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微专题04 二次函数存在性质问题通关专练
1．如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为x，四边形的面积为y．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
2．已知抛物线与x轴交于两点，顶点为P，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式及点P的坐标．
(2)将这条抛物线平移，使斜平移后的抛物线经过点Q，交y轴于点E．
若点Q恰好在原抛物线上，是否存在以为边、且以A、P、Q、E四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出符合条件的点Q坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上．
(1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标；
(2)在抛物线上是否存在一点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D为x轴上一点，在抛物线上是否存在一点F，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.
5．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线．
(1)若抛物线与x轴交于原点，求此抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在一点P到x轴的距离等于3，若存在求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．已知抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．
(1)求三点的坐标．
(2)在该拋物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．已知：如图1，抛物线与坐标轴分别交于点A，，，点P是线段上方抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线解析式；
(2)当点P运动到什么位置时，的面积最大？
(3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
8．如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点，其顶点为C，对称轴为直线．
(1)求顶点C的坐标及抛物线的解析式；
(2)已知点M为y轴上的一个动点，是否存在点M使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
9．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．

(1)求抛物线的表达式．
(2)若在坐标平面内存在点G，使得点G到A，B，C三点的距离都相等，请求出点G的坐标．
10．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
(1)求点、的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上找一点C使得最小，并求出C点的坐标；
(3)在对称轴上是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于原点和点， 一次函数与y轴交于点B，抛物线与直线交于点A和点．

(1)观察函数图象，不等式 的解集是 ；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
12．如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线的顶点，求的面积；
(3)抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形，若存在求出点坐标，若不存在说明理由．
13．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（1，3）．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得的面积是的面积的？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
14．已知抛物线，完成下列各题：
(1)求证：该抛物线与轴一定有两个交点；
(2)该抛物线与轴的两个交点分别为（在的左侧），求的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点，使的面积等于？若存在，请求出点的坐标．
15．已知拋物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，，抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，抛物线（b、c为常数）与x轴相交于点、，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线
(1)求抛物线的解析式．
(2)设点P为抛物线对称轴上的一个动点．
①如图①，若点P为抛物线的顶点，求的面积．
②是否存在点P使的面积为6？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．

(1)求的面积；
(2)在轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；
(3)点P是（1）中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，是否存在是以为底的等腰三角形？若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由．
19．已知抛物线，完成下列各题：
(1)求抛物线与轴的两个交点（在的左侧）的坐标；
(2)若该抛物线顶点为，求的面积
(3)在抛物线上是否存在点，使的面积等于15？若存在，请直接写出的坐标．若不存在，请说明理由．
20．如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第四象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，若，求出点D的坐标；
(3)若P为x轴上一动点，Q为抛物线上一动点，是否存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F．
(1)求点A、点B的坐标；
(2)用含t的代数式分别表示和的长；
(3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
22．已知抛物线，经过点和点，抛物线上有一个点，它的横坐标为．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求的长；
(3)若点是轴上方、轴左侧抛物线上的一个动点，是否存在这样的点，使？如果存在，请求出点坐标；如果不存在，请说明理由．
23．已知：y关于x的二次函数．

(1)若函数的图象过点，求a与b的关系；
(2)如图，若函数的图象与x轴有两个公共点，并与动直线交于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为．
①当点P为抛物线顶点时，求的面积；
②探究直线l在运动过程中，是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，说明理由．
24．【建立模型]（1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，．求证：；
【类比迁移]（2）如图2，在中，，，与轴交于点，点C的坐标为，点A的坐标为，求B，D两点的坐标；
【拓展延伸]（3）如图3，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点M，使是以为斜边的等腰直角三角形 若存在，请求出点M的坐标 若不存在，请说明理由．
25．已知抛物线
(1)当时，求抛物线与轴的交点坐标；
(2)若抛物线与轴有两个不同的交点（点在点的左侧），与轴交于点，过点作直线轴，点是直线上的一动点，点是轴上的一动点，且．
①当点落在抛物线上（不与点重合），且时，求的值；
②取的中点，是否存在的最小值为？若存在，求出此时的值，若不存在，请说明理由．
26．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线．
(1)若轴，用含的代数式表示；
(2)记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），若图象上存在一点，，使得，求的取值范围．
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，且）与轴交于点和点，与轴交于点，且．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)连接，点是抛物线的对称轴上的动点，点是平面内的点，是否存在以点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
28．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点，交y轴于点，在y轴上有一点，连接AE．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时D点的坐标；
(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使为以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标即可；若不存在，请说明理由．
29．平面直角坐标系中，抛物线：过点，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知点是抛物线在第四象限上的动点，定点的坐标为，则在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
30．如图所示，已知二次函数的图像经过点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)直线交二次函数的图像于点，交直线于点，是否存在实数，使为等腰三角形，若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由．
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微专题04 二次函数存在性质问题通关专练
1．如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为x，四边形的面积为y．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据正方形的面积和三角形的面积公式，求出函数解析式．
（1）根据，得出，用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可得出答案；
（2）通过配方求二次函数的最大值，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵在正方形纸片上剪去4个全等的直角三角形，
在中，，，，
∴
；
（2）解：正方形的面积为：，
∴当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8．
2．已知抛物线与x轴交于两点，顶点为P，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式及点P的坐标．
(2)将这条抛物线平移，使斜平移后的抛物线经过点Q，交y轴于点E．
若点Q恰好在原抛物线上，是否存在以为边、且以A、P、Q、E四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出符合条件的点Q坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在点Q的坐标为或使得以为边、且以A、P、Q、E四点为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】本题主要考查了二次函数综合，平行四边形的性质，两点中点坐标公式，求二次函数解析式等等：
（1）先利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可求出点P的坐标；
（2）先求出点A的坐标，设，，再分当为对角线时，当为对角线，由平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可．
【详解】（1）解：把代入中得：，
解得，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线顶点P的坐标为；
（2）解：在中，当，
解得或，
∴，
设，，
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得，
∴，
∴，
∴点Q的坐标为；
当为对角线，由平行四边形对角线中点坐标相同可得，
∴，
∴，
∴点Q的坐标为；
综上所述，存在点Q的坐标为或使得以为边、且以A、P、Q、E四点为顶点的四边形是平行四边形．
3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上．
(1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标；
(2)在抛物线上是否存在一点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为
(2)不存在．理由见解析
【分析】本题考查抛物线的图象和性质，全等三角形的性质等：
（1）抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为；
（2）假设存在一点M，使，则点M和O关于直线对称，
求出点M的坐标，再判断点M是否在抛物线上即可．
【详解】（1）解：该抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为．
（2）解：不存在．理由如下：
对于，令，则，
解得，，
点A的坐标为，点B的坐标为．
则，
是等腰直角三角形．
假设存在一点M，使，
为公共边，，
点M和O关于直线对称，
四边形是正方形，
点M的坐标为．
当时，，
即点M不在抛物线上，
在抛物线上不存在一点M，使．
4．如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D为x轴上一点，在抛物线上是否存在一点F，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，理由见解析，满足条件的点F的坐标为或或
【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，
（1）将，代入，得，进行计算即可得；
（2）在中，当时，，则点C的坐标为，设抛物线与y轴的交点为K，由题意，得，根据得轴，①当点F在x轴下方时，易知；②当点F在x轴上方时，令，得，进行计算即可得；
掌握二次函数的性质，平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：将，代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）存在，理由如下：
解：在中，当时，，
点C的坐标为，
如图，设抛物线与y轴的交点为K，
由题意，得，
∵，
轴.
①当点F在x轴下方时，易知；
②当点F在x轴上方时，令，得，
，
解得，
，.
综上所述，满足条件的点F的坐标为或或．
5．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线．
(1)若抛物线与x轴交于原点，求此抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在一点P到x轴的距离等于3，若存在求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，的坐标为
【分析】（1）根据题意，可确定抛物线的顶点坐标，运用顶点式即可求解；
（2）抛物线上存在一点到轴的距离等于，即当时求对应自变量的值，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
∴该抛物线的解析式为，
∵该抛物线与x轴交于原点，
∴，
∴，
∴，即：．
（2）解：抛物线上存在一点到轴的距离等于，
∵当时，，
∴解得：，
∵当时，，此方程无实数根，
∴的坐标为．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，图象到轴的距离的计算方法，掌握以上知识是解题的关键．
6．已知抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．
(1)求三点的坐标．
(2)在该拋物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点的坐标为．
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，轴对称的性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可；
（2）求出抛物线的对称轴为，连接与对称轴的交点即为点M，求出的解析式，把代入即可求出．
【详解】（1）解：令，则，解得：，，
∴点，点，
当时，，
∴点；
（2）解：存在，
∵，
∴抛物线的对称轴为，
连接与对称轴的交点即为点M，
设直线的解析式为，把，代入得：
，解得：，
∴，
当时，，
∴点的坐标为．
7．已知：如图1，抛物线与坐标轴分别交于点A，，，点P是线段上方抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线解析式；
(2)当点P运动到什么位置时，的面积最大？
(3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意得点在抛物线上，使用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）根据点A和B求得直线解析式，设点P的横坐标并表示出点P和点F，求出的长，将分成与的面积和，根据三角形面积公式表示为函数求最值即可；
（3）设点P横坐标，表示出点P和点D及的长，根据对称性可知点P和点E关于抛物线对称轴对称，用中点坐标公式可得点D横坐标，进而求得的长．由于要成为等腰直角三角形，，，分类讨论t的范围，即可求得点P坐标．
【详解】（1）解：抛物线过点，则
，解得∶
故抛物线解析式为．
（2）过点P作轴于点H，交于点F，如图，
当时，，
则，
设直线解析式为，
∵过点A和B，则，，
∴直线解析式为，
∵点P在线段上方的抛物线上，设点P的横坐标为t，
∴，，
则，
，
故点，的面积最大
（3）设，
则，那么，
∵抛物线，
∴对称轴为直线，
∵轴交抛物线于点E，
∴，且，
∴，
．
则，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
当时，，
有
解得∶(舍去)，，
则点，
当时，
有，解得，(舍去)，
则点，
故点或时，为等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了二次函数的待定系数法求解析式和性质、求解二次函数最值、等腰直角三角形的性质、中点坐标公式和解一元二次方程，解题的关键是分类讨论点所处位置及对应线段长度．
8．如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点，其顶点为C，对称轴为直线．
(1)求顶点C的坐标及抛物线的解析式；
(2)已知点M为y轴上的一个动点，是否存在点M使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)， 顶点C的坐标为
(2)或或或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）由对称轴为直线，可得抛物线解析式为，据此代入A、B坐标求解即可；
（2）设点M的坐标为，则，，，再分当时， 当时， 当时，三种情况建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵对称轴为直线，
∴抛物线解析式为
把点，点代入得 中得，
解得
∴抛物线解析式为，
∴顶点C的坐标为；
（2）解：设点M的坐标为，
∴，，，
当时，则，解得，
∴点M的坐标为；
当时，则，解得或（舍去），
∴点M的坐标为；
当时，则，解得或，
∴点M的坐标为或；
综上所述，点M的坐标为或或或．
9．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．

(1)求抛物线的表达式．
(2)若在坐标平面内存在点G，使得点G到A，B，C三点的距离都相等，请求出点G的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数综合，线段垂直平分线的判定与性质，勾股定理等等：
（1）把解析式设为交点式，再把点C坐标代入解析式中求解即可；
（2）根据题意G是边垂直平分线的交点，由的垂直平分线为直线，可设点G的坐标为，利用勾股定理求出，据此利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为．
将代入得，解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：∵点G到A，B，C三点的距离相等，
∴G是边垂直平分线的交点，
∴，
∵，，
∴的垂直平分线为直线，
∴可设点G的坐标为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
10．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
(1)求点、的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上找一点C使得最小，并求出C点的坐标；
(3)在对称轴上是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在；或
【分析】（1）令求出点A的坐标，令求出点B的坐标即可；
（2）根据二次函数解析式写出对称轴方程，再利用对称性求出点B关于对称轴的对称点，再求出直线与对称轴的交点即可；
（3）根据平行四边形对边平行且相等可得，分点P在点A的上方和下方两种情况讨论求解．
【详解】（1）解：令，则，
解得：，
所以点，
令，则 ，
所以，点；
（2）解：对称轴方程为直线；
因为点B的坐标为
所以点B关于对称轴的对称点，
设直线为，将代入，
得，，
解得：，
所以，
当时，，
所以；
（3）解：存在，以为顶点的四边形为平行四边形，
①时，
当点P在点A的上方时，如下图：
点P的坐标为，
当点P在点A的下方时，
点P的坐标为，
②当时，点P在第一象限，如下图：
不符合题意.
综上所述，点P的坐标为或时，以为顶点的四边形为平行四边形．
【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴交点的求法，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意（3）有两种情况．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于原点和点， 一次函数与y轴交于点B，抛物线与直线交于点A和点．

(1)观察函数图象，不等式 的解集是 ；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点的坐标为
【分析】（1）根据图象可以得到抛物线的图像高于一次函数的自变量x的取值范围解题即可；
（2）利用抛物线的对称性可知，点与点A关于对称轴对称，直线与抛物线对称轴的交点即为点，求出抛物线的对称轴计算解题即可．
【详解】（1）由图象可知，当时，不等式 ，
故答案为：；
（2）存在，
∵抛物线,
∴对称轴为：，
由点与点A关于对称轴对称，直线与抛物线对称轴的交点即为点，
∴当时，，
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．
12．如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线的顶点，求的面积；
(3)抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形，若存在求出点坐标，若不存在说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）运用待定系数法将代入，即可求解；
（2）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点D作轴交直线于点E，求得，利用，即可求得答案；
（3）由（2）得，，当以为底的等腰三角形，得出，则点在上，联立抛物线解析式解方程组即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）在中，令时，得：，
∴，
设直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
过点作轴交直线于点，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
则是等腰直角三角形，
∴当以为底的等腰三角形，则，
∴在的角平分线上，即上
联立得
解得：或
∴或．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，运用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，配方法，三角形面积，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等相关知识是解题关键．
13．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（1，3）．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得的面积是的面积的？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，G的坐标为或．
【分析】（1）依题意，利用二次函数的顶点式即可求．
（2）先求线段所在的直线解析式，求利用点到直线的公式，即可求与的高，利用三角形面积公式即可求．
【详解】（1）依题意，设二次函数的解析式为
将点B代入得，得
∴二次函数的表达式为：
（2）存在点G，
当点G在x轴的上方时，设直线交x轴于P，设P（t，0），作于E，于F．
由题意：，
∵，
∴
∴，
∴，
解得，
∴直线DG的解析式为，
由，
解得或，
∴G．
当点G在x轴下方时，如图2所示，
∵
∴当点G在的延长线上时，存在点G使得，
此时，的直线经过原点，设直线的解析式为，
将点D代入得，
故，
则有
整理得，，
得（舍去），
当时，，
故点G为．
综上所述，点G的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，要学会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
14．已知抛物线，完成下列各题：
(1)求证：该抛物线与轴一定有两个交点；
(2)该抛物线与轴的两个交点分别为（在的左侧），求的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点，使的面积等于？若存在，请求出点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)，
(3)或或或
【分析】（1）根据抛物线与一元二次方程的关系，将函数与轴交点的问题转化为一元二次方程，再根据判别式的值确定函数轴交点的的个数；
（2）解方程，即可求得点的坐标；
（3）假设存在点使得的面积等于，则点纵坐标或，分情况讨论即可．
【详解】（1）证明：∵当时，即可得到：
∴
∴该抛物线与轴一定有两个交点
（2）解：∵当时，即可得到：
∴
∴或
∴点坐标，点坐标为
故答案为：，
（3）解：假设存在点使得的面积等于
∵
∴
∴的值为或
当点的纵坐标为时
∴
解得：或
∴存在点坐标、
当点的纵坐标为时
∴
解得：或
∴存在点坐标、
故答案为：或或或
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，抛物线与x轴的交点判定，三角形的面积计算等相关知识点，分类讨论点的坐标是解题的关键．
15．已知拋物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，，抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）把，两点代入解析式即可求解；
（2）先求出C点坐标，再根据求出，代入解析式即可求解．
【详解】（1）把，两点代入，
得，解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）当时，，所以，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
把代入抛物线表达式得，
解得（舍去）或2；
把代入抛物线表达式得，
解得，
综述所述，点的坐标为或或．
【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知待定系数法及三角形的面积公式的应用．
16．如图，抛物线（b、c为常数）与x轴相交于点、，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线
(1)求抛物线的解析式．
(2)设点P为抛物线对称轴上的一个动点．
①如图①，若点P为抛物线的顶点，求的面积．
②是否存在点P使的面积为6？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)①3；②存在满足条件的点，其坐标为或．
【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、方程思想等知识．
（1）把、两点坐标代入抛物线解析式，可求得、的值，可求得抛物线解析式；
（2）①由抛物线解析式可求得、的坐标，可求得直线解析式，设对称轴交直线于点，则可求得点坐标，可求得的长，则可求得的面积；②设，则可用表示出的面积，可得到的方程，则可求得点坐标．
【详解】（1）解：抛物线、为常数）与轴相交于点、，
，
解得，
抛物线解析式为；
（2）解：①，
，且，
设直线解析式为，则有，
解得，
直线解析式为，
设对称轴交于点，如图1，
则，
，
；
②设，由①可知，
，
，
，
解得或，
点坐标为或，
即存在满足条件的点，其坐标为或．
17．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．

(1)求的面积；
(2)在轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在点，使是直角三角形，点坐标为或或或
【分析】（1）先求出，，，，求出直线的解析式为，作轴交于，则，，再根据，即可得解；
（2）设，则，，，分三种情况分别求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：令，
解得或，
∴，，
令，则，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
解得：，
∴直线的解析式为，
作轴交于，

当时，，即，
∴，
∴；
（2）解：存在点E，使是直角三角形，理由如下：
设，
∴，，，
当为直角三角形的斜边时，，
解得，
∴或；
当为直角三角形的斜边时，，
解得，
∴；
当为直角三角形的斜边时，，
解得，
∴；
综上所述：点坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数综合—面积问题、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
18．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；
(3)点P是（1）中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，是否存在是以为底的等腰三角形？若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在；
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）如图，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时，的周长最小，即可求解；
（3）设点，根据是以为底的等腰三角形，所以，则，求解即可得出t值，进而求解．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：，
对于一次函数，
当时，，
∴，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，则，
即抛物线的表达式为：
（2）解：如图，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时，的周长最小，
理由：的周长为最小，
设直线的表达式为
把，代入得：
，解得
∴直线的表达式为：，
由抛物线的表达式知，其对称轴为，
当时，，即点；
（3）解：存在，理由：
设点
∵直线与y轴的交点为D，
当时，，
∴，
∵是以为底的等腰三角形，
∴，
∴，
，
．
∵，
∴．
即P点的坐标为
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数图象上点的坐标特征，利用轴对称求最短路径，等腰三角形的性质，属二次函数综合题目，难度适中．
19．已知抛物线，完成下列各题：
(1)求抛物线与轴的两个交点（在的左侧）的坐标；
(2)若该抛物线顶点为，求的面积
(3)在抛物线上是否存在点，使的面积等于15？若存在，请直接写出的坐标．若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图形和性质，是解题的关键：
（1）令，求出交点的坐标即可；
（2）求出顶点坐标，利用三角形的面积公式，进行计算即可；
（3）根据三角形的面积公式，求出点的纵坐标，进而求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：，
解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴的面积为：；
（3）解：∵的面积，
∴，
当时，，
解得：，
∴；
当时，，
解得：，
∴或．
20．如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第四象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，若，求出点D的坐标；
(3)若P为x轴上一动点，Q为抛物线上一动点，是否存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)点的坐标为
(3)存在，P的坐标为、、、
【分析】（1）因为经过，两点，所以，再代，即可作答．
（2）先把、代入，并解出直线BC的解析式为，因为，所以，解得，得，即可作答．
（3）结合平行四边形的性质，要进行分类讨论，即①当为对角线；②当为对角线；③当为对角线，然后列出方程组解方程，即可作答．
【详解】（1）解：设抛物线为，
经过，两点，
，
把代入得：，
，
抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，
把、代入得：
直线的解析式为，
设，则，，
，，
，
，
，
解得（不符合，舍去），，
经检验：是方程的解
把代入，解得
点的坐标为．
（3）解：存在，过程如下：
依题意，设，且，，
∵以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形
∴①当为对角线时，则
，
；
②当为对角线时，则
，
，；
③当为对角线时，则
，
．
综上所述，P的坐标为、、、．
【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，平行四边形的性质，二次函数与一次函数的解析式、二次函数与一次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
21．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F．
(1)求点A、点B的坐标；
(2)用含t的代数式分别表示和的长；
(3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)，
(3)存在，
【分析】（1）在直线中，分别令和，即可求得、两点坐标；
（2）由、的长可求得，用可表示出，，和的长，由勾股定理可求得的长，从而可用表示出的长；
（3）若为直角三角形时，由条件可知只能是，又，由（）可知又由二次函数的对称性可得到，从而可求出，在中，可得到关于的方程，可求得的值，进一步可求得点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式．
【详解】（1）解：在直线中，
令得，
解得：
令得，
∴，
（2）解：由（1）可知，
，
运动时间为秒，
轴，
在中，，，
在中，，，
，
；
（3）解：存在．
轴，
，
点不能在抛物线的对称轴上，
，
当为直角三角形时，则有，
又，
，
，，
，且
，
解得：
即当的值为秒时，为直角三角形，
此时
∴
∵抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，
把点坐标代入得：
解得：，
∴抛物线的解析式为，
即．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合运用待定系数法，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的对称性等知识点；综合运用以上知识是解题的关键．
22．已知抛物线，经过点和点，抛物线上有一个点，它的横坐标为．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求的长；
(3)若点是轴上方、轴左侧抛物线上的一个动点，是否存在这样的点，使？如果存在，请求出点坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为；
（2）求出，即得；
（3）过作交延长线于，过作轴，过作轴交于，交轴于，由是等腰直角三角形，可得，可求出，即得直线解析式为，解可得的坐标．
【详解】（1）把和代入得：
解得
抛物线的解析式为；
（2）在中，令得，
，
；
（3）存在这样的点，使，理由如下：
过作交延长线于，过作轴，过作轴交于，交轴于，如图：
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
设直线解析式为，把代入得：
，
解得，
直线解析式为，
解得或
点在轴上方、轴左侧，
的坐标为．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
23．已知：y关于x的二次函数．

(1)若函数的图象过点，求a与b的关系；
(2)如图，若函数的图象与x轴有两个公共点，并与动直线交于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为．
①当点P为抛物线顶点时，求的面积；
②探究直线l在运动过程中，是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)①6 ，②存在；
【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，相似三角形的判定和性质，以及二次函数的图象和性质．
（1）把代入即可解答；
（2）①设直线l与交于点F，用待定系数法求出抛物线的解析式为，则，，再求出直线的解析式为，则，进而得出，最后根据的面积即可解答；②设直线交x轴于H，则，通过证明，得出，根据得出函数关系式，结合二次函数的性质，即可解答．
【详解】（1）解：∵函数的图象过点，
∴代入得：，
化简得：；
（2）解：①如图1，设直线l与交于点F，

把代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
∴，
∵，点P为抛物线顶点，
∴，
∵，
∴直线的解析式为，
把代入得：，
∴，
∴，
∴的面积，
②存在最大值，理由如下：
如图2，设直线交x轴于H，

由①得，，，，，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴当时，存在最大值，最大值为．
24．【建立模型]（1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，．求证：；
【类比迁移]（2）如图2，在中，，，与轴交于点，点C的坐标为，点A的坐标为，求B，D两点的坐标；
【拓展延伸]（3）如图3，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点M，使是以为斜边的等腰直角三角形 若存在，请求出点M的坐标 若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），；（3）或或或
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、二次函数与几何综合题，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）利用，即可证明；
（2）过点B作轴于点F.证明,则，得到. 待定系数法求出直线的解析式为，当时，，即可得到
（3）求出，得到抛物线的对称轴为直线,设抛物线的对称轴交x轴于点H,过点M作轴于点N，分两种情况：当点M在x轴的下方和
点M在x轴的上方，分别进行解答即可．
【详解】（1）证明:∵，
∴
∵,
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴
（2）解:如图,过点B作轴于点F.

由题意,得
∵，
∴.
∴
又∵,
∴,
∴.
∴
∴..
设直线的解析式为,
将代入中,得,
解得
∴直线的解析式为，
当时，，
∴
（3）解:∵
∴抛物线的对称轴为直线,
设抛物线的对称轴交x轴于点H,过点M作轴于点N，
①当点M在x轴的下方时,如图，

∵,
∴
∴
又∵，
∴.
∴..
设，
∴，
∴，
∴，
将 代入中,
得,
解得或
∴. 点M的坐标为或；
②当点M在x轴的上方时,如图,

同理可得，点M的坐标为或.
综上所述,点M的坐标为或或或.
25．已知抛物线
(1)当时，求抛物线与轴的交点坐标；
(2)若抛物线与轴有两个不同的交点（点在点的左侧），与轴交于点，过点作直线轴，点是直线上的一动点，点是轴上的一动点，且．
①当点落在抛物线上（不与点重合），且时，求的值；
②取的中点，是否存在的最小值为？若存在，求出此时的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)或；
(2)①；②当的值为或时，的最小值是．
【分析】（1）当时，抛物线，解方程，即可求解；
①根据题意得出和，点，点，过点作于点，由点，得点．根据题意求出的值即可；
②得出．求出，当，即时，当，即时，根据的最小值可分别求出的值即可．
【详解】（1）解：当时，抛物线，
令，则，
解得或，
∴抛物线与轴的交点坐标为或；
（2）解：①抛物线的解析式为，
令，则，
解得或，
∴和，，
令，则，
∴点，点，
过点作于点，由点，得点．
在中，，，
，
，
，
解得
∴；
②由是的中点，连接，，得．
根据题意，点在以点为圆心、为半径的圆上，
由点，点，得，，
在中，．
当，即时，满足条件的点在线段上．
的最小值为，解得；
当，即时，满足条件的点落在线段的延长线上，的最小值为，
解得．
当的值为或时，的最小值是．
【点睛】本题是二次函数的综合问题，主要考查了二次函数的性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
26．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线．
(1)若轴，用含的代数式表示；
(2)记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），若图象上存在一点，，使得，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)不能大于6
【分析】本题考查抛物线的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线对称轴的相关知识．
（1）根据轴可以得到点，点关于对称，从而得到，再根据对称轴的公式即可得到答案；
（2）根据，，，可以得到点应在点4的下方，要满足，抛物线的开口只能向上，根据抛物线的性质可以得到．
【详解】（1）轴，
点点，点关于对称，且
，
抛物线的对称轴为直线．
，
；
（2），，，
点应在点4的下方，
当时，抛物线开口向下，不存在．当时不符合题意，
，
，
．
，所以对称轴不能大于6．
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，且）与轴交于点和点，与轴交于点，且．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)连接，点是抛物线的对称轴上的动点，点是平面内的点，是否存在以点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为；
(2)的坐标为)或 或．
【分析】（）利用待定系数法即可求解；
（）由（）得，则抛物线的对称轴为直线，设，则，，，然后分当为菱形的边时，则或，当为菱形的对角线时，，两种情况即可；
本题主要考查了二次函数、菱形的性质和勾股定理，掌握相关知识、正确求出二次函数表达式并灵活应用是解题的关键．
【详解】（1）当时，，
∴点，则，
∴，
∴点，
∵抛物线过点和点，
∴，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）由（）得
∴抛物线的对称轴为直线，
设，
∴，，，如图，
当为菱形的边时，则或，
∴或，即或（无解），
解得，
∴点的坐标为)或 ；
当为菱形的对角线时，则，
∴，即，
解得，
∴点的坐标为，
综上可得：存在以点为顶点的四边形是菱形，点的坐标为)或 或．
28．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点，交y轴于点，在y轴上有一点，连接AE．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时D点的坐标；
(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使为以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标即可；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为
(2)面积的最大值为，此时D点坐标为
(3)存在，点P的坐标为．
【分析】此题考查二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，等腰三角形的判定等知识，数形结合与分类讨论数学思想是解题的关键．
（1）直接用待定系数法求解即可；
（2）可求得直线的表达式为过点D作 轴于点G， 交于点F， 设则所以，则 ，即可求得面积的最大值是；
（3）先求得抛物线的对称轴为直线设再分三种情况讨论，一是为等腰三角形，且以为底边，二是为等腰三角形，且以为底边，三是为等腰三角形，且以为底边，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ，
，
解得
∴二次函数的表达式为．
（2）解：设直线的表达式为则
解得
∴直线的表达式为
如图1，过点D作轴于点G，交于点F，
设则
，
，
，
∴当时，
面积的最大值是
（3）解：存在，理由如下：
，
∴抛物线的对称轴为直线
如图3， 为等腰三角形，且以为底边，
解得
，
如图4， 为等腰三角形，且以为底边，
解得
综上所述，点P的坐标为．
29．平面直角坐标系中，抛物线：过点，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知点是抛物线在第四象限上的动点，定点的坐标为，则在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，的坐标为
【分析】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析，二次函数图象的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意，分类讨论，当点位于点左侧时；当点位于点右侧时；根据三角形全等的判定和性质即可求解．
【详解】（1）解：将，代入，
得，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解： 存在．由题意得，点，要使得，
∴，，，
点在轴上，，
．
当点位于点左侧时，此时，，
轴，
设点，则，
，
解得或（舍去），
，
，
；
当点位于点右侧，
此时，，
因为在第四象限，，不合题意．
综上所述，的坐标为．
30．如图所示，已知二次函数的图像经过点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)直线交二次函数的图像于点，交直线于点，是否存在实数，使为等腰三角形，若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当或或4时，为等腰三角形
【分析】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质及两点距离公式是解题的关键；
（1）根据待定系数法可进行求解函数解析式；
（2）根据二次函数的图象与性质及等腰三角形的性质、两点距离公式可进行求解．
【详解】（1）解：将代入，
得，
解得：，
所以．
（2）解：设直线，因为，
∴，解得：，
所以直线，
∴，
∴，
根据题意设有，，，过点作，垂足为点，
∴轴，
∴，
∴；
∴
∴；；
∴；；
若为等腰三角形，分以下三种情况：
①当时，有，解得：或5或0，而又，因此．
②当时，有，即，解得：或0，而又，因此．
③当时，有，解得：或0，而又，因此．
综上所述，当或或4时，为等腰三角形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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