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22.2一元二次方程的解法
一、填空题
1．已知关于的方程的两个根是和，则的值为　 　 ．
2．已知m和n是方程的两根，则　 　．
3．如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值为　 　.
4．设x1，x2是一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为　 　．
5．如图，矩形ABCD的边AB、BC是一元二次方程的两个解（其中），点E在BC边上，连接AE，把沿AE折叠，点B落在点处.当为直角三角形时，则的长是　 　．
二、单选题
6．解一元二次方程的过程中，变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．若关于的一元二次方程kx2+2x-1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k>-1 B．k≥-1 C．k>-1且k≠0 D．k≥-1且k≠0
8．一元二次方程 的根的情况（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
9．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　）
A．-9 B．9 C．-36 D．36
10．一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
11． 已知关于 的方程 的两个根分别为 ， 则二次三项式 可因式分解为（　　）
A． B．
C． D．
12．用配方法解一元二次方程 时，此方程可变形为（　　）
A． B． C． D．
13．用配方法解方程 时，配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
14．某节数学课上，老师让学生解关于的方程，下面是这三位同学的解答过程：
小逸 小明 小琛
两边同时除以，得． 整理得， 配方得， ，， ，． 移项得， ， 或， ，．
下列选项中，说法正确的是（　　）
A．只有小明的解法正确 B．只有小琛的解法正确
C．只有小逸的解法错误 D．小逸和小琛的解法都是错误的
15．已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根为x1，x2，下列说法：①若a，c异号，则方程ax2+bx+c=0一定有实数根：②若b=a+c，则方程ax2+bx+c=0一定有实数根；③若a=1，b=2，c=3，由根与系数的关系可得x1+x2=-2.x1x2=3，其中结论正确的有(　　)
A．① B．①② C．①②③ D．②③
16．如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支交于点，交于点，直线交轴于点，交轴于点，连接．则下列结论：
①；
②四边形为平行四边形；
③若，则；
④若，，则．
其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则m等于（　　）
A． B． C． D．
三、解答题
18．用适当的方法解方程
（1）
（2）
19．已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是-2，4，写出这个方程.
20．解一元二次方程：．
21．关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若两根为、且，求m的值．
22．如图，已知正方形 的边长为 1 ， 正方形 的面积为 ， 点 在 边上， 点 在 的延长线上， 设以线段 和 为邻边的矩形的面积为 ， 且 ．
（1）求线段 的长．
（2） 若 为 边的中点， 连结 ， 求证： ．
23．已知关于的方程.
（1）当时，求这个方程的根.
（2）若方程恰有两个不相等的实数根，求的值.
24．若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”．
（1）“快乐方程”的“快乐数”为________；
（2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”；
（3）若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值．
参考答案
1．2
2．
3．0
4．7
5．或2
6．C
7．D
8．B
9．B
10．B
11．D
12．D
13．A
14．C
15．B
16．C
17．A
18．（1），
移项得：，
配方得：，即，
直接开平方得：，
，；
（2）
提公因式得：，
∴或，
，．
19．解：∵一元二次方程的二次项系数是3，
∴a=3，
∵一元二次方程的两个根是-2，4，
∴
∴
∴一元二次方程为.
20．解：∵，
∴，
∴，．
21．（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：．
（2）解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，即，
整理得：，
解得：，．
又，
．
22．（1）解：设正方形CEFG的边长为a，
∵正方形ABCD的边长为1，
解得， (舍去) ，
即线段CE的长是
（2）证明：∵点H为BC边的中点，
23．（1）解：对于方程x3 -(a2 +a)x+a2=0，
∴x3-a2x-ax+a2=0，
∴x(x2-a)-a(x-a)=0，
即x(x+a)(x-a)-a(x-a)=0，
∴(x -a)(x2+ax-a)=0，
当a=1时，该方程可转化为(x-1)(x2 +x-1)=0，
∴可得x-l=0或x2+x-1=0，
由x-1=0，解得： x=1，
由x2 +x -1= 0，解得： x=
∴方程的解为：x1=1，x2=，x3=
故答案为：1；；
（2）依题意得：x-a=0或x2+ax-a=0，
由x-a=0，解得： x=a，
∵原方程恰有两个不相等的实数根，
∴x2+ax-a=0有两个相等的实数根，
∴根的判别式△=a2-4x1x(-a)=0，即a2 +4a = 0，
解得：a=0或a =-4，
当a =0时，方程只有一个实数根x=0，不符合题意，
当a=-4时，则x= -4，x2-4x+4=0，
由x2-4x+4=0解得：x=2，
此时方程恰有两个实数根x1=-4，x2=2.
综上所述：若方程恰有两个不相等的实数根，则a=-4.
故答案为：﹣4
24．（1）
（2）解：方程，
∴，
∵，
∴，
又方程是“快乐方程”，
∴4m+13是完全平方数，
∴或36，
∴，（舍去），
∴方程为可化为：，
∴，
故其“快乐数”数是；
（3）解：∵为“快乐方程”，
∴是完全平方数，
设，a为整数，
则，
∴或或或或或或或
解得或或（舍）或(舍)，
∴方程为：或；
∵为“快乐方程”，
∴是完全平方数，
，
当时，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴，
解得：或（舍），
当时，，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴，
解得：，
综上，n的值为0或3．
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