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23.4中位线
一、填空题
1．如图，在中，分别为的中点，若，则的长度为　 　．
2．如图，点D，E分别是的边的中点，连接BE，过点C作，交的延长线于点F，若，则EF的长为　 　．
3．如图，菱形的对角线交于点，为的平分线，，为的中点，连接，若菱形的周长为24，则的面积为　 　．
4．如图，在四边形中，分别是的中点，满足条件 　 　 时，四边形是菱形．
5．如图所示，在中，点，，分别是、、的中点，，，分别是、、的中点，…，以此类推．若的周长为1，则的周长为　 　．
二、单选题
6．在中，对角线与交于点O，在延长线上取一点E，连接交于F．已知，则的长等于（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，分别是的边上中线，则（　　）
A． B． C． D．
8．某地需要开辟一条隧道，隧道的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点，使到两点均可直接到达，测量找到和的中点，测得的长为，则隧道的长度为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，若菱形的周长，则菱形的一边的中点E到对角线交点O的距离为（　　）
A． B． C． D．
10．如图所示，某数学小组为测量池塘两侧两点之间的距离，在空地上另取一点，并找到的中点，通过测量得，则（　　）
A．15 B．30 C．45 D．60
11．如图，在矩形中，，分别是边，的中点，，分别是线段，的中点．当时，四边形是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
12．如图，在四边形中，，，，P、M、N分别是的中点，若．则的周长是（　　）
A．10 B．12 C．16 D．18
13．如图，是的中位线，过点C作交的延长线于点F，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
14．点、点分别是边、的中点，沿直线将折叠，若点的对应点为，则（　　）
A．点落在内
B．点落在外
C．点落在边上，且
D．点落在边所在的直线上，且
15．如图，在中，，点D、E分别在边AB和BC上，且，，连接DE，点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN，则MN的长度为（　　）
A． B． C．2 D．
16．如图，已知在中，点G是中线上一点，且，点D、E分别在边上，经过点G，那么下列结论中，错误的是（　　）
A．如果，那么
B．如果点E与点C重合，那么
C．的和是一个定值
D．的和是一个定值
17．在中，，，，点N是边上一点．点M为边上的动点（不与点B重合），点D，E分别为，的中点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
三、解答题
18．如图，在四边形中，，点是对角线的中点，点和点分别是与的中点．若，求的度数．
19．如图，矩形中，对角线相交于O，E，F分别是的中点．若，求的长．
20．如图，在中，已知，，平分，于点，为中点．求的长．
21．如图 ， 是 的两条中位线． 我们探究的问题是： 这两条中位线和三角形的两条边所围成的四边形的形状与原三角形的边或角有什么关系？ 建议按下列步骤探索：
（1）围成的四边形是否必定是平行四边形？
（2）在什么条件下，围成的四边形是菱形？
（3）在什么条件下，围成的四边形是矩形？
（4）你还能发现其他什么结论吗？
22．已知：如图1，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接、，得到四边形（即四边形的中点四边形）．
（1）四边形的形状是__________，证明你的结论．
（2）如图2，请连接四边形的对角线与，当与满足__________条件时，四边形是正方形，证明你的结论．
23．【问题探究】
（1）如图1，在正方形中，，点、分别在边、上，，，连接、、，于点，求的长；
【问题解决】
（2）2025年是中华全国总工会成立100周年，4月28日上午，党中央隆重召开全国劳动模范和先进工作者庆祝表彰大会．为加强劳动教育，落实五育并举，某校计划在校内建立劳动实践基地，如图2为基地的平面规划示意图，在矩形中，米，米，边上的点为出入口，米，、为两条走廊，现计划在上取点，沿修建第三条走廊，取的中点，沿修建一条运输通道，请你计算运输通道的最小值．
24．已知矩形，，，将矩形绕A顺时针旋转，得到矩形，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F，点D的对应点是点G．
（1）如图①；当时，连接，求的长；
（2）如图②，当边经过点D时，延长交于点P，求的长；
（3）连接，点M是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值　 　．
参考答案
1．2
2．
3．
4．
5．
6．B
7．B
8．C
9．B
10．D
11．D
12．B
13．D
14．D
15．A
16．D
17．D
18．
19．
20．2
21．（1）解：围成的四边形一定是平行四边形．
是 的两条中位线，
．
四边形 是平行四边形
（2）解：当 时， ，
四边形 是菱形
（3）解：当 时， 四边形 是矩形．
（4）解：当 时， 四边形 是正方形
22．（1）证明：四边形是平行四边形，证明如下；如图1，连接，
点E、H分别是中点，
∴，，
同理，，，
∴，，
四边形是平行四边形
（2）解：互相垂直且相等（且），证明如下；如图2，连结，
同理（1）可知，四边形是平行四边形，
∵，
∴，
平行四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形．
23．（1）12；（2）88米
24．（1）解：连接、，
∵是矩形，
∴，
又∵，，
∴，
由旋转可得，
∴；
（2）解：如图，连接，
由题意可知，在 中，，
根据勾股定理得，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）
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