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微专题02 与旋转有关的综合问题通关专练
一、单选题
1．如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转30°到正方形，图中阴影部分几何图形的周长为（ ）

A．4 B． C． D．
【答案】A
【分析】设与交于点E．连接．根据易证，得出．由此可得阴影部分几何图形的周长等于正方形周长。
【详解】解：设与交于点E，连接．

在正方形中，，，
由旋转性质可得：
在与中，
，
∴（），
∴．
∴阴影部分的周长 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形、旋转的性质，直角三角形的判定及性质，图形的面积以及三角函数等知识，综合性较强，有一定难度．
2．如图，矩形绕点B旋转得到矩形，在旋转过程中，恰好过点C，过点G作平行交，于M，N．若，则图中阴影部分的面积的是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．
【答案】A
【分析】根据旋转的性质和矩形的性质结合勾股定理求出的长，再运用四边形、是平行四边形进行转换求出面积即可解答；
【详解】解：∵矩形绕点旋转得到矩形，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形,，，
∴四边形是平行四边形，
，
∴阴影部分的面积，
故选：A
【点睛】本题主要考查了勾股定理、旋转的性质、矩形的性质以及平行四边形的判定和性质等知识点，解答时需注意阴影部分面积的转换是解答该题的重要技巧，解题的关键是熟练运用这些知识点．
3．如图，在矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转至矩形，旋转角为，当点C，和三点共线时，的长为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】当点C，和三点共线，，先根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，通过证明，得出，设，则，在中，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：∵点C，和三点共线，
∴，
∵矩形绕点A逆时针旋转至矩形，
∴，，
在中，根据勾股定理可得：，
在中，根据勾股定理可得：，
在和中，
，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理可得：，
即，解得：，
故选：A．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确画出图形，根据勾股定理列出方程求解．
4．如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（　　）
A．2 B．2.5 C． D．
【答案】B
【分析】取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H，在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，的度数，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答．
【详解】解：取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H，
∴，
∵，，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
由旋转得：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，即当点E和点H重合时，有最小值，且最小值为2.5，
∴长的最小值是2.5，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
5．如图，已知在正方形内有一点，连接、、，将顺时针旋转得到，连接，点恰好在线段上，若，，则的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据旋转的性质可得，从而可得，进而可得，然后利用勾股定理求出，即可解答．
【详解】解：由旋转得：
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
6．如图，点是等边三角形内一点，若，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将绕点逆时针旋转得，连接，根据旋转的性质得，，则为等边三角形，得到，根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到的度数．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
如下图，将绕点逆时针旋转得，连接，则，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
7．如图，将绕点逆时针旋转一个角度得到，点的对应点恰好落在边上，且，，三点在同一条直线上，若，则旋转角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据绕点逆时针旋转一个角度得到，可得，在中，根据三角形内角和定理，可得，从而算出旋转角的度数．
【详解】∵绕点逆时针旋转得到，点的对应点是，
∴，，
∴，，，
∴，
∴．
∵，，三点在同一条直线上，
∴在中，，
即，
∴，
解得．
∴旋转角的度数是．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的旋转变换，熟练掌握三角形内角和定理和旋转的性质是解本题的关键．
8．如图，在正方形ABCD中，点O为对角线的交点，点P为正方形外一点，且满足∠BPC＝90°，连接PO．若PO＝4，则四边形OBPC的面积为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．16
【答案】B
【分析】先画出将△OCP顺时针旋转90°到△OBQ的位置的图形，再证Q、B、P在同一条直线上，再利用旋转的性质和正方形的性质，证△POQ是直角三角形，求出S△POQOP OQ4×4＝8，最后由S四边形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ求解．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OB，∠BOC＝90°，
∴将△OCP顺时针旋转90°，则到△OBQ的位置，
则△OCP≌△OBQ，
∵∠BPC＝90°，
∴∠OCP+∠OBP＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠OCP＝∠OBQ，
∴∠OBQ+∠OBP＝180°，
∴Q、B、P在同一条直线上，
∵PO＝4，△OCP≌△OBQ，
∴QO＝PO＝4，∠COP＝∠BOQ，
∴∠QOP＝∠BOC＝90°，
∴△POQ是直角三角形，
∵S△POQOP OQ4×4＝8，
∴S四边形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ＝8，
故选：B．
【点睛】本题属旋转综合题目，考查了旋转的性质，正方形的性质，利用旋转性质和数形结合思想得出S四边形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ是解题的关键．
9．如图，等边边长为，和的角平分线相交于点O，将绕点O逆时针旋转得到，交BC于点D，交AC于点E，则DE=（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】过O点作OH⊥BC于H，OB1与BC交于点M，过M作MF⊥BO于F，求出BO=4，证明△BOM和△DMB1均为等腰三角形，求出BM和MD的值，进而求出DC的长，最后证明△DEC为30°、60°、90°直角三角形，利用DE=CD即可求解．
【详解】解：过O点作OH⊥BC于H，OB1与BC交于点M，过M作MF⊥BO于F，如下图所示：
∵△ABC为等边三角形，且OB、OC分别为∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠1=∠ABC=30°，∠3=∠ACB=30°，
∴△OBC为等腰三角形，由“三线合一”可知：
BH=CH=BC=，
∴BO=BH=4，
∵绕点O逆时针旋转得到，
∴∠2=30°=∠1，
∴△OBM为等腰三角形，由“三线合一”可知：
BF=BO=2，
∴MO=BM=BF=，
∴MB1=OB1-OM=OB-OM=，
又由旋转可知∠B=∠B1=30°，且对顶角∠BMO=∠DMB1=120°，
∴∠MDB1=180°-∠B1-∠DMB1=180°-30°-120°=30°，
∴△MB1D为等腰三角形，
∴MD=MB1=，
∴CD=BC-MD-BM=，
∵对顶角∠EDC=∠MDB1=30°，且∠ACB=60°，
∴∠DEC=180°-∠EDC-∠ACB=90°，
∴△CDE为30°、60°、90°直角三角形，
∴DE=CD=，
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定及性质、直角三角形的性质及判定等，熟练掌握特殊三角形的性质及判定是解决本题的关键．
10．如图，点在边长为的正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点若，则的长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】连接，根据垂直平分，即可得出，设，则，，再根据中，，即可得到的长．
【详解】解：如图所示，连接，
由旋转可得，≌，
，，
又，
为的中点，
垂直平分，
，
设，则，，
，
，
中，，即，
解得，
的长为，
故选：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
二、填空题
11．如图，在等边三角形中，，，点E是线段上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则长的最小值为 ．
【答案】
【分析】取的中点K，连接、，根据等边三角形的性质，得到，，再结合旋转的性质，证明，有，故当最小时，最小，此时，由是的中位线，可得，从而长的最小值为．
【详解】解：如图，取的中点K，连接、，
是等边三角形，，，
，，
将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
当最小时，最小，此时，
，
，
是的中位线，
长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
12．如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转30°到正方形，图中的阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】设与的交点为，连接，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等，再根据旋转角求出，然后求出，再解直角三角形求出，然后根据阴影部分的面积正方形的面积四边形的面积，列式计算即可得解．
【详解】解：如图，设与的交点为，连接，
在和中，，
，
，
旋转角为，
，
，
，
阴影部分的面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出，从而求出是解题的关键，也是本题的难点．
13．如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形，点E在上，与交于点P．（1）与的关系是 ，（2）的长为 ．

【答案】 相等且垂直
【分析】（1）连接BD交AC于O，由菱形的性质得出，由直角三角形的性质求出，由直角三角形的性质得出 ，由旋转的性质得出，求出 ，证出，即可得出结论；
（2）由直角三角形的性质得出，即可得出结果．
【详解】解：（1）连接BD交AC于O，如图所示：

∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质得：，，
∴ ，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴EF与DC的关系是相等且垂直，
故答案为：相等且垂直；
（2）∴ ， ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键．
14．如图，中，，将绕点逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为 ．

【答案】/75度
【分析】根据旋转得出，，得出等腰三角形，利用三角形的内角和计算即可．
【详解】解：∵中，，，，
∴，
∵绕点C逆时针旋转到的位置，
∴，，
∴是等腰三角形，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是直角三角形和旋转，解题的关键是旋转前后的线段长度不变，旋转的角度相等．
15．将一副直角三角板按如图1所示位置摆放，其中，，．若将三角板绕点A按每秒的速度顺时针旋转，如图2，在此过程中，设旋转时间为t秒，当线段与三角板的一条边平行时， ．

【答案】秒或秒或秒
【分析】由线段与三角板的一条边平行可知有三种情况：（1）当时，点E落在线段上，由此可求出旋转角，进而可求出t的值；（2）当时，则，由此可求出旋转角，进而可求出t的值；（3）当，则，由此可求出旋转角，进而可求出t的值．
【详解】解：设旋转角为α，则旋转的时间（秒），
在顺时针旋转的过程中，线段与三角板的一条边平行，
有以下三种情况：
（1）当时，
，
∴点E落在线段上时，
旋转角，
（秒）；
（2）当时，则，
，
，
旋转角，
（秒）；
（3）当时，则，
，
旋转角，
（秒）；
综上所述：秒或秒或秒．
故答案为：秒或秒或秒．
【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换与性质，平行线的判定，解答此题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，难点是利用分类讨论的思想进行分类讨论．
16．如图，在和中，，，，连接，，点为的中点，连接．将绕点在平面内旋转．当时，的长为 ．

【答案】或/或
【分析】首先利用勾股定理可得， 然后分两种情况讨论：当点运动到线段上和点运动到线段的延长线上时，利用勾股定理求得的长，然后结合“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可获得答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
分两种情况讨论：
①如下图，当点运动到线段上时，

∵
∴，
此时，
∴，
∵点为的中点，
∴；
②如下图，当点运动到线段的延长线上时，

此时，，
∴，
∵点为的中点，
∴．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识，利用分类讨论的思想分析问题是解题关键．
17．一副三角板按图1放置，是边的中点，．如图2，将绕点顺时针旋转，与相交于点，则的长是 ．
【答案】/
【分析】交于点N，由题意得，，，，，，根据锐角三角函数即可得，，根据旋转的性质得是直角三角形，根据直角三角形的性质得，即，，根据角之间的关系得是等腰直角三角形，即，问题随之得解．
【详解】解：如图所示，交于点N，
由题意得，，，，，，
根据是边的中点，可得：
∵绕点O顺时针旋转60°，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴ ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形的性质以及理解三角板中自带的角度．
18．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数为 ．
【答案】/45度
【分析】根据等边三角形的性质，可得，再由旋转的性质，可得，从而得到，即可证明，由全等三角形的性质可知；再证明为等边三角形，可得，然后利用两角之差即可求解．
【详解】解：连接，如下图，
∵是等边三角形，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段，
∴，
∴，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质以及图形的旋转等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
19．如图，在中，，点，在线段上，且，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接，．给出以下结论：
①；
②；
③；
④．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【分析】根据旋转的性质即可以及即可判断①；②中的两个三角形只有一条边和一个角相等，不能判定全等；根据全等的性质以及勾股定理即可判断③；根据等腰直角三角形的性质即可判断④．
【详解】解：∵为直角三角形，，
∵，
∵线段绕点顺时针旋转后得到线段，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
故①正确；
在和中，只有，，两个条件不能判定全等，故②不正确；
∵，
∴
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
∵为直角三角形，，
∴，即，
整理得：，
∵，
∴，
故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等的性质和判定，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应边相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，全等三角形对应边相等，对应角相等．
20．如图，中，，，O为中点，将绕着点O逆时针旋转至，（1）当时， ；（2）当恰为轴对称图形时，的值为 ．
【答案】 40° 50°或65°或80°
【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边中线的性质得到，然后结合旋转的性质得到，然后根据外角的性质得到，进而求解即可；
（2）如图1，连接，根据直角三角形的判定和性质得到，当时，得到，推出垂直平分，求得，于是得到，当时，如图2，连接并延长交于H，根据线段垂直平分线的性质得到垂直平分，求得，根据等腰三角形的性质得到，当时，如图3，连接并延长交于G，连接，推出垂直平分，得到，根据三角形的内角和得到．
【详解】（1）连接，
∵中，O为中点
∴
∵将绕着点O逆时针旋转至
∴
∴
∵
∴
∴；
（2）∵恰为轴对称图形，
∴是等腰三角形，
如图1，连接，
∵O为斜边中点，，
∴，
∴，
当时，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴；
当时，如图2，连接并延长交于H，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图3，
连接并延长交于G，连接，
∵，O为斜边中点，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
综上所述：当恰为轴对称图形时，θ的值为50°或65°或80°，
故答案为：50°或65°或80°．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识的综合运用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键．
三、解答题
21．如图，在四边形中，，连接AC，将绕点B逆时针旋转60°，点C与点D重合，得到，若，
(1)求证：是等边三角形；
(2)求线段的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)线段AC的长度是
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和勾股定理等知识，解题的关键是利用旋转的性质证明．
（1）由旋转的性质得，，，根据等边三角形的判定定理即可求证．
（2）由等边三角形的性质可证，利用勾股定理求出即可．
【详解】（1） 是由旋转得到的，
，
，，，
是等边三角形
（2） 是等边三角形，
，
，
，
在中，，
22．如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，，，
(1)依题意补全图形
(2)求证：；
(3)若，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质及全等三角形的判定与性质．
（1）依据题意画图即可；
（2）由等边三角形的性质知，，由旋转的性质知，，从而得，再证可得答案；
（3）由，知为等边三角形，即，继而由，得到，再利用即可得解．
【详解】（1）补全图形如下：
（2）证明：是等边三角形，
，．
线段绕点顺时针旋转，得到线段，
，．
．
．
在和中，
，
．
（3）解：如图，
，，
为等边三角形．
，
，
．
．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将线段CA绕点C逆时针旋转60°，得到线段CD，连接AD，BD．
（1）依题意补全图形；
（2）若BC=1，求线段BD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据线段旋转的方法，得出，然后连接AD，BD即可得；
（2）根据角的直角三角形的性质和勾股定理可得，由旋转的性质可得是等边三角形，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）根据线段旋转方法，，如图所示即为所求；

（2）∵ ，，，
∴ ，
∴ ，
∵ 线段CA绕点C逆时针旋转60°得到线段CD，
∴且，
∴是等边三角形，
∴ ，，
∴ ，
∴ 在中，
．
【点睛】题目主要考查旋转图形的作法及性质，勾股定理，角的直角三角形的性质，等边三角形的性质等，理解题意，作出图形，综合运用各个定理性质是解题关键．
24．如图，在中，，把绕点C逆时针旋转度得到，请仅用没有刻度的直尺按要求完成下列作图．
（1）在图1中作出的中线；
（2）在图2中作出的中线．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分，由AB∥A＇C，可证四边形ABCA＇是平行四边形，即可得出中线BD的结论；
（2）连接AA＇＇交B＇C于点E，作ED＇⊥A＇C于D＇，可作出中线利用平行四边形判定和性质，可证△CAE≌△A＇B＇E，再由等腰三角形三线合一证明结论．
【详解】解（1）如图1所示，即为所求作．
连接A＇B交AC于点D，BD即为中线；
由题意有，
则．
∴AB∥A＇C．
∵，，
∴四边形ABCA＇是平行四边形，由平行四边形对角线互相平分得：CD=AD．
故BD为的中线；
（2）如图2所示，即为所作
连接AA＇交B＇C于点E，作ED＇⊥A＇C于D＇，连接，即为所求作的中线；
∴四边形ABCA＇为平行四边形，则，可证△CAE≌△A＇B＇E．
∴CE=A＇E．
∵ED＇⊥A＇C，
∴D为A＇C的中点．
故为的中线．
【点睛】本题考查了尺规作图，解答此题的关键是掌握旋转性质并结合平行四边形判定与性质等，并会综合运用所学知识解决问题．
25．如图，在平面直角坐标系中，点，点在第一象限，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接．
（Ⅰ）求的度数；
（Ⅱ）求出点的坐标．

【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据题意易得，然后根据可求解；
（2）过点作垂直于x轴，垂足为C，由题意易得，，进而可求，然后根据坐标进行求解即可．
【详解】解：（1）∵ ≌，
∴．
又，
∴ ．
（2）过点作垂直于x轴，垂足为C，如图所示：

∵ ，，
∴ ．
∴ ．
在中，，
．
∴ ．
【点睛】本题主要考查旋转的性质及一次函数与几何的综合，熟练掌握旋转的性质及一次函数的性质是解题的关键．
26．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．
（1）求证：AE＝BD；
（2）若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝4．求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】(1)根据AC=BC、∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD、CE=CD证△ACE≌△BCD即可；
(2)连接DE，可得△DCE是等边三角形，即∠CDE=60°、DC=DE，继而在Rt△ADE中，由勾股定理可得DE的长，即可求得CD．
【详解】(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
由旋转的性质可得：
CE=CD，∠DCE=60°，
∴∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD，
即∠ACE=∠BCD．
在△ACE和△BCD中，
∵，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴AE=BD；
(2)连接DE．
∵CD=CE，∠DCE=60°，
∴△DCE是等边三角形．
∴∠CDE=60°，DC=DE．
∵∠ADC=30°，
∴∠ADC+∠CDE=90°．
∵AD=3，BD=4，
∴AE=BD=4．
在Rt△ADE中，由勾股定理，
可得．
∴DC=DE=．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用，连接DE发现等边三角形与直角三角形是解题的关键．
27．如图1，点O为直线上一点，将一副三角板摆放在直线同侧，将角的顶点与角的顶点重合放在点O处，三角板的顶点A与三角板的顶点D在直线上，三角板保持不动，三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为．
(1)如图2，当平分时，求t的值；
(2)当时，画出相应的图形，并求t的值；
(3)三角板在旋转过程中，若平分，平分，直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题考查了角平分线的性质及角的和差关系，分情况讨论是解题关键；
（1）根据平分，得出，然后表示出，在依据每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为，即可得出方程，解答即可；
（2）根据题意可分两种种情况讨论：①当过，但并未过，②超过延长线且未过延长线时，根据角平分线的性质和角的和差关系，表示即可解答；
（3）分三种情况讨论①未超过时，②超过，但未超过时，③超过时，分别表示出，再根据平分，平分，根据角的和差关系即可求出，最后得出结论，
【详解】（1） 平分，
，
绕点O以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为，
，
（2）①当过，但并未过，如图
，
，
，，
，
，
②超过延长线且未过延长线时，如图
，
，
，
，
，
即：，
，
综上所述：t的值为或
（3）①未超过时，如图
，
，
，
平分，平分，
，
，
②超过，但未超过时，如图
，，
，
，
平分，平分，
，
，
③超过时，
，，
，
，
平分，平分，
，
，
，
综上所述：的度数为
28．【综合实践】
中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形．
【操作体验】
（1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形；
【深入探究】
（2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
（3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值．
【答案】（1）见详解（2），理由见详解，（3）
【分析】（1）按要求作图即可
（2）根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可；
（3）如图4中，先由旋转的性质得出，则，，，，，再证明，然后在中，由勾股定理求出的长度，即为的最小值；
【详解】（1）图即为所作，
（2）数量关系：，
理由如下：逆时针旋转
由题意得：如图，
，
，即，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
；
（3）解：如图4中，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，，
，
，，，，，
是等边三角形，
，
，
当点，点，点，点共线时，有最小值，
，
，
，
，
故答案为．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质，利用旋转的性质构造全等三角形是本题的关键．
29．如图，点E是正方形内一点，将绕点A顺时针旋转至，点E的对应点为点F．
(1)若，，求的度数．
(2)连接，若，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）证明即可求解；
（2）先证明，再利用勾股定理求解即可
【详解】（1）解∶，
，
绕点顺时针旋转至，
，
；
（2）绕点顺时针旋转至，点的对应点为点，
旋转至的位置，旋转角为，
，
．
【点睛】本题考查旋转的性质、正方形的性质、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题。
.
30．如图，点F为正方形对角线的中点，将以点F为直角顶点的直角绕点F旋转（的边始终在正方形外），则在旋转过程中．与正方形重叠部分（阴影部分）的面积是否发生变化，并说明理由．
【答案】重叠部分（阴影部分）的面积不发生变化，理由见解析．
【分析】如图，连接，由点F是的中点，然后结合正方形的性质得到、、，进而结合得到，从而得证，再由全等三角形的性质得到重叠部分四边形的面积与的面积相等，最后由正方形的边长求得结果．
【详解】解：重叠部分（阴影部分）的面积不发生变化，理由如下：
如图，连接，
∵点F是的中点，四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（ASA），
∴，
∴，
设正方形的边长为a，
∴，
∴，
∴，
∴重叠部分四边形的面积为即是重叠部分（阴影部分）的面积不发生变化．
【点睛】此题考查了正方形的性质、三角形全等的性质、三角形面积、解题的关键是熟知正方形的性质、三角形全等的性质、三角形面积的知识并会应用．
31．将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形．

(1)如图，当点E在上时．
①若，则_____________°；
②求证：；
(2)探究：当为何值时，？请你画出图形，并说明理由．
【答案】(1)①；②见解析
(2)或，见解析
【分析】本题考查了矩形的判定及性质，线段垂直平分线的判定定理，等边三角形的判定及性质．
（1）①由矩形的性质可证；②由矩形的性质及旋转的性质可证（），从而可得，即可求证；
（2）由线段垂直平分线的判定定理可得点G在的垂直平分线上，①当点G在右侧时，取的中点H，连接交于M，可证是等边三角形，即可求解；②当点G在左侧时， 同理可得是等边三角形，即可求解；
掌握性质，并能根据G点的不同位置进行分类讨论是解题的关键．
【详解】（1）解：①四边形是矩形，
，
由旋转得：，
，
，
，
故答案：；
②由旋转可得：
，
，
，
，
又 ，
，
，
在和中
，
（），
，
又 ，
．
（2）解：如图，当时，
则点G在的垂直平分线上，
①当点G在右侧时，取的中点H，连接交于M，

，
，
四边形是矩形，
，
垂直平分，
，
是等边三角形，
，
旋转角；
②如图，当点G在左侧时，

同理可得是等边三角形，
，
旋转角．
32．如图，点M、N分别在正方形的边上，且，把顺时针旋转一定角度后得到．
(1)填空：绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到；
(2)求证：；
(3)若，，求正方形的边长．
【答案】(1)A，90
(2)证明见解析
(3)正方形的边长为
【分析】（1）根据旋转定义结合正方形性质得出旋转中心和旋转角度即可；
（2）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；
（2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】（1）解：在正方形中，，
又顺时针旋转一定角度后得到，
绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到,
故答案为：A，90；
（2）证明：由旋转的性质得：，
四边形是正方形，
，即，
，即，
，
，
在和中，
，
；
（3）解：设正方形的边长为，则，
，
，
由旋转的性质得：，
，
由（2）已证：，
，
又四边形是正方形，
，
则在中，，
即，
解得或（不符题意，舍去）
故正方形的边长为．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键．
33．如图，和都是等腰直角三角形，．
(1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
(2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长．
【答案】(1)，
(2)（1）中的结论成立，理由见解析
(3)或
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，得出，再用，即可得出结论；
（2）先由旋转得出，进而判断出，得出，进而得出，即可得出结论；
（3）分两种情况，①当点E在线段上时，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，即可得出结论；
②当点E在线段的延长线上时，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，
，
，
∵，
，
故答案为：；
（2）解：（1）中结论仍然成立，
理由：
由旋转知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，
；
②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，
；
综上，的长为或．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
34．【探究与证明】
【问题情境】如图1，点E为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点A逆时针方向旋转度（）点B、E的对应点分别为点、．

【问题解决】
(1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长；
(2)若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F，
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②连接，求的长．
【答案】(1)
(2)①四边形是正方形，理由见解析；②
【分析】（1）由勾股定理得，再由正方形的性质得，然后由旋转的性质得，即可求解；
（2）①由旋转的性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论；
②过点作于点，证，得，，则，再由勾股定理求解即可；
【详解】（1），，，
，
四边形是正方形，
，，
，
由旋转的性质得：，
；
（2）①四边形是正方形，理由如下：
由旋转的性质得：，，，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形；
②过点作于点，如图3所示：
则，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
．

【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明是解题的关键，属于中考常考题型．
35．【动手操作】某班数学课外兴趣小组将直角三角板（，）的直角顶点O放置在另一块直角三角板（，）的斜边的中点处，并将三角板绕点O任意旋转．

(1)【发现结论】当三角板的两边分别与另一块三角板的边，交于点时：
①如图1，当时，与的数量关系为______；
②小组成员发现当与不垂直时（如图2所示），与之间仍然存在①中数量关系，请你说明理由；
③小组成员嘉淇认为在旋转过程中，四边形的面积与的面积之间始终保持一种不变的关系，他们之间的关系是______，并说明理由；
(2)【探究延伸】如图3，连接，直角三角板在绕点O旋转一周的过程中，若，，直接写出线段长的最小值和最大值．
【答案】(1)①②理由见解析③，理由见解析
(2)长的最小值是，最大值是
【分析】（1）①连接，由已知可证四边形是正方形，即可得；②连接，证明，即得；③由，知，故，四边形的面积始终保持不变；
（2）由，，，，，，求出，，当点，，在一条直线上，且点在点和点之间时，线段长的最小，此时线段长的最小值为；当点，，在一条直线上，且点，在点和点之间时，线段长的最大，此时线段长的最大值为．
【详解】（1）解：①，理由如下：
连接，如图：

，
四边形是矩形，
，，为中点，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
故答案为：；
②，理由如下：
连接，如图：

，，为中点，
，，，
，
，
在和中，
，
，
；
③，理由如下：
，
，
，
不变，
四边形的面积始终保持不变，即，
故答案为：；
（2）如图：

，，，，，，
，，
在中，，
当点，，在一条直线上，且点在点和点之间时，线段长的最小，如图：

此时线段长的最小值为；
当点，，在一条直线上，且点，在点和点之间时，线段长的最大，如图：

此时线段长的最大值为，
答：长的最小值是，最大值是．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
36．如图，和均为等腰直角三角形，，，．现将绕点B旋转．
(1)如图1，若A、M、N三点共线．
①若，，求．
②若，求点C到直线的距离；
(2)如图2，连接、，点H为线段的中点，连接．求证：．
【答案】(1)①；②
(2)见解析
【分析】（1）①先证，然后证得为直角三角形，根据勾股定理即可求得；②延长，过点作垂线，交延长线于点，证得为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求得；
（2）设交于点，延长到点，使，连接，先证，再证即可．
【详解】（1）解：① ，
，
在与中，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，，
．
②如图，延长，过点作垂线，交延长线于点，
由①可得：,，
为等腰直角三角形，
，
即：，
解得：．
（2）解：如图，设交于点，延长到点，使，连接，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了图形的旋转、全等三角形的性质与判定、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识点，辅助线的准确添加是解题关键．
37．如图乙，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，点P为射线，的交点．
(1)如图甲，将绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接、，求证：；
(2)若，，把绕点A旋转：
①当时，求的长；
②若M为线段中点，直接写出旋转过程中线段长的最大值．
【答案】(1)见解析；
(2)①或；②．
【分析】（1）求出，证明，可得结论；
（2）①分两种情形，分别画出图形，证明，利用勾股定理和面积法求解，可得答案；②连接，利用直角三角形斜边中线的性质求出，根据可得答案．
【详解】（1）证明：如图甲，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：①当点E在的延长线上时，如图1，
由（1）可知，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
当点E在上时，如图2，
同法可求，
∵，
∴，
综上所述，满足条件的的值为或；
②如图3中，连接，
∵，M为线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，二次根式的运算等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
38．如图，在三角形中，，，点为内一点，连接，，，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，．
(1)用等式表示与的数量关系，并证明；
(2)当时，
①直接写出的度数为________；
②若为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明．
【答案】(1)，证明见解析
(2)①，②，证明见解析
【分析】（1）通过证明，即可得出结论；
（2）①根据三角形的内角和得出，，即可得出，再根据，即可得出结论；②延长至点Q，使，连接，先证明，得出，，再证明，得出，再根据等腰直角三角形边之间的关系，即可进行解答．
【详解】（1）解：，证明过程如下：
∵绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）①在中∵，
∴，
在中∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即．
②连接，延长至点Q，使，连接，
∵点M为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
由（1）可得，，
∴，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，整理得：．
【点睛】本题主要考查了旋转的综合应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和性质，三角形的内角和，等腰直角三角形的性质．
39．综合与实践
如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF，裁成一个边长为4的正方形ABCD和一个长为4、宽为2的长方形CEFD如图2．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至，旋转角为α．
(1)当点恰好落在EF边上时，求旋转角α（0°＜α＜90）的值；
(2)如图3，G为BC中点，且0°＜α＜90°，求证：；
(3)小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，与存在两次全等，请你帮助小军直接写出当与全等时，旋转角α的值．
【答案】(1)30°
(2)见解析
(3)135°；315°
【分析】（1）根据旋转的性质得，在Rt△中，，，则，然后根据平行线的性质即可得到旋转角α的值；
（2）由为中点可得，根据旋转的性质得，，则，然后根据“SAS”，可判断，则；
（3）根据正方形的性质得，而，则为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当与为钝角三角形时，可计算出，当与为锐角三角形时，可计算出．
【详解】（1）解：∵长方形CEFD绕点顺时针旋转至，
∴，
在Rt△中，，，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵为中点，
∴，
∴，
∵长方形CEFD绕点顺时针旋转至，
∴，，
∴，
在中，
，
∴（SAS），
∴；
（3）解：∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴为腰相等的两等腰三角形，
当时， ，
当与为钝角三角形时，
则，
当与为锐角三角形时，
，
则，
综上旋转角α的值为135°或315°．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，正方形和矩形的性质，三角形全等的判定与性质等知识，解题关键是掌握旋转前后图形的对应关系．
40．（1）如图1，在四边形中，，点E是边上一点，，，连接、．判断的形状，并说明理由；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，点C是x轴上的动点，线段绕着点C按顺时针方向旋转90°至线段，连接、，
①求B点的运动轨迹解析式
②的最小值是 　 　．
【答案】（1）见详解
（2）①；②
【分析】（1）根据已知条件证得，即可证得为等腰直角三角形；
（2）①根据（1）可知，设B点坐标为，C点坐标为，可得，，即点B的运动轨迹解析式为：；
②作点O关于直线的对称点，连接，交直线与点，此时A、、三点共线时，值最小，求得坐标为，根据勾股定理即可求得最小值．
【详解】（1）为等腰直角三角形，理由如下，
在与中，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（2）①作轴于点D，如图所示，
由（1）得，，
∴，，
设B点坐标为，C点坐标为，
∴，，
∴，
∴点B的运动轨迹解析式为：；
②如图所示，作点O关于直线y=x-1的对称点，连接，交直线与点，
此时，,
即A、、三点共线时，值最小，
∵直线垂直平分，
∴，
∴坐标为，
∴，
即：的最小值为．
【点睛】本题主要考查的是一次函数与全等三角形的综合，主要是数量掌握“一线三垂直”模型以及“将军饮马”模型．
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微专题02 与旋转有关的综合问题通关专练
一、单选题
1．如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转30°到正方形，图中阴影部分几何图形的周长为（ ）

A．4 B． C． D．
2．如图，矩形绕点B旋转得到矩形，在旋转过程中，恰好过点C，过点G作平行交，于M，N．若，则图中阴影部分的面积的是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．
3．如图，在矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转至矩形，旋转角为，当点C，和三点共线时，的长为（ ）．

A． B． C． D．
4．如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（　　）
A．2 B．2.5 C． D．
5．如图，已知在正方形内有一点，连接、、，将顺时针旋转得到，连接，点恰好在线段上，若，，则的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
6．如图，点是等边三角形内一点，若，，，则（　　）
A． B． C． D．
7．如图，将绕点逆时针旋转一个角度得到，点的对应点恰好落在边上，且，，三点在同一条直线上，若，则旋转角的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方形ABCD中，点O为对角线的交点，点P为正方形外一点，且满足∠BPC＝90°，连接PO．若PO＝4，则四边形OBPC的面积为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．16
9．如图，等边边长为，和的角平分线相交于点O，将绕点O逆时针旋转得到，交BC于点D，交AC于点E，则DE=（ ）
A．2 B． C． D．
10．如图，点在边长为的正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点若，则的长为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．如图，在等边三角形中，，，点E是线段上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则长的最小值为 ．
12．如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转30°到正方形，图中的阴影部分的面积为 ．
13．如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形，点E在上，与交于点P．（1）与的关系是 ，（2）的长为 ．

14．如图，中，，将绕点逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为 ．

15．将一副直角三角板按如图1所示位置摆放，其中，，．若将三角板绕点A按每秒的速度顺时针旋转，如图2，在此过程中，设旋转时间为t秒，当线段与三角板的一条边平行时， ．

16．如图，在和中，，，，连接，，点为的中点，连接．将绕点在平面内旋转．当时，的长为 ．

17．一副三角板按图1放置，是边的中点，．如图2，将绕点顺时针旋转，与相交于点，则的长是 ．
18．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数为 ．
19．如图，在中，，点，在线段上，且，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接，．给出以下结论：
①；
②；
③；
④．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
20．如图，中，，，O为中点，将绕着点O逆时针旋转至，（1）当时， ；（2）当恰为轴对称图形时，的值为 ．
三、解答题
21．如图，在四边形中，，连接AC，将绕点B逆时针旋转60°，点C与点D重合，得到，若，
(1)求证：是等边三角形；
(2)求线段的长度．
22．如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，，，
(1)依题意补全图形
(2)求证：；
(3)若，求的度数．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将线段CA绕点C逆时针旋转60°，得到线段CD，连接AD，BD．
（1）依题意补全图形；
（2）若BC=1，求线段BD的长．
24．如图，在中，，把绕点C逆时针旋转度得到，请仅用没有刻度的直尺按要求完成下列作图．
（1）在图1中作出的中线；
（2）在图2中作出的中线．
25．如图，在平面直角坐标系中，点，点在第一象限，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接．
（Ⅰ）求的度数；
（Ⅱ）求出点的坐标．

26．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．
（1）求证：AE＝BD；
（2）若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝4．求CD的长．
27．如图1，点O为直线上一点，将一副三角板摆放在直线同侧，将角的顶点与角的顶点重合放在点O处，三角板的顶点A与三角板的顶点D在直线上，三角板保持不动，三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为．
(1)如图2，当平分时，求t的值；
(2)当时，画出相应的图形，并求t的值；
(3)三角板在旋转过程中，若平分，平分，直接写出的度数．
28．【综合实践】
中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形．
【操作体验】
（1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形；
【深入探究】
（2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
（3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值．
29．如图，点E是正方形内一点，将绕点A顺时针旋转至，点E的对应点为点F．
(1)若，，求的度数．
(2)连接，若，求线段的长．
30．如图，点F为正方形对角线的中点，将以点F为直角顶点的直角绕点F旋转（的边始终在正方形外），则在旋转过程中．与正方形重叠部分（阴影部分）的面积是否发生变化，并说明理由．
31．将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形．

(1)如图，当点E在上时．
①若，则_____________°；
②求证：；
(2)探究：当为何值时，？请你画出图形，并说明理由．
32．如图，点M、N分别在正方形的边上，且，把顺时针旋转一定角度后得到．
(1)填空：绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到；
(2)求证：；
(3)若，，求正方形的边长．
33．如图，和都是等腰直角三角形，．
(1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
(2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长．
34．【探究与证明】
【问题情境】如图1，点E为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点A逆时针方向旋转度（）点B、E的对应点分别为点、．

【问题解决】
(1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长；
(2)若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F，
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②连接，求的长．
35．【动手操作】某班数学课外兴趣小组将直角三角板（，）的直角顶点O放置在另一块直角三角板（，）的斜边的中点处，并将三角板绕点O任意旋转．

(1)【发现结论】当三角板的两边分别与另一块三角板的边，交于点时：
①如图1，当时，与的数量关系为______；
②小组成员发现当与不垂直时（如图2所示），与之间仍然存在①中数量关系，请你说明理由；
③小组成员嘉淇认为在旋转过程中，四边形的面积与的面积之间始终保持一种不变的关系，他们之间的关系是______，并说明理由；
(2)【探究延伸】如图3，连接，直角三角板在绕点O旋转一周的过程中，若，，直接写出线段长的最小值和最大值．
36．如图，和均为等腰直角三角形，，，．现将绕点B旋转．
(1)如图1，若A、M、N三点共线．
①若，，求．
②若，求点C到直线的距离；
(2)如图2，连接、，点H为线段的中点，连接．求证：．
37．如图乙，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，点P为射线，的交点．
(1)如图甲，将绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接、，求证：；
(2)若，，把绕点A旋转：
①当时，求的长；
②若M为线段中点，直接写出旋转过程中线段长的最大值．
38．如图，在三角形中，，，点为内一点，连接，，，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，．
(1)用等式表示与的数量关系，并证明；
(2)当时，
①直接写出的度数为________；
②若为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明．
39．综合与实践
如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF，裁成一个边长为4的正方形ABCD和一个长为4、宽为2的长方形CEFD如图2．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至，旋转角为α．
(1)当点恰好落在EF边上时，求旋转角α（0°＜α＜90）的值；
(2)如图3，G为BC中点，且0°＜α＜90°，求证：；
(3)小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，与存在两次全等，请你帮助小军直接写出当与全等时，旋转角α的值．
40．（1）如图1，在四边形中，，点E是边上一点，，，连接、．判断的形状，并说明理由；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，点C是x轴上的动点，线段绕着点C按顺时针方向旋转90°至线段，连接、，
①求B点的运动轨迹解析式
②的最小值是 　 　．
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