资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题05 正多边形与圆
考点类型
知识一遍过
（一）正多边形与圆
（1）正多边形：各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形．
（2）正n边形的内角和=180°（n-2）；正n边形的每个内角度数=；正n边形外角和=360°；正n边形的每个外角度数=．
（3）圆与正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
半径、边心距，边长之间的关系：
考点一遍过
考点1：正多边形与圆——求角
典例1：如图，正方形内接于，点E在上连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正多边形和圆，连接，易得：，进而得到，即可得出结果．
【详解】解：连接，则：
∴，
∵正方形内接于，
∴，
∴，
∴；
故选C．
【变式1】如图，是正五边形的外接圆，点P是上的的一点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查圆内接多边形性质，以及同弧所对圆周角等于圆心角的一半，根据圆内接多边形性质求得，再根据圆周角定理得到，即可解题．
【详解】解： 是正五边形的外接圆，
，
，
，
故选：B．
【变式2】如图，正五边形内接于，点F是上的动点，则∠AFC的度数为 ．
【答案】/72
【分析】本题考查圆周角定理，正多边形与圆，求出正五边形的中心角的度数，掌握圆周角定理是正确解答的前提．求出正五边形的中心角的度数，再根据圆周角定理进行计算即可．
【详解】解：如图，连接，
∵五边形是的内接正五边形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式3】如图，A、、、为一个正多边形的相邻四个顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 ．

【答案】15
【分析】连接，，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
∴，
∴这个正多边形的边数为，
故答案为：15．

【点睛】本题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
考点2：正多边形与圆——求线段
典例2：如图，正六边形内接于，，则的长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到，得到为等边三角形，进而得到，判断出为等边三角形是解题的关键．
【详解】解： ∵是正六边形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
故选：C．
【变式1】如图，正方形内接于，若是的周长为，则正方形的边长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了正多边形和圆．连接，，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，，
∵是的周长为，
∴，
则，，
在中，．
正方形的边长是，
故选：B．
【变式2】如图，点O是正六边形的中心，若正六边形的边长为2，则边心距 ．

【答案】
【分析】本题主要考查正多边形和圆的知识，熟练掌握正多边形和圆的关系是解题的关键；连接，由题意易得是等边三角形，然后根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：连接，如图所示：

∵点O是正六边形的中心，且正六边形的边长为2，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为．
【变式3】如图，在圆内接正六边形中，，分别交于点，，若该圆的半径为12，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆内接正六边形．熟练掌握圆内接正六边形的性质，等边三角形的判断和性质，含的直角三角形性质，是解题关键．含的直角三角形性质：三边是的关系．
连接、，根据圆内接正六边形的性质得到是等边三角形，得到，推出，，得到，得到，推出，，得到是等边三角形，即得．
【详解】连接、，
∵六边形是圆内接正六边形，圆的半径为12，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：．
考点3：正多边形与圆——求半径
典例3：如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（ ）

A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理；
连接，，作于G，证明是等边三角形，可得，然后利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，连接，，作于G，

∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即它的内切圆半径为，
故选：D．
【变式1】如图，面积为12的正方形内接于，则的半径为（ ）

A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】如图：连接，则为等腰直角三角形，由正方形面积为12，即，然后运用勾股定理即可求得圆的半径．
【详解】解：如图，连接，则，

∵四边形是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵正方形的面积是12，
∴，
∵
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆、正方形的性质等知识点，作出辅助线、构造等腰直角三角形是解题的关键．
【变式2】正六边形的边心距为，则正六边形的半径为 ．
【答案】1
【分析】本题考查正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理．正确的画出图形并连接辅助线是解题关键．
如图，连接，过点O作于点H．由正六边形的性质可证明是等边三角形，即得出．再由，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可求出的长，即为这个正六边形的半径．
【详解】解：如图，连接，过点O作于点H．
∵此六边形是正六边形，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
由题意可知，
设，则，
∵在中，，
∴，
解得：或（舍），
∴，即这个正六边形的半径为1．
故答案为：1．
【变式3】如图，已知在矩形内有一个等边，点在上，若的内切圆半径为2，则矩形的外接圆半径为 ．
【答案】
【分析】设点O为的内切圆的圆心，连接、、，则,，
根据等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质分别求得，，
根据矩形的性质和圆周角定理求得，为矩形的外接圆的直径，利用勾股定理求得即可．
【详解】解：如图，设点O为的内切圆的圆心，连接、、，
则,，
∵为等边三角形，
∴点E、O、P共线，即，，
∴，，
∴，则，
∵四边形是矩形，，
∴，，
连接，则BD为矩形的外接圆的直径，
在中，，
∴矩形的外接圆的半径为，
故答案为：
【点睛】本题考查三角形的内切圆性质、矩形的性质、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的
关键．
考点4：正多边形与圆——求面积
典例4：如图，正六边形中，M、N分别为边BC、EF上的动点，则空白部分面积和阴影部分面积的比值为（ ）
A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1
【答案】A
【分析】此题考查的是正多边形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
连接，由正六边形的性质可得，然后利用面积公式可得答案．
【详解】解：连接，由正六边形的性质可知，，，，
∴，
，
同理
空白部分面积和阴影部分面积的比值为：．
故选：A．
【变式1】我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”蕴含了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形的面积作近似估计，可得的估计值为（ ）
A． B．3 C． D．3.14
【答案】B
【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．根据圆内接正多边形的性质可得，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解．
【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点，
，的半径为1，
，
，
故圆内接正十二边形的面积为：，
的面积为，
，即的估计值为．
故选：B．
【变式2】大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若边心距，则这个正六边形的面积是 ．

【答案】
【分析】连接，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，得出，求出，得出六边形的面积即可．
【详解】解：连接，，如图所示：
六边形是正六边形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，负值舍去，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积计算，解答本题的关键是明确正六边形的特点．
【变式3】我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形（如图），则阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】根据正多边形与圆的对称性、垂径定理以及正多边形与圆的计算，可求出，，由直角三角形的边角关系求出、、，根据三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：如图，连接、、、，过点作，垂足为，
由圆的对称性可知，点、点是的三等分点，四边形是正方形，
，，
在中，，，
，，
在中，，，
，
，
个阴影三角形的面积和为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形和圆，理解正多边形和圆的对称性，掌握正多边形和圆的相关计算的方法是正确解答的前提．
考点5：正多边形与圆——求周长
典例5：如图，在边长为4的正五边形中，按以下步骤作图：①连接；②以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，③分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点F；④作射线交线段于点G；⑤连接；则四边形的周长为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【分析】先求解正五边形的每一个内角为108度，再求解，证明，可得，同理可得，从而可得答案．
【详解】解：∵边长为4的正五边形，
∴，
，
∴，
∴，
由作图可得：，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴四边形的周长为；
故选B
【点睛】本题考查的是作角平分线，等腰三角形的判定与性质，正五边形的性质，掌握正多边形的性质是解本题的关键．
【变式1】如图，正三角形和正方形分别内接于等圆和，若正三角形的周长为m，正方形的周长为n，则m与n的关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查正多边形和圆，设圆的半径为，分别求出正三角形，正方形的边长，进而求出的值，即可得出结果．
【详解】解：设等圆和的半径为，如图，，
∵正三角形和正方形分别内接于等圆和，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选A．
【变式2】如图，一个蜜蜂的蜂巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为，则正六边形的周长为 cm．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形与圆的性质和等边三角形的判定与性质，连接与交于点，证明为等边三角形，从而，即可得到答案，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键．
【详解】如图，连接与交于点，
∵为正六边形，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，
即正六边形的边长为，
∴正六边形的周长为，
故答案为：．
【变式3】六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为，求中间正六边形的周长 ．

【答案】60
【分析】利用得到，再根据含的直角三角形三边的关系得到，接着证明可得结论．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴中间正六边形的周长，
故答案为：．
【点睛】此题考查了含角的直角三角形：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，也考查了正多边形与圆，解题的关键是求出．
考点6：正多边形与圆——求边数
典例6：如图，A、、、为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】作出正多边形的外接圆，根据圆周角定理得到弦所对的圆心角，利用除以圆心角即可得到答案；
【详解】解：如图所示，作正多边形的外接圆，
∵，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查圆与正多边形的综合，解题的关键作出外接圆，根据圆周角定理得到圆心角的度数．
【变式1】如图，，，是正多边形的顶点，是正多边形的中心，若是等边三角形，则正多边形的边数为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形与圆，连接，根据题意求得中心角，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵，，是正多边形的顶点，是正多边形的中心，
∴，
∴，
∴这个正多边形的边数，
故选：C．
【变式2】定义：如果几个全等的正边形依次有一边重合，排成一圈，中间可以围成一个正多边形，那么我们称作正边形的环状连接．如图1，我们可以看作正八边形的环状连接，中间围成一个正方形．
（1）若正六边形作环状连接，如图2，中间可以围成的正多边形的边数为 ；
（2）若边长为的正边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为 ．（用含的代数式表示）
【答案】 6
【分析】根据正多边形的内角和公式（n-2） 180°，可求出正多边形密铺时需要的正多边形的内角，继而可求出这个正多边形的边数．
【详解】解：（1）正六边形作环状连接，一个公共点处组成的角度为240°，
故如果要密铺，则需要一个内角为120°的正多边形，
而正六边形的内角为120°，
所以正六边形作环状连接，中间可以围的正多边形的边数为6；
（2）若边长为1的正n边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，
则一个公共点处组成的角度为360°-60°=300°，
所以正n边形的一个内角是150°，
所以（n-2）×180=150n，
解得n=12，
所以边长为a的正十二边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为27a．
故答案为：6；27a．
【点睛】此题考查了平面密铺的知识，解答本题关键是求出在密铺条件下需要的正多边形的一个内角的度数，有一定难度．
【变式3】已知是的内接正十边形的一条边，是的内接正十五边形的一条边，则以为一边的的内接正多边形的边数是 ．
【答案】6或30
【分析】本题考查正多边形与圆，该题以正多边形和圆为载体，以正多边形和圆的性质的考查为核心构造而成；灵活运用有关定理来分析判断是解题的关键．
如图，首先求出、的度数，进而求出的度数即可解决问题．
【详解】解：如图，
∵是内接正十边形的一边，
是的内接正十五边形的一边，
∴，，
当点C在外时，；
当点C在上时，；
即以为边的内接正多边形的中心角的度数为或．
∴多边形的边数为6或30．
故答案为：6或30．
考点7：正多边形与圆——实际应用
典例7：如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．

【答案】亭子地基的周长为24m，地基的面积为41.6m2．
【分析】连接OB、OC求出中心角∠BOC的度数，再由等边三角形的性质即可求出正六边形的周长；过O作△OBC的高OP，利用等边三角形及勾股定理可求出OP的长，利用三角形的面积公式即可解答．
【详解】如图，连接．因为六边形是正六边形，所以它的中心角∠BOC等于是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．
因此，亭子地基的周长．
作，垂足为P．在中，∠POC=90°-60°=30°
∴，
利用勾股定理，可得边心距．
亭子地基的面积．
【点睛】本题考查的是正六边形、勾股定理及等边三角形的性质，作出辅助线构造出等边三角形是解答此题的关键．
【变式1】古建中的数学：古亭探“优”．
【了解】
“江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形．
【探索】
先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法．
（1）旋转的角度最小为_______ ；
（2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______；
（3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由；
【作图】
（4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明）
【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4）见解析
【分析】（1）设正方形、的中心为Q，连结、、、、、、、，可证得，得出，同理，可得；
（2）由题意得，再由、、均为等腰直角三角形，即可求得答案；
（3）由，，，可得，，即可求得答案；
（4）连结、交于点，跟别以四个顶点为圆心，以、、、为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点．
【详解】（1）解：如图设正方形、的中心为，连结、、、、、、、，
则、、、经过点，，
，，
四边形、是正方形，
，
是正八边形，
，，
，
，
同理，
，
；
（2）正八边形的边长为2，
，
由（1）知：、、均为等腰直角三角形，
，，
；
（3），理由如下：
由（2）知：，，，
可得，，
，
；
（4）如图：
连结、交于点，跟别以四个顶点为圆心，以、、、为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，尺规作图等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式2】如图，小吴同学在陶艺课中为八角花盆制作“圆形托盘”，已知八角花盆底部截面是一个正八边形（如图），请根据下列信息解决问题．
(1)求八角花盆底部截面正八边形一个内角的度数；
(2)若八角花盆底部截面正八边形的边长是，小吴同学制作的圆形托盘半径是，问：这个托盘是否适用于此八角花盆？（图中边长的数据为近似值，供选用）
【答案】(1)；
(2)这个托盘适用于此八角花盆．
【分析】（1）求出正八边形的外角，可得结论；
（）求出正八边形的边心距，可得结论．
【详解】（1）解：正八边形的外角，
∴正八边形的内角；
（2）解：如图中，连接，，过点作于点．
∵，，
∴ ，，由题意得，
∴（，
∵，
∴这个托盘适用于此八角花盆．
【点睛】本题考查垂径定理，正多边形与圆，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式3】【发现问题】
蜂巢的结构非常精美，每个巢室都是由多个正六边形组成（如图1），某数学兴趣小组的同学用若干个形状，大小均相同的正六边形模具，模仿蜂巢结构拼成如图2所示的若干个图案，同学们发现：在每个拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数随着第一层（最下面一层）正六边形模具个数的变化而变化．

【提出问题】
在拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数y与第一层正六边形模具的个数x之间有怎样的函数关系
【分析问题】
同学们结合实际操作和计算得到如下表所示的数据
第一层正六边形模具的个数x 1 2 3 4 …
拼接图案中所需正六边形模具的总个数y 1 7 19 37 …
然后在平面直角坐标系中描出上面表格中各对数值所对应的点得到图3，同学们根据图3中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分．

为了验证猜想，同学们从“形”的角度出发，借助“割补”的方法，把某一拼接图案中上半部分的正六边形模具（虚线部分）移到下面（如图4），并把第一层缺少的正六边形模具（阴影部分）补全，再拼接到一起（如图5），使每一层正六边形模具的数量相同，借此图求出正六边形模具的总个数，再减去用于补全图形的正六边形模具的个数，即可求出y与x之间的关系式．
【解决问题】
(1)直接写出y与x的关系式；
(2)若同学按图2的方式拼接图案，共用了169个正六边形模具，求拼接成的图案中第一层正六边形模具的个数；
(3)如图6，作正六边形模具的外接圆，圆心为O，A，B为正六边形模具相邻的两个顶点，的长为，现有一张长100cm，宽80cm的长方形桌子，若按图2的拼接方式拼接图案（模具间的接缝忽略不计），最多可以放下多少个正六边形模具 （）
【答案】(1)
(2)8个
(3)469个
【分析】
本题主要考查求二次函数式，二次函数的应用以及正多边形和圆：
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）将代入求解即可；
（3）设正六边形其它顶点分别为，连接，，求出，，设第一层有x个正六边形模具，求出拼接图案的最大宽度为，最大高度为，分拼接图案的高与长方形桌子的长平行和拼接图案的高与长方形桌子的宽平行两种情况求出x的值，代入函数关系式求出y的值即可求解
【详解】（1）
解：设y与x之间的函数关系式为，
将点代入关系式，得：
解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：由（2）知，，
将代入，得，
解得，，（不合题意，舍去）
所以，他拼接成的图案中第一层有8个六边形模具；
（3）
解：如图，设正六边形其它顶点分别为，连接，，

由正六边形及其外接圆的性质得，为的直径，，线段的长即为边，间的距离，
∴，
∴
∵的长为，
∵的周长为，
∴的直径，即，
∴，
设第一层有x个正六边形模具，
∴第x层的正六边形模具个数最多，有个，拼接成的图案共有层，其中有x层的高度按的直径计算，层的高度按正六边形的边长计算，
所以，拼接图案的最大宽度为，最大高度为，
①当拼接图案的高与长方形桌子的长平行时，有，
解得，，
∵x为整数，
∴x最大取12；
②当拼接图案的高与长方形桌子的宽平行时，有，
解得，，
∵x为整数，
∴x最大取13；
将代入，得，；
将代入得，，
∵，
∴最多可以放下469个正六边形模具
考点8：正多边形与圆——证明题
典例8：如图，已知的内接正十边形，交，于，，求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【分析】（1）根据圆心角的计算可得，，由此可得，根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍可得，根据三角形内角和可得，根据正十边形的性质，内角和定理可得，由此可得，根据平行线的判定即可求解；
（2）根据（1）的计算，可得，，再根据即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，则，
∵是内接正十边形的边长，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵内接正十边形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查正多边形与圆的综合，掌握正多形的性质，多边形内角和定理，圆心角的计算，等腰三角形的性质，同弧所对圆心角与圆周角的关系，平行线的判定等知识，图形结合分析是解题的关键．
【变式1】如图，在矩形中，点是边的中点，是的外接圆，交边于点．
(1)求证：；
(2)当是以点为中心的正六边形的一边时，求证：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（1）根据矩形的性质及线段中点的定义得到三角形全等的条件，则，根据“全等三角形的对应边相等”得到
（2）连接，并延长PO交AD于点M，先证明，再根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”得到为等边三角形，然后根据“两直线平行，内错角相等”得到，则，最后根据“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等”得到．
【详解】（1）四边形是矩形，且点是边的中点，
在和中，
，
∴
；
（2）证明：如图，连接，并延长交于点，
四边形是矩形，
∴
∵，，
∴点、都在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，
，
是以点为中心的正六边形的一边，
由正六边形性质可得∶，
∵，
是等边三角形，
又
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，矩形的性质，等边三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定以及正多边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的判定及性质以及等边三角形的判定及性质是解题的关键．
【变式2】如图，正方形内接于是的中点，连接.
(1)求证：；
(2)求证：；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明，即可得出．
（2）连接，过点作交的延长线于．证明，推出，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∵是的中点，
∴，
∴，
∴．
（2）解：连接，过点作交的延长线于．
∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
【变式3】如图，在的内接正八边形中，，连接．

(1)求证；
(2)的长为 　 　．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，先证明，可得，从而可得结论；
（2）作，，证明，，四边形是矩形，从而可得答案．
【详解】（1）证明：连接，正八边形，
∴，

，，
，
∴．
（2）∵，同理可证：，，
∴四边形为等腰梯形，
，
作，，

∵，
，
在中，，，
，
同理可得，
∵，，，
∴四边形是矩形，
，
．
【点睛】本题考查的是圆与正多边形的知识，圆周角定理的应用，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握正多边形的性质是解本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题05 正多边形与圆
考点类型
知识一遍过
（一）正多边形与圆
（1）正多边形：各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形．
（2）正n边形的内角和=180°（n-2）；正n边形的每个内角度数=；正n边形外角和=360°；正n边形的每个外角度数=．
（3）圆与正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
半径、边心距，边长之间的关系：
考点一遍过
考点1：正多边形与圆——求角
典例1：如图，正方形内接于，点E在上连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，是正五边形的外接圆，点P是上的的一点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，正五边形内接于，点F是上的动点，则∠AFC的度数为 ．
【变式3】如图，A、、、为一个正多边形的相邻四个顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 ．

考点2：正多边形与圆——求线段
典例2：如图，正六边形内接于，，则的长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【变式1】如图，正方形内接于，若是的周长为，则正方形的边长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【变式2】如图，点O是正六边形的中心，若正六边形的边长为2，则边心距 ．

【变式3】如图，在圆内接正六边形中，，分别交于点，，若该圆的半径为12，则线段的长为 ．
考点3：正多边形与圆——求半径
典例3：如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（ ）

A．1 B．2 C． D．
【变式1】如图，面积为12的正方形内接于，则的半径为（ ）

A．3 B． C． D．
【变式2】正六边形的边心距为，则正六边形的半径为 ．
【变式3】如图，已知在矩形内有一个等边，点在上，若的内切圆半径为2，则矩形的外接圆半径为 ．
考点4：正多边形与圆——求面积
典例4：如图，正六边形中，M、N分别为边BC、EF上的动点，则空白部分面积和阴影部分面积的比值为（ ）
A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1
【变式1】我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”蕴含了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形的面积作近似估计，可得的估计值为（ ）
A． B．3 C． D．3.14
【变式2】大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若边心距，则这个正六边形的面积是 ．

【变式3】我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形（如图），则阴影部分的面积是 ．
考点5：正多边形与圆——求周长
典例5：如图，在边长为4的正五边形中，按以下步骤作图：①连接；②以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，③分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点F；④作射线交线段于点G；⑤连接；则四边形的周长为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
【变式1】如图，正三角形和正方形分别内接于等圆和，若正三角形的周长为m，正方形的周长为n，则m与n的关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【变式2】如图，一个蜜蜂的蜂巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为，则正六边形的周长为 cm．
【变式3】六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为，求中间正六边形的周长 ．

考点6：正多边形与圆——求边数
典例6：如图，A、、、为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【变式1】如图，，，是正多边形的顶点，是正多边形的中心，若是等边三角形，则正多边形的边数为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【变式2】定义：如果几个全等的正边形依次有一边重合，排成一圈，中间可以围成一个正多边形，那么我们称作正边形的环状连接．如图1，我们可以看作正八边形的环状连接，中间围成一个正方形．
（1）若正六边形作环状连接，如图2，中间可以围成的正多边形的边数为 ；
（2）若边长为的正边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为 ．（用含的代数式表示）
【变式3】已知是的内接正十边形的一条边，是的内接正十五边形的一条边，则以为一边的的内接正多边形的边数是 ．
考点7：正多边形与圆——实际应用
典例7：如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．

【变式1】古建中的数学：古亭探“优”．
【了解】
“江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形．
【探索】
先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法．
（1）旋转的角度最小为_______ ；
（2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______；
（3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由；
【作图】
（4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明）
【变式2】如图，小吴同学在陶艺课中为八角花盆制作“圆形托盘”，已知八角花盆底部截面是一个正八边形（如图），请根据下列信息解决问题．
(1)求八角花盆底部截面正八边形一个内角的度数；
(2)若八角花盆底部截面正八边形的边长是，小吴同学制作的圆形托盘半径是，问：这个托盘是否适用于此八角花盆？（图中边长的数据为近似值，供选用）
【变式3】【发现问题】
蜂巢的结构非常精美，每个巢室都是由多个正六边形组成（如图1），某数学兴趣小组的同学用若干个形状，大小均相同的正六边形模具，模仿蜂巢结构拼成如图2所示的若干个图案，同学们发现：在每个拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数随着第一层（最下面一层）正六边形模具个数的变化而变化．

【提出问题】
在拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数y与第一层正六边形模具的个数x之间有怎样的函数关系
【分析问题】
同学们结合实际操作和计算得到如下表所示的数据
第一层正六边形模具的个数x 1 2 3 4 …
拼接图案中所需正六边形模具的总个数y 1 7 19 37 …
然后在平面直角坐标系中描出上面表格中各对数值所对应的点得到图3，同学们根据图3中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分．

为了验证猜想，同学们从“形”的角度出发，借助“割补”的方法，把某一拼接图案中上半部分的正六边形模具（虚线部分）移到下面（如图4），并把第一层缺少的正六边形模具（阴影部分）补全，再拼接到一起（如图5），使每一层正六边形模具的数量相同，借此图求出正六边形模具的总个数，再减去用于补全图形的正六边形模具的个数，即可求出y与x之间的关系式．
【解决问题】
(1)直接写出y与x的关系式；
(2)若同学按图2的方式拼接图案，共用了169个正六边形模具，求拼接成的图案中第一层正六边形模具的个数；
(3)如图6，作正六边形模具的外接圆，圆心为O，A，B为正六边形模具相邻的两个顶点，的长为，现有一张长100cm，宽80cm的长方形桌子，若按图2的拼接方式拼接图案（模具间的接缝忽略不计），最多可以放下多少个正六边形模具 （）
考点8：正多边形与圆——证明题
典例8：如图，已知的内接正十边形，交，于，，求证：
(1)；
(2)．
【变式1】如图，在矩形中，点是边的中点，是的外接圆，交边于点．
(1)求证：；
(2)当是以点为中心的正六边形的一边时，求证：．
【变式2】如图，正方形内接于是的中点，连接.
(1)求证：；
(2)求证：；
【变式3】如图，在的内接正八边形中，，连接．

(1)求证；
(2)的长为 　 　．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑