资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题04 点、直线与圆的位置关系
考点类型
知识串讲
（一）点与圆的位置关系
位置关系 图形 定义 性质及判定
点在圆外 点在圆的外部 点在的外部.
点在圆上 点在圆周上 点在的圆周上.
点在圆内 点在圆的内部 点在的内部.
（二）确定圆的条件
若三点不共线时，圆心是线段与的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．
三点定圆的画法：
1）连接线段AB,BC。
2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为O，此时OA=OB=OC,于是点O为圆心，以OA为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是一个。
定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
（三）三角形的外接圆
1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
2）三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
3）直角三角形外接圆的圆心在直角三角形斜边的中点
（四）直线与圆的位置关系
位置关系 图形 定义 性质及判定
相离 直线与圆没有公共点 d＞r 直线与相离
相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点 d＝r 直线与相切
相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线 d＜r 直线与相交
考点训练
考点1：点与圆的位置关系
典例1：如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（　　）
A．点，均在内 B．点，均在外
C．点在内，点在外 D．以上选项都不正确
【变式1】如图，在中，，点D在边上，且，连接．以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内，则r的值可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2】如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，M为的中点，连接．若的半径为2，则长的最大值是 ．
【变式3】如图，中，，，，于点，以点为圆心，5为半径作，则点在 ．（填“外”“内”或“上”）．
考点2：确定圆的条件
典例2：下列语句：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）三角形的外心到三角形各边的距离相等；（4）同弧或等弧所对的圆周角相等．其中正确的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．都不能
【变式2】已知平面直角坐标系中的三个点分别为，则A、B、C这三个点 确定一个圆（填“可以”或“不可以”）．
【变式3】如图，点A，B，C均在的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 ．
考点3：三角形的外接圆与外心
典例3：小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
【变式1】如图，是的外接圆，连接、，若，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C的度数为 °．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点为，点为，点为．用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ．
考点4：特殊三角形的外接圆——求半径
典例4：如图，是等边三角形的外接圆，若的半径为r，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】已知，如图，在中，，，，那么这个三角形的外接圆直径是（ ）

A．4 B．5 C．8 D．10
【变式2】一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ．
【变式3】如图，在中，为的外接圆，如果，那么的半径为 ．
考点5：反证法
典例5：如图，在等腰三角形中，，是底边上的高，请你利用反证法证明是一个锐角．
【变式1】阅读下列文字，回答问题．
题目：在中，，若，所以．
证明：假设，
，，
，
，这与假设矛盾．
．
问题1：上面的证明方法用的是______．
问题2：上面的证明有错误，请予以纠正．
【变式2】用反证法证明：
(1)已知：，求证：a必为负数．
(2)求证：形如的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和．
【变式3】用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
已知：，，是的三个内角．
求证：，，中不能有两个角是直角．
考点6：直线与圆的位置关系
典例6：在平面直角坐标系中，过点的直线与以为圆心、4为半径的圆的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能
【变式1】如图，，为上一点，于点，且，以点为圆心，半径为的圆与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．以上三种情况均有可能
【变式2】如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ．
【变式3】已知点，若以点为圆心，3个单位长度为半径作圆，则与轴 ，与轴 ．
考点7：直线与圆的位置关系——求半径
典例7：已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作，
(1)当半径为何值时，与直线相切；
(2)当半径为何值时，与直线相切；
(3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离．
【变式1】已知的斜边，直角边，以点为圆心作．
(1)当半径为________时，直线与相切；
(2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________；
(3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________．
【变式2】已知的斜边，直角边，以点为圆心作．
(1)当半径为 　　时，直线与相切；
(2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为______________；
(3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为________________．
【变式3】如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．

(1)求与直线相切时点的坐标．
(2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围．
考点8：直线与圆的位置关系——求距离
典例8：如图，的半径是5，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使．
（1）点到直线距离的最大值为　　　　；
（2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为　　　　．
【变式1】已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；
（2）如图②，若直线CD是⊙O的切线，求证：D为AP的中点．
【变式2】如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，求圆心的坐标.

【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10cm，P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t秒．
（1）当t=2.5s时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由．
（2）已知⊙O为Rt△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题04 点、直线与圆的位置关系
考点类型
知识串讲
（一）点与圆的位置关系
位置关系 图形 定义 性质及判定
点在圆外 点在圆的外部 点在的外部.
点在圆上 点在圆周上 点在的圆周上.
点在圆内 点在圆的内部 点在的内部.
（二）确定圆的条件
若三点不共线时，圆心是线段与的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．
三点定圆的画法：
1）连接线段AB,BC。
2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为O，此时OA=OB=OC,于是点O为圆心，以OA为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是一个。
定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
（三）三角形的外接圆
1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
2）三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
3）直角三角形外接圆的圆心在直角三角形斜边的中点
（四）直线与圆的位置关系
位置关系 图形 定义 性质及判定
相离 直线与圆没有公共点 d＞r 直线与相离
相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点 d＝r 直线与相切
相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线 d＜r 直线与相交
考点训练
考点1：点与圆的位置关系
典例1：如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（　　）
A．点，均在内 B．点，均在外
C．点在内，点在外 D．以上选项都不正确
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，点与圆的位置关系的判定，掌握根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断是解题的关键．先利用勾股定理求得的长，再根据面积公式求出的长，根据勾股定理求出的长，根据中线的定义求出的长，然后由点、到点的距离判断点、与圆的位置关系即可．
【详解】解：在中，，，，
，
、分别是上的高和中线，
，，
即，
，
，
，，
点在内、点在外，
故选：．
【变式1】如图，在中，，点D在边上，且，连接．以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内，则r的值可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点到圆心距离为d，半径为r，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．先根据勾股定理求出，再得出，根据点A，B，C中只有1个点在圆内，推出，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，，
∵点A，B，C中只有1个点在圆内，，
∴在圆内的点为点B，
∴，
故选：B．
【变式2】如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，M为的中点，连接．若的半径为2，则长的最大值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，根据题意得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可．
【详解】解：如图，当点P在上移动时，的中点M的轨迹是以为直径的，
因此交于点M，此时的值最大，
由题意得，，，
在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式3】如图，中，，，，于点，以点为圆心，5为半径作，则点在 ．（填“外”“内”或“上”）．
【答案】内
【分析】本题考查了勾股定理，三角形面积公式和点与圆的位置关系．先根据勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式求出的长，然后根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：∵在中， ，，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴点D在圆C内．
故答案为：内．
考点2：确定圆的条件
典例2：下列语句：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）三角形的外心到三角形各边的距离相等；（4）同弧或等弧所对的圆周角相等．其中正确的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握各定理是解答此题的关键；
根据确定圆的条件，三角形外心的性质，圆周角定理，弦、圆心角、弧的关系判断即可．
【详解】（1）不在同一直线上的三点确定个圆；故不符合题意；
（2）直径所对的圆周角是直角；故符合题意；
（3）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；故不符合题意；
（4）同弧或等弧所对的圆周角相等，故符合题意；
故选：B．
【变式1】小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．都不能
【答案】B
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．
【详解】解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
【变式2】已知平面直角坐标系中的三个点分别为，则A、B、C这三个点 确定一个圆（填“可以”或“不可以”）．
【答案】可以
【分析】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．用待定系数法求一次函数解析式．先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征判断点C是否在直线上，然后根据确定圆的条件进行判断．
【详解】解：设直线的解析式为，
把代入得，
，
解得，，
所以直线的解析式为，
当时，，
所以点不在直线上，
即点A、B、C不在同一条直线上，
所以过A、B、C这三个点能确定一个圆．
故答案为：可以
【变式3】如图，点A，B，C均在的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 ．
【答案】5
【分析】根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
【详解】如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为：5
考点3：三角形的外接圆与外心
典例3：小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
【答案】B
【分析】根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得．本题考查的是垂径定理的推论的应用，确定圆的条件，掌握确定圆的的条件是解题的关键．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧，即可确定圆心和半径．
所以小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第②块．
故选：B．
【变式1】如图，是的外接圆，连接、，若，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
由圆周角定理得：，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式2】如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C的度数为 °．
【答案】73
【分析】连接，，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接，，
点是的外心，
，
，，，
，
，
即，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点为，点为，点为．用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ．
【答案】
【分析】由题意可得，该圆为外接圆，根据垂径定理确定外接圆的圆心，即可求解．
【详解】解：由题意可得：完全覆盖这个三角形的最小圆为外接圆，
作线段的垂直平分线，如图，
可得外接圆的圆心坐标为，
半径
故答案为：
【点睛】此题考查了三角形的外接圆，涉及了垂径定理，解题的关键是确定外接圆的圆心．
考点4：特殊三角形的外接圆——求半径
典例4：如图，是等边三角形的外接圆，若的半径为r，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，，延长交于D，根据等边三角形性质得出，，，求出，根据勾股定理求出，即可求出，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】连接，，延长交于D，
∵等边三角形是，
∴，，，
∴，
∴
由勾股定理得：，
∴
则的面积是
，
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆，三角形的面积等知识点的应用，关键是能正确作辅助线后求出的长，题目具有一定的代表性，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
【变式1】已知，如图，在中，，，，那么这个三角形的外接圆直径是（ ）

A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】D
【分析】本题考查直角三角形的外接圆半径，根据勾股定理求得斜边的长，进而即可求解，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．
【详解】解：在中，，，，
∴
∴这个三角形的外接圆直径是
故选：D．
【变式2】一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圆，先求出解一元二次方程的根，再分和是直角三角形的两直角边和是直角边，是斜边两种情况解答，根据直角三角形的外接圆的直径即为斜边长即可求解，明确直角三角形的外接圆的直径即为斜边长并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∴，，
当和是直角三角形的两直角边时，
直角三角形的斜边，
∴此直角三角形的外接圆的直径为；
当是直角边，是斜边时，
此直角三角形的外接圆的直径为；
综上，此直角三角形的外接圆的直径为或，
故答案为：或．
【变式3】如图，在中，为的外接圆，如果，那么的半径为 ．
【答案】
【分析】连接、，作，利用圆心角与圆周角的关系得出，再利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理解答即可．
【详解】
解：连接、，作，
，
，
又∵OB＝OC，，，
，
∴在中，，
故答案为：．
【点睛】此题考查三角形的外接圆与外心，关键是利用圆心角与圆周角的关系得出．
考点5：反证法
典例5：如图，在等腰三角形中，，是底边上的高，请你利用反证法证明是一个锐角．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是反证法，熟知等腰三角形的性质和三角形内角和定理是解答此题的关键．
假设是钝角或直角，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行证明即可．
【详解】证明：假设是钝角或直角．
∵，是底边上的高，
∴．
∵是钝角或直角，
∴，不符合三角形内角和定理，
∴假设不成立，
∴是一个锐角．
【变式1】阅读下列文字，回答问题．
题目：在中，，若，所以．
证明：假设，
，，
，
，这与假设矛盾．
．
问题1：上面的证明方法用的是______．
问题2：上面的证明有错误，请予以纠正．
【答案】问题1：反证法；问题2：见解析
【分析】问题1：由假设可知本题的证明方法；
问题2：按照正确的方法写出过程即可．
【详解】问题1：由假设可知本题的额证明方法为反证法．
故答案为：反证法；
问题2：改正：
假设，则，
又，
，这与矛盾，
不成立，
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，以及反证法，解此题关键要懂得反证法的步骤．
【变式2】用反证法证明：
(1)已知：，求证：a必为负数．
(2)求证：形如的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）首先假设，则，与已知矛盾，因此a必为负数．
（2）假设的整数部分k能化成两个整数的平方和，设这两个整数为，则有，因为，可得前后矛盾，因此假设结论不成立，进而得出答案．
【详解】（1）证明：假设，则，这与已知相矛盾，
∴假设不成立，
∴a必为负数；
（2）证明：假设的整数部分k能化成两个整数的平方和，不妨设这两个整数为，
则，
∵，
∴假设不成立，
∴的整数k不能化为两个整数的平方和．
【点睛】本题考查了反证法，注意逆命题的与原命题的关系是解题关键．
【变式3】用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
已知：，，是的三个内角．
求证：，，中不能有两个角是直角．
【答案】见解析
【分析】根据反证法的证法步骤知：第一步反设，假设三角形的三个内角、、中有两个直角，不妨设，第二步得出矛盾：，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；第三步下结论：所以一个三角形中不能有两个直角，从而得出原命题正确．
【详解】证明：假设三角形的三个内角、、中有两个直角，不妨设，
则，这与三角形内角和为相矛盾，
不成立；
∴一个三角形中不能有两个直角．
【点睛】此题主要考查了反证法的应用，反证法是一种简明实用的数学证题方法，也是一种重要的数学思想．相对于直接证明来讲，反证法是一种间接证法．它是数学学习中一种很重要的证题方法．其实质是运用“正难则反”的策略，从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾．
考点6：直线与圆的位置关系
典例6：在平面直角坐标系中，过点的直线与以为圆心、4为半径的圆的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能
【答案】A
【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点有勾股定理的运用，判定点和圆的位置关系是解题关键．
先求出点与C的距离，再根据直线与圆的位置关系得出即可．
【详解】解：∵点与C的距离为，
∴点在以为圆心、4为半径的圆内，
∴过点的直线与以为圆心、4为半径的圆的位置关系是相交．
故选：A．
【变式1】如图，，为上一点，于点，且，以点为圆心，半径为的圆与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．以上三种情况均有可能
【答案】A
【分析】本题考查了直线和圆的位置关系和含角的直角三角形性质的应用，求出的长，根据直线和圆的位置关系判断即可，正确理解直线和圆的位置关系是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∵，，
∴，
∴以点为圆心，半径为的圆与的位置关系是相离，
故选：．
【变式2】如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ．
【答案】相交
【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，本题先求解圆心到直线的距离与圆的半径，再根据可得答案；熟记直线和圆的位置关系的判定方法是解题关键．
【详解】解：如图所示：过的中点作于．
则，
∵，
∴ ，
∵ ，即圆心到直线的距离半径，
∴直线与相交；
故答案为：相交．
【变式3】已知点，若以点为圆心，3个单位长度为半径作圆，则与轴 ，与轴 ．
【答案】 相离 相切
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是由点的坐标得到点到轴与轴的距离．先由点的坐标得到点到轴的距离、点到轴的距离，然后判定与轴、轴的位置关系．
【详解】解：，
点到轴的距离为，点到轴的距离为，
与轴相离，与轴相切
故答案为：相离，相切．
考点7：直线与圆的位置关系——求半径
典例7：已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作，
(1)当半径为何值时，与直线相切；
(2)当半径为何值时，与直线相切；
(3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离．
【答案】(1)当半径为3时，与直线相切
(2)当半径为2.4时，与直线相切
(3)当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离
【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径时，圆与直线相切，结合矩形的性质进行求解即可；
（2）连接，过点作，等积法求出的长，即为所求；
（3）根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的关系，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，
∴，
∴，，
∵圆心到边的距离为，与直线相切，
∴，
则当半径为3时，与直线相切；
（2）连接，过作，交于点，
∵在中，，，
∴，
又∵，
∴圆心到边的距离，
又与直线相切，
∴，则当半径为2.4时，与直线相切；
（3）∵与直线相交，圆心到边的距离为，
∴，
又与直线相离，圆心到的距离为，
∴，
则当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离．
【点睛】本题考查直线与圆之间的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，小于半径时，直线与圆相交，大于半径时，直线与圆相离，是解题的关键．
【变式1】已知的斜边，直角边，以点为圆心作．
(1)当半径为________时，直线与相切；
(2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________；
(3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或．
【分析】（）如图作于，求出的值即可判断；
（）当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ；
（）当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或，
本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）如图作于，

在中，，，，
∴由勾股定理得，
∵，
∴，
∴当半径时，直线与相切，
故答案为：；
（2）观察图形可知，
当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ，
故答案为：或；
（3）观察图形可知，
当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或，
故答案为：或．
【变式2】已知的斜边，直角边，以点为圆心作．
(1)当半径为 　　时，直线与相切；
(2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为______________；
(3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为________________．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查直线与圆的位置关系、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）如图作于．求出的值即可判断；
（2）观察图形可知，当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或；
（3）观察图形可知，半径的取值范围为或，
【详解】（1）如图作于．
在中，，，，
，
，
，
当半径时，直线与相切．
故答案为：．
（2）观察图形可知，当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或，
故答案为：或；
（3）观察图形可知，当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或，
故答案为：或．
【变式3】如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．

(1)求与直线相切时点的坐标．
(2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点的横坐标，再根据直线的解析式求得点的纵坐标．
（2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时的取值范围．
【详解】（1）解：过作直线的垂线，垂足为；
当点在直线右侧时，，解得；
∴；
当点在直线左侧时，，得，
∴，

∴当与直线相切时，点的坐标为或．
（2）解：由（1）可知当时，与直线相交
当或时，与直线相离．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的不同位置关系应满足的数量关系，根据数量关系正确求解是解题的关键．
考点8：直线与圆的位置关系——求距离
典例8：如图，的半径是5，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使．
（1）点到直线距离的最大值为　　　　；
（2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为　　　　．
【答案】（1）7；（2）．
【分析】（1）当点在圆外且三点共线时，点到直线距离的最大，由此即可得；
（2）先确定线段是的直径，画出图形，再在中，利用勾股定理即可得．
【详解】解：（1）如图1，，
当点在圆外且三点共线时，点到直线距离的最大，
此时最大值为，
故答案为：7；
（2）如图2，是直线与的公共点，当线段的长度最大时，线段是的直径，
，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
【变式1】已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；
（2）如图②，若直线CD是⊙O的切线，求证：D为AP的中点．
【答案】（1）55°（2）见解析
【分析】（1）易证PA⊥AB，再通过解直角三角形求解；
（2）连接OC、AC，证出OC⊥CD，AB⊥AP，根据半径所对应的角相等即可证明CD= AD；根据AB是O的直径，得出∠BCA=90°，再根据两个角相加为90°，即可证明CD= DP，从而得出结论
【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线
∴PA⊥AB
∴∠BAP=90°
∵∠P=35°
∴∠ABP=∠BAP-∠P=90°-35°=55°
故答案为55°
(2)如图，连接OC、AC
∵CD是⊙O的切线
∴OC⊥CD
∴∠1+∠3=90°
∵AP是⊙O的切线
∴AB⊥AP
∴∠2+∠4=90°
∵OA= OC
∴∠1=∠2
∴∠3=∠4
∴ CD= AD
∵AB是O的直径，
∴∠BCA=90°
∴∠DCP+∠3=90°
∠CPA+∠4=90°
∴∠DCP=∠CPA
∴CD= DP
∴CD= DP=AD
∴D为AP的中点
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、切线的判定和性质，掌握定理是解题的关键
【变式2】如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，求圆心的坐标.

【答案】，或.
【分析】本题主要考查了圆与直线的相切关系，及二次函数的概念；熟练掌握圆与坐标轴的位置关系是解本题的关键．与轴相切，即圆心到轴的距离等于的半径，也就是圆心的纵坐标y为，把y代入中，即可求出符合题意的圆心的坐标．
【详解】解：与轴相切，设圆心到x轴的距离为d，
，即点的纵坐标y为；
当时，即，解得：，
点的坐标为或；
当时，即，解得：，
点的坐标为；
综上，符合题意点的坐标为，或．
【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10cm，P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t秒．
（1）当t=2.5s时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由．
（2）已知⊙O为Rt△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．
【答案】（1）相切，证明见解析；（2）t为s或s
【分析】（1）直线AB与⊙P关系，要考虑圆心到直线AB的距离与⊙P的半径的大小关系，作PH⊥AB于H点，PH为圆心P到AB的距离，在Rt△PHB中，由勾股定理PH，当t=2.5s时，求出PQ的长，比较PH、PQ 大小即可，
（2）OP为两圆的连心线，圆P与圆O内切rO-rP=OP, 圆O与圆P内切，rP-rO=OP即可．
【详解】（1）直线AB与⊙P相切．理由：作PH⊥AB于H点，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10，
∴AB=2AC=20，BC=，
∵P为BC的中点
∴BP=
∴PH=BP=，
当t=2.5s时，PQ= ，
∴PH=PQ= ∴直线AB与⊙P相切 ，
（2）连结OP，
∵O为AB的中点，P为BC的中点，
∴OP=AC=5，
∵⊙O为Rt△ABC的外接圆，
∴AB为⊙O的直径，
∴⊙O的半径OB=10 ，
∵⊙P与⊙O相切 ，
∴ PQ-OB=OP或OB-PQ=OP 即t-10=5或10-t =5，
∴ t=或t= ，
故当t为s或s时，⊙P与⊙O相切．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆相切时求运动时间t问题，关键点到直线的距离与半径是否相等，会求点到直线的距离，会用t表示半径与点到直线的距离，抓住两圆相切分清情况，由圆心在圆O内，没有外切，只有内切，要会分类讨论，掌握圆P与圆O内切rO-rP=OP, 圆O与圆P内切，rP-rO=OP．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑