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23.3相似三角形
一、填空题
1．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件　 　，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）
2．，相似比为，则与的周长比为　 　．
3．如图，正方形的边在的直角边上，顶点E、F分别在边、上．已知两条直角边、的长分别为5和12，那么正方形的边长为　 　．
4．如图，中，，，点D是边的中点，分别过点A，B作直线，，且，过点D作直线，分别交，于点E，F．当以A，D，E为顶点的三角形与相似时，以A，D，E为顶点的三角形与的相似比k的值为　 　．
5．如图，正方形中，，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，连接，交于点M，将沿翻折，得到，连接，交于点G，若点F是边的中点，则线段的长是 　 　
二、单选题
6．如图，下列条件不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，已知，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．如果两个相似三角形的面积之比是，其中小三角形一个内角的角平分线的长为，那么大三角形对应角的角平分线的长为　 　．
9．如图，在平行四边形中，在上，、交于，若，且．则的长为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
10．如图，已知点，分别在的边，上，．若，，，则（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
11．如图，在锐角三角形ABC中，cm，cm，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为（　　）
A．4.5s或3s B．3s C．4.5s D．4.8s或3s
12．如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画圆弧，交于点，以为圆心长为半径画圆弧与的延长线交于点，连接分别与、交于点、，连接，下列结论中下列结论中错误的是（　　）
A．四边形为菱形 B．
C． D．
13．如图，中，，且，则的值是（　　）
A． B． C． D．
14．如图，安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PQ高CP=1.2 m，在路灯的照射下，路基CP留在地面上的影长EP为0.4 m，通过测量知道BC的距离为1.5 m，则路灯AB的高度是（　　）
A．3 m B．3.6 m C．4.5 m D．6 m
15．如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．则线段的最大值为（　　）
A． B． C． D．
16．如图，四边形是边长为2的正方形，点P为线段上的动点，E为的中点，射线交的延长线于点，过点E作的垂线交于点H，交的延长线于点F，则以下结论：①；②；③当点P与点B重合时，；④当点F与点C重合时，．成立的是（　　）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
17．如图，正方形与正方形边长相等，且三点共线，以为顶点构造菱形，且三点共线，设两块阴影部分的面积分别为和，则的值为（　　）
A． B． C． D．
三、解答题
18．如图，AB＝4，CD＝6，F在BD上，BC、AD相交于点E，且ABCDEF．
（1）若AE＝3，求ED的长．
（2）求EF的长．
19．如图，，，，，．求的长．
20．如图，两点分别在的边和上，，若直线把分成面积相等的两部分，求的值．
21．如图，王华在晚上由路灯走向路灯，当他走到点时，发现身后 他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，当他向前再步行到达点时 ，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，已知王华的身高是，如果两个路灯之间的距离为，且两路灯的高度相同，求路灯的高度.
22．如图1 是一个边长为1 的无盖正方体纸盒的展开图.过点 A1的直线分别与交于点M，N，展开图被直线分成面积相等的上、下两部分．
（1）填空：______；
（2）若，求的值；
（3）将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒后，求图2 中点 M，N之间的距离．
23．综合与实践
[问题背景]：
如图1，在四边形中，，，，连接，，过点作于点，且．
（1）求证：．
[操作探究]：
如图2，将沿直线方向向右平移一定距离，点，，的对应点分别为点，，，且点与点重合．
（2）①连接，试判断四边形的形状，并说明理由；
②求出平移的距离．
[拓展创新]：
如图3，在（2）的条件下，将绕点按顺时针方向旋转一定角度，在旋转的过程中，记直线分别与边，交于点，．
（3）当时，请求出的长．
24．在平面直角坐标系中，点B、E的坐标分别为B（-2，），E（4，0），过点E作直线l⊥x轴，设直线l上的动点A的坐标为（4，m），连接AB，将线段BA绕点B顺时针方向旋转30°得到线段BA′，在射线BA′上取点C，构造Rt△ABC，使得∠BAC＝90°．
（1）如图1，当m＝-时，求直线AB的函数表达式．
（2）当点C落在x轴上如图2的位置时，求点C的坐标．
（3）已知点B关于原点O的对称点是点D，在点A的运动过程中，是否存在某一位置，使△ACD与△ABC相似（包括全等）？若存在，请直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．∠ABC =∠ACD（答案不唯一）
2．
3．
4．或
5．
6．D
7．C
8．
9．C
10．D
11．D
12．B
13．D
14．C
15．B
16．C
17．B
18．（1）
（2）
19．
20．
21．解：由题意知：
即
解得
答：路灯的高度是
22．（1）
（2）1
（3）1
23．（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴；
（2）①四边形是菱形．
理由：由平移的性质，得，．
∴四边形是平行四边形．
由（1），得．
∴四边形是菱形；
②∵，
∴．
∴，
在中，．
∴，
解得．
∴平移的距离为；
（3）解：∵，
∴，．
∵，
∴，
由旋转得，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
由旋转的性质，得，．
设，则．
在中，根据勾股定理，，
解得．
∴．
24．（1）解：设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，则有：
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：；
（2）解：当点C在x轴上时，设C点的坐标为（n，0）；
过B作BH⊥l于点H，则BH＝6，CE＝n-4，AH＝m-，
∵∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAE＝∠ACE，
∴△ABH∽△CAE，
∴，
∴，
解得：，n＝5，
∴C(5，0)
（3）解：点A的坐标为（4，5）或（4，）或（4，）或（4，-）或（4，-2）．
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