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重庆第十八中学2024-2025学年九年级下学期数学期中考试卷
一、单选题
1．下列各数中是无理数（ ）
A．3.1415926 B． C． D．
2．如图，由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
3．关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．图像位于第二、四象限
B．图像与坐标轴有公共点
C．图像所在的每一个象限内，随的增大而减小
D．图像经过点，则
4．如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB：OE＝2：3，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（　　）
A．2 B．6 C．8 D．9
5．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
6．估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
7．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 （ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，在斜边上取中点，使得以点为圆心，长为半径的弧，刚好经过点、、，又以点为圆心，长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形中，点为正方形内部一点，连接、，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点落在的延长线上，的延长线交于点，连接交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．按顺序排列的8个单项式，，，，，，，中，任选个互不相邻的单项式（其中至少包含一个系数为1的单项式和一个系数为的单项式）相乘，计算得单项式M，然后在剩下的单项式中再任选若干个单项式相乘，计算得单项式N，最后计算，称此为“积差操作”．例如：当时，可选互不相邻的，，相乘，得，在剩下的单项式，，，，中可选，相乘，得，此时，．下列说法中正确的个数是（ ）
①存在“积差操作”，使得为五次二项式；
②共有3种“积差操作”，使得；
③共有12种“积差操作”，使得．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．成渝高铁是“十二五”国家重点铁路建设项目，2010年3月开工建设，2015年12月26日开通运营。该工程估算投资总额3980000万元，将数3980000用科学记数法表示为 ．
12．在一个不透明的布袋里装有个白球和个黄球，这些球除颜色不同其他没有任何区别．若从该布袋里任意摸出个球，摸出小球均为黄球的概率为 ．
13．一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为，则这个正多边形的边数为 ．
14．若关于的不等式组有且只有五个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为 ．
15．如图，内接于，直径交弦于点E，延长交过点C的切线于点F，连接．若， ，，则 ， ．
16．一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差多，则称这样的四位数为“多益数”, 如: ，∵, ∴是“多益数”；又如：， ∵，∴不是“多益数”；现有一个“多益数”，千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为（，），将M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数 ，若 ，能被整除, 则 ；规定 ，若为完全平方数，则满足条件的“多益数”中，最大值与最小值的差是 ．
三、解答题
17．（1）计算：；
（2）计算：；
（3）化简求值：，其中满足．
18．小明想利用三角形全等的知识，再探三角形中位线定理，他的探究思路如下：如图，在中，点、分别为、的中点，连接，过点在的右边作，使得，延长交于点，然后通过证明和平行四边形来证明三角形中位线定理，请完成下面的作图和填空．

(1)用尺规完成以下基本作图：以点为顶点，在的右侧作，延长，交于点；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)求证：，．
证明：∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴① ．
在和中，
，
∴，
∴③ ，，
∵点为的中点，
∴，
∴④ ，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴⑤ ，
∴，．
19．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：，B：，C：．下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，85，85，87，87，87，94，96，98；
八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：82，83，86，89，89．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
学生 平均数 中位数 众数 方差
七年级 87 86 b 52.4
八年级 87 a 89 62.4
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
(3)该校七年级共有900人参赛，八年级共有850人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有多少人？
20．某水果店购进了一批苹果和水蜜桃，两种水果总重量为，苹果的进价是水蜜桃进价的倍，苹果的进货费用为元，水密桃的进货费用为元．
(1)求苹果和水蜜桃的进价分别是多少元每千克；
(2)该水果店将这批苹果全部按14元每千克的价格售出．由于水蜜桃不易保存，水果店将这批水蜜桃的按12元每千克的价格售出后，剩余的水蜜桃降价销售，并全部售出．如果这批苹果和水蜜桃的总利润不低于3700元，则水蜜桃降价销售的价格最少为多少元每千克？
21．如图1，在矩形中，点为中点，连接，，点沿着的方向运动，到点时停止运动，连接，设点运动的路程为，的面积为．
(1)直接写出的解析式及自变量的取值范围；
(2)在图2中画出的图象，并写出一条的性质；
(3)反比例函数如图所示，请直接写出时，自变量的取值范围（结果保留1位小数，误差不超过）．
22．寒假期间，小明和小红在处游玩，结束后相约去学校自习室，学校在点处，小明家在点处，小红家在点处，点在点的正东方向，点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，点在点的东北方向，且米，米．
(1)求小明家到学校的距离的长度（结果保留根号）；
(2)小明和小红同时从处出发，两人先各自回家取书包，再去学校自习室，小明步行的速度为米分，小红步行的速度为米分，请通过计算说明谁先到达学校自习室（两人取书包的时间忽略不计）．（参考数据：，，结果精确到十分位）
23．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图，点P是直线下方抛物线上一点，点A、E关于y轴对称，线段沿着射线平移．平移后的线段记为，当面积最大时，求的最小值．
(3)在（2）的基础上将抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线，在新抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由．
24．在等边中，于点D，点E是线段上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转到，连接．
(1)如图1，，，求的面积：
(2)如图2，以为边在右侧作等边，延长交的延长线于点H．若，求证：；
(3)如图3，，点K为平面内一动点，连接、，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接．点M是线段的中点，以点M为直角顶点，为直角边，在上方作，，连接，当线段取最大值时，请直接写出的面积．
参考答案
1．C
解：3.1415926，是分数，属于有理数；
是整数，属于有理数；
是无理数．
故选：C．
2．B
解：这个几何体的俯视图是：

故选：B．
3．C
解：A．的图像位于第一、三象限，故该选项不符合题意；
B． 的图像与坐标轴没有有公共点，故该选项不符合题意；
C． 的图像所在的每一个象限内，随的增大而减小，故该选项符合题意；
D． 由的图像经过点，则，计算得或，故该选项不符合题意．
故选C．
4．D
解：∵△ABC与△DEF是位似图形， OB：OE＝2：3，
∴S△ABC:S△DEF=(2:3)2=4:9，
∵△ABC的面积为4，
∴S△DEF=9
故选D．
5．D
A选项：，这个等式左边是两个一次多项式的乘积，右边是一个二次多项式．这是一个典型的展开过程，不是因式分解．因此，A选项不是因式分解．
B选项：，这个等式右边是一个完全平方公式加上一个常数，它不是一个多项式乘积的形式，所以B选项不是因式分解．
C选项：，这个等式右边是乘以一个一次多项式再减去一个常数，这也不是一个多项式的乘积形式，因此C选项不是因式分解．
D选项：，这个等式左边是一个二次多项式，右边是两个一次多项式的乘积．因此D选项是一个正确的因式分解．
故选：D．
6．D
解：，
∵，
∴，
∴的值应在7和8之间，
故选：D．
7．C
由图可得，
甲烷的化学式中的有1个，有（个，
乙烷的化学式中的有2个，有（个，
丙烷的化学式中的有3个，有（个，
，
十二烷的化学式中的有12个，有（个，
即十二烷的化学式为，
故选：C．
8．D
解：连接，如图：
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵在斜边上取中点，使得以点为圆心，长为半径的弧，刚好经过点、、，又以点为圆心，长为半径画弧，
∴，
则
，
，
，
则图中阴影部分的面积，
故选：D．
9．A
解：连接，过点作，交的延长线于点，
∵正方形，
∴，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选A．
10．C
解：①存在“积差操作”，使得为五次二项式说法正确，如取、相乘得单项式，在剩下的单项式中任选5个单项式如：、、、、相乘得单项式，则是五次二项式；
②共有3种“积差操作”，使得说法错误，因为使得的“积差操作”有：、，
、，
、，
、共有4种；
③共有12种“积差操作”，使得说法正确，因为使得的“积差操作”有：、，
、，
、，
、，
、，
、，
、，
、，
、，
、，
、，
、共12种，
综上所述，已知说法中正确的个数是2．
故选：C．
11．
解：将数3980000用科学记数法表示为．
故答案为：．
12．
解：运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下，个白球用表示，个黄球用表示，
共有20种等可能结果，其中两个小球均为黄色的结果有，共2种，
∴摸出小球均为黄球的概率为，
故答案为： ．
13．6
解：这个正多边形的外角为，
所以这个正多边形为，
即这个正多边形为正六边形，边数为6，
故答案为：6．
14．14
解：解关于的不等式组，得，
关于的不等式组有且只有五个整数解，
可取6、5、4、3、2．
要取到2，且取不到，
，
，
，
解关于的分式方程，得，
关于的分式方程解为非负整数，
，
，且是2的整数倍，
又，
，
的取值为6、8，
的所有整数和为，
故答案为：14．
15． 9 /
连接，作于点，则，
∵是的直径，与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：9；．
16．
根据题意可知，．
，．
因为能被整除，所以．
∵，，
∴．
当时，．
∵，
∴．
∴．
∵为完全平方数，
∴．
∴（舍去）．
同理，当时，，，当时，，，当时，，，
∴满足条件的“多益数”中，最大值与最小值的差．
故答案为：　　
17．（1）；（2）；（3），
解：（1）原式
；
（2）
；
（3）原式
，
，满足，
，，
，，
原式．
18．(1)画图见解析
(2)①；②；③；④；⑤
（1）解：如图所示：

（2）∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，．
故答案为：①；②；③；④；⑤．
19．(1)；；
(2)七年级的成绩更好，理由见解析
(3)估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有525人．
（1）解：由题可得：八年级名学生的竞赛成绩中，可求得等级有名，等级中有5人，
∴八年级名学生的竞赛成绩的中位数为：，
∵七年级名学生的竞赛成绩为：75，76，85，85，87，87，87，94，96，98；；
∴众数，
∵八年级名学生的竞赛成绩中，等级有2名，等级中有5人，
∴等级有3名，
∴等级所占的百分比为：，
∴，
故答案为：；；；
（2）解：七年级的成绩更好，理由如下：
∵两个年级的平均数相同，而七年级的成绩的方差小于八年级的，
∴七年级的成绩更好；
（3）解：由题可得：（人）
答：估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有525人．
20．(1)水蜜桃的进价是5元每千克，则苹果的进价是元每千克；
(2)水蜜桃降价销售的价格最少为7元每千克．
（1）解：设水蜜桃的进价是x元每千克，则苹果的进价是元每千克，则
解得，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
，
答：水蜜桃的进价是5元每千克，则苹果的进价是元每千克；
（2）解：水蜜桃降价销售的价格为m元，
，
解得，
答：水蜜桃降价销售的价格最少为7元每千克．
21．(1)
(2)作图见解析，性质见解析（答案不唯一）
(3)或 （答案不唯一）
（1）解：当点沿着的方向运动时，设点运动的路程为，
，
在矩形中，，则，
；
当点沿着的方向运动时，设点运动的路程为，
，
过点作，如图所示：
，
在矩形中，，，，则，，
，即，
点为中点，
，
在中，，则由勾股定理可得，
，解得，
；
当点与点重合时，不存在，没有面积；
综上所述，；
（2）解：如图所示：
性质：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大（答案不唯一）；
（3）解：由（2）可知， 、的图象如下：
当时，函数图象在函数图象的上方，
过图象交点作轴的垂线，如图所示：
联立，则，即，解得，
或；
联立，则，即，解得，
或（负值舍去）；
当时，或．
22．(1)米
(2)小红先到达学校自习室
（1）解：如图所示，过点作于点，过点作于点，
依题意，
∴四边形是矩形，
又∵， ，
∴，
∴
∵，
∴
∴米
（2）解：在中，
∴，
∴
小明步行的速度为米／分，
∴小明到达学校自习室需要分钟
米, 小红步行的速度为45米/分
所用时间为：分钟，
∴小红先到达学校自习室．
23．(1)
(2)最小值为
(3)存在，点Q的横坐标为或．
（1）解：对于，令．
∴．
∴根据图象可知：点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为．
对于一元二次方程，根据二次函数和一元二次方程的关系，．
由根与系数关系可得：，
∴．
∴抛物线的解析式为．
（2）设点P坐标为，从点P向x轴作垂线，H为垂足，交于点G．
过点E作交y轴于点F．
根据题意，为等腰直角三角形．
故直线相当于直线向下平移了4个单位长度，根据平移性质直线的解析式为：．
∴点G坐标为．
∵，，
．
∴．
当时，点M坐标为，面积最大．
此时点H与点E重合，点M与点G重合，
当点M坐标为时，为和为的中位线，点F坐标为，点N的轨迹在与射线平行的射线上．
作点C关于直线对称点，根据为等腰直角三角形，可得点坐标为．
∴．
∵，
∴四边形在平移时始终为平行四边形，．
∴．
对于，，．
∴．
∴的最小值为．
故面积最大时，的最小值为2．
（3）根据题意，则，故抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线．相当于抛物线y先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到．如图，
根据平移性质可得．
由（2）知．
，则．
在和中，，
∴．
∴．
∵，
∴直线相当于直线向左平移了2个长度单位，
∴直线的解析式为．
如图，点Q有两个位置和，分别在第三象限和第四象限：
①点是和新抛物线y′的交点，满足．
结合直线和新抛物线的解析式：．
解得或，
由于在第三象限，所以的横坐标为．
②作出点A关于的对称点，然后作轴，T为垂足，再连接交抛物线右侧于点．
这样根据轴对称的性质，．
设交于点R．
∵，
∴．，
∵，即，
把，，代入比例式解得：
．
在中， ．
∴点的坐标为．
设直线的解析式为：，代入点P和点的坐标得：
，解得．
∴直线的解析式为：y．
结合抛物线可得： ，解得或．
由于点在第四象限，所以的横坐标为：．
综合①②可得，点Q的横坐标为或．
24．(1)
(2)见解析
(3)
（1）解：过点E作于点G，
∵等边中，于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
由旋转的性质得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为；
（2）证明：连接，过点G作于点P，
∵，，
∴，
∴，
同理（1）可得，
∴，
∵等边中，于点D，
∴垂直平分，
∴，
∴，
由旋转的性质得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在上取点，使得，连接，
由翻折的性质得到为定值，
∴点在以为圆心，长为半径的圆上运动，
∵，
∴，
∴，
∵点分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴点在以为圆心，长为半径的圆上运动，
∵，即，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴点在以为圆心，长为半径的圆上运动，
∴，
∴，
当三点共线，且点O在线段上时，线段取最大值，
此时最大值为，
过点N作于点T，
由（2）知垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴此时的面积为．

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