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专题02 二次函数y=a（x-h） +k
y=ax +bx+c图像性质
考点类型
知识一遍过
（一）二次函数y=a（x-h） +k图像性质
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 X=h
顶点坐标 （h，k）
增减性 当xh时,y随x的增大而增大 当xh时,y随x的增大而减小
最值 当x=h时,y最小值=k 当x=h时,y最大值=k
（二）二次函数图像的平移
注：二次函数图像的平移口诀：左加右减；上加下减（左右对x，上下对y）
（三）一般式化为顶点式
利用配方法可以将y=ax2+bx+c转化为顶点式,即
y =ax2+bx+c
=a
=a
顶点是
（四）二次函数y=ax +bx+c的图像性质
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
对称轴
顶点坐标
增减性 当x<- 时,y随x的增大而减小;当x>- 时,y随x的增大而增大 当x<- 时,y随x的增大而增大;当x>- 时,y随x的增大而减小
最值 当时 y最小值= 当时 y最大值=
（五）待定系数法求解解析式
形式 内容 适用条件
一般式 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0) 当已知抛物线上任意三点坐标时,通常设函数的关系式为一般式,然后列出关于a、b、c的三元一次方程组求解
顶点式 y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数,a≠0),抛物线的顶点坐标为(h,k) 当已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值时,通常设函数的关系式为顶点式,然后代入已知点的坐标,解方程
交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a、x1、x2为常数,a≠0),其中x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标 当已知抛物线与x轴的两交点坐标时,通常设函数的关系式为交点式,然后代入另一点的坐标,解关于a的一元一次方程
（六）函数图像与各系数的关系
a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当a＞0时，抛物线开口向上； 当a＜0时，抛物线开口向下. 某些特殊形式代数式的符号： a±b+c即为x=±1时，y 的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值. 2a+b的符号，需判 对称轴-与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.
a、b 决定对称轴（x=-）的位置 当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边； 当b＝0时，-=0，对称轴为y轴； 当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边．
c 决定抛物线与y轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点; b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点; b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
考点一遍过
考点1：二次函数y=a（x-h） 的图像性质
典例1：对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大
【变式1】已知，设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式2】已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是．
（1）当时，函数的最大值是 ；
（2）若函数的最大值为，则h的值是 ．
【变式3】已知，点A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）、C（3，y3）分别是抛物线y＝5（x﹣2）2+k的三个点，则 y1、y2、y3的大小关系为 ．（用“＜”按从小到大的顺序排列）
考点2：二次函数y=a（x-h） +k的图像性质
典例2：已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴为 B．图象的顶点坐标为
C．函数的最大值是 D．函数的最小值是
【变式1】对于抛物线，下列结论正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴为直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大
【变式2】抛物线上，当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y有最 值，是 ．
【变式3】抛物线的顶点坐标是 ．
考点3：二次函数图像的平移
典例3：将抛物线向下平移3个单位，再向右平移3个单位后的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】若将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（ ）
A．向左平移个单位，再向上平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位
C．向右平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向下平移个单位
【变式2】将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后所得抛物线的解析式为 ．
【变式3】在平面直角坐标系中，抛物线可以看作是由抛物线经过怎样的平移得到的，平移过程为 ．
考点4：利用增减性求字母的值
典例4：在平面直角坐标系中，点都在二次函数的图象上．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】若二次函数，在时，随的增大而减小，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【变式2】若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是
【变式3】已知关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
考点5：二次函数y=ax +bx+c化为顶点式
典例5：二次函数的顶点在第几象限（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
【变式1】下列关于抛物线判断中，错误的是（ ）
A．开口向上 B．顶点坐标
C．与轴的交点为 D．当时，随的增大而减小
【变式2】二次函数的图象的开口向 ，顶点坐标为 ．
【变式3】将二次函数化为的形式，则 ， ．
考点6：求二次函数的顶点与对称轴
典例6：二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】拋物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【变式2】若抛物线的对称轴是y轴，则a的值是 ．
【变式3】二次函数的对称轴为 ，顶点坐标为 ；二次函数的对称轴为 ，顶点坐标为 ．
考点7：二次函数y=ax +bx+c图像性质
典例7：对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．当时，y有最大值
C．若点，都在抛物线上，则
D．经过第一、二、四象限
【变式1】关于二次函数的性质说法正确的是（ ）
A．对称轴为 B．函数最小值为2
C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小
【变式2】已知二次函数，当时，此时函数的最小值是 ．
【变式3】在二次函数中，与的部分对应值如下表：
则下列结论：
①图像经过原点；②图像开口向下；③图像经过点；④当时，随着的增大而增大；⑤方程有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是 ．
考点8：二次函数对称性的应用
典例8：已知二次函数的与的部分对应值如下表．则这条抛物线的对称轴是（ ）
… …
… …
A．直线 B．直线 C．直线 D．轴
【变式1】已知，是抛物线上的两点，则正数（ ）
A．2 B．4 C．8 D．
【变式2】如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为 ．

【变式3】如图，抛物线与轴相交于点、与轴相交于点，点在该抛物线上，点的坐标为，则点的横坐标是 ．
考点9：二次函数图像与系数的关系
典例9：二次函数的图象如图，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1】已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：
①；②；③；④；⑤，（的实数）
其中正确的结论有 填序号
【变式2】如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论有 ．（填写代表正确结论的序号）．

【变式3】二次函数的图象如图所示，下列四个结论：
①；
②；
③；
④若方程有四个实数根，则这四个实数根的和为4．
其中正确结论是 ．（填写序号）
考点10：二次函数的最值
典例10：当时，二次函数的最小值为15，则的值为（ ）
A．或8 B．8 C．6 D．或6
【变式1】已知，则函数（ ）
A．有最小值，但无最大值 B．有最小值，有最大值7
C．有最小值1，有最大值7 D．无最小值也无最大值
【变式2】已知关于x的二次函数，该函数的最大值为 ．
【变式3】已知二次函数，当时，函数的最大值为，则的值是 ．
考点11：待定系数法求解析式——顶点式
典例11：若二次函数图像的顶点坐标为，且图像过点，则该二次函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】若抛物线的顶点坐标是且经过点，则该抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】一个二次函数的图象的顶点坐标是，与轴的一个交点是，则这个二次函数的解析式为 ．
【变式3】已知某抛物线的顶点坐标为，且与y轴相交于点，这个抛物线所表示的二次函数的表达式是
考点12：待定系数法求解析式——一般式
典例12：有一二次函数a，已知其过，，其与的形状一致，那么该二次函数a的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（ ）
A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5
【变式2】已知抛物线与x轴交于点和且过点，抛物线的解析式为 ．
【变式3】已知一抛物线与轴交于点，，且经过点，则该抛物线的解析式为 ．
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专题02 二次函数y=a（x-h） +k
y=ax +bx+c图像性质
考点类型
知识一遍过
（一）二次函数y=a（x-h） +k图像性质
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 X=h
顶点坐标 （h，k）
增减性 当xh时,y随x的增大而增大 当xh时,y随x的增大而减小
最值 当x=h时,y最小值=k 当x=h时,y最大值=k
（二）二次函数图像的平移
注：二次函数图像的平移口诀：左加右减；上加下减（左右对x，上下对y）
（三）一般式化为顶点式
利用配方法可以将y=ax2+bx+c转化为顶点式,即
y =ax2+bx+c
=a
=a
顶点是
（四）二次函数y=ax +bx+c的图像性质
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
对称轴
顶点坐标
增减性 当x<- 时,y随x的增大而减小;当x>- 时,y随x的增大而增大 当x<- 时,y随x的增大而增大;当x>- 时,y随x的增大而减小
最值 当时 y最小值= 当时 y最大值=
（五）待定系数法求解解析式
形式 内容 适用条件
一般式 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0) 当已知抛物线上任意三点坐标时,通常设函数的关系式为一般式,然后列出关于a、b、c的三元一次方程组求解
顶点式 y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数,a≠0),抛物线的顶点坐标为(h,k) 当已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值时,通常设函数的关系式为顶点式,然后代入已知点的坐标,解方程
交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a、x1、x2为常数,a≠0),其中x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标 当已知抛物线与x轴的两交点坐标时,通常设函数的关系式为交点式,然后代入另一点的坐标,解关于a的一元一次方程
（六）函数图像与各系数的关系
a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当a＞0时，抛物线开口向上； 当a＜0时，抛物线开口向下. 某些特殊形式代数式的符号： a±b+c即为x=±1时，y 的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值. 2a+b的符号，需判 对称轴-与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.
a、b 决定对称轴（x=-）的位置 当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边； 当b＝0时，-=0，对称轴为y轴； 当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边．
c 决定抛物线与y轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点; b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点; b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
考点一遍过
考点1：二次函数y=a（x-h） 的图像性质
典例1：对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数表达式得出开口向下、对称轴、顶点坐标和增减性是解题的关键．
根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可解决问题．
【详解】解：A、因为二次函数的表达式为，所以抛物线的开口向上．故此选项说法正确，不符合题意；
B、抛物线的对称轴是直线，故此选项说法正确，不符合题意；
C、因为抛物线的顶点坐标为，故此选项说法正确，不符合题意；
D、因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，所以当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，符合题意；
故选：D．
【变式1】已知，设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】此题主要考查了二次函数的图象和性质，按照题意，画出满足题意的图象，根据直线与二次函数图象的交点进行判断即可．
【详解】解：如图所示，
A．由图象可知，当时，，故选项错误，不符合题意；
B．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意；
D．由图象可知，当时，，故选项正确，符合题意；
故选：D
【变式2】已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是．
（1）当时，函数的最大值是 ；
（2）若函数的最大值为，则h的值是 ．
【答案】 0 6或1/1或6
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；
（1）根据顶点式可直接得出答案；
（2）根据函数的最大值为分情况讨论：若，则当时，y最大；若，则当时，y最大；若，则最大值为0，与题意不符；根据最大值为分别求解即可．
【详解】解：（1）当时，二次函数为，
∴当时，函数有最大值为0，
故答案为：0；
（2）∵二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为，
∴若，则当时，y最大，即，
解得（舍去），；
若，则当时，y最大，即，
解得，（舍去）；
若，则最大值为0，与题意不符；
综上，h的值是6或1．
故答案为：6或1．
【变式3】已知，点A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）、C（3，y3）分别是抛物线y＝5（x﹣2）2+k的三个点，则 y1、y2、y3的大小关系为 ．（用“＜”按从小到大的顺序排列）
【答案】y3＜y1＜y2
【分析】根据二次函数的性质和二次函数图象具有对称性可知x=3时的函数值与x=1时的函数值相等，从而可以判断 y1、y2、y3的大小关系，本题得以解决．
【详解】解：∵抛物线y＝5（x﹣2）2+k，
∴该抛物线开口向上，有最小值，当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小，对称轴是直线x＝2，
∵点A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）、C（3，y3）分别是抛物线y＝5（x﹣2）2+k的三个点，
∴y3＜y1＜y2，
故答案为y3＜y1＜y2．
【点睛】考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，可以判断 y1、y2、y3的大小关系，利用二次函数的性质解答．
考点2：二次函数y=a（x-h） +k的图像性质
典例2：已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴为 B．图象的顶点坐标为
C．函数的最大值是 D．函数的最小值是
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质进行判断即可．熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
【详解】解：，，
函数图象的开口向下，其图象的对称轴为直线，
函数图象的顶点坐标为，二次函数有最大值，最大值为1，
故选：B．
【变式1】对于抛物线，下列结论正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴为直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大
【答案】C
【分析】本题主要考查抛物线的图像和性质，熟练掌握抛物线的图像是解题的关键．根据抛物线的图像和性质依次进行判断即可．
【详解】解： ，
故开口向下，选项A错误；
对称轴为直线，选项B错误；
顶点坐标为，选项C正确；
当时，随的增大而减小，选项D错误．
故选C．
【变式2】抛物线上，当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y有最 值，是 ．
【答案】 大 4
【分析】直接根据二次函数的顶点坐标及其增减性即可得出结论．本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
【详解】解：抛物线的对称轴是直线，
顶点坐标是；
当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而增大，
当时，取最大值为4．
故答案为：，，，大，4．
【变式3】抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为，即可求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
考点3：二次函数图像的平移
典例3：将抛物线向下平移3个单位，再向右平移3个单位后的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数图像的平移规律：上加下减，左加右减，根据函数图像的平移规律求解即可．
【详解】解：向下平移3个单位后可得即，再向右平移3个单位后可得即，
故选：C．
【变式1】若将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（ ）
A．向左平移个单位，再向上平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位
C．向右平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向下平移个单位
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，先把配成顶点式，然后根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．
【详解】解：由抛物线
根据“上加下减，左加右减”规律要得到抛物线，
则即由抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，
故答案为：．
【变式2】将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后所得抛物线的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先把二次函数转化为顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的规律进行解答即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后所得抛物线的解析式为，
故答案为：．
【变式3】在平面直角坐标系中，抛物线可以看作是由抛物线经过怎样的平移得到的，平移过程为 ．
【答案】向右平移4个单位，再向上平移3个单位
【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解．
【详解】解：解：将抛物线先向右平移4个单位，再向上平移3个单位长度得到抛物线．
故答案为：向右平移4个单位，再向上平移3个单位
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
考点4：利用增减性求字母的值
典例4：在平面直角坐标系中，点都在二次函数的图象上．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数增减性运用，涉及二次函数图象与性质，由二次函数顶点式得到对称轴，根据即可得到点与对称轴距离大小，解不等式即可得到答案，掌握利用二次函数增减性比较自变量或函数值大小的方法是解决问题的关键．
【详解】解：二次函数的开口向上、对称轴为，
二次函数图象上的点到对称轴的距离越近值越小，
点都在二次函数的图像上，
当时，则，即，解得，
故选：D．
【变式1】若二次函数，在时，随的增大而减小，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，的值随值的增大而减小，由于时，的值随值的增大而减小，于是得到．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线开口向上，
当时，的值随值的增大而减小，
而时，的值随值的增大而减小，
，
故选：．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．
【变式2】若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，先确定抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质得当时，随的增大而减小，所以对称轴不能在直线的左边，则有，即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小，
又∵当时，随的增大而减小，
∴，
故答案为：．
【变式3】已知关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】将一般式化为顶点式，，根据二次函数的增减性求解．
【详解】解：；
抛物线对称轴为，开口向下，时，y随x的增大而减小，
∵时，y随x的增大而减小，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟悉配方法，二次函数的性质是解题的关键．
考点5：二次函数y=ax +bx+c化为顶点式
典例5：二次函数的顶点在第几象限（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，把二次函数化成顶点式，即可得出答案，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键．
【详解】解：，
∴二次函数的顶点坐标是，
∴二次函数的顶点在第四象限，
故选：D．
【变式1】下列关于抛物线判断中，错误的是（ ）
A．开口向上 B．顶点坐标
C．与轴的交点为 D．当时，随的增大而减小
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，当时，，
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为，与轴的交点为，对称轴为，
∴当时，随的增大而减小；
综上：只有选项D是错误的，
故选：D．
【变式2】二次函数的图象的开口向 ，顶点坐标为 ．
【答案】 上
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数各种表达式形式的转化是解题的关键．
先将一般式配方成顶点式，然后即可得出答案．
【详解】解：，
二次函数的图象的开口向上，
，
二次函数的图象的顶点坐标是，
故答案为：上，．
【变式3】将二次函数化为的形式，则 ， ．
【答案】 2 1
【分析】利用配方法将函数解析式化成顶点式即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为①2，②1．
【点睛】本题主要考查了将二次函数的解析式化成顶点式，掌握配方法是解题关键．
考点6：求二次函数的顶点与对称轴
典例6：二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是把二次函数的一般式化为顶点式并写出顶点坐标，熟记二次函数的顶点式与顶点坐标是解本题的关键．
先把二次函数通过配方转化为顶点式，再写出顶点坐标即可．
【详解】解：∵，
∴顶点坐标是：．
故选：B．
【变式1】拋物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】D
【分析】本题考查二次函数一般式中对称轴的求法．根据题意直接代入对称轴公式“直线”即可选出本题答案．
【详解】解:∵抛物线,
∴,
∴对称轴为直线,
故选:D．
【变式2】若抛物线的对称轴是y轴，则a的值是 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数（其中a、b、c是常数且）其对称轴为直线，据此求解即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是y轴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【变式3】二次函数的对称轴为 ，顶点坐标为 ；二次函数的对称轴为 ，顶点坐标为 ．
【答案】 直线 直线
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线（）的对称轴是直线，顶点坐标是是解题的关键．
根据抛物线（）的对称轴是直线，顶点坐标是求解作答即可．
【详解】解：的对称轴为直线，顶点坐标为，即；
同理，的对称轴为直线，顶点坐标为，
故答案为：直线，，直线，．
考点7：二次函数y=ax +bx+c图像性质
典例7：对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．当时，y有最大值
C．若点，都在抛物线上，则
D．经过第一、二、四象限
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的增减性，可判断A，B；再由二次函数的对称性，可判断C；求出抛物线的对称轴为直线，最低点为，与y轴交于正半轴，可判定D，即可求解．
【详解】解：∵，
∴当时，y随x的增大而减小，故A选项错误，不符合题意；
当时，y有最小值，故B选项错误，不符合题意；
∵点，都在抛物线上，，
∴，故C选项错误，不符合题意；
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，最低点为，
∵，且，
∴抛物线与y轴交于正半轴，
∴抛物线经过第一、二、四象限，故D选项正确，符合题意；
故选：D
【变式1】关于二次函数的性质说法正确的是（ ）
A．对称轴为 B．函数最小值为2
C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，函数的最小值为2；故A选项错误，B选项正确；
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；故C，D选项错误；
故选B．
【变式2】已知二次函数，当时，此时函数的最小值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据题意和二次函数的性质得到当时，y随x的增大而减小，进而求得当时，函数的最小值．
【详解】解：∵二次函数，
∴该函数的对称轴是直线，开口向上
∴当时，y随x的增大而减小
∴当时，
∴当时，y取得最小值，此时．
故答案为：3．
【变式3】在二次函数中，与的部分对应值如下表：
则下列结论：
①图像经过原点；②图像开口向下；③图像经过点；④当时，随着的增大而增大；⑤方程有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③⑤
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，进而根据解析式逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：由图表可以得出当或时，，时，，
解得：
，
，
图象经过原点，故①正确；
＞，
抛物线开口向上，故②错误；
把代入得，，
图象经过点（），故③正确；
抛物线的对称轴是，
＞时，随的增大而增大，＜时，随的增大而减小，故④错误；
抛物线与轴有两个交点（）、（）
有两个不相等的实数根，故⑤正确；
故答案为：①③⑤．
考点8：二次函数对称性的应用
典例8：已知二次函数的与的部分对应值如下表．则这条抛物线的对称轴是（ ）
… …
… …
A．直线 B．直线 C．直线 D．轴
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
根据当、时的函数值都是，结合二次函数的对称性求解即可，
【详解】解：∵当、时的函数值都是，
∴这个二次函数图象的对称轴是直线，即，
故选．
【变式1】已知，是抛物线上的两点，则正数（ ）
A．2 B．4 C．8 D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，根据函数图像上的点满足函数解析式列式求解即可得到答案；
【详解】解：∵，是抛物线上的两点，
∴，，
∴，，
∴，，
即：或，
解得：或，
∵取正数，
故：，
故选：C．
【变式2】如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为 ．

【答案】
【分析】根据抛物线的对称性，连接交对称轴于M，此时最短，利用待定系数法求得直线的解析式即可求得点M的坐标．
【详解】解：连接交抛物线的对称轴于M，则最短，

设直线的解析式为，
将，代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
∵抛物线经过、，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∴点M坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、最短路径问题，会利用抛物线的对称性解决最短路径问题是解答的关键．
【变式3】如图，抛物线与轴相交于点、与轴相交于点，点在该抛物线上，点的坐标为，则点的横坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意得出，从而得出抛物线的对称轴为直线，设点的坐标为，根据对称性得出，求解即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：在中，当时，，即，
点的坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
设点的坐标为，则，
解得：，
点的横坐标是，
故答案为：．
考点9：二次函数图像与系数的关系
典例9：二次函数的图象如图，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的式子是否正确，从而可以判断哪个选项符合题意．
本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
【详解】解：由图象可得，，，，∴，故①正确，符合题意；
图象与x轴两个交点，故，∴，故②正确，符合题意；
∵对称轴为直线，∴，∴，
∴，故③正确，符合题意；
当时，，故④正确，符合题意；
由抛物线对称性，当时，，故⑤错误，不符合题意．
故选：D．
【变式1】已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：
①；②；③；④；⑤，（的实数）
其中正确的结论有 填序号
【答案】
【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换的熟练运用．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为，能得到：，，，
∴，
∴，
∴①错误；
②当时，由图象知，
把代入解析式得：，
∴，
∴②错误；
③∵图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为，
∴，，，
∴，
∴
∴③正确；
④由①②知且，
∴，④正确；
⑤∵时，最大值，时，，
∵的实数，
，
∴成立．
∴⑤正确．
故答案为：③④⑤．
【变式2】如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论有 ．（填写代表正确结论的序号）．

【答案】②③④
【分析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线与轴交点位置确定①③，根据时判定②，由抛物线图象性质判定④．本题考查了二次函数的图象和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
【详解】解：①抛物线的对称轴在轴右侧，则，而，故，故错误；
②时，函数值小于0，则，故正确；
③与轴交于点和点，则对称轴，则，故，故正确；
④当时，图象位于对称轴右边，随的增大而减小．故正确；
综上所述，正确的为②③④．
故答案为：②③④．
【变式3】二次函数的图象如图所示，下列四个结论：
①；
②；
③；
④若方程有四个实数根，则这四个实数根的和为4．
其中正确结论是 ．（填写序号）
【答案】②③④
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质．由抛物线开口向下得到；由抛物线的对称轴为直线得到；由抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到，则；在时，，即，由，得到，，代入到，即可得出；根据二次函数的最值问题得到时，y有最大值，则，变形得到；根据图象的对称与翻折可得结论．
【详解】解：：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴，
∴，
所以①错误；
根据抛物线在时，，即，
∵，，
∴，即，
故②正确．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴时，y有最大值，
∴，
∴，
故③正确．
将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线有四个交点即可．
由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4．
故④正确
故答案为：②③④．
考点10：二次函数的最值
典例10：当时，二次函数的最小值为15，则的值为（ ）
A．或8 B．8 C．6 D．或6
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键．利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值，结合当时函数有最小值15，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：当时，有，
解得：，．
当时，函数有最小值15，
或，
或，
故选：A．
【变式1】已知，则函数（ ）
A．有最小值，但无最大值 B．有最小值，有最大值7
C．有最小值1，有最大值7 D．无最小值也无最大值
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先把解析式化为顶点式得到开口方向和对称轴，进而得到在对称轴右侧，y随x增大而增大，据此结合自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：由题意得，抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵，
∴在对称轴右侧，y随x增大而增大，
∴当时，当时，y有最小值1，当时，y有最大值，
故选：C．
【变式2】已知关于x的二次函数，该函数的最大值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，配方成顶点式，利用二次函数的图象和性质求解即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】
∵
∴抛物线开口向下
∴当时，抛物线有最大值5．
故答案为：5．
【变式3】已知二次函数，当时，函数的最大值为，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，将二次函数的解析式配方成顶点式，求出当的情况即可．
【详解】解：，
故该抛物线的对称轴为直线，
当时，抛物线开口向下，且时，函数的最大值为，
即时，，
代入，求得，
的值为，
故答案为：．
考点11：待定系数法求解析式——顶点式
典例11：若二次函数图像的顶点坐标为，且图像过点，则该二次函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查求二次函数解析式，由二次函数图像的顶点坐标为，设二次函数顶点式，将代入，再解方程即可得到答案，熟记二次函数图像与性质是解决问题的关键．
【详解】解：二次函数图像的顶点坐标为，
设二次函数顶点式，
图像过点，
，解得，
该二次函数的解析式是，
故选：C．
【变式1】若抛物线的顶点坐标是且经过点，则该抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设抛物线解析式为，将点代入，即可求解．
【详解】解：设抛物线解析式为，将点代入，得
解得：
∴解析式为，
故选：A．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
【变式2】一个二次函数的图象的顶点坐标是，与轴的一个交点是，则这个二次函数的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题目是一道求解二次函数解析式的问题，设二次函数解析式时，有三种表示方法：一般式，顶点式，交点式．知道顶点时，通常设成顶点式求解较简单．根据二次函数顶点坐标设出顶点形式，把代入求出值，即可确定出解析式．
【详解】解：∵二次函数的图象的顶点坐标是，
∴设二次函数的解析式为，
∵二次函数与轴的一个交点是，
∴，
解得：，
∴这个二次函数的解析式为：，
故答案为：
【变式3】已知某抛物线的顶点坐标为，且与y轴相交于点，这个抛物线所表示的二次函数的表达式是
【答案】
【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．根据二次函数顶点坐标设出顶点形式，把代入求出a的值，即可确定出解析式．
【详解】解：设抛物线解析式为，
把代入得：，即，
则抛物线解析式为：．
故答案为：．
考点12：待定系数法求解析式——一般式
典例12：有一二次函数a，已知其过，，其与的形状一致，那么该二次函数a的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法．
由与的形状一致，设该二次函数的表达式为，把，代入可得答案．
【详解】解：由与的形状一致，设该二次函数的表达式为，
把，代入得：
，
解得，
；
故选：B．
【变式1】一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（ ）
A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5
【答案】A
【分析】设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程组，解方程组确定a，b，c的值即可．
【详解】解：设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，
∴c＝﹣5①，
a﹣b+c＝﹣4②，
4a﹣2b+c＝5③，
解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，
所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5．
故选：A．
【点睛】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式．设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），通过解方程组确定a，b，c的值．
【变式2】已知抛物线与x轴交于点和且过点，抛物线的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了求二次函数的解析式，涉及交点式，其中，是抛物线与轴的交点的横坐标，据此作答即可．
【详解】解：依题意，设抛物线的解析式为
把代入，
得，
则
所以，
故答案为：
【变式3】已知一抛物线与轴交于点，，且经过点，则该抛物线的解析式为 ．
【答案】
【分析】设抛物线表达式为，然后将代入求解即可．
【详解】∵抛物线与轴交于点，，
设抛物线表达式为，
∴将代入得，，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式．
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