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24.2直角三角形的性质
一、填空题
1．如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使，，垂足为F．若，，则的面积是　 　．（用含a和b的式子表示）
2．如图，在中，∠ACB=90°，∠B=15°，点D为AB中点，DE⊥AB交BC于点E，BE=8cm，则AC=　 　cm．
3．如图，在边长为6的正方形中，点M、N分别是边、的中点，Q是边上的一点．连接、，将沿着直线翻折，若点C恰好与线段上的点P重合，则的长等于　 　．
4．如图，已知和均为等边三角形，点O是的中点，点D在射线上，连结，则　 　，若，则的最小值=　 　．
5． 如图， 在等腰△ABC中， 将 沿直线BC平移至 将点B绕点A逆时针旋转 得到点D，连接DA'、DC'，在平移过程中， |的最大值为　 　.
二、单选题
6．如果三角形的两边﹑长分别为和，则其第三边的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，中，，，，为的中点，若动点E以的速度从A点出发，沿着的方向运动，设E点的运动时间为t秒，连接，当是直角三角形时，的值为（　　）
A．4 B．7或9 C．4或9 D．4或7或9
8．已知等腰三角形的周长为，一边长为，则这个等腰三角形的底边长为（　　）
A． B． C． D．或
9．以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（　　）
A．2，3，5 B．6，6，13 C．8，5，2 D．6，8，10
10．四根小木棒的长度分别为、、和，用其中三根搭三角形，下列四个数中不是所搭成的三角形的周长是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，点E，F分别是菱形边的中点，交的延长线于点G．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
12．在和中，，，，已知，则（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
13．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边，点为轴正半轴上一动点（），设点的坐标为，连结，以线段为边的第四象限内作等边，直线交轴于点，点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
14．如图，直线与相交于点，点在直线上，点在直线上．下列结论不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
15．如图，在中，，若将该三角形往任意一方向一次性平移4个单位得到，分别取边的中点，则线段的长可能是（　　）
A．6 B．7 C．2 D．3
16．已知一个三角形的其中一个内角是它另外一个内角的两倍，且它的其中一边长是另外一边长的两倍，若它最短的边长为1，则这个三角形的周长不可能是（　　）
A． B． C． D．
17．如图，在等边中，过点作射线，点分别在边上，将沿MN折叠．使点落在射线CD上的点处，连接。已知。给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点与重合时．；④当最短时．．其中正确的结论是（　　）
A．①②④ B．①②③④ C．①③④ D．①②
三、解答题
18．中，、、所对的边分别是、、，且．
（1）若，，求；
（2），，求，．
19．在中，．
（1）若是整数，求的长；
（2）已知是的中线，若的周长为17，求的周长．
20．如图，在中，，，是边的中点，的周长是18，则的长是
21．如图，在矩形中，．为对角线，E、F分别是的中点，交对角线于点O．
（1）求的长；
（2）点G是对角线上的点，，求的长．
22．已知：如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，
求（1）AB的长；
（2）S△ABC．
23．如图，在正方形 ABCD中，E是CD的中点，F是AD的中点，BE 与CF 相交于点 P，连结 AP.设 AB=a.
（1）求证：BE⊥CF.
（2）求 AP，CP的长（用含 a 的代数式表示）.
24．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以为边在第一象限作平行四边形，其中，．点从点出发，沿边向点移动，过点作的垂线，交折线于点．将平行四边形在的左侧部分沿折叠，点O的对应点落在x轴上，设折叠部分与平行四边形的重叠部分（图中阴影部分）的面积为，．
（1）当重叠部分为三角形时（如图1），求S和的函数关系式（不写的取值范围）；
（2）当重叠部分为四边形时，请直接写出的取值范围；
（3）在点从点移动到点的过程中，S是否有最大值？如果有，请求出S的最大值；如果没有，请说明理由．
参考答案
1．
2．4
3．
4．；．
5．
6．C
7．D
8．A
9．D
10．B
11．C
12．D
13．A
14．C
15．D
16．D
17．A
18．（1）20
（2），
19．（1）8
（2）10
20．13
21．（1）
（2）1或4
22．（1）4；（2）2+2．
23．（1）证明：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠D=∠BCE=90°，CD=BC=AD，
∵ E是CD的中点，F是AD的中点，
∴ EC=CD，FD=AD，
∴ EC=FD，
∴ △CDF≌△BCE（SAS），
∴ ∠DCF=∠CBE，
∵ ∠DCF+∠BCP=90°，
∴ ∠CBE+∠BCP=90°，
∴ ∠CPB=180°-∠CBE-∠BCP=90°，
∴ BE⊥CF；
（2）解：延长CF交BA的延长线于点G，如图
∵ ∠D=∠FAG=90°，DF=AF，∠DFC=∠AFG，
∴ △CDF≌△GAF（ASA），
∴ CD=GA=AB=a，
∵ BE⊥CF，
∴∠BPG=90°，
∴ AP为Rt△BGP斜边BG上的中线，
即AP=BG=a，
由勾股定理得，BE==a，
∵ BE⊥CF，
∴ S△BCE=EC·BC=CP·BE，即EC·BC=CP·BE，
∴a·a=CP·a，
即CP=.
24．（1）
（2）或；
（3）有，
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