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微专题03 二次函数解析式确定通关专练
一、单选题
1．已知二次函数（、是常数，且）的图像过点与点，当时，有最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．如表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值，则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（ ）
0 3 4
0
A．图象的开口向下 B．有最小值
C．图象与轴的一个交点是 D．图象的对称轴是
3．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x … 0 3 5 …
y … 0 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ）
A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线
4．已知是的二次函数，与的对应值如下表：
则其表达式为
A． B．
C． D．
5．一个二次函数的图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，则该抛物线的表达式是（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线经过，两点，则该抛物线的解析式为( )
A． B． C． D．
8．如图所示的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
9．抛物线与轴的交点坐标为，则抛物线的表达式为（　　）
A． B．
C． D．
10．（已知顶点坐标）已知抛物线的顶点坐标是，且当时，，则这条抛物线的解析式是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．已知抛物线 经过点，它的对称轴是直线，则这条抛物线的函数表达式是 ．
12．某个函数同时满足两个条件：①图象过点、；②当时，随的增大而减小．这个函数表达式可以是 ．（只要写出一个符合愿意的答案即可）
13．如图，，，，抛物线过O、A、B三点，则该抛物线的解析式为 ．

14．有一个电脑程序，输入一个数，经过运算后输出结果，部分对应值如表：
输入x 2 3 6 7
输入y 5 2 1 2 3
则y关于x的函数表达式可能是 ．（写出一个即可）
15．与抛物线形状相同，开口向上，顶点为的抛物线解析式为 ．
16．已知二次函数，当时，；当时，；则 ， ，故该二次函数的关系式为 ．当时，二次函数的值为 ．
17．请你写出一个同时满足下列两个条件：①对称轴是直线，②与y轴的交点为的二次函数的解析式为
18．在平面直角坐标系中，把抛物线沿轴翻折所得新抛物线的解析式为 ．
19．一个二次函数的图象的顶点坐标为，与y轴的交点，这个二次函数的解析式是 ．
20．已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与轴的另一个交点在原点左侧，到原点的距离为2，那么该二次函数的解析式为 ．
三、解答题
21．（1）已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的表达式．
（2）已知二次函数的图象经过点、和，求这个二次函数的表达式．
22．二次函数的变量与变量的部分对应值如下表：
… 0 1 5 …
… 7 0 7 …
(1)求此二次函数的解析式；
(2)写出抛物线顶点坐标和对称轴．
23．如图，已知抛物线经过点．
(1)求出此抛物线的解析式；
(2)当时，直接写出的取值范围．
24．顶点为D的二次函数满足以下三个条件的任意两个：
①其与轴的交点为；
②其与x轴的交点为和；
③该函数其最大值为12
(1)从以上条件任选两个，求出函数的表达式；
(2)若存在直线，二次函数上的存在一个点A，使得等于A到直线的距离，求出A点的坐标．
25．已知抛物线（a，b为常数，）经过，两个点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为______；
(3)将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线______．
26．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；
(2)求这条抛物线的对称轴．
27．根据所给条件，求二次函数解析式
(1)已知二次函数，当时有最大值，其图象经过点
(2)二次函数的图象经过，，三点
28．已知是关于的二次函数，与的对应值如下表所示：
的值
的值
(1)求关于的二次函数表达式．
(2)求出表中的值．
29．已知y是x的二次函数，y与x的部分对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 2 3 …
y … 9 4 1 0 1 4 …
(1)求该二次函数的表达式；
(2)将该函数图象沿直线翻折，所得图象的函数表达式为 ．
30．如图，抛物线与x轴交于，两点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)求出抛物线的对称轴和顶点坐标；
(3)若抛物线上存在一点D，使得．求出点D的坐标
31．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标．
32．已知二次函数图像的顶点坐标为，且经过点．
(1)求该二次函数解析式．
(2)将该二次函数的图像向左平移几个单位能使平移后所得图像经过坐标原点？并求平移后图像对应的二次函数解析式．
33．抛物线与轴的两交点的横坐标分别是，，与轴交点纵坐标是，确定二次函数的解析式．
34．如图，已知抛物线经过点．
(1)求b的值；
(2)将该抛物线进行平移，使其经过坐标原点，请直接写出平移的方式．
35．有一个二次函数的图象，三个同学分别说出了它的一些特点．
李明：对称轴是直线；
赵鑫：函数的最大值为2；
张强：此函数的图象经过点关于y轴的对称点．
请你根据以上内容写出满足条件的二次函数解析式．
36．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示：
… 0 1 2 3 …
… 5 0 0 m 12 …
(1)在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该图象的一条性质；
(2)的值为______；
(3)求这个二次函数的解析式.
37．已知二次函数，当时有最高点，且此函数的图象经过点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当x为何值时，y随x的增大而减小
38．已知，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)求抛物线的对称轴和顶点坐标．
39．已知二次函数的图象过点和．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)当时，结合图象，直接写出函数值y的取值范围．
40．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．

(1)求抛物线的表达式．
(2)若在坐标平面内存在点G，使得点G到A，B，C三点的距离都相等，请求出点G的坐标．
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微专题03 二次函数解析式确定通关专练
一、单选题
1．已知二次函数（、是常数，且）的图像过点与点，当时，有最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象和性质，利用数形结合是解题关键，根据待定系数法求得函数，由此解析式可求得此抛物线的顶点坐标以及与坐标轴的交点坐标，根据函数的图象和性质，可求得a的取值范围．
【详解】解：∵二次函数的图像过点与点，
∴
解得∶，
∴函数，
∴该二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，与y轴交点为
∵当时，，
∴当时，
∴当时，有最小值，
∴．
故选：D．
2．如表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值，则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（ ）
0 3 4
0
A．图象的开口向下 B．有最小值
C．图象与轴的一个交点是 D．图象的对称轴是
【答案】C
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质等知识点，学会根据表格中的信息求得函数的解析式是解题的关键．
由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质即可得出结果．
【详解】解：设二次函数的解析式为（、、为常数，），
由题意可知，
解得，
二次函数的解析式为
，
函数的图象开口向上，顶点为，图象与轴的交点分别为和，
图象的对称轴是，函数有最小值，
选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意．
故选：C．
3．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x … 0 3 5 …
y … 0 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ）
A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线
【答案】D
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：由题意得，解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；
图象的对称轴是直线，故选项D符合题意；
当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意；
∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下，
∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；
故选：D．
4．已知是的二次函数，与的对应值如下表：
则其表达式为
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，解决本题的关键是根据二次函数的对称性找到顶点坐标，设，代入，求即可．
【详解】解：由表可知：关于对称轴的对称点是，
二次函数对称轴是直线，
二次函数顶点坐标是，
设二次函数解析式是，
把代入得：
，
解得：，
二次函数解析式是，
故选：B．
5．一个二次函数的图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．由于已知顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出a的值即可得到抛物线解析式．
【详解】解：设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
所以抛物线解析式为．
故选：B．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，则该抛物线的表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，设出合适的解析式是解本题的关键，根据题意设，再代入即可得到函数解析式．
【详解】解：∵抛物线与x轴交于点，，
设该抛物线的表达式为．
∵与y轴交于点，代入得，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为，
故选：B．
7．已知抛物线经过，两点，则该抛物线的解析式为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据已知条件得出对称轴为直线，求得，即可求解．
【详解】解：∵抛物线经过，两点，
∴抛物线的对称轴为直线，
又
∴,
∴解析式为，
故选：B．
8．如图所示的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，由图象可知函数与坐标轴的交点坐标，设，代入整理即可．
【详解】解：由图象可得函数与x轴的交点坐标为和，
可设，
∵函数与y轴的交点坐标为，
∴，
解得：，
∴，整理可得，
故选：C．
9．抛物线与轴的交点坐标为，则抛物线的表达式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意将代入函数解析式，求出的值即可得出最后结果．
【详解】解：抛物线与轴的交点坐标为，
将代入，得，
抛物线的表达式为，
故选：．
【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式，正确理解题意，熟练掌握求解函数解析式的方法是解答本题的关键．
10．（已知顶点坐标）已知抛物线的顶点坐标是，且当时，，则这条抛物线的解析式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线的顶点坐标是，设抛物线的解析式为，再由当时，，求出的值，即可得到答案．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
设抛物线的解析式为，
当时，，
，
解得：，
抛物线的解析式为，
故选：D．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，告诉了顶点，采用顶点式，将抛物线解析式设为是解题的关键．
二、填空题
11．已知抛物线 经过点，它的对称轴是直线，则这条抛物线的函数表达式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据二次函数的对称性求函数值，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据“抛物线 经过点”得出，根据“对称轴是直线”得出，解方程组即可求解．
【详解】解∶∵抛物线 经过点，它的对称轴是直线，
∴，
解得，
∴，
故答案为∶ ．
12．某个函数同时满足两个条件：①图象过点、；②当时，随的增大而减小．这个函数表达式可以是 ．（只要写出一个符合愿意的答案即可）
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式．设此函数的解析式为，再把点，代入求出、的值即可．
【详解】解：设此函数的解析式为，
图象过点、，
，
解得，
这个函数表达式可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
13．如图，，，，抛物线过O、A、B三点，则该抛物线的解析式为 ．

【答案】/
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，待定系数法求二次函数解析式．先求出，然后用待定系数法求解即可．
【详解】如图，作于点C

∵，，，
∴，
∴，
设函数解析式为，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．有一个电脑程序，输入一个数，经过运算后输出结果，部分对应值如表：
输入x 2 3 6 7
输入y 5 2 1 2 3
则y关于x的函数表达式可能是 ．（写出一个即可）
【答案】
【分析】根据表格中的数据，可以写出一个符合题意的函数表达式，注意本题答案不唯一．本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出一个符合题意的函数表达式，注意本题答案不唯一．
【详解】解：设当时，，
，
得，
即当时，，
当时，设，
，
得，
即时，设，
∴
故答案为：．
15．与抛物线形状相同，开口向上，顶点为的抛物线解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线．据此求解即可．
【详解】解：∵抛物线形状相同，开口向上，
∴所求抛物线的．
∵顶点为，
∴所求抛物线为．
故答案为：．
16．已知二次函数，当时，；当时，；则 ， ，故该二次函数的关系式为 ．当时，二次函数的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查的是利用待定系数法确定函数解析式的方法．利用待定系数法求函数解析式的一般步骤：①写出含有待定系数的解析式；②把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程(组)；③解方程(组)，求出待定系数；④将求得的待定系数的值代回所设的解析式．根据题意列方程组即可得解．
【详解】解：将，分别代入，得
解得，
∴该二次函数的关系式为．
当时，．
故答案为：，，，．
17．请你写出一个同时满足下列两个条件：①对称轴是直线，②与y轴的交点为的二次函数的解析式为
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了二次函数的性质，只有熟知二次函数的性质才能正确的利用已知条件写出正确的解析式．首先根据对称轴为直线得到抛物线为，然后根据与轴的交点坐标求得解析式即可．
【详解】解：对称轴是直线，
抛物线可以是，
与轴的交点为，
符合条件的解析式可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
18．在平面直角坐标系中，把抛物线沿轴翻折所得新抛物线的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握利用顶点坐标求抛物线解析式是解题的关键．先求出抛物线的顶点坐标，再利用关于y轴对称的点的坐标特征得到点，然后再利用顶点式写出对称后的抛物线解析式．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，而关于y轴对称的点的坐标为，
抛物线关于y轴成轴对称的抛物线的解析式是．
故答案为：．
19．一个二次函数的图象的顶点坐标为，与y轴的交点，这个二次函数的解析式是 ．
【答案】
【分析】由于已知顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出a的值即可得到抛物线解析式．
【详解】解：设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
所以抛物线解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
20．已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与轴的另一个交点在原点左侧，到原点的距离为2，那么该二次函数的解析式为 ．
【答案】
【分析】先求出图象与轴的另一个交点的坐标，设出两点式，再将点，代入求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图象经过原点，且图象与轴的另一个交点在原点左侧，到原点的距离为2，
∴另一个交点的坐标为：，
∴设抛物线的解析式为：，
∵点在抛物线上，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查求二次函数的解析式，解题的关键是掌握待定系数法求解析式．
三、解答题
21．（1）已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的表达式．
（2）已知二次函数的图象经过点、和，求这个二次函数的表达式．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；
（1）设抛物线解析式为，再把点代入其中，求出a的值，即可得到二次函数表达式；
（2）设函数解析式为，把三点坐标分别代入，解方程组即可得到函数表达式．
【详解】解：（1）设抛物线解析式为，
把点代入中，得：，
得：，
即，
化为一般式为：；
（2）设函数解析式为，
把、和代入中，得：，
解得：，
即．
22．二次函数的变量与变量的部分对应值如下表：
… 0 1 5 …
… 7 0 7 …
(1)求此二次函数的解析式；
(2)写出抛物线顶点坐标和对称轴．
【答案】(1)
(2)顶点坐标为，对称轴为直线．
【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）将化为顶点式求解即可．
【详解】（1）解：将，，代入
得，
解得
∴；
（2）∵
∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线．
23．如图，已知抛物线经过点．
(1)求出此抛物线的解析式；
(2)当时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质：
（1）抛物线经过点，可得，求解即可得到答案；
（2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知当时，随的增大而减小，据此即可求得答案．
【详解】（1）解：抛物线经过点，可得
．
解得：．
所以，抛物线的解析式为．
（2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知
当时，随的增大而减小．
当时，．
当时，．
所以，当时， 的取值范围为．
24．顶点为D的二次函数满足以下三个条件的任意两个：
①其与轴的交点为；
②其与x轴的交点为和；
③该函数其最大值为12
(1)从以上条件任选两个，求出函数的表达式；
(2)若存在直线，二次函数上的存在一个点A，使得等于A到直线的距离，求出A点的坐标．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】本题考查的重点是利用待定系数法求函数的解析式，熟练掌握点和直线，两点间距离公式．
（1）选择任意两个条件用待定系数法，就可以求出函数的表达式；
（2）根据函数的表达式，计算出点D的坐标，利用点和直线，两点间距离公式就可以计算出点A的坐标．
【详解】（1）解：选择条件①和②，
∵二次函数与y轴的交点为
∴，
∵二次函数与x轴的交点为和；
∴将点和代入函数，
∴，
∴函数的表达式
答：函数的表达式为：；
（2）解：设点A的坐标为，
∵点D为函数的顶点，
则对称轴，
把代入，得，
∴点D的坐标为，
∵直线，
∴点A到直线的距离，
∴，
设
∵A到直线的距离等于，
∴
∴，
∴或，
把代入，得
∴点，或
答：点A的坐标为：或．
25．已知抛物线（a，b为常数，）经过，两个点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为______；
(3)将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线______．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移；
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据顶点式可直接得出答案；
（3）根据二次函数“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可．
【详解】（1）解：由抛物线经过，两个点，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵抛物线的解析式为，
∴顶点为，
故答案为：；
（3）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线，
故答案为：．
26．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；
(2)求这条抛物线的对称轴．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式以及抛物线的对称轴，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）把和点代入中解方程组求出a、b即可；
（2）按照对称轴公式求解即可．
【详解】（1）解：抛物线经过点和点
∴
解得
∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为
（2）解：的对称轴，
故这条抛物线的对称轴．
27．根据所给条件，求二次函数解析式
(1)已知二次函数，当时有最大值，其图象经过点
(2)二次函数的图象经过，，三点
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查利用待定系数法求二次函数的解析式；
（1）由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出a的值即可；
（2）设抛物线解析式为将点代入，即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
抛物线解析式为．
（2）设抛物线解析式为，将点代入，
∴，解得：
∴．
28．已知是关于的二次函数，与的对应值如下表所示：
的值
的值
(1)求关于的二次函数表达式．
(2)求出表中的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据表格中的已知三个点的坐标，用待定系数法求得二次函数的解析式；
（2）把代入（1）中解析式求出值即可．
本题主要考查用待定系数法求二次函数解析式的方法，关键是掌握待定系数法求函数解析式．
【详解】（1）解：设关于的二次函数解析式为，
由表格得点，，在抛物线上，
将三点代入抛物线得，
解得，
关于的二次函数表达式为；
（2）当时，，
．
29．已知y是x的二次函数，y与x的部分对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 2 3 …
y … 9 4 1 0 1 4 …
(1)求该二次函数的表达式；
(2)将该函数图象沿直线翻折，所得图象的函数表达式为 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，翻折的性质．
（1）先由表格得出抛物线的顶点，再求出顶点式，再化为一般式；
（2）先求出翻折后的顶点坐标，再根据翻折的性质求解．
【详解】（1）由表格得：抛物线的顶点为，
设函数关系式为，
∵该二次函数过，则，
解得：，
，
该二次函数的表达式为；
（2）由（1）得抛物线的顶点为，
点关于直线的对称点为，
该函数图象沿直线翻折，所得图象的函数表达式为．
故答案为：．
30．如图，抛物线与x轴交于，两点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)求出抛物线的对称轴和顶点坐标；
(3)若抛物线上存在一点D，使得．求出点D的坐标
【答案】(1)抛物线的解析式为：
(2)对称轴为：直线；顶点坐标为：
(3)点D的坐标为或
【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、将一般式写成顶点式等知识点，掌握二次函数的相关性质是解题关键．
（1）将，两点代入即可求解；
（2）将一般式写成顶点式即可求解；
（3）根据可求出点的纵坐标，即可求解 ．
【详解】（1）解：将，两点代入得：
，
解得：
∴抛物线的解析式为：
（2）解：，
∴抛物线的对称轴为直线；顶点坐标为：
（3）解：∵，
∴
由（2）得：抛物线的顶点坐标为，
∴
令，
解得：，
∴点D的坐标为或
31．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标．
【答案】(1)
(2)或或或
【分析】（1）将，代入，求出,即可得出答案；
（2）分别以点为顶点、以点为顶点、当以点为顶点，计算即可；
本题是二次函数综合题，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、分类讨论等知识，熟练掌握等腰三角形的判定、分类讨论的思想是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，两点在抛物线上，
∴
解得，，
∴抛物线的解析式为：，
（2）解：令，
∴，
由为等腰三角形，如图甲，

当以点为顶点时，，点与原点重合，
∴，
当以点为顶点时，，是等腰中线，
∴，
∴，
当以点为顶点时，
∴点D的纵坐标为或，
∴综上所述，点D的坐标为或或或．
32．已知二次函数图像的顶点坐标为，且经过点．
(1)求该二次函数解析式．
(2)将该二次函数的图像向左平移几个单位能使平移后所得图像经过坐标原点？并求平移后图像对应的二次函数解析式．
【答案】(1)
(2)将二次函数向左平移3个单位后所得图像经过坐标原点，则平移后的二次函数解析式为，
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数图像的平移问题：
（1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；
（2）设将二次函数向左平移m个单位后所得图像经过坐标原点，则平移后的二次函数解析式为，再代入原点坐标求解即可．
【详解】（1）解：设二次函数解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴二次函数解析式为；
（2）解：设将二次函数向左平移m个单位后所得图像经过坐标原点，则平移后的二次函数解析式为，
∴，
解得或（舍去），
∴将二次函数向左平移3个单位后所得图像经过坐标原点，则平移后的二次函数解析式为；
33．抛物线与轴的两交点的横坐标分别是，，与轴交点纵坐标是，确定二次函数的解析式．
【答案】解析式为．
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，利用待定系数法求解即可，解题的关键熟练掌握相关知识的应用．
【详解】由题意得抛物线过，，，
∴，解得：，
∴二次函数的解析式为：．
34．如图，已知抛物线经过点．
(1)求b的值；
(2)将该抛物线进行平移，使其经过坐标原点，请直接写出平移的方式．
【答案】(1)
(2)先向右平移1个单位，再向下平移4个单位（答案不唯一）
【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数图象的平移，熟练掌握待定系数法和二次函数图象的平移规律是解题关键．
（1）将点代入计算即可得；
（2）根据二次函数图象的平移变换规律“左加右减，上加下减”求解即可得．
【详解】（1）解：将点代入得：，
解得．
（2）解：由（1）可知，抛物线的解析式为，
则将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线的解析式为，即为，经过坐标原点，
所以平移的方式为先向右平移1个单位，再向下平移4个单位（答案不唯一）．
35．有一个二次函数的图象，三个同学分别说出了它的一些特点．
李明：对称轴是直线；
赵鑫：函数的最大值为2；
张强：此函数的图象经过点关于y轴的对称点．
请你根据以上内容写出满足条件的二次函数解析式．
【答案】
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的顶点式的运用是解题的关键．
根据题意，可得顶点坐标是，设二次函数的解析式为，运用待定系数法即可求解．
【详解】解：∵该二次函数的对称轴是直线，函数的最大值为2，
∴该函数的顶点坐标是，
∴设二次函数的解析式为，
点关于y轴的对称点是，
将代入，得，
解得，
∴二次函数的解析式为．
36．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示：
… 0 1 2 3 …
… 5 0 0 m 12 …
(1)在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该图象的一条性质；
(2)的值为______；
(3)求这个二次函数的解析式.
【答案】(1)见解析，性质：对称轴为直线（答案不唯一）
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，求二次函数解析式，画二次函数图象，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）根据题意画出函数图象，根据图象写出一条性质即可；
（2）根据抛物线的对称性可知当时和当时的函数值相同，则和时函数值相等解题即可；
（3）根据顶点坐标，利用待定系数法求解即可；
【详解】（1）解：这个函数的图象如图所示：
性质为：对称轴为直线；
（2）解：∵对称轴为，
∴当和时函数值相等，根据表格可得，
故答案为：；
（3）设函数解析式为，
把代入得，
解得，
∴．
37．已知二次函数，当时有最高点，且此函数的图象经过点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当x为何值时，y随x的增大而减小
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式．
（1）利用待定系数法求出二次函数解析式；
（2）根据二次函数的增减性进行解答即可．
【详解】（1）解：二次函数，当时有最高点，
∴，
∵此函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵二次函数的对称轴为直线，，
∴当时，y随x的增大而减小．
38．已知，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)求抛物线的对称轴和顶点坐标．
【答案】(1)
(2)对称轴是直线，顶点坐标为
【分析】本题考查待定系数法求二次函数表达式、二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求二次函数表达式的方法以及二次函数的性质是解题关键．
（1）把，，代入列出方程组求得、、的值，即可得出二次函数表达式；
（2）首先把求出的二次函数表达式进行配方，由此得出抛物线的对称轴和顶点坐标即可.
【详解】（1）解：把，，代入得：
，解得，
∴抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：
，
∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为．
39．已知二次函数的图象过点和．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)当时，结合图象，直接写出函数值y的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质．
（1）把点和代入二次函数，求出，，即可；
（2）根据二次函数的的性质，可以求出时，函数值的取值范围．
【详解】（1）∵二次函数的图象过点和，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为：．
（2）如下图：
由（1）得，二次函数的解析式为：，
∴对称轴为：，
当时，二次函数有最大值，；
∴当时，；
当时，；
∴当时，函数值的取值范围为：．
40．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．

(1)求抛物线的表达式．
(2)若在坐标平面内存在点G，使得点G到A，B，C三点的距离都相等，请求出点G的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数综合，线段垂直平分线的判定与性质，勾股定理等等：
（1）把解析式设为交点式，再把点C坐标代入解析式中求解即可；
（2）根据题意G是边垂直平分线的交点，由的垂直平分线为直线，可设点G的坐标为，利用勾股定理求出，据此利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为．
将代入得，解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：∵点G到A，B，C三点的距离相等，
∴G是边垂直平分线的交点，
∴，
∵，，
∴的垂直平分线为直线，
∴可设点G的坐标为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
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