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微专题02 二次函数最值问题通关专练
一、单选题
1．关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．该抛物线的对称轴是直线 B．该抛物线经过原点
C．该抛物线的最小值为 D．当时，y随x增大而减小
2．若二次函数有最大值，则“□”中可填的数是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．
3．代数式 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为3，则a的值为（ ）
A．1或0 B．1或 C．或 D．0或
5．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．5
6．若，则可取得的最小值为（ ）
A． B． C． D．7
7．设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数C1，C2图像上的点，当a≤x≤b时，总有﹣2≤y1﹣y2≤2恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝2x﹣5，y＝3x﹣1在﹣6≤x≤﹣2上是“逼近函数”
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤5上是“逼近函数”
③0≤x≤1是函数y＝x2﹣2，y＝2x2﹣x的“逼近区间”
④2≤x≤3是函数y＝2x﹣4，y＝x2﹣3x的“逼近区间”
其中，正确的结论有多少个（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．二次函数的最大值是，那么代数式的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点（其中为任意实数），则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
10．函数的最小值是（ ）
A．1 B． C．3 D．
11．已知二次函数y=2x2 4x 1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知二次函数（是常数，且）的最大值为，且该二次函数图像经过点，两点，则的值可能是( )
A． B． C．0 D．1
13．已知二次函数，当时，y的最大值为，则a的值为（ ）
A．或6 B．0或6 C．或2 D．2或6
14．已知是二次函数且有最大值，则
A．2 B．4 C． D．0
15．二次函数的图象如图，下列结论：①②③m为任意数数，则④3，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．已知，是一次函数图象上的两点，若的最小值为，则a的值为（ ）
A． B．9 C．或9 D．9或11
17．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数y的最小值为5，甲、乙两人研究h的取值，他们的判断是：甲：h＝﹣1；乙：h＝5．则下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两人的判断合在一起也不正确
B．甲、乙两人的判断合在一起正确
C．甲的判断正确，乙的判断不正确
D．甲的判断不正确，乙的判断正确
18．二次函数的图像如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）．
A．图像开口向下 B．时，函数有最大值
C．方程的解是 D．时，函数y随x的增大而减小
19．关于的一元二次方程有两个实数根，，则代数式的最小值是（　　）
A．-8 B．-5 C．1 D．2
20．设，且函数与有相同的最小值u；函数与有相同的最大值v；则的值（　　）
A．必为正数 B．必为负数 C．必为0 D．符号不能确定
二、填空题
21．函数y＝x2﹣5的最小值是 ．
22．二次函数 的对称轴为x=1，若关于x的一元二次方程 （c为实数），在﹣1≤x≤4范围内有解，则c的取值范围为 ．
23．已知二次函数，当时，函数y的最大值为 ．
24．如图，是等边三角形，，点为边上的动点，，交于点，线段的最大值为 ．
25．若实数，满足，则的最小值为 ．
26．已知实数、满足，则代数式的最小值是 ．
27．抛物线y＝﹣x2+4x+1的最大值为 ．
28．如图，等边三角形的边长为16，动点从点出发沿运动到点，连接，作交于点．动点从点运动到点时，点的运动路径长为 ．

29．二次函数的最大值是 ，最小值是 ．
30．若点在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离不大于3，则n的取值范围是 ．
31．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长量l/mm与温度t/℃之间是二次函数关系：l＝－t2－2t＋49.由此可以推测最适合这种植物生长的温度为 ℃.
32．函数是描述现实世界中变化规律的数学模型，运用函数知识可以解决实际问题，如飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式形，则飞机着陆后滑行的最大距离是 m.
33．当x变化时,分式的最小值是 .
34．函数，当-3≤x≤3时，y的取值范围是 ．
35．如图，在平面直角坐标系中，点和点在y轴上，点M在x轴负半轴上，．当线段OM最长时，点M的坐标为 ．
三、解答题
36．某宾馆有客房90间，当每间客房的定价为每天140元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每涨10元时，就会有5间客房空闲．如果旅客居住客房，宾馆需对每间客房每天支出60元的各种费用．
(1)请写出该宾馆每天的利润y（元）与每间客房涨价x（元）之间的函数关系式；
(2)设某天的利润为8000元，8000元的利润是否为该天的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时客房定价应为多少元？
(3)请回答客房定价在什么范围内宾馆就可获得利润？
37．如图，二次函数的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，且，抛物线对称轴为直线．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)点在线段上运动（点P与A，O不重合），轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
①求线段的最大值；
②当点M为的三等分点时，直接写出M的坐标．
38．如图1，某公园在园区内搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上，其内侧形状可近似看作如图2所示的抛物线的一部分，为地面上拱门的两个端点，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的竖直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，管理人员计划在地面上两处各竖立一根立柱，使立柱的最高点刚好触到抛物线拱门上，经测量，米，米，米．已知在一条直线上，，图中所有的点都在同一平面内．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求抛物线的最高点到地面的距离．
39．已知．
(1)求整式；
(2)当整式取最大值时，求此时的值．
40．分别在下列范围内求函数的最大值或最小值．
(1)；
(2)．
41．已知二次函数，记在某个范围时，函数的最小值为，最大值为，令，回答以下问题：
(1)当时，求的值．
(2)当时，求的范围．
(3)当时，求的值．
42．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣5），与x轴交于点A和点B，其中点B的坐标为（5，0），抛物线对称轴为直线x＝2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜x＜5时，y的取值范围为 　 　；
（3）点P为该二次函数在第四象限内图象上的一动点，过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q，设线段PQ长为l，求l的最大值，并写出此时点P的坐标．
43．在直角坐标系中，二次函数（a，b是常数，）的图象经过和两点．
（1）求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）当时，求的取值范围；
（3）当，n（m，n是实数，）时，该函数对应的函数值分别为M，N．若，求证：．
44．数学课外活动小组进行如下操作实验，把一根长的铁丝剪成两段．
(1)把每段首尾相连各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于，应该怎么剪这根铁丝？
(2)若把剪成两段的铁丝围成两个圆，两圆面积之和的最小值是多少？
45．已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B．
(1)若，，
①求点P的坐标；
②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标；
(2)若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，直接写出顶点P的坐标．
46．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，设抛物线的顶点为．直线与抛物线交于，两点．
(1)求，的值；
(2)若点在线段上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，的延长线交抛物线于点，求线段的最大值．
47．已知抛物线y=x （m 1）x+2m 1．
(1)当m=0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
(2)该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标．
48．某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量，如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低，根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75，在确保每棵果树平均产量不低于40的前提下，设增种果树x（且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为y，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．

(1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)当增种果树多少棵时，果园的总产量w（）最大？最大产量是多少？
49．如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是抛物线在第一象限的一个动点，点Q在线段上，且点Q始终在点P正下方，求线段的最大值．
50．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标；
（3）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．
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微专题02 二次函数最值问题通关专练
一、单选题
1．关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．该抛物线的对称轴是直线 B．该抛物线经过原点
C．该抛物线的最小值为 D．当时，y随x增大而减小
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象性质逐一解答．
【详解】解：该抛物线的对称轴是直线，故A正确；
当x=0时，，该抛物线经过原点，故B正确；
，当x=-1时，抛物线有最小值-2，故C正确；
该抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，y随x增大而减小，故D错误
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的特征、二次函数的最小值、对称轴等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
2．若二次函数有最大值，则“□”中可填的数是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【分析】先设□处为a，然后根据二次函数的性质得，最后根据可得□中可填的数是．
【详解】解：设□处为a，由题意得二次函数为，
∵二次函数 有最大值，
∴二次函数的图象开口向下即，
∵，
∴a可以是，
∴□中可填的数是．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．
3．代数式 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】将代数式配方，即可求解．
【详解】，
∵，
∴，
∴原式的最小值为4，
故选：C．
【点睛】本题考查了求解代数式的的最值问题，将代数配成完全平方式是解答本题的关键．
4．已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为3，则a的值为（ ）
A．1或0 B．1或 C．或 D．0或
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据二次函数，可以得到该函数的对称轴，再根据当时，函数的最大值与最小值的差为3和二次函数的性质，分类讨论列出方程，然后求解即可．
【详解】解：二次函数，
∴该函数的对称轴为直线，函数的最小值为，
∵函数的最大值与最小值的差为3，
∴函数的最大值为2，
∵当时，函数的最大值与最小值的差为3，
∴当，即时，时，，
，
解得，（舍去），
当，即时，时，，
，
解得（舍去），，
故选：C．
5．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】C
【分析】将，代入，求出，利用海伦公式，得到，设 ，利用二次函数的性质，求最值即可．
【详解】解：将，代入，得，
∴，
∴．
三角形的面积．
设 ，
它是a的二次函数，开口向下，当时，y取最大值1，
此时，面积S取最大值为．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解并掌握海伦公式，将面积的最大值转化为二次函数求最值．
6．若，则可取得的最小值为（ ）
A． B． C． D．7
【答案】B
【分析】设x-1=2（y+1）=3（z+2）=k，把x，y，z用k的代数式表示，则转化为关于k的二次三项式，求其最小值．
【详解】解：设x-1=2（y+1）=3（z+2）=k，
则x2+2y2+z2=（k+1）2+2（-1）2+（-2）2
=k2-k+7，
当k=时，可取最小值，
故选B.
【点睛】本题考查了二次函数最值，难度适中，关键是设x-1=2（y+1）=3（z+2）=k．
7．设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数C1，C2图像上的点，当a≤x≤b时，总有﹣2≤y1﹣y2≤2恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝2x﹣5，y＝3x﹣1在﹣6≤x≤﹣2上是“逼近函数”
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤5上是“逼近函数”
③0≤x≤1是函数y＝x2﹣2，y＝2x2﹣x的“逼近区间”
④2≤x≤3是函数y＝2x﹣4，y＝x2﹣3x的“逼近区间”
其中，正确的结论有多少个（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据当时，总有恒成立，则称函数，在上是“逼近函数”， 为“逼近区间”，逐项进行求解判断即可．
【详解】解：①设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数y＝2x﹣5，y＝3x﹣1图像上的点，
则，
∵，
∴的值随着x的增大而减小，
∵，
∴当时，取得最大值为；当时，取得最小值为，
∴当时，，
∴函数y＝2x﹣5，y＝3x﹣1在﹣6≤x≤﹣2上是“逼近函数”，故①正确；
②设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x图像上的点，
则
，
∵，对称轴为直线x＝，
∴当x＞时，的值随着x的增大而减小，
又∵3≤x≤5，
∴当时，取得最大值为1；当时，取得最小值为，
∴当3≤x≤5时，，
∴函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤5上不是“逼近函数”，故②错误；
③设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数y＝x2﹣2，y＝2x2﹣x图像上的点，
则
，
∵，对称轴为直线x＝，
∴在上，当时，取得最大值为，当或时，取得最小值为，
∴当时，，满足，
∴是函数y＝x2﹣2，y＝2x2﹣x的“逼近区间”，故③正确；
④设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数y＝2x﹣4，y＝x2﹣3x图像上的点，
则
，
∵，对称轴为直线x＝，
∴在上，当时，取得最大值为，当或时，取得最小值为，
∴当时，，不满足，
∴不是函数y＝2x﹣4，y＝x2﹣3x的“逼近区间”，故④错误，
正确的有①③，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数的综合应用，解题的关键是读懂“逼近函数”和“逼近区间”的含义，会求函数在某个范围内的最大、最小值．
8．二次函数的最大值是，那么代数式的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得，从而得到，再代入，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的最大值是，
∴，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数解析式和图象的性质，根据题意得到且是解题的关键．
9．在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点（其中为任意实数），则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题是两条直线相交问题，考查了两条直线交点的求法，勾股定理的应用，二次函数的性质等，用含的式子表示出是解题的关键．
联立两个解析式构成方程组，得出点坐标，根据勾股定理得出，然后根据二次函数的性质可得有最小值．
【详解】由，解得
∴，
∴，
∴时，有最小值．
故选：．
10．函数的最小值是（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】化为顶点式，根据二次函数的性质即可求得．
【详解】，
由于函数开口向上，因此函数有最小值，且最小值为-1．
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数的最值和顶点式的运算及顶点坐标求法．
11．已知二次函数y=2x2 4x 1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．
【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），
∵1>0，开口向上，
∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值为4．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．
12．已知二次函数（是常数，且）的最大值为，且该二次函数图像经过点，两点，则的值可能是( )
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】根据题意，得到二次函数的对称轴为，图像开口向下；再由二次函数图像经过点，两点，得到，从而由二次函数增减性知到对称轴距离比到对称轴距离近，列不等式求解即可得到答案．
【详解】解：二次函数（是常数，且）的最大值为，
当时有，即二次函数的对称轴为，图像开口向下，
二次函数图像经过点，两点，
，即，
，即，
当，即时，，解得；
当，即时，，解得；
四个选项中的数字，只有满足上述要求，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图像与性质，难度较大，读懂题意，将条件准确转化为相应的代数式求解是解决问题的关键．
13．已知二次函数，当时，y的最大值为，则a的值为（ ）
A．或6 B．0或6 C．或2 D．2或6
【答案】A
【分析】根据题意易得二次函数的对称轴为直线，分类讨论，根据二次函数的增减性可进行求解．
【详解】解: 由二次函数可知对称轴为直线，开口向下
∴当时，y 有最大值1 ；
∵当时，y的最大值为
∴当时，二次函数在上y 随x的增大而减小，
即当时，有最大值；
则有，
解得或（不符合题意，舍去)；
当时，二次函数在 上y随x的增大而增大,
即当时，有最大值；
则有，
解得:或（不符合题意，舍去)；
综上所述:a的值为或6；
故选：A
【点睛】本题主要考查二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数图像性质是解题的关键．
14．已知是二次函数且有最大值，则
A．2 B．4 C． D．0
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义可得m2-2=2，再根据二次函数有最大值，即-m＜0，解得m的之即可．
【详解】根据二次函数定义，得：m2-2=2，
解得m=±2，
又∵二次函数有最大值，
∴-m＜0，
当m=2时，y=-m xm2 2是二次函数．
故选A．
【点睛】本题主要考查二次函数的定义和最值的知识，注意二次函数有最大值，二次函数的系数为负．
15．二次函数的图象如图，下列结论：①②③m为任意数数，则④3，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用抛物线的开口方向得到，利用对称轴在y轴的右侧得到，利用抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点在与之间，所以当时，，则可对②判断；当时，y有最大值，所以，则可对③判断；把代入即可对④判断．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴，
∵抛物线对称轴在y轴的右侧，
∴a，b异号，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴，
∴，
故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在与之间，
∴抛物线与x轴的一个交点在与之间，
∴当时，，即，
故②错误；
∵当时，y有最大值，
∴，
∴，
故③错误；
∵，
∴，
又，
∴，即，
故④正确．
∴正确的有：①④，共2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．也考查了二次函数的性质．掌握二次函数的性质的解题的关键．
16．已知，是一次函数图象上的两点，若的最小值为，则a的值为（ ）
A． B．9 C．或9 D．9或11
【答案】C
【分析】根据是一次函数图象上的点，得出，设，则，根据的最小值为，得出，求出，分两种情况求出a的值即可．
【详解】解：∵是一次函数图象上的点，
∴，
设，则，
∵的最小值为，
∴，
解得：，
当时，一次函数为，
把代入得：；
当时，一次函数为，
把代入得：；
综上分析可知，a的值为或9，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合应用，解题的关键是根据二次函数的最值，求出b的值．
17．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数y的最小值为5，甲、乙两人研究h的取值，他们的判断是：甲：h＝﹣1；乙：h＝5．则下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两人的判断合在一起也不正确
B．甲、乙两人的判断合在一起正确
C．甲的判断正确，乙的判断不正确
D．甲的判断不正确，乙的判断正确
【答案】B
【分析】由解析式可知该函数在x＝h时取得最小值1，x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5；若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．
【详解】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，
∴若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5，
可得：（1﹣h）2+1＝5，
解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；
若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，
可得：（3﹣h）2+1＝5，
解得：h＝5或h＝1（舍）．
当1＜h＜3时，则x＝h时，y取得最小值1，不符合题意；
综上，h的值为﹣1或5，
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．
18．二次函数的图像如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）．
A．图像开口向下 B．时，函数有最大值
C．方程的解是 D．时，函数y随x的增大而减小
【答案】C
【分析】根据二次函数的图像和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、图像开口向下，选项正确，不符合题意；
B、抛物线开口向下，对称轴为：，∴时，函数有最大值，选项正确，不符合题意；
C、图像与轴交于，根据抛物线的对称性，可知，图像与轴的另一个交点为：，
∴方程的解是，选项错误，符合题意；
D、时，函数y随x的增大而减小，选项正确，符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质．熟练掌握二次函数的图像和性质，是解题的关键．
19．关于的一元二次方程有两个实数根，，则代数式的最小值是（　　）
A．-8 B．-5 C．1 D．2
【答案】C
【分析】先根据得到的范围，再将所求式子变形，用根与系数关系把它表示成的代数式，最后根据k的范围得到所求代数式的最小值．
【详解】解：∵有两个实数根，
∴即，
整理得，
解得；
∵、是的两个实数根，
∴，，
，
，
，
，
∵1，关于k的二次函数开口向上，
又∵对称轴为k=-5，在对称轴的右侧关于k的二次函数随着k的增大而增大，
又∵，
∴时，的值最小为．
故选：C．
【点睛】本题考查元二次方程的根与判别式，利用根与系数关系，将代数式转化为二次函数，利用函数增减性求代数式的最小值是解题关键．
20．设，且函数与有相同的最小值u；函数与有相同的最大值v；则的值（　　）
A．必为正数 B．必为负数 C．必为0 D．符号不能确定
【答案】C
【分析】本题给出四个函数的解析式及两条重要信息 与 有相同的最小值；与 有相同的最大值v，将函数化为顶点式，再根据条件列出等式即可求解此题．
【详解】∵，
，
则，得①
∵，
∴，
又∵；
则，
得，②
∵，
∴，
∴，
∴得，，
解得或 (舍去)，
当时，
，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，难度较大，解题的关键是将函数的标准形式化为顶点形式．
二、填空题
21．函数y＝x2﹣5的最小值是 ．
【答案】-5
【分析】由x2≥0可得x=0时，函数值最小．
【详解】解：∵x2≥0，
∴x=0时，函数值最小为-5．
故答案为：-5．
【点睛】本题考查二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数性质，掌握求二次函数最值的方法．
22．二次函数 的对称轴为x=1，若关于x的一元二次方程 （c为实数），在﹣1≤x≤4范围内有解，则c的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先由对称轴为x=1求得b的值，然后结合函数与方程间的关系求得c的取值范围．
【详解】解：∵函数的对称轴为x=1，
∴b=-2，
∴二次函数的解析式为y=x2-2x，
当x=-1时，y=3，当x=1时，y=-1，当x=4时，y=8，
∵函数图象开口向上，
∴当-1≤x≤4时，y的取值范围为-1≤y≤8，
∵关于x的一元二次方程x2+bx-c=0（c为实数）在-1≤x≤4的范围内有解，
∴-1≤c≤8，
故答案为：-1≤c≤8．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键．
23．已知二次函数，当时，函数y的最大值为 ．
【答案】5
【分析】先求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可．
【详解】解：∵二次函数，
∴对称轴是：，
∵，
∴时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，
由图象可知：在内，时，y有最大值，，
∴函数y的最大值为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象可得函数的最值是解题的关键．
24．如图，是等边三角形，，点为边上的动点，，交于点，线段的最大值为 ．
【答案】/0.75
【分析】设根据等边三角形的性质得到，于是得到，根据已知条件得到，等量代换得到，推出，由相似三角形的性质得到，从而得出，再求y的最大值即可得到结论．
【详解】设
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴,
即
∵，且，
∴当时，y有最大值为，
∴的最大值为
故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，求二次函数的解析式及求其最值，证得是解题的关键．
25．若实数，满足，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】由a+b2=2得出b2=2-a，代入a2+5b2得出a2+5b2=a2+5（2-a）=a2-5a+10，再利用配方法化成a2+5b2=（a-）2+，即可求出其最小值．
【详解】解：∵a+b2=2，
∴b2=2-a≥0，
∴a≤2，
∴a2+5b2=a2+5（2-a）=a2-5a+10=（a-）2+，
当a=2时，代入，
可得：a2+5b2的最小值为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，根据题意得出a2+5b2=（a-）2+是解题的关键．
26．已知实数、满足，则代数式的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据，即可求解．
【详解】∵，
∴，，
则
∵
∴当时取得最小值，最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查配方法的应用和非负数的性质，解题的关键是掌握配方法的应用和非负数的性质.
27．抛物线y＝﹣x2+4x+1的最大值为 ．
【答案】5
【分析】将抛物线的一般式化为顶点式，进而求得最大值．
【详解】∵y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，
∴a=-1<0，
∴抛物线y＝﹣x2+4x+1的最大值为5．
故答案为5．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，化为顶点式是解题关键．
28．如图，等边三角形的边长为16，动点从点出发沿运动到点，连接，作交于点．动点从点运动到点时，点的运动路径长为 ．

【答案】
【分析】
本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质；设，，由，得到关于的函数关系式，即可求出的最大值，从而求出运动路径长．
【详解】解：是等边三角形，
，，
，，
，
，
设，，
，
：：，
，
：：，
即
当时，有最大值，
当运动到中点时，最大是，
当从中点运动到时，又回到，
点的运动路径长为．
故答案为：．
29．二次函数的最大值是 ，最小值是 ．
【答案】 23 7
【分析】已知函数y=-x2+6x+14的标准式，将其化为顶点式为y=-（x-3）2+23，考虑0≤x≤7，即可求解此题．
【详解】解：将化为两点式为y=-（x-3）2+23，0≤x≤7，
∵-1＜0，
∴开口向下，
∴当x=3时，有最大值：ymax=23，
当x=7时，ymin=7．
故答案为：23，7．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．此题要注意x的取值范围，在0≤x≤7范围内求解.
30．若点在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离不大于3，则n的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据点P到y轴的距离不大于3，得到，根据二次函数的性质，求出的取值范围即可．
【详解】解：∵点在二次函数的图象上，
∴，
∵点P到y轴的距离不大于3，
∴，
∵，抛物线的对称轴为直线；
∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，
∵，
∴当时，有最小值：；当时，有最大值：；
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查求二次函数的函数值的范围．熟练掌握点到轴的距离是点的横坐标的绝对值，以及二次函数的性质，是解题的关键．
31．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长量l/mm与温度t/℃之间是二次函数关系：l＝－t2－2t＋49.由此可以推测最适合这种植物生长的温度为 ℃.
【答案】-1
【分析】根据温度越适合，植物高度增长量越大，可判断出增长量最大时的温度最适合这种植物生长，即求当l取最大值时，求t的值.用二次函数的开口方向和顶点坐标即可求最值.
【详解】∵温度越适合，植物高度增长量越大
∴增长量最大时的温度最适合这种植物生长
由增长量l/mm与温度t/℃之间是二次函数关系：l＝－t2－2t＋49，其中﹣1＜0
故函数有最大值，
当时，l最大，故最适合这种植物生长的温度为﹣1℃
故答案为﹣1.
【点睛】此题考查的是二次函数的应用和利用二次函数求最值问题.
32．函数是描述现实世界中变化规律的数学模型，运用函数知识可以解决实际问题，如飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式形，则飞机着陆后滑行的最大距离是 m.
【答案】600
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出的最大值即可得；
【详解】解：∵，
∴时，取最大值 600；
即在飞机着陆滑行中，滑行的最大距离是，
故答案为：600 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的最大距离即为的最大值是解题的关键．
33．当x变化时,分式的最小值是 .
【答案】4
【分析】令分式y==6-，问题转化为考虑函数z=x2+2x+2的最小值，然后用配方法即可求解．
【详解】令y==6-，
问题转化为考虑函数z=x2+2x+2的最小值，
∵z=x2+2x+2=（x+1）2+1
∴当x=-1时，zmin=1，
∴ymin=6-2=4，
即分式的最小值是：4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了二次函数的最值及分式的化简求值，难度一般，关键是把分式化简后转化为求函数z=x2+2x+2的最小值．
34．函数，当-3≤x≤3时，y的取值范围是 ．
【答案】-34≤y≤-9
【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值与最小值，即可得解；
【详解】解：∵二次函数解析式为，，
∴当x＞-2时，y随x的增大而减小，当x＜-2时，y随x的增大而增大，
∵-3≤x≤3，
∴当x=-2时，y取得最大值为-9，
当x=3时，取得最小值为-34（离对称轴越远，函数值越小），
∴-3≤x≤3时，y的取值范围是-34≤y≤-9；
故答案为：-34≤y≤-9．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确把函数解析式化为顶点式得到二次函数的增减性是解题的关键．
35．如图，在平面直角坐标系中，点和点在y轴上，点M在x轴负半轴上，．当线段OM最长时，点M的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据的坐标得出线段的表达式，根据二次函数得出其最小值，即OM最长时，然后根据三角形的面积求出的长度，根据点M在x轴负半轴上，可得点的坐标．
【详解】解：∵点和点在y轴上，点在点的上方，
∴，
∴当时，取得最小值，
当最小时，则OM最长，
∵，即，
∴，
∵点M在x轴负半轴上，
∴,
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
三、解答题
36．某宾馆有客房90间，当每间客房的定价为每天140元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每涨10元时，就会有5间客房空闲．如果旅客居住客房，宾馆需对每间客房每天支出60元的各种费用．
(1)请写出该宾馆每天的利润y（元）与每间客房涨价x（元）之间的函数关系式；
(2)设某天的利润为8000元，8000元的利润是否为该天的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时客房定价应为多少元？
(3)请回答客房定价在什么范围内宾馆就可获得利润？
【答案】(1)
(2)不是，每间客房定价为190元时，宾馆当天的最大利润为8450元；
(3)大于60元而小于320时，宾馆就可获得利润．
【分析】(1)每间客房涨价x元，则每间客房的利润为（140-60+x），则函数关系式 ，化简即可；
(2)把（1）的函数关系式用配方法化简可得，即可判断最大利润；
(3)设y>0时解出x的范围．
【详解】（1）解：由题意得，
即；
（2）8000元的利润不是为该天的最大利润，理由如下，
∵，
∴当x=50，即每间客房定价为190元时，宾馆当天的最大利润为8450元．
（3）由>0，得<0，即<0，
解得-80【点睛】本题考查的是二次函数以及一元一次方程的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式和一元二次方程．
37．如图，二次函数的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，且，抛物线对称轴为直线．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)点在线段上运动（点P与A，O不重合），轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
①求线段的最大值；
②当点M为的三等分点时，直接写出M的坐标．
【答案】(1)
(2)①，②
【分析】（1）根据抛物线对称轴为直线，求出，根据一元二次方程得出，即可求出，把代入得，求出，即可得出抛物线的表达式；
（2）①先求出，求出直线函数表达式为，设，则，得出的函数解析式，将其化为顶点式，即可求解；②根据题意可得：，则， 然后进行分类讨论即可：或．
【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，
∴，
解得：，
当时，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得：，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）解：①把代入得：，
∴，
设直线函数表达式为，
把，代入得：
，解得：，
∴直线函数表达式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，最大值为．
②根据题意可得：，
∴，
∵点M为的三等分点，
∴或，
当时，
解得：（舍去），，
∴，
当时，
，
解得：，（舍去），
∴，
综上：或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，解题的关键是掌握求二次函数解析式的方法和步骤，将其化为顶点式，会求二次函数最值，具有分类讨论的思想．
38．如图1，某公园在园区内搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上，其内侧形状可近似看作如图2所示的抛物线的一部分，为地面上拱门的两个端点，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的竖直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，管理人员计划在地面上两处各竖立一根立柱，使立柱的最高点刚好触到抛物线拱门上，经测量，米，米，米．已知在一条直线上，，图中所有的点都在同一平面内．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求抛物线的最高点到地面的距离．
【答案】(1)
(2)4
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值．
（1）由题意可知，二次函数对称轴为，设二次函数顶点式为，再将两点坐标代入即可求出本题答案；
（2）由（1）可知二次函数最值即为本题答案．
【详解】（1）解：∵为地面上拱门的两个端点，以所在直线为x轴，，
∴二次函数对称轴为，
∴设二次函数顶点式为，
∵，，
∴，，
∵，
∴和，
将和代入中得：
，
解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴二次函数顶点坐标为：，
∴抛物线的最高点P到地面的距离为：4．
39．已知．
(1)求整式；
(2)当整式取最大值时，求此时的值．
【答案】(1)
(2)14
【分析】（1）根据题意可得，再去括号，然后合并同类项，即可求解；
（2）根据二次函数的性质可得当时，A取最大值7，再代入，即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：∵
，
∴当时，A取最大值7，
∴
【点睛】本题主要考查了整式的加减混合运算，二次函数的性质，熟练掌握整式的加减混合运算法则，二次函数的性质是解题的关键．
40．分别在下列范围内求函数的最大值或最小值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)时，；时，
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，先求出抛物线的顶点坐标，然后看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取值范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，借助于图象的直观性求解．
（1）先求出抛物线的顶点坐标，然后根据二次函数的性质进行求解即可；
（2）根据二次函数的增减性进行求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 顶点坐标为，
∵在范围内，且，
∴ 当时y有最小值，，
∵是范围的中点，在两侧图象左右对称，端点处取不到，不存在最大值．
（2）解：∵ ，
∴ 顶点坐标为，
∵不在范围内（如图所示），又因为函数的图象是抛物线的一部分，且当时，y随x的增大而增大，
∴ 当时，；
当时，．
41．已知二次函数，记在某个范围时，函数的最小值为，最大值为，令，回答以下问题：
(1)当时，求的值．
(2)当时，求的范围．
(3)当时，求的值．
【答案】(1)9
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质及分类讨论思想成为解题的关键．
（1）先求得抛物线的对称轴，再求得函数的最大值、最小值，然后代入计算即可；
（2）由（1）可知满足题意，再根据二次函数的对称性可得满足题意，则满足题意；而显然不符合题意，据此即可解答；
（3）分、、、四种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵二次函数，
∴抛物线的对称轴为：，
∵，
∴当时，函数有最小值；当时，函数有最大值，
．
（2）解：由（1）知，当时，，满足题意；
根据对称性可知：当时，，最小值，最大值，此时；
满足，
当时，，不满题意；
综上，a的取值范围为．
（3）解：①时，即，
当，
当，
，解得：（不符，舍去）；
②当时，，，
，解得：；
③当时，此时，
，
当时，取到最小值，
（舍去）或，
④当时．此时，
，
当时，取到最小值，解得：（舍去）或（舍去）．
综上所述：或．
42．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣5），与x轴交于点A和点B，其中点B的坐标为（5，0），抛物线对称轴为直线x＝2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜x＜5时，y的取值范围为 　 　；
（3）点P为该二次函数在第四象限内图象上的一动点，过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q，设线段PQ长为l，求l的最大值，并写出此时点P的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）最大值为，点P坐标为（，）．
【分析】（1）先求出点A坐标，然后设抛物线交点式解析式，再将点C（0，5）代入求解．
（2）抛物线开口向上，顶点为最低点，x=2时y取最小值，52＞20，x=5时y取最大值．
（3）先求出BC所在直线解析式，然后用直线上点纵坐标-抛物线上对应点纵坐标．
【详解】解：（1）∵点B坐标为（5，0），抛物线对称轴为直线x=2，
∴点A坐标为（1，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x5），将（0，5）代入解析式得5=a（0+1）（05），
解得：a=1，
∴y=（x+1）（x5）=x24x5．
（2）把x=2代入解析式可得y=222×45=9，9为函数最小值，
∵52＞20，
∴当x=5时，y=525×45=0，
∴9≤y＜0．
故答案为：9≤y＜0．
（3）设BC所在直线为y=kx+b，
将（5，0），（0，5）代入可得：
，
解得，
∴y=x5，
设点P横坐标为m，则点P坐标为（m，m24m5），点Q坐标为（m，m5），
∴l=（m5）（m24m5）=m2+5m，
当m=时，l有最大值，最大值为l=（）2+5×（）=．
m=时，m24m5=（）24×（）5= ，
此时点P坐标为（，）．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，二次函数的性质，求一次函数的解析式，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，通过数形结合求解．
43．在直角坐标系中，二次函数（a，b是常数，）的图象经过和两点．
（1）求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）当时，求的取值范围；
（3）当，n（m，n是实数，）时，该函数对应的函数值分别为M，N．若，求证：．
【答案】（1）；；（2）；（3）见解析
【分析】（1）将点和代入解析式，待定系数法求解析式即可；
（2）根据（1）的结论求得开口方向，对称轴，进而求得当时，的最大值和最小值，即求的取值范围；
（3）根据题意列出的代数式，进而对进行化简，根据二次函数的性质求最值即可
【详解】（1）根据题意，将点和代入解析式，得，
解得
函数的表达式为：
顶点坐标为，对称轴为
（2） 对称轴为，
抛物线的开口向上，离对称轴越远的点所对应的函数值越大，
而
时，取得最大值为：
顶点坐标为，抛物线的开口向上，
时，取得最小值为
当时，
（3）根据题意，，，
即
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，第三问中对进行化简，根据二次函数的性质求最值是解题的关键．
44．数学课外活动小组进行如下操作实验，把一根长的铁丝剪成两段．
(1)把每段首尾相连各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于，应该怎么剪这根铁丝？
(2)若把剪成两段的铁丝围成两个圆，两圆面积之和的最小值是多少？
【答案】(1)应该把铁丝剪成和的两段
(2)最小值是
【分析】（1）设剪成的两段铁丝一段长为，另一段为，根据题意列出一元二次方程方程，解方程求解即可；
（2）设剪成的两段铁丝一段长为，另一段为，先表示出圆的半径，再分别求得面积，根据二次函数的性质求得面积和的最小值即可求解．
【详解】（1）设剪成的两段铁丝一段长为，另一段为，由题意，得
解得：，，
当时，
当时，
答：应该把铁丝剪成和的两段．
（2）设剪成的两段铁丝一段长为，另一段为，
则两圆的半径分别为：，
两圆的面积分别是：
，
两圆的面积之和：
化简整理，得：
当时，两圆面积之和达到最小值，最小值是（单位：）
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质，根据题意列出方程是解题的关键．
45．已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B．
(1)若，，
①求点P的坐标；
②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标；
(2)若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，直接写出顶点P的坐标．
【答案】(1)①；②,
(2)
【分析】（1）①利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得顶点P的坐标；
②求出直线的解析式，设点，则，表示出的长，可得关于m的二次函数，根据二次函数的最值即可求解；
（2）由得，，抛物线的解析式为，可得顶点P的坐标为，点N的坐标为，作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，得点的坐标为，点的坐标为，当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值，此时，延长与直线相交于点H，则，在中，，，由勾股定理可得，即，解得，（舍去），即可得点P的坐标为．
【详解】（1）解：①若，，则抛物线，
∵抛物线与x轴相交于点，
∴，解得，
∴抛物线为，
∴顶点P的坐标为；
当时，，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∵直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，
设点，则，
∴，
∴当时，取得最大值1，
此时，点，则；
（2）解：∵抛物线与x轴相交于点，
，
又，
，，
∴抛物线的解析式为．
∴，
∴顶点P的坐标为，
∵直线与抛物线相交于点N，
∴点N的坐标为，
作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，
得点的坐标为，点的坐标为，
当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值，此时．
延长与直线相交于点H，则．
在中，，，
∴，
解得，（舍去），
∴点P的坐标为．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，轴对称求最小值问题，勾股定理等，利用待定系数法求出函数解析式是解本题的关键．
46．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，设抛物线的顶点为．直线与抛物线交于，两点．
(1)求，的值；
(2)若点在线段上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，的延长线交抛物线于点，求线段的最大值．
【答案】(1)k＝4，b＝﹣2；
(2)；
【分析】（1）由y＝x2﹣2bx﹣4＝（x﹣b）2﹣b2﹣4，可得点A坐标为（b，﹣b2﹣4），由y＝kx的对称性可得点B坐标为（﹣b，b2＋4），把x＝﹣b代入y＝kx得y＝﹣kb，联立方程x2﹣2bx﹣4＝kx化简得x2﹣（2b＋k）x﹣4＝0，根据xA＋xB＝2b＋k＝0，可得k＝﹣2b，将k＝﹣2b代入﹣kb＝b2＋4得2b2＝b2＋4，求解可得b的值，进而可求出k的值；
（2）由（1）得y＝x2＋4x﹣4，y＝4x，设点P横坐标为m，则可表示出C点，D点坐标
则可用含m的代数式表示出，则可求出PD＋OC的最大值为．
【详解】（1）解：∵y＝x2﹣2bx﹣4＝（x﹣b）2﹣b2﹣4，
∴点A坐标为（b，﹣b2﹣4），
由y＝kx的对称性可得点B坐标为（﹣b，b2＋4），
把x＝﹣b代入y＝kx得y＝﹣kb，
∴﹣kb＝b2＋4，
联立方程x2﹣2bx﹣4＝kx化简得x2﹣（2b＋k）x﹣4＝0，
∵xA＋xB＝2b＋k＝0，
∴k＝﹣2b，
把k＝﹣2b代入﹣kb＝b2＋4得2b2＝b2＋4，
解得b＝﹣2或b＝2（舍）．
∴k＝4，b＝﹣2．
（2）解：由（1）得y＝x2＋4x﹣4，y＝4x，
设点P横坐标为m，则点P坐标为（m，4m），点C坐标（m，0），点D坐标（m，m2＋4m﹣4），
∴，
∴PD＋OC的最大值为．
【点睛】本题考查二次函数的解析式，二次函数的图象，二次函数的最值问题，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
47．已知抛物线y=x （m 1）x+2m 1．
(1)当m=0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
(2)该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标．
【答案】(1)不在
(2)（2，5）
【分析】（1）根据m的值求出二次函数解析式，求出x=2时的二次函数的函数值并与4比较即可判断．
（2）根据二次函数的解析式用m表示二次函数的顶点坐标，根据二次函数的最值确定当m=5时，二次函数的顶点移动到最高处，再代入计算即可求出此时二次函数的顶点坐标．
【详解】（1）解：当m=0时，抛物线的解析式为．
∴当x=2时，．
∵，
∴当m=0时，点（2，4）不在该抛物线上．
（2）解：∵抛物线的解析式为y=x （m 1）x+2m 1，
∴抛物线的顶点坐标为．
∴当m=5时，抛物线顶点的纵坐标取得最大值，即抛物线的顶点移动到最高处．
∴此时抛物线顶点坐标为（2，5）．
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握这些知识点是解题关键．
48．某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量，如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低，根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75，在确保每棵果树平均产量不低于40的前提下，设增种果树x（且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为y，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．

(1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)当增种果树多少棵时，果园的总产量w（）最大？最大产量是多少？
【答案】(1)（且x为整数）
(2)50，6050
【分析】（1）由题意，设y与x之间的函数关系式为，将，，代入得，，解得，即，由，即，解得，即且x为整数；
（2）由题意知，，根据二次函数的图象与性质求解，作答即可．
【详解】（1）解：由题意，设y与x之间的函数关系式为，
由题意知，当，，即，
将，，代入得，，解得，
∴，
∵，即，解得，
∴，
∴（）；
（2）解：由题意知，，
∵，
∴当，最大，值为6050，
∴当增种50棵时，总产量最大，为6050．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的最值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
49．如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是抛物线在第一象限的一个动点，点Q在线段上，且点Q始终在点P正下方，求线段的最大值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握待定系数法求出二次函数的解析式．
（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）设经过点B、C的直线解析式为，求出经过点B、C的直线解析式为，设点，点，求出，然后求出最大值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴可设抛物线解析式为，
将点，代入，得，
∴解得，
∴抛物线解析式为：．
（2）解：设经过点B、C的直线解析式为，
将点，代入，得，
∴解得，
∴经过点B、C的直线解析式为，
设点，点，
∴，
∴当时，有最大值2．
50．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标；
（3）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣4x﹣5；（2）H（，﹣）；（3）P（，0），Q（0，﹣）
【分析】（1）根据待定系数法直接确定出抛物线解析式；
（2）先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出；
（3）利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标．
【详解】（1）∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y＝ax2+bx﹣5上，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x﹣5，
（2）设H（t，t2﹣4t﹣5），
∵CE∥x轴，
∴点E的纵坐标为﹣5，
∵E在抛物线上，
∴x2﹣4x﹣5＝﹣5，
∴x＝0（舍）或x＝4，
∴E（4，﹣5），
∴CE＝4，
∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴直线BC的解析式为y＝x﹣5，
∴F（t，t﹣5），
∴HF＝t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）＝﹣（t﹣）2+，
∵CE∥x轴，HF∥y轴，
∴CE⊥HF，
∴S四边形CHEF＝CE HF＝﹣2（t﹣）2+，
∴H（，﹣）；
（3）如图2，
∵K为抛物线的顶点，
∴K（2，﹣9），
∴K关于y轴的对称点K'（﹣2，﹣9），
∵M（4，m）在抛物线上，
∴M（4，﹣5），
∴点M关于x轴的对称点M'（4，5），
∴直线K'M'的解析式为y＝，
∴P（，0），Q（0，﹣）．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，四边形的面积的计算方法，对称性，解的关键是利用对称性找出点P，Q的位置．
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