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广东省韶关市浈江区三校联考2024—2025学年下学期九年级 二模考试数学试题
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A． B．2025 C． D．
2．下列四个博物馆的标志中，文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．韶州体育馆是广东省第十三届中学生运动会主场馆，该体育馆建筑面积约为27360平方米，数据27360用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．为了帮助学生提升学习数学的兴趣，在数学文化阅读周，学校组织同学们从《周髀算经》、《 九章算术》、《数书九章》、《 孙子算经》、《五经算术》中选择一本阅读，小明从这五本数学著作中选中《数书九章》的概率是（ ）
A． B． C． D．1
6．如题，使用剪刀时会张开一定的角度，已知，平分，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
7．在2024年巴黎奥运会中，“中国梦之队”首次包揽了8枚金牌．假设在全红婵的某场跳水比赛中，5位裁判给出的分数分别是，，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．平均数是 B．中位数是 C．众数是 D．方差是0.8
8．不等式组的解集为（ ）
A．无解 B． C． D．
9．若，则（ ）
A．4 B． C． D．
10．如图1，现有一台可调节温度的取暖器，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现控温．如图2是该取暖器的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法错误的是（ ）
A． I与R的函数关系式是
B． 当时
C．当时，I的取值范围是
D． 已知该取暖器的发热功率为，则P随R的增大而增大
二、填空题
11．因式分解： ．
12．如图，韶关市城市新地标韶阳楼坐落在美丽的森林公园内．韶阳楼的地底藏有一座神秘古塔的塔基，正与韶阳楼的中心位置重合，该塔基是正六边形，此六边形的内角和为 ．
13．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
14．如图，在等腰直角三角形中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是 ．
15．已知点是反比例函数和一次函数上的一点，则点到原点的距离为 ．
三、解答题
16．计算：．
17．如图，在中，是的直径．
(1)尺规作图：作半径的垂直平分线，交于两点，交半径于点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)若的半径是4，连接，沿着半径剪开，把和构成的扇形围成圆锥的侧面，求这个圆锥的底面周长．
18．每年的12月底至1月初，是韶关皇帝柑的最佳品尝期，某果园计划种植皇帝柑，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求，现决定改良品种，改良后平均每亩产量是原来的倍，总产量比原计划增加6万千克，种植面积可减少30亩，求改良后的皇帝柑品种平均每亩产量是多少万千克？
19．白土月饼是非物质文化遗产，始创于明崇祯年间，至今已有400多年历史，为了解同学们对某白土月饼厂家生产的多种月饼的喜爱情况，某实践探究小组对九年级部分同学做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告：
xx小组关于xx学校学生月饼品种喜爱情况调查报告
数据收集
调查方式 抽样调查 调查对象 xx学校九年级部分学生
数据的整理与描述
品种

数据分析及运用
（1）本次被抽样调查的学生总人数为______，扇形统计图中，______； （2）请补全条形统计图； （3）该学校总人数为2000人，请你估计该学校学生喜欢吃莲蓉月饼和冰皮月饼的总人数； （4）甲乙两位同学根据调查的数据，发现A，C，E三种月饼最受欢迎，计划从这三个品种中挑选一种推荐给朋友，请用树状图或列表的方法求出他们恰好选择同一种月饼的概率．
20．周末，小明和爷爷去河边叉鱼，他在船上观察鱼的位置．如图，已知光线从点出发，经水面点折射到鱼处，其中入射角为，当光从空气斜射入水中时，折射光线会向法线偏折，折射角为，小明观察到鱼的像在点处，鱼的实际位置在点处，点和点所在直线可近似看成与水面垂直，若鱼的像到光线与水面的交点的距离为，小明要在他看到的鱼的位置再往下叉多少厘米才能叉到鱼？（参考数据：结果精确到）
21．综合与实践
【主题】悬挂法确定匀质薄板的重心
【素材】厚度均匀的硬纸板（三角形、矩形、正方形、不规则形状）、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等．
【实践操作】
步骤1：用细棉线系住小孔将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出与细棉线相反方向竖直向下的重力的作用线；
步骤2：用细棉线系住另一个小孔将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线；作用线与作用线的交点即为硬纸板的重心．
【实践探索】
(1)根据实践操作步骤，画出题图2中不规则形状硬纸板的重心；
(2)我们在八年级学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验再次验证这一事实，如图3，在中，、、分别是的三条中线，点是的重心；
①若的面积是6，则的面积是____________；
②通过测量，发现三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍，请用你所学的数学知识进行证明．
22．【问题背景】菱形的边长为，其中，是边上的一个动点，作射线，点关于直线的对称点为，连接，直线与射线交于点，连接．
【知识技能】
（1）如图1，连接，求证：；
（2）如图2，连接，求证：；
【拓展探索】
（3）当在直线上运动时，求时，的长度是多少？
23．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，将矩形绕原点顺时针方向旋转，得到矩形．设直线与轴交于点，抛物线经过三点，解答下列问题：
(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)如图1，若点是直线上的一个动点，以为圆心，1为半径作圆，点的运动时间是秒，⊙以每秒个单位长度从点向点运动，当⊙与矩形有交点时，求运动时间的取值范围；
(3)如图2，在（2）的条件下，点是线段上的一个动点，以每秒1个单位长度从向运动，连接，以为边作正方形，当其中一个点运动到终点时，运动停止，当点运动到那个位置时，正方形的面积最小，并求出正方形面积的最小值和点的坐标．
参考答案
1．B
解：的相反数是，
故选：B．
2．B
解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．C
解：∵，
故选：C．
4．B
解：A、，故此选项运算错误，不符合题意；
B、，故此选项运算正确，符合题意；
C、，故此选项运算错误，不符合题意；
D、，故此选项运算错误，不符合题意；
故选：B．
5．A
解：因为共有五本书，
所以小明从这五本数学著作中选中《数书九章》的概率是，
故选：A．
6．C
解：∵，平分，
∴，
故选：C．
7．B
解：5个数按从小到大的顺序排列，，，，，
A、平均数是，故本选项不符合题意；
B、中位数是，故本选项符合题意；
C、和出现次数最多，众数是和，本选项不符合题意；
D、方差是，本选项不符合题意．
故选：B．
8．D
（1）解：∵
∴解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
故选：D．
9．C
解：∵，
∴，，
解得：，，
∴．
故选：C．
10．D
解：A.点在反比例函数的图象上，
，
解得
反比例函数的解析式是，正确，不符合题意；
B. 当时，，正确，不符合题意；
C. 当时，，当时，，根据反比例函数的性质，得I随R的增大而减小，由，故I的取值范围是，正确，不符合题意；
D. 已知该取暖器的发热功率为，I是变量，R是变量，无法这样描述它们之间的关系，错误，符合题意；
故选：D．
11．
解：，
故答案为：．
12．/度
解：根据多边形的内角和为：，得正六边形的内角和，
故答案为：．
13．
解：根据题意得，
解得：，
故答案为：．
14．/
解：根据题意，得，，
故,
故阴影部分的面积为
．
故答案为：或．
15．
解：联立，
整理得：，
∵点是反比例函数和一次函数上的一点，
∴，，
∴，
∴，
，
∴，
∴点到原点的距离为．
故答案为：．
16．
解：
．
17．(1)见解析
(2)
（1）解：如图所示，
则直线为所求．
（2）解：连接，
∵直线是线段的垂直平分线，的半径是4；
∴；
∴；
∴；
∵；
∴；
∴；
∵的长为；
又∵扇形围成圆锥的侧面时，圆锥的底面周长等于扇形的弧长，
∴圆锥的底面周长是．
18．改良后的皇帝柑品种平均每亩产量是万千克
解：设改良前的皇帝柑品种平均每亩产量是万千克，则改良后的皇帝柑品种平均每亩产量是万千克，
依题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴，
答：改良后的皇帝柑品种平均每亩产量是万千克．
19．（1）120，30；（2）图见解析；（3）1100人；（4）
（1）解：根据题意，得 (人)，
，
故，
故答案为：120，30．
（2）解：喜欢豆沙月饼的人数为： (人)，
补图如下：
．
（3）解：根据题意，得（人）
答：估计该学校学生喜欢吃莲蓉月饼和冰皮月饼的总人数为1100人．
（4）解：根据题意，画树状图如下：
一共有9种等可能结果，其中两位同学选择同一种月饼有3种可能结果
∴P（甲乙两同学选择同一种月饼）
20．
解：由题可知，，
过点B作垂直于水面所在直线l，垂足为C，
则共线，，
∴，，
在中，，
∴，
，
在中，，
∴，
∴，
答：小明要在他看到的鱼的位置再往下叉才能叉到鱼．
21．(1)见解析
(2)①2；②见解析
（1）解：如图所示，重心即为所求：
（2）①解：∵、、分别是的三条中线，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∴；
故答案为：2；
②证明：如图，连接，
∵、是的中线，
∴，，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
同理可得，，
∴三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）当在直线上运动，时，或
解：（1）证明：∵点关于直线对称；
∴垂直平分；
∴；
又∵；
∴；
∴；
∵四边形为菱形；
∴；
∵；
∴；
∴；
∴
（2）证明：∵；
由（1）得：；
∴；
∴四点共圆；
∵和是同弧所对圆周角；
∴；
∵在四边形中，
，且；
∴；
∵四边形为菱形；
∴，；
∴，；
∴；
又∵；
∴；
∴，即；
∵，；
∴；
∴；
∴
（3）①当点在点右侧时，过点作的垂线，交的延长线于点；
∵；
∴；
∴，；
∴；
∴在中，；
由（2）得：，即；
∴；
②当点在点左侧时，过点作的垂线，交的延长线于点；如图所示：
∵；
∴，；
∴；
∴在中，；
同（1）可证：，且和都是同侧所对；
∴四点共圆；
∵和是同弧所对圆周角，和是同弧所对圆周角；
∴，；
∴；
∴；
∴，即；
∴；
综上所得，当在直线上运动，时，或．
23．(1)直线的解析式为；抛物线的解析式
(2)当⊙与矩形有交点时，运动时间的取值范围为
(3)当时，正方形的最小面积为0.9，此时点坐标为
（1）解：∵矩形的边，
且绕原点顺时针方向旋转，得到矩形；
∴点的坐标分别为；
设直线的解析式为；
把点的坐标代入解析式得：

解得：
∴直线的解析式为；
∵点是直线与轴的交点，令；
解得：；
∴点的坐标为；
∵抛物线与轴交于两点；
∴设抛物线的解析式为；
把点的坐标代入解析式得：；
解得：；
∴抛物线的解析式为；
即；
（2）解：∵点的坐标为；
∴；
∴，；
∴在中，，
在中，；
当⊙与边相切时，⊙与矩形最先有交点；
设⊙与边相切于点，连接；
∵⊙与边相切于点；
∴，；
易证：；
∴即；
解得：；
∴；
∴；
当⊙与边相切时，⊙与矩形最后有交点；
设⊙与边相切于点，连接；
∵⊙与边相切于点；
∴，；
易证：；
∴即；
解得：；
∴；
∴；
∴当⊙与矩形有交点时，运动时间的取值范围为；
（3）解：由题意得：，其中；
过点分别作的垂线，垂足分别为；
∵；
∴；
∴；
∴，
；
∴，；
∴，；
∴；
∴在中，；
∴；
∵，且；
∴当时，正方形的面积最小，其最小面积为0.9；
此时，，；即点坐标为．
∴当时，正方形最小面积为0.9，此时点坐标为

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