知，函数当时取得最大值，
∴对任意实数t，都有，
即，
∵，
∴
整理即可判断③；
当，该抛物线上存在、两点，满足，
∴应在对称轴的两侧，
∴有，
解不等式组得：，
故④正确；
∴正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
44．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：
①2a+b＜0；
②﹣1≤a≤﹣；
③对于任意实数m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0总成立；
④关于x的方程ax2+bx+c＝n+1有两个不相等的实数根．
其中结论正确的序号是 ．
【答案】②③．
【分析】由对称轴、顶点坐标和y轴交点坐标代入可得b=-2a，c=-3a可判断①②，对函数图像得最大值进行分析可以判断③④．
【详解】如图，
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴抛物线的对称性为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，所以①错误；
∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a＝﹣2a﹣a＝﹣3a，
∵抛物线与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，即2≤﹣3a≤3，
∴﹣1≤a≤﹣，所以②正确；
∵当x＝1时，y有最大值，
∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
即a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0，所以③正确；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴直线y＝n与抛物线只有一个交点，
∴直线y＝n+1与抛物线没有公共点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根，所以④错误．
故答案为②③．
【点睛】本题考查了函数的系数与对称轴，顶点坐标及与坐标轴的的关系．同时考查顶点与直线的比较来判断函数与直线交点的情况，代入特殊点和利用顶点坐标是解决本类题的常用方法．
45．如图所示，二次函数的图象的对称轴是直线x=1，且经过点（0，2）.有下列结论：①abc>0；②；③（m为常数）；④；⑤和x=7时函数值相等；⑥若，，在该函数图象上，则；⑦15a＋c＜0.其中错误的结论是 （填序号）.
【答案】①⑥
【分析】①由抛物线开口可得，对称轴是直线x=1可得，可得，经过点（0，2），可得，即可得出；
②根据抛物线与x轴有两个交点，即可得到；
③当时，函数取得最大值，所以当时，，化简即可得到（m为常数）；
④当时，，将，代入，即可算出；
⑤和x=7离x=1距离相同，因此函数值相等；
⑥离对称轴x=1越近，函数值越大，即可得出；
⑦当时，，将代入，即可得出15a＋c＜0．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线对称轴是直线x=1，
∴，即，
∴，
∵经过点（0，2）
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，故②正确；
∵当时，函数取得最大值，最大值为，
∴当时，，
∴，故③正确；
∵当时，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，故④正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=1，
∴和x=7时函数值相等，故⑤正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=1，且开口向下，
∴离对称轴x=1越近，函数值越大，
∴，故⑥错误；
当时，，
∴，
∴，故⑦正确；
故答案为：①⑥．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是本题的关键．
46．如图所示为二次函数在平面直角坐标系中的大致图像，与x轴交于点，则下列描述：①，②，③，④方程有两个不相等的实数根，⑤当时，y随x的增大而增大．其中正确的是 （填序号）
【答案】①④⑤
【分析】①由抛物线与轴交点个数可判断；②由抛物线与轴交点位置可判断；③由抛物线开口向，与的交点位置，对称轴位置可判断，，的取值，即可判断；④由判别式可判断；⑤由抛物线的增减性可判断．
【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点，
∴，故①正确；
由图形可知，抛物线与轴的两个交点，一个在负半轴，一个为，
∴时，，故②错误；
∵抛物线开口向下，与的交点坐标在轴正半轴，对称轴在轴的右侧，
∴，，，即，
∴，故③错误；
∵，
又∵，，即，
∴，
即方程有两个不相等的实数根，故④正确；
当时，在对称轴的左侧，
∴y随x的增大而增大，故⑤正确；
综上，正确的为：①④⑤．
故答案为：①④⑤．
【点睛】本题考查二次函数图像的性质，通过数形结合理解二次函数图像的性质是解决问题的关键．
47．二次函数的图象的一部分如图所示，己知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤点是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为．其中正确的有 （填序号）．

【答案】①③⑥
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是根据二次函数图象，确定字母系数的符号和相关式子；根据二次函数图象的性质，逐项判断即可．
【详解】解：由所给函数图象可知，
抛物线开口向下，，
因为抛物线的对称轴为直线，
所以，即，
∵抛物线与y轴交点在正半轴，
∴
所以．
故①正确．
因为抛物线与x轴有两个不同的交点，
所以．
故②错误．
由函数图象可知，
当时，函数值小于零，
则．
又因为抛物线的对称轴为直线，
所以，
即，
所以，
即．
故③正确．
因为抛物线与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线，
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
则．
又因为，
所以．
故④错误．
当点在抛物线对称轴的右侧时，
因为抛物线开口向下，
所以在对称轴右侧的部分，y随x的增大而减小，
即时，．
故⑤错误．
方程的根可看成函数的图象与直线的交点的横坐标，
因为抛物线经过点，
所以函数的图象与直线的一个交点的横坐标为．
又因为抛物线的对称轴为直线，
所以函数的图象与直线的另一个交点的横坐标为5，
所以关于x的一元二次方程的两根分别为．
故⑥正确．
故答案为：①③⑥．
48．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的序号为 ．
【答案】①②⑤
【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的图象与性质对每个选项依次进行判断即可．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
对称轴，、异号，故，
与轴交点在正半轴，故，
，故①正确；
当时，，故②正确；
抛物线的对称轴为，与轴的一个交点为3，则与轴的另一个交点为，
当时，，故③错误；
，
，
，故④错误；
，，
，
，
，故⑤正确．
故答案为：①②⑤．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键在于能结合图象灵活运用二次函数的性质进行求解判断．
49．抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③若，则时的函数值小于时的函数值；④点一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是 ．
【答案】②③④
【分析】利由抛物线的位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的对称性和二次函数的增减性可对③进行判断；抛物线的对称性得出点（-2，0）的对称点是（4，0），由c=-8a 即可得出- =4，则可对④进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴ac＜0，
故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
而点（-2，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（4，0），即抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），
∴16a+4b+c=0，
故②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
∵若m＞n＞0，
∴1+m＞1+n，
∴x=1+m时的函数值小于x=1+n时的函数值，
∵横坐标是1-n的点的对称点的横坐标为1+n，
∴x=1+n时的函数值等于x=1-n时的函数值，
∴x=1+m时的函数值小于x=1-n时的函数值，
故③正确；
∵抛物线的对称轴为- =1，
∴b=-2a，
∴抛物线为y=ax2-2ax+c，
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（-2，0），
∴4a+4a+c=0，即8a+c=0，
∴c=-8a，
∴=4，
∵点（-2，0）的对称点是（4，0），
∴点（，0）一定在此抛物线上，
故④正确.
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
50．如图，已知抛物线的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴的负半轴交于点C，且，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ．

【答案】②③④
【分析】由图，，，，得，推知；由知，代入，得，化简得；将代入得，，由对称轴得，解得；将代入得．
【详解】解：由图，，，，
∴
∴，，故①错误；
，由知，代入，
得，，
化简得，，故②正确；
将代入得，，
对称轴，得，代入上式得，
，解得，故③正确；
将代入得，故④正确；
综上分析可知，正确的是②③④.
故答案为：②③④.
【点睛】本题考查二次函数图象性质，运用数形结合思想，理解图象与方程的联系是解题的关键．
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