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专题03 绝对值
考点类型
知识一遍过
（一）绝对值
（1）概念：①几何定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。数“a”的绝对值记作“|a|”，如|+2|=2，|-3|=3，|0|=0.
②代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即： a（a>0）, a（a0）
|a|= 0(a=0), 或|a|=
-a(a<0), -a（a<0）
（2）注意：a.绝对值表示一个数对应的点到原点的距离，由于距离总是正数或零，则有理数的绝对值不可能是负数，即a取任意有理数，都有|a|0.
b.离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。
c.互为相反数的两个数绝对值相等。如：|2|=2，|-2|=2
d.由几何意义求点所表示的数，要注意多解性问题
（二）有理数比较大小
①正数＞负数；0＞负数；正数＞0
②两个负数比较大小，绝对值大的反而小；
③数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；即负数<0<正数
考点一遍过
考点1：绝对值的意义
典例1：（23-24七年级上·浙江杭州·期末）在数轴上，下列数表示的点离原点最远的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了数轴，绝对值的定义，根据绝对值越大的数表示的点离原点越远进行解答便可，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．
【详解】解：∵，
∴离原点最远的是，
故选：A．
【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，数轴上有四个点A，B，C，D分别对应四个有理数，若点B，D表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【分析】本题考查了数轴，相反数，绝对值，有理数的大小比较的应用，解此题的关键是找出原点的位置，注意数形结合思想的运用．先根据相反数确定原点的位置，再根据点的位置确定表示绝对值最小的数的点即可．
【详解】解：因为点B，D表示的有理数互为相反数，
所以原点的位置在线段的中点处，
∵离原点越近的点表示的数绝对值越小，
∴表示绝对值最小的数的点是C点．
故选：C．
【变式2】（23-24七年级上·北京·期中）厂家检测甲、乙、丙、丁四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的足球是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正数和负数，利用绝对值的意义是解题关键．
根据绝对值最小的最接近标准，可得答案．
【详解】解：，
，
故最接近标准质量的足球是B．
故选：B．
【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）数轴上，在原点左侧且到原点距离为个单位长度的点，表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查有理数，数轴和绝对值，根据数在数轴上对应的点在原点左侧，则该数是一个负数，根据该点到原点的距离为个单位长度，则这个数的绝对值是，从而求解，掌握相关知识的应用是解题的关键．
【详解】解：∵实数在数轴上对应的点在原点左侧，
∴该数是一个负数，
∵该点到原点的距离为个单位长度，
∴这个数的绝对值是，
∴这个数是，
故选：．
考点2：求一个数的绝对值
典例2：（2024·江苏无锡·模拟预测）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的意义，根据相反数的定义和绝对值的意义即可求解，解题的关键是正确理解相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数；正确理解表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．
【详解】解：∵，
∴的相反数是，
故选：．
【变式1】（2024·吉林长春·二模）在中，绝对值最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．4
【答案】C
【分析】先计算绝对值，再比较大小即可．
本题考查了有理数的大小比较，绝对值大计算，熟练掌握绝对值的计算是解题的关键．
【详解】根据题意，得，且，
故绝对值最小的数是0，
故选C．
【变式2】（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知，，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．1或3 D．2或3
【答案】C
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质．根据，，得出，，然后分情况进行讨论即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
综上分析可知，的值为1或3．
故选：C．
【变式3】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）若，且，则的值为（ ）
A． B． C．1或9 D．或
【答案】C
【分析】根据绝对值求出，的值，再代入计算即可．
【详解】解：，，
，，
又∵
∴，
∴，，或，，
当，时，，
当，时，，
∴或．
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值，有理数的加减法，求解代数式的值，考查分类讨论的思想，根据，分两种情况分别计算是解题的关键．
考点3：化简绝对值
典例3：（23-24七年级上·山东滨州·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，化简．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了数轴与绝对值，根据数轴得到，，进而判断出，，，即可去绝对值进行化简，由数轴判断出的符号是解题的关键．
【详解】解：由数轴可得，，，
∴，，，
∴原式
，
故选：．
【变式1】（23-24六年级下·北京海淀·期中）有理数m、n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了根据数轴确定代数式的正负、取绝对值等知识点，掌握根据数轴确定代数式的正负成为解题的关键．
由数轴可知，可得，然后据此取绝对值即可解答．
【详解】解：由数轴可知，则，
则，即A、B选项不正确；
，即C选项错误，D选项正确．
故选D．
【变式2】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）已知数，，的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，化简绝对值，整式的加减运算，先根据点在数轴上的位置，判断出式子的符号，逐一进行判断即可．
【详解】解：由图可知：，，
∴，
∴，故①正确；
∵
∴故②正确；
∵，故③正确；
∵，，
∴，
∴；故④正确；
故选D．
【变式3】（23-24七年级上·四川南充·期中）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，下列结论：①；②；③；④．正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．②③④
【答案】B
【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，根据点在数轴上的位置，判断出数的符号以及数的大小关系，进而判断出式子的符号，即可得出结论．
【详解】解：由图可知：，
∴，故①正确；
；故②错误；
，故③正确；
，故④正确；
故选B．
考点4：绝对值非负性的应用
典例4：（23-24七年级上·江苏徐州·期中）若与互为相反数，则的值为（　　）
A．8 B． C．0 D．8或
【答案】A
【分析】本题考查了绝对值的非负性，相反数的应用，求代数式的值；根据题意，得，得到，得到，计算即可.
【详解】根据题意，得，
∴，
∴，
∴.
故选：A.
【变式1】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）若有理数满足，且，则的值是（ ）
A．或5 B．1或5 C．1或 D．5或
【答案】B
【分析】本题考查有理数的加减法和绝对值，代数式求值，根据题意分析出与的值再代入进行计算即可．
【详解】解：，，
，，
，
为非负数，
则，，
故或5．
故选：B．
【变式2】（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）已知与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数，已知，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5或-5 D．3或5
【答案】D
【分析】先根据相反数的定义以及绝对值的定义求得a、b的值，再根据非负数的性质求得m、n的值，然后计算即可．掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为零是解题的关键．
【详解】解：∵与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数，
∴，
∵，
∴或，
又∵，或，，
∴或，
∴或，
∴或，
∴的值为3或5．
故选：D．
【变式3】（22-23七年级上·重庆·期中）已知，，，则的值为（ ）
A．8或 B．或2 C．或 D．2或8
【答案】D
【分析】根据绝对值和乘方的性质，求得，，即可求解．
【详解】解：由可得，解得或
由可得或，
由可得
所以，或，
∴或
故选：D．
【点睛】此题考查了绝对值，乘方的性质，解题的关键是根据题意，正确求得，．
考点5：绝对值的其他应用
典例5：（22-23七年级上·广东梅州·阶段练习）已知 是正实数，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将式子转化为按值大小排序排列，观察可发现，取最中间的值就是式子的最小值，即可求出答案.
【详解】解：
当时，有最小值.
故选：B.
【点睛】本题考查了绝对值的化简计算，解题的关键在于明确绝对值的化简法和明确式子中要求取得最小值的意思.
【变式1】（22-23七年级上·重庆江津·期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离．结合以上知识，下列说法中正确的个数是（ ）
①若，则或；②若，则；
③若，则；④关于的方程有无数个解．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】应用绝对值的几何意义进行判定即可得出答案．
【详解】解：①若，可得，则则或2023；所以①说法正确；
②若，几何意义是数轴到表示数1的点和表示数3的点的距离相等的点，即可得出；所以②说法正确；
③当时，则，所以③说法不正确；
④因为的几何意义是到数轴上表示的点与表示2的点的距离和等于3的点，即时满足题意，所以有无数个解，故④说法正确．
故选：C．
【点睛】本题重要考查了数轴及绝对值，熟练掌握数轴及绝对值的几何意义进行求解是解决本题的关键．
【变式2】（22-23七年级上·福建泉州·期中）已知整数，，，，……满足下列条件：，，，，……，以此类推，则的值为（ ）
A． B．1011 C． D．
【答案】A
【分析】分别求出的值，观察其数值的变化规律，进而求出的值．
【详解】解：根据题意可得，
．
观察其规律可得，
故选：A．
【点睛】本题考查了数的变化规律，通过计算前面几个数的数值观察其规律是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
【变式3】（21-22七年级上·广东肇庆·期末）已知整数、、、、……满足下列条件：，，，，…，（n为正整数）依此类推，则的值为（ ）
A．-1010 B．-2020 C．-1011 D．-2022
【答案】C
【分析】根据条件先算出前几个数的值，再分是奇数时，结果等于，是偶数时，结果等于，然后把的值代入进行计算即可求得结果．
【详解】解：
是奇数时，结果等于，是偶数时，结果等于
故选C
【点睛】本题考查了数字的变化规律，观察出为奇数和偶数时结果的变化规律是解题的关键．
考点6：有理数大小的比较
典例6：（23-24六年级上·山东烟台·期中）下列比较大小错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是有理数的大小比较，分别根据正数与负数、正数与正数、负数与负数比较大小的法则对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、∵，∴，故本选项正确；
B、∵，∴，故本选项正确；
C、∵，∴，故本选项正确；
D、∵，∴，故本选项错误．
故选：D．
【变式1】（22-23七年级上·广西南宁·期中）下列四组有理数大小的比较正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数的大小比较法则、绝对值的性质、相反数的意义逐项判断即可求解，掌握有理数的大小比较法则和绝对值的性质是解题的关键．
【详解】解：、∵，，，
∴，故该选项错误，不合题意；
、∵，，
∴，故该选项错误，不合题意；
、，故该选项错误，不合题意；
、∵，，
∴，故该选项正确，符合题意；
故选：．
【变式2】（22-23七年级上·贵州遵义·阶段练习）下列判断，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】根据绝对值的意义及性质对每个选项作出判断即可，也可通过举实例判断．
【详解】A、若，则或，错误；
B、若时，此时，但有，故错误；
C、正确；
D、两个负数绝对值大的反而小，故选项错误．
故选：C．
【点睛】此题考查的知识点是绝对值，解题的关键是掌握互为相反数的两个数的绝对值相等．
【变式3】（20-21七年级上·山西太原·阶段练习）若、为有理数，，，且，那么，，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据，，且，可得，，，据此判断出，，的大小关系即可．
【详解】解：∵，，且，
∴，，，
∴，
∴．
故选：C．
【考点】本题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
同步一遍过
一、单选题
1．下列各数中最大的是（ ）
A． B．0 C． D．2
【答案】D
【分析】根据有理数比较大小的方法解答即可；正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
【详解】∵，
∴各数中最大的是2；
故选D．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，属于应知应会题目，熟练掌握比较有理数大小的方法是关键．
2．的相反数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了绝对值的化简，相反数的定义，题目较简单．先化简绝对值，再求其相反数．
【详解】解：，
的相反数为．
故选：．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据有理数的运算法则，绝对值的意义，逐一进行计算后判断即可．
【详解】解：A、，选项错误；
B、，选项错误；
C、，选项错误；
D、，选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查有理数的运算．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是关键．
4．下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A． 与2.2 B．与7 C．与 D．与3
【答案】C
【分析】本题考查了相反数的意义，绝对值的化简等知识，根据相反数的定义逐项判断即可求解．
【详解】解：A. 与2.2相等，不互为相反数，不合题意；
B. 与7相等，不互为相反数，不合题意；
C. 与 与互为相反数，符合题意；
D. 与3不互为相反数，不合题意．
故选：C
5．下列每组数中，相等的是（　　）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【分析】根据去括号法则、绝对值的性质逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则这组数不相等，此项不符合题意；
B、，，则这组数不相等，此项不符合题意；
C、，，则这组数相等，此项符合题意；
D、，，则这组数不相等，此项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了去括号、绝对值，熟练掌握去括号法则和绝对值的性质是解题关键．
6．数轴上与表示数的点相距3个单位长度的点表示的数是（　　）
A．2或4 B． C．2 D．2或
【答案】D
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，由数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值可求解．
【详解】解：设满足题意的点表示的数为，
则即或，
∴数轴上与表示数的点相距3个单位长度的点表示的数是2或，
故答案为：D．
7．已知，则的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．无法确定
【答案】B
【分析】根据已知等式得到a与b异号，即ab＜0，原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值．
【详解】解：∵＝0，
∴a与b异号，即ab＜0，
∴|ab|＝﹣ab，
则原式＝＝﹣1．
故选：B．
【点睛】此题考查了分式的加减法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．如果，那么下列式子成立的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】本题考查了有理数加法法则和绝对值的意义，根据有理数加法法则和绝对值的意义逐项排除即可，熟练掌握有理数加法法则和绝对值的意义是解题的关键．
【详解】解：、，，则，不成立，不符合题意；
、，，则，成立，符合题意；
、，，则，不成立，不符合题意；
、，，则不成立，不符合题意；
故选：．
9．已知，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【分析】根据非负数性质求得，，代入计算即可．
【详解】解：∵
∴，，
∴，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查非包数的性质，代数式求值，掌握偶次方与绝对值的非负性是解题的关键．
10．如图，已知数轴上点、、所对应的数、、都不为0，且是的中点，如果，则原点的大致位置在（ ）

A．的左边 B．与之间 C．与之间 D．的右边
【答案】B
【分析】可得，从而可得 ；然后根据选项判断，，的符号，进行化简即可求解．
【详解】解： 是的中点，
，
；
A． 在的左边，，，，
，
故此项不符合题意；
B． 在与之间时，，，，
，
故此项符合题意；
C．在与之间时，，，，
，
故此项不符合题意；
D．在的右边时，，，，
，
故此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了利用绝对值性质进行化简，掌握性质是解题的关键．
二、填空题
11．M、N是数轴上的两个点，线段MN的长度为4，若点M表示的数为，则点N表示的数为 ．
【答案】-6或2/2或-6
【分析】设N点表示x，根据数轴上两点间的距离公式可列出，再进行分类讨论，即可得出结论．
【详解】解：设N点表示x，则，
∴或
解得或．
故答案为：-6或2．
【点睛】本题考查的是两点间的距离，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
12．若互为相反数，互为倒数，，则 ．
【答案】
【分析】由互为相反数，互为倒数，，可得，，，可得，再整体代入求解代数式的值即可．
【详解】解：∵互为相反数，互为倒数，，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是相反数，倒数，绝对值的含义，求解代数式的值，掌握“利用整体代入法求解代数式的值”是解本题的关键．
13．已在，，，则 ．
【答案】±27
【分析】根据绝对值的意义分别确定x与y的值，从而求解．
【详解】解：∵，，
∴或；
又∵
∴，即，或，
∴或
故答案为：±27．
【点睛】本题考查绝对值的意义及有理数的乘法计算，理解概念，正确计算是解题关键．
14．同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：满足条件所有整数x的和为 ．
【答案】15
【分析】本题主要考查了有理数，绝对值，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键．
本题中，令，则，，然后分三种情况讨论：①，②，③，分别求出符合题意的x即可．
【详解】解：令，则，，
①时，，解得，符合；
②时，恒成立，
∴x取；
③时，，解得，符合．
综上所述，符合条件的整数为：，
∴，
故答案为：15．
15．已知，，，则
【答案】10或4/4或10
【分析】根据绝对值的定义，求出、的值，计算即可．
【详解】解：，，
，，
，
，或，，
或4，
故答案为：10或4．
【点睛】本题考查绝对值、有理数的加法等知识，解题的关键是判断出、的值是解决问题的关键．
16．我们知道：绝对值最小的数是0．现有个连续整数1，2，3，……，，请在这些数字前任意添加“+”或“-”，然后将它们相加，使所得结果的绝对值最小，这个最小值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了有理数的加减混合，绝对值．熟练掌握有理数的运算，绝对值的意义是解题的关键．
根据，可知相邻四个数的和为0时，结果的绝对值最小，根据 ，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴相邻四个数的和为0时，结果的绝对值最小，
∴
，
故答案为：1．
三、解答题
17．计算：
(1)，；
(2)，．
(3)___________．
【答案】(1)，5，，
(2)，1，，
(3)0
【分析】根据有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加的零．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：，
；
（3）解：．
【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题关键．
18．已知，互为倒数，，互为相反数，，则的值为多少？
【答案】2或﹣2
【分析】根据，互为倒数，，互为相反数，，可以求得、、的值，从而可以求得所求式子的值．
【详解】
解：，互为倒数，，互为相反数，，
，，，
当时，
；
当时，
，
综上所述，的值为2或﹣2．
【点睛】
本题考查有理数的混合运算，倒数，相反数和绝对值的意义，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
19．我国海军编号为401汉级核潜艇，在某军事演习中，在海下时而上升，时而下降．核潜艇的初始位置在海平面下米，下面是核潜艇在某段时间内运动情况把上升记为“”，下降记为“”，单位：米：，，，，，，．
(1)海平面记为米，核潜艇初始位置在海平面下米，可记为 米．
(2)最终核潜艇处在海平面哪个位置？距离海平面多少米？
(3)假如核潜艇每上升或下降米核动力装置所提供的能量相当于升汽油燃烧所产生的能量，那么从初始位置开始，在这一过程中核动力装置所提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？
【答案】(1)
(2)最终核潜艇处在海平面下米，距离海平面米．
(3)在这一过程中核动力装置所提供的能量相当于升汽油燃烧所产生的能量．
【分析】（1）根据正负数的意义即可求得答案．
（2）设核潜艇初始位置记为米，根据有理数的加减法即可求得答案．
（3）根据绝对值的定义，可求得核潜艇上升和下降的米数总和：．
【详解】（1）根据正负数的意义可知，海平面记为米，核潜艇初始位置在海平面下米，可记为米．
故答案为：．
（2）设核潜艇初始位置记为米，则最终位置为
(米)．
所以，最终核潜艇处在海平面下米，距离海平面米．
（3）根据题意，得
(米)．
(升)．
答：在这一过程中核动力装置所提供的能量相当于升汽油燃烧所产生的能量．
【点睛】本题主要考查有理数的实际应用，牢记正负数的意义及有理数加减的运算法则是解题的关键．
20．将下列各数在数轴上表示出来，并比较大小．
，，，，
【答案】，图见解析；
【分析】根据绝对值的性质及有理数乘方的运算法则可知，，再利用数轴表示出来，最后利用有理数大小比较的方法即可解答．
【详解】解：∵，，
∴ ，
∴．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，有理数乘方的运算法则，利用数轴表示有理数，有理数大小比较的方法，掌握有理数大小比较的方法是解题的关键．
21．对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
(1)1和2关于0的“美好关联数”为__________；和5关于2的“美好关联数”为__________；
(2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值；
(3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于21的“美好关联数”为1，…则的最小值为__________．
【答案】(1)3，8；
(2)6或0.
(3)
【分析】本题以新定义题型为背景，考查了绝对值的计算和绝对值的几何意义，掌握相关结论是解题关键．
（1）根据定义计算、即可求解；
（2）解绝对值方程即可求解；
（3）根据绝对值的几何意义得出的最小值，依此类推即可求解．
【详解】（1）解：根据定义可得：
1和2关于0的“美好关联数”为：；
和5关于2的“美好关联数”为：；
故答案为：3，8；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得：或
∴的值为6或0.
（3）解：由已知得：，
∵，，
∴的最小值；
，
∵，，
∴的最小值；
同理，，的最小值；
，的最小值；……；
∴，的最小值是，
∴的最小值为.
故答案为：．
22．数轴上点，分别表示有理数，，这两点之间的距离记为，即，利用数形结合思想回答下列问题：
(1)表示和的两点之间的距离为______ ，表示和的两点之间的距离为______ ；
(2)表示和的两点之间的距离为______ ；用含有的式子表示
(3)若表示一个有理数，且，则 ______ ；
(4)若为整数，且，借助数轴直接写出满足条件所有的和是______ ．
【答案】(1)；
(2)
(3)10
(4)3
【分析】（1）根据题意，可以计算出表示和的两点之间的距离和表示和的两点之间的距离．
（2）根据题意，可以用的代数式表示出表示和的两点之间的距离．
（3）根据的取值范围，可以将绝对值去掉，再计算即可．
（4）根据数轴，可以写出满足条件的所有整数，然后求和即可．
【详解】（1）解：表示和的两点之间的距离为：，表示和的两点之间的距离为，
故答案为：；．
（2）表示和的两点之间的距离为，
故答案为：．
（3），
，
故答案为：．
（4）由数轴可得，
满足条件所有的和是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查列代数式、数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
23．出库的吨数如下：+26，﹣32，﹣15，+34，﹣38，﹣20．（其中“+”表示进库，“﹣”表示出库）
（1）记录中的数据“+34”表示的意义为 　 　；
（2）经过这三天，库里的粮食是增多（或是减少）了多少？
（3）经过这三天，仓库管理员结算发现库里还存粮480吨，那么三天前库里存粮多少吨？
（4）如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这三天要付多少装卸费？
【答案】（1）进库34吨；（2）减少了45吨；（3）525吨；（4）825元．
【分析】（1）根据相反意义的量的定义去描述即可；
（2）列式计算各数据的和，根据和的正负性判断即可；
（3）根据（2）中的和值，列式计算即可
（4）计算各数据的绝对值的和，后乘以单价即可．
【详解】（1）“+34”表示的意义为进库34吨，
故答案为：进库34吨；
（2）∵+26﹣32﹣15+34﹣38﹣20=-45，
∴库里的粮食减少了45吨；
（3）根据题意，得480-（-45）=525即三天前库里存粮525吨；
（4）∵+26+|﹣32|+|﹣15|+34+|﹣38|+|﹣20|=165，
∴这三天要付装卸费：165×5=825（元）．
【点睛】本题考查了相反意义的量，绝对值，有理数的加减混合运算，熟练掌握绝对值，有理数加减混合运算的法则是解题的关键．
24．已知：a是－1，且a，b，c满足，请回答问题：
（1）请直接写出b，c的值：______，______；
（2）在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x：
①当点P在A与B之间运动时，请化简式子：；
②若点Q为数轴上另一动点，点P以每秒2个单位长度从B点出发向右运动，点Q以每秒4个单位长度从C点出发向左运动，两点同时出发，当两点相遇时，点Q马上以同样速度往反方向运动，P点继续按原方向运动，在整个运动过程中，假设两点运动时间为t秒后，，求t的值．
【答案】（1），；（2）①；②秒或秒或秒
【分析】（1）根据平方的性质以及绝对值的性质，得到，，然后求解即可；
（2）①由（1）得，可得，，，求得绝对值，化简即可；②分两种情况进行求解，未相遇时和相遇后两种情况求解．
【详解】解：（1）由题意得：
∵
∴，，
解得，
故答案为，
（2）①由（1）得，可得：，，
②由题意可知
当未相遇时，
运动时间为，则，，
则
由题意可知，解得
当相遇后，在点的左侧时
设经过，相遇，，即，解得，此时
设相遇后，再过秒，
此时，，即
解得
则
当相遇后，在点的右侧时，，
则，解得
，此时与点重合，满足
综上所述，t的值为秒或秒或秒
【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，涉及了绝对值、平方等性质，解题的关键是在数轴上利用数形结合的思想对情况进行分类讨论，分别求解．
25．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
【阅读】
表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】
(1)数轴上表示4和的两点之间的距离是________．
(2)①若，则__________；
②若使x所表示的点到表示3和的点的距离之和为5，请列出所有符合条件的整数，并求出它们的积是多少.
【拓展延伸】
(3)当______时，有最小值
【答案】(1)6
(2)①2或；②0
(3)2
【分析】（1）本题主要考查了数轴上所对应的两点之间的距离，根据数轴上两点间的距离公式列式计算即可；理解数轴上所对应的两点之间的距离是解题的关键；
（2）①本题主要考查了解绝对值方程，根据绝对值的性质，把绝对值方程化成一元一次方程求解即可；②本题主要考查了解绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义确定符合条件的整数，然后求积即可；
（3）本题主要考查了绝对值的几何意义，由题意可知当x=2时，有最小值4．理解绝对值的几何意义是解题的关键．
【详解】（1）解：表示4和两点之间的距离是．
故答案为：6．
（2）解：①∵，
∴或，解得或，
故答案为：2或；
②∵使x所表示的点到表示3和的点的距离之和为5，
∴，
∵3与的距离是5，
∴，
∵x是整数，
∴x的值为，
∴所有符合条件的整数x的积为0．
故答案为：0．
（3）解：∵表示数轴上有理数x所对应的点到、2和3所对应的点的距离之和，
∴当时，有最小值4．
故答案为：2．
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专题03 绝对值
考点类型
知识一遍过
（一）绝对值
（1）概念：①几何定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。数“a”的绝对值记作“|a|”，如|+2|=2，|-3|=3，|0|=0.
②代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即： a（a>0）, a（a0）
|a|= 0(a=0), 或|a|=
-a(a<0), -a（a<0）
（2）注意：a.绝对值表示一个数对应的点到原点的距离，由于距离总是正数或零，则有理数的绝对值不可能是负数，即a取任意有理数，都有|a|0.
b.离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。
c.互为相反数的两个数绝对值相等。如：|2|=2，|-2|=2
d.由几何意义求点所表示的数，要注意多解性问题
（二）有理数比较大小
①正数＞负数；0＞负数；正数＞0
②两个负数比较大小，绝对值大的反而小；
③数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；即负数<0<正数
考点一遍过
考点1：绝对值的意义
典例1：（23-24七年级上·浙江杭州·期末）在数轴上，下列数表示的点离原点最远的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，数轴上有四个点A，B，C，D分别对应四个有理数，若点B，D表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【变式2】（23-24七年级上·北京·期中）厂家检测甲、乙、丙、丁四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的足球是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）数轴上，在原点左侧且到原点距离为个单位长度的点，表示的数是（ ）
A． B． C． D．
考点2：求一个数的绝对值
典例2：（2024·江苏无锡·模拟预测）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·吉林长春·二模）在中，绝对值最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．4
【变式2】（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知，，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．1或3 D．2或3
【变式3】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）若，且，则的值为（ ）
A． B． C．1或9 D．或
考点3：化简绝对值
典例3：（23-24七年级上·山东滨州·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，化简．（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24六年级下·北京海淀·期中）有理数m、n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）已知数，，的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3】（23-24七年级上·四川南充·期中）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，下列结论：①；②；③；④．正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．②③④
考点4：绝对值非负性的应用
典例4：（23-24七年级上·江苏徐州·期中）若与互为相反数，则的值为（　　）
A．8 B． C．0 D．8或
【变式1】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）若有理数满足，且，则的值是（ ）
A．或5 B．1或5 C．1或 D．5或
【变式2】（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）已知与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数，已知，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5或-5 D．3或5
【变式3】（22-23七年级上·重庆·期中）已知，，，则的值为（ ）
A．8或 B．或2 C．或 D．2或8
考点5：绝对值的其他应用
典例5：（22-23七年级上·广东梅州·阶段练习）已知 是正实数，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（22-23七年级上·重庆江津·期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离．结合以上知识，下列说法中正确的个数是（ ）
①若，则或；②若，则；
③若，则；④关于的方程有无数个解．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】（22-23七年级上·福建泉州·期中）已知整数，，，，……满足下列条件：，，，，……，以此类推，则的值为（ ）
A． B．1011 C． D．
【变式3】（21-22七年级上·广东肇庆·期末）已知整数、、、、……满足下列条件：，，，，…，（n为正整数）依此类推，则的值为（ ）
A．-1010 B．-2020 C．-1011 D．-2022
考点6：有理数大小的比较
典例6：（23-24六年级上·山东烟台·期中）下列比较大小错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（22-23七年级上·广西南宁·期中）下列四组有理数大小的比较正确的是（　　）
A． B． C． D．
【变式2】（22-23七年级上·贵州遵义·阶段练习）下列判断，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式3】（20-21七年级上·山西太原·阶段练习）若、为有理数，，，且，那么，，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
同步一遍过
一、单选题
1．下列各数中最大的是（ ）
A． B．0 C． D．2
2．的相反数为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A． 与2.2 B．与7 C．与 D．与3
5．下列每组数中，相等的是（　　）
A．和 B．和
C．和 D．和
6．数轴上与表示数的点相距3个单位长度的点表示的数是（　　）
A．2或4 B． C．2 D．2或
7．已知，则的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．无法确定
8．如果，那么下列式子成立的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
9．已知，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．1
10．如图，已知数轴上点、、所对应的数、、都不为0，且是的中点，如果，则原点的大致位置在（ ）

A．的左边 B．与之间 C．与之间 D．的右边
二、填空题
11．M、N是数轴上的两个点，线段MN的长度为4，若点M表示的数为，则点N表示的数为 ．
12．若互为相反数，互为倒数，，则 ．
13．已在，，，则 ．
14．同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：满足条件所有整数x的和为 ．
15．已知，，，则
16．我们知道：绝对值最小的数是0．现有个连续整数1，2，3，……，，请在这些数字前任意添加“+”或“-”，然后将它们相加，使所得结果的绝对值最小，这个最小值是 ．
三、解答题
17．计算：
(1)，；
(2)，．
(3)___________．
18．已知，互为倒数，，互为相反数，，则的值为多少？
19．我国海军编号为401汉级核潜艇，在某军事演习中，在海下时而上升，时而下降．核潜艇的初始位置在海平面下米，下面是核潜艇在某段时间内运动情况把上升记为“”，下降记为“”，单位：米：，，，，，，．
(1)海平面记为米，核潜艇初始位置在海平面下米，可记为 米．
(2)最终核潜艇处在海平面哪个位置？距离海平面多少米？
(3)假如核潜艇每上升或下降米核动力装置所提供的能量相当于升汽油燃烧所产生的能量，那么从初始位置开始，在这一过程中核动力装置所提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？
20．将下列各数在数轴上表示出来，并比较大小．
，，，，
21．对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
(1)1和2关于0的“美好关联数”为__________；和5关于2的“美好关联数”为__________；
(2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值；
(3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于21的“美好关联数”为1，…则的最小值为__________．
22．数轴上点，分别表示有理数，，这两点之间的距离记为，即，利用数形结合思想回答下列问题：
(1)表示和的两点之间的距离为______ ，表示和的两点之间的距离为______ ；
(2)表示和的两点之间的距离为______ ；用含有的式子表示
(3)若表示一个有理数，且，则 ______ ；
(4)若为整数，且，借助数轴直接写出满足条件所有的和是______ ．
23．出库的吨数如下：+26，﹣32，﹣15，+34，﹣38，﹣20．（其中“+”表示进库，“﹣”表示出库）
（1）记录中的数据“+34”表示的意义为 　 　；
（2）经过这三天，库里的粮食是增多（或是减少）了多少？
（3）经过这三天，仓库管理员结算发现库里还存粮480吨，那么三天前库里存粮多少吨？
（4）如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这三天要付多少装卸费？
24．已知：a是－1，且a，b，c满足，请回答问题：
（1）请直接写出b，c的值：______，______；
（2）在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x：
①当点P在A与B之间运动时，请化简式子：；
②若点Q为数轴上另一动点，点P以每秒2个单位长度从B点出发向右运动，点Q以每秒4个单位长度从C点出发向左运动，两点同时出发，当两点相遇时，点Q马上以同样速度往反方向运动，P点继续按原方向运动，在整个运动过程中，假设两点运动时间为t秒后，，求t的值．
25．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
【阅读】
表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】
(1)数轴上表示4和的两点之间的距离是________．
(2)①若，则__________；
②若使x所表示的点到表示3和的点的距离之和为5，请列出所有符合条件的整数，并求出它们的积是多少.
【拓展延伸】
(3)当______时，有最小值
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