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24.4解直角三角形
一、填空题
1．若某人沿斜坡向上行走了17米，上升高度为8米，则此斜坡的坡度　 　．
2．如图，和两幢楼在同一水平面上．楼高30米．从楼的顶部A测得楼的底部C的俯角为，顶部D的仰角为，则楼的高度是　 　米．
3．如图，在菱形中，，，点E为边上一个动点，延长到点F，使，且、相交于点G．当点E从点A开始向右运动到点B时，则点G运动路径的长度为 　 　．
4．如图，某人在山坡坡脚 处测得电视塔尖点 的仰角为 ，沿山坡向上走到 处再测得点 的仰角为 ，已知 米，山坡坡度为，且 ，， 在同一条直线上，则此人所在位置点 的铅直高度为　 　米.
5．如图，在矩形中，点是边上一点，连接，．过点作的垂线，垂足为，的角平分线分别交，于点，．若，，，则的长为　 　．
二、单选题
6．如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（　　）
A．5 米 B．5米 C．2米 D．4米
7．在 中， ，则 的正弦值为（　　）
A． B． C．2 D．
8．如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯的倾斜角为，大厅两层之间的距离为6米，则自动扶梯的长约为（）（　　）．
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
9．如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（　　）米．
A． B． C． D．
10．如图，在水槽底部A处安装一支射灯，当水槽无任何介质时会在右侧槽壁上B处形成一个亮斑；当向池内注入某种透明溶液至图中位置时，会在右侧槽壁上C处形成一个亮斑．已知入射角，折射角，且，则前后两个亮斑B，C之间的距离为（　　）
A． B．
C． D．
11．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC边上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=2，则AC的长是（　　）
A． B．2 C．3 D．
12．如图，某中学初三数学兴趣小组的学生用一个锐角是30°的三角板测量教学楼的高度，已知测量人员与教学楼的水平距离为18米，测量人员的A眼睛与地面的距离为1.5米，则教学楼的高度是（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
13．一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（ ）
A． B． C． D．
14．如图，直立于地面上的电线杆，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是、，坡面的坡度，测得米，米，在D处测得电线杆顶端A的仰角为，则电线杆的高度为（　　）米.
A． B． C． D．
15．如图，在平面直角坐标系中，一个含角的直角三角板的顶点的坐标是，反比例函数经过中点，交于点，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
16．如图，在中，，．点是边上的中点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，延长交于点，连接，过点作，交于点．现有如下四个结论：①；②；③；④中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．如图，在中，，于点，点在线段上，点是边的中点，连接，作，点在边上，若，，则（　　）
A．当时，点与点重合 B．当时，
C．当时， D．当时，
三、解答题
18．如图，已知中，，.求的面积.
19．图1是一款笔记本电脑支架，它便于电脑散热，减轻使用者的颈椎压力.图2是支架与电脑底部的接触面以及侧面的抽象图.已知AC，BD互相平分于点O，AC=BD=24cm，若∠AOB=60°，∠DCE=37°.
（1）求CD的长.
（2）求点D到底架CE的高DF（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）.
20．我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？（已知）
如图，锐角中，、、所对的边分别为a、b、c，过点C作，
在中，，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，
整理可得：，
同理可得：．
利用上述结论解答下列问题：
（1）在中，，求a和的大小；
（2）在中，，其中，求边长c的长度．
21．综合与实践
目标 篮球架安装是否合格及测量伸臂距离地面的高度
工具 测角仪、卷尺
素材1 小敏借助测角仪测得：，，．
素材2 为计算篮球架的伸臂距离地面的高度，小明在点处测得：米，.在距离点左侧米的处测得：． （参考数据：，，）
任务一 利用素材1，判断篮球架安装是否合格，并说明理由．（篮球架安装要求：伸臂地面，支架地面）．
任务二 利用素材2，求篮球架的伸臂距离地面的高度．（结果保留一位小数）
22．如图，从楼层底部 处测得旗杆 的顶端 处的仰角是 ，从楼层顶部 处测得旗杆 的顶端 处的仰角是 ，已知楼层 的楼高为 米.求旗杆 的高度约为多少米 （参考数据： ）
23．已知：中，E在上，F在上，．
（1）如图1，D、F重合，，，，求的长．
（2）如图2，若F为中点，，求．
（3）如图3，中，，，，P为对角线上一动点，过P作于P，求的最小值．
24．如图，在中，，，．动点在折线上运动．当点不与点重合时，以为腰作等腰三角形，使，且底边在的内部．
（1）的长为________．
（2）当点在边上时，求的长．
（3）连结，当直线将分成面积相等的两部分时，求的长．
（4）设边与边的交点为点，当点将边分成两部分时，直接写出的长．
参考答案
1．
2．
3．
4．
5．
6．C
7．B
8．D
9．B
10．B
11．A
12．B
13．B
14．B
15．A
16．C
17．C
18．
19．（1）解：∵AC，BD互相平分于点O，AC=BD=24cm，
∴OA=OC=OB=OD=12cm，
∵ ∠AOB=60° ，
∴∠COD=60°，△COD是等边三角形，
∴CD=OC=12cm，
（2）解：∵sin ∠DCE =，
∴DF=CD·sin∠DCE=12×sin37°=12×0.6=7.2cm.
20．（1），；（2）
21．解：任务一：篮球架安装合格，理由如下，∵，
∴，合格，
如图所示，过点作，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，合格，
综上所述，篮球架安装合格；
任务二：如图所示，过点作于点，则，
∵，
∴，
设米，则，
∴米，
∵，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，即，
解得，，
∴米，
∴篮球架的伸臂距离地面的高度约为米．
22．解：作 于 点，
由题意可知： ，
设 ，则 ，
，
即： ，
则 ，
答：旗杆 的高度约为12米，
23．（1）
（2）
（3）10
24．（1）
（2）或5
（3）或
（4）或
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