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【备考2026】中考数学真题2025分类精编精练7 二次函数
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共10小题）
（2025 甘肃）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x（x＞0），则水流喷出的最大高度是（　　）
A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m
（2025 威海）已知点（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1
（2025 陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　）
A．图象的开口向下
B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
C．函数的最小值小于﹣3
D．当x＝2时，y＜0
（2025 福建）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在抛物线y＝3x2+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（　　）
A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1
（2025 广安）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（n，0），有下列结论：①abc＜0；②4a+c＞2b；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝n；④．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2025 泸州）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点位于x轴下方，且x＝﹣1时，y＞0，下列结论正确的是（　　）
A．2a＝b B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣2b+4c＜0 D．8a+c＞0
（2025 南通）在平面直角坐标系xOy中，五个点的坐标分别为A（﹣1，5），B（1，2），C（2，1），D（3，﹣1），E（5，5）．若抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0）经过上述五个点中的三个点，则满足题意的a的值不可能为（　　）
A． B． C． D．
（2025 广州）在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）上，则下列结论中正确的是（　　）
A．当x1＜0且y1 y2＜0时，则0＜x2＜2
B．当x1＜0且y1 y2＞0时，则0＜x2＜2
C．当x1＜x2＜1时，则y1＜y2
D．当x1＞x2＞1时，则y1＜y2
（2025 浙江）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．下列选项正确的是（　　）
A．m＝12
B．n＝24
C．点C的纵坐标为240
D．点（15，85）在该函数图象上
（2025 烟台）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，顶点P的坐标为（1，n）．下列结论：①abc＜0；②对于任意实数m，都有am2+bm﹣a﹣b≥0；③3b＜2c；④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，且△PAB是等边三角形，则n．其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．①③④
2 、填空题（本大题共8小题）
（2025 广东）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（c，0），但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是　 　 ．（写出一个即可）
（2025 徐州）如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列代数式的值为负数的是　 　 （写出所有正确结果的序号）．
①a；
②2a+b；
③c；
④b2﹣4ac；
⑤a﹣b+c．
（2025 徐州）二次函数y＝x2+x+1的最小值为　 　 ．
（2025 资阳）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴相交于点A（0，2），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．给出以下4个结论：
①abc＜0；
②对于任意实数m，am2+bm+c+a的值不小于2；
③若P是对称轴上的一点，则OP+AP的最小值为；
④若点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，满足x1＜x2且x1+x2+2＞0，则一定有y1＜y2．
其中，所有正确结论的序号为 　 　 ．
（2025 连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 　 　 m．
（2025 上海）抛物线y＝3x2向下平移两个单位所得的抛物线解析式为　 　 ．
（2025 大庆）定义：若点A（m，n），点A1（﹣m，﹣n）都在同一函数图象上，则称点A和点A1为该函数的一组“奇对称点对”，记为[A，A1]．规定：[A，A1]与[A1，A]为同一组“奇对称点对”．例如：点B（1，2）和点B1（﹣1，﹣2）都在一次函数y＝2x的图象上，则点B和点B1为一次函数y＝2x的一组“奇对称点对”，记为[B，B1]．
下列说法正确的序号为 　 　 ．
①点A（1，1），点A1（﹣1，﹣1），则点A和点A1为二次函数y＝x2+x﹣1的一组“奇对称点对”；
②反比例函数有无数组“奇对称点对”；
③点C（1，2），点C1（﹣1，﹣2），若[C，C1]为函数y＝ax2+bx﹣1的一组“奇对称点对”，则a＝2，b＝2；
④由函数y＝﹣x在x＜0范围内的图象与函数y＝﹣x2+2x﹣k（k＞0）在x≥0范围内的图象组成一个新的函数图象，将该图象所对应的函数记为w函数，其解析式可写为．若w函数有两组“奇对称点对”，则k的取值范围是．
（2025 武汉）已知二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2（a为常数，且a≠0）．下列五个结论：
①该函数图象经过点（﹣1，0）；
②若a＝﹣1，则当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；
③该函数图象与x轴有两个不同的公共点；
④若a＞2，则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根大于0且小于1；
⑤若a＞2，则关于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝2的正数根只有一个．
其中正确的是　 　 （填写序号）．
3 、解答题（本大题共6小题）
（2025 广东）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km，主塔高0.27km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785km，主缆最低处距离桥面0.0015km，桥面距离海平面约0.09km．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式．
（2025 大庆）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（65≤a≤72且a为整数）．
（1）分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本；
（2）求当a为何值时，每天的利润W最大．
（2025 南通）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动．
已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为60m的栅栏围成．兴趣小组设计了以下两种方案：
方案一 方案二
如图1，围成一个面积为450m2的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃时，用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m的进出口（此处不用栅栏）．
（1）求方案一中与墙垂直的边的长度；
（2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？
（2025 浙江）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）．
（1）求a的值．
（2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值．
（3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值．
（2025 黑龙江）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A．点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为（3，﹣4）．
（1）求b与c的值．
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积与△ABC的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
（2025 湖北）抛物线yx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．
（1）求c的值；
（2）如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值；
（3）定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧MN（含端点M和N）．过M，N分别作x轴的垂线l1，l2，过抛物线弧MN的最高点和最低点分别作y轴的垂线l3，l4，直线l1，l2，l3与l4围成的矩形叫做抛物线弧MN的特征矩形，若点P在第四象限，记抛物线弧CP的特征矩形的周长为f．
①求f关于t的函数解析式；
②过点P作PQ∥x轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合．记抛物线弧CQ的特征矩形的周长为g．若f+g，直接写出PQ的长．
【备考2026】中考数学真题2025分类精编精练7 二次函数答案解析
1 、选择题
【考点】二次函数的应用
【分析】把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．
解：y＝﹣x2+2x（x﹣1）2+1（x﹣1）2，
∵﹣1＜0，
∴当x＝1时，y取最大值，最大值为，即2.75米，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【分析】先根据抛物线解析式确定二次函数的抛物线的开口方向和对称轴，然后再根据点与对称轴越近、对应的函数值越小解答即可．
解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+c，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，
∵三点为（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3），
∴与对称轴的距离分别为|﹣2﹣2|＝4，|3﹣2|＝1，|7﹣2|＝5，
∴1＜4＜5，
∴y2＞y1＞y3．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值
【分析】由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可．
解：由题意可得，
∵方程ax2﹣2ax+a﹣3＝0的两根异号，
∴，
解得0＜a＜3，
∴二次项系数a＞0，开口向上，故A不符合题意；
∵y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的对称轴为直线，
∴当x＞1时，y随x增大而增大，故B不符合题意；
∵当x＝1时，y＝﹣3，
∴最小值为﹣3，故C不符合题意；
当x＝2时，y＝4a﹣4a+a﹣3＝a﹣3，
∵0＜a＜3，
∴此时y＜0，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握其性质是解题的关键．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征, 二次函数的图象和性质
【分析】先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可．
解：∵y＝3x2+bx+1，
∴当x＝0时，y＝1，
∴抛物线过点（0，1），
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵3＜b＜4，
∴，
∵，，
∴点A（﹣2，y1）到对称轴的距离大于点（0，1）到对称轴的距离，小于B（1，y2）到对称轴的距离，
∴1＜y1＜y2，
故选：A．
【点评】本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【考点】二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，根与系数的关系
【分析】根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，即得a＜0，c＞0，进而可判断b＞0，即可判断结论①；
当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，可判断结论②；
根据二次函数与x轴的交点结合二次函数的对称性即可判断结论③④，可得答案．
解：根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
又∵抛物线的对称轴在y轴右侧，，
∴b＞0，
∴abc＜0，故结论①正确；
由函数的图象可得：当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故结论②错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A，B两点，点A（﹣1，0），点B（n，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝n，，故结论③④正确；
综上，结论正确的有3个，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【考点】二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点
【分析】根据对称轴计算公式可得，即b＝﹣2a，据此可判断A；
根据题意可得当x＝0时，y＜0，再由当x＝﹣1时，y＞0，可得抛物线与x轴的一个交点一定在直线x＝﹣1和y轴之间，则抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x＝2和直线x＝3之间，据此可判断B；
当x＝﹣2时，y＝4a+﹣2b+c＞0，再由b＝﹣2a，即可判断D；
二次函数与x轴的左交点在﹣1和0之间，当x时不确定对应的y值的符号，据此可判断C．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，
∴，
∴b＝﹣2a，故A选项中原结论错误，不符合题意；
∵抛物线与y轴的交点位于x轴下方，
∴当x＝0时，y＜0，
∵当x＝﹣1时，y＞0，
∴抛物线与x轴的一个交点一定在直线x＝﹣1和y轴之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x＝2和直线x＝3之间，
∴抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相同的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，故B选项中原结论错误，不符合题意；
∵当x＝0时，y＜0，且当x＝﹣1时，y＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x＝2和直线x＝3之间，
∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，
∴4a+2 2a+c＞0，即8a+c＞0，故D选项中原结论正确，符合题意；
∵二次函数与x轴的左交点在﹣1和0之间，
∴当x时不确定对应的y值的符号，
故C选项中原结论不正确，不符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，掌握以上知识点是解题的关键．
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据已知点的坐标特征和抛物线的对称性得到：点A．E同时在抛物线上或同时不在抛物线上，然后分四种情况利用待定系数法求得a的值，即可判断．
解：∵抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0）
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2．
∵A（﹣1，5），E（5，5），且2，
∴点A．E同时在抛物线上或同时不在抛物线上．
当抛物线过A．E、B时，
把B（1，2），A（﹣1，5）代入得，
解得a；
当抛物线过A．E、C时，
把A（﹣1，5），C（2，1）代入得，
解得a，
当抛物线过A．E、D时，
把A（﹣1，5），D（3，﹣1）代入得，
解得a，
当抛物线过B、C、D时，
把C（2，1）代入解析式求得k＝1，
∴y＝a（x﹣2）2+1，
把B（1，2）代入得a+1＝2，解得a＝1，
把D（3，﹣1）代入得a+1＝﹣1，解得a＝﹣2，
∴B、C、D三点不能同时在抛物线上，
综上，a的值可能为，，，不可能为，
故选：C．
【点评】本题综合考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的对称性，分类讨论是解题的关键．
【考点】二次函数的图象性质，二次函数图象上点的坐标特征
【分析】抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）开口向上，顶点为（1，﹣a），与x轴交于（0，0）和（2，0），分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可．
解：∵y＝ax2﹣2ax（a＞0），
∴抛物线的开口向上，
则对称轴为直线，
把x＝1代入y＝ax2﹣2ax得y＝a﹣2a＝﹣a，
∴顶点为（1，﹣a），
∵两点A（x1，y1）．B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0），
∴当x1＜0目y1 y2＜0时，y1＞0（因x＜0时抛物线在x轴上方），
故y2＜0，
此时0＜x2＜2，故A选项的结论正确；
当x1＜x2＜1时，抛物线在x＜1时递减，
故x2越大，y2越小，
即y1＞y2，故C选项的结论错误；
当x1＜0且y1 y2＞0时，y2＞0，
此时x2应满足x2＜0或x2＞2，故B选项的结论错误；
当x1＞x2＞1时，抛物线在x＞1时递增，
故x1越大，y1越大，
即y1＞y2，故D选项的结论错误；
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象性质，掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
【考点】二次函数的应用
【分析】依据题意，作PG⊥AB，当x＝1时，动点Q运动到点H的位置，得到PH2＝225当点Q运动到点G的时候，PQ2最小为81，HG＝m﹣1，勾股定理求出m的值，判断A；当x＝m时，点Q运动到点B，根据三线合一，得到BG＝HG，进而求出n的值，判断B；连接AP，勾股定理求出AP2的长，确定C的纵坐标，判断C；依据题意，求出x＝15时，可得点Q的位置，再利用勾股定理求出PK2判断D．
解：如图，作PG⊥AB于G，当x＝1时，动点Q运动到点H的位置，则由题意和图象可知PH2＝225，当点Q运动到点G的时候，PQ2最小，即：PG2＝81，HG＝m﹣1＝12．
在Rt△PGH中，由勾股定理，得225＝81+（m﹣1）2，
∴m＝13．
∴A错误．
∴AG＝m＝13，HG＝m﹣1＝12．
当x＝n时，点Q运动到点B，则PB2＝225＝PH2，
∴PB＝PH，
∵PG⊥AB，
∴BG＝HG＝12，
∴AB＝13+12＝25，
∴选项B错误．
∴当x＝0，即点Q在A点时，
∴AP2＝AG2+PG2＝132+81＝250．
∴点C的纵坐标为250．
∴选项C错误．
当x＝15时，点Q运动到点K，
∴AK＝15．
∴GK＝AK﹣AG＝2．
∴PK2＝KG2+PG2＝4+81＝85．
∴点（15，85）在该函数图象上．
∴选项D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了动点的函数图象、勾股定理、垂线段最短、等腰三角形的性质，解题时要熟练掌握并能从函数图象中有效的获取信息，确定点Q的位置是关键．
【考点】二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，等边三角形的性质
【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧，a＜0，b＞0，c＞0，可得①符合题意；
结合当x＝1时，n＝a+b+c最大，当x＝m时，y＝am2+bm+c，可得②不符合题意；
由，a﹣b+c＞0，可得3b＜2c，可得③符合题意；
由PH＝tan60° AH，记A，B的横坐标分别为x1，x2，可得，结合n＝a+b+c＝c﹣a，可得a（a﹣c）＝3，可得④符合题意．
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①符合题意；
∵顶点P的坐标为（1，n），
∴当x＝1时，n＝a+b+c最大，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴am2+bm﹣a﹣b≤0，故②不符合题意；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于（﹣2，0）和 （﹣1，0）之间，对称轴为直线x＝1，
∴，a﹣b+c＞0，
∴，，
∴3b＜2c，故③符合题意；
如图，△PAB为等边三角形，
∴PA＝AB＝PB，PH⊥AB，HA＝HB，∠PAB＝60°，
∴PH＝tan60° AH，
记A，B的横坐标分别为x1，x2，
∴n（x2﹣1）（1﹣x1），
∴2n，
当y＝ax2+bx+c＝0，则x1+x22，，
∴，
∴，
∵n＝a+b+c＝c﹣a，
∴，
∴a（a﹣c）＝3，
∴，故④符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的性质，熟练的利用等边三角形的性质结合二次函数的图象解题是关键．
2 、填空题
【考点】二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征
【分析】先由二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（c，0），得到0＝﹣c2+bc+c，再由二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象不经过原点，得到c≠0，从而得确定c﹣b＝1，若取b＝1，即可得到c＝2，从而确定函数表达式．
解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（c，0），
∴0＝﹣c2+bc+c，
∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象不经过原点，
∴c≠0，
则c﹣b＝1，
若取b＝1，则c＝2，
∴该二次函数的表达式可以是y＝﹣x2+x+2，
故答案为：y＝﹣x2+x+2（答案不唯一）．
【点评】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，熟练掌握待定系数法确定函数表达式的方法是解决问题的关键
【考点】二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点
【分析】根据抛物线与x轴（y轴）的交点，开口方向，对称轴及特殊点的函数值，逐一判断符号．
解：由图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0；
由图示知，对称轴x1，故2a+b＜0；
由图示知，抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0；
由图示知，抛物线与x轴有2个交点，b2﹣4ac＞0．
由图示知，当x＝﹣1时，抛物线在x轴的下方，
∴y＝a﹣b+c＜0，
综上所述，代数式的值为负数的是①②⑤．
故答案为：①②⑤．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．关键是根据图象与坐标轴的交点，开口方向，对称轴，顶点坐标，特殊点的函数值进行判断．
【考点】二次函数的最值
【分析】先将二次函数解析式配成顶点式，再得出最小值．
解：∵y＝x2+x+1，
∴最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的最值，掌握顶点式是解题的关键．
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称﹣最短路线问题
【分析】根据开口方向，对称轴，与y轴的交点位置，判断①，最值结合对称轴判断②；作点O关于对称轴的对称点O'，连接O'A，O'A的长即为OP+AP的最小值，勾股定理求出O'A的长，判断③，对称性结合增减性，判断④即可．
解：由图象和题意可知：a＞0，，
当x＝0时，y＝c＝2，
∴b＝2a＞0，
∴2a﹣b＝0，abc＞0；故①错误，
当x＝﹣1时，函数取得最小值为：a﹣b+c，
∴对于任意实数m，am2+bm+c+a≥a﹣b+c+a＝2a﹣b+c＝c＝2，
∴am2+bm+c+a的值不小于2，故②正确；
作点O关于对称轴的对称点O'，连接O'A，
则：O'（﹣2，0），
∴当点P在O'A上时，OP+AP的值最小为O'A的长，
∵A（0，2），
∴，
∴OP+AP的最小值为，故③正确；
∵抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，满足x1＜x2且x1+x2+2＞0，
∴，
∴点（x2，y2）离对称轴远，
∴y1＜y2，故④正确；
故答案为：②③④．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，从函数图象中获取信息，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
【考点】二次函数的应用
【分析】由题得A（0，1.6），代入y＝a（x﹣3）2+2.5，得出抛物线的解析式为，令y＝0，求解即可，
解：由题意，OA＝1.6m，
得A（0，1.6），
将A（0，1.6）代入y＝a（x﹣3）2+2.5，
得：1.6＝a（0﹣3）2+2.5，
解得：，
∴，
令y＝0，得，
解得：x1＝8，x2＝﹣2，
∴OB为8m，
故答案为：8．
【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
【考点】二次函数图象与几何变换
【分析】根据二次函数的平移法则进行平移即可．
解：∵抛物线y＝3x2向下平移两个单位，
∴y＝3x2﹣2，
故答案为：y＝3x2﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的平移，掌握二次函数平移法则是解题的关键．
【考点】二次函数的性质，根的判别式
【分析】根据点A（1，1），点A1（﹣1，﹣1）都在二次函数y＝x2+x﹣1上，可判断①；
由，都在反比例函数上，结合a的取值，可判断②；
根据定义，将点代入，可判断③；
不妨设C和C是w函数的一组“奇对称点对”，即C和C1在w函数上，假设C（m，﹣m）在y＝﹣x上，那么C1（﹣m，m）在y＝﹣x2+2x﹣k上，将C1（﹣m，m）代入y＝﹣x2+2x﹣k，得到m＝﹣m2﹣2m﹣k，然后结合一元二次方程的判别式求得答案．
解：①将x＝1代入y＝x2+x﹣1，得到y＝1+1﹣1＝1；
将x＝﹣1代入y＝x2+x﹣1，得到y＝（﹣1）2﹣1﹣1＝﹣1；
可知点A（1，1），点A1（﹣1，﹣1）都在二次函数y＝x2+x﹣1上，
那么点A和点A1为二次函数y＝x2+x﹣1的一组“奇对称点对”；故①正确；
②当x＝a（a≠0）代入，得到，
当x＝﹣a代入，可得，
∴，都在反比例函数上，
∴，为反比例函数的一组奇对称点对”，
∵a可以取无数个不为0的数，
∴反比例函数有无数组“奇对称点对”；故②正确；
③∵点C（1，2），点C1（﹣1，﹣2），[C，C1]为函数y＝ax2+bx﹣1的一组“奇对称点对”，
∴点C（1，2），点C1（﹣1，﹣2）都在函数y＝ax2+bx﹣1上，
∴，
∴③错误；
④不妨设C和C是函数的一组“奇对称点对”，即C和C1在w函数上，
假设C（m，﹣m）在y＝﹣x上，那么C1（﹣m，m）在y＝﹣x2+2x﹣k上，
将C1（﹣m，m）代入y＝﹣x2+2x﹣k，得到m＝﹣m2﹣2m﹣k，
∴m2+3m+k＝0，
∵，该函数有两组“奇对称点对”，
∴m2+3m+k＝0有两个不同的实数根m1，m2，
∴32﹣4k＞0，m1 m2＞0，
∴（符合题意），
∴，
∴④正确；
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了“奇对称点对”的定义，函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【考点】抛物线与x轴的交点，根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征
【分析】把x＝﹣1代入二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2中，得y＝0，即可判断①；
当a＝﹣1时，该二次函数开口向下，求出对称轴为直线x，则可根据增减性判断②；利用判别式的值可直接判断③；
由①可知关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根为﹣1，设另一个根为x2，由韦达定理可知x2，当a＞2时，有，进而可判断④；
⑤当a＞2时，对称轴为直线x0，则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝﹣2有两个非正解，将y＝ax2+（a﹣2）x﹣2在x轴下方的图象沿x轴翻折可得到函数y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|的图象，令y＝2，则直线y＝2与y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|共有4个不同交点，其中只有一个最右侧交点横坐标为正，其余都为负，即关于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝2的正数根只有一个，即判断⑤．
解：把x＝﹣1代入二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2中，得y＝a+2﹣a﹣2＝0，
故该函数图象经过点（﹣1，0），故①正确；
当a＝﹣1时，该二次函数开口向下，
对称轴为直线x，
故当x时，y随x的增大而减小，
因此当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，故②正确；
∵Δ＝b2﹣4ac＝（a﹣2）2+8a＝（a+2）2≥0，
∴该函数图象与x轴有两个不同公共点或只有一个公共点，故③错误；
由①可知关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根为﹣1，
设另一个根为x2，由韦达定理可知，
∴，
当a＞2时，有，
即关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根大于0且小于1，故④正确；
当a＞2时，对称轴为直线x0，
则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝﹣2有两个非正解，
将y＝ax2+（a﹣2）x﹣2在x轴下方的图象沿x轴翻折可得到函数y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|的图象，
令y＝2，则直线y＝2与y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|共有4个不同交点，
其中只有一个最右侧交点横坐标为正，其余都为负，
即关于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝2的正数根只有一个，故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
【点评】本题考查了二次函数的图象、增减性质、对称性质、根的判别式、韦达定理、二次函数图象的轴对称变换、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握以上内容并能数形结合分析题意是解题关键．
3 、解答题
【考点】二次函数的应用
【分析】先由题意，建立恰当的平面直角坐标系，从而得到（0，0.0015）、A（0.85，0.18），设该抛物线的顶点式为y＝ax2+0.0015，将A（0.85，0.18）代入解方程即可得到答案．
解：建立平面直角坐标系，如图所示：
则抛物线顶点坐标为（0，0.0015），，
即A（0.85，0.18），
设该抛物线的表达式为y＝ax2+0.0015，
将A（0.85，0.18）代入y＝ax2+0.0015，
得0.18＝0.852a+0.0015，
解得，
∴该抛物线的表达式为．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数表达式，根据题中示意图，建立恰当的平面直角坐标系，并设出抛物线表达式是解决问题的关键．
【考点】二次函数的应用，二元一次方程组的应用
【分析】（1）依据题意，设每个A纪念品的成本为x元，每个B纪念品的成本为y元，可得，进而可以计算得解；
（2）依据题意，每套成本为25+35＝60元，售价为a元，故每套利润为 （a﹣60）元，又售价为72元时销量80套，每降价1元销量增10套，从而故销量为80+10（72﹣a）＝800﹣10a，则利润W＝（a﹣60）（800﹣10a）＝﹣10a2+1400a﹣48000＝﹣10（a﹣70）2+1000，结合65≤a≤72且a为整数，最后可以判断得解．
解：（1）由题意，设每个A纪念品的成本为x元，每个B纪念品的成本为y元，
∴．
∴．
答：每个A纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成本为35元．
（2）由题意，每套成本为25+35＝60元，售价为a元，
∴每套利润为 （a﹣60）元．
∵售价为72元时销量80套，每降价1元销量增10套，
∴故销量为80+10（72﹣a）＝800﹣10a．
∴利润W＝（a﹣60）（800﹣10a）＝﹣10a2+1400a﹣48000＝﹣10（a﹣70）2+1000．
∵65≤a≤72且a为整数，
∴当a＝70时，天的利润W最大．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用、二元一次方程组的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
【考点】二次函数的应用，一元二次方程的应用
【分析】（1）设与墙垂直的边的长度为x m，则与墙平行的边的长度为 （60﹣2x）m，根据题意得到x（60﹣2x）＝450，解方程即可得到结论；
（2）设与墙平行的边的长度为t m，花圃的面积为S m2，根据题意得到函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．
解：（1）设与墙垂直的边的长度为x m，则与墙平行的边的长度为 （60﹣2x）m，
根据题意得x（60﹣2x）＝450，
解得x1＝x2＝15，
答：与墙垂直的边的长度为15米；
（2）设与墙平行的边的长度为t m，花圃的面积为S m2，
根据题意得，
∴，
∵，
∴当t＝33时，S有最大值363，
答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大．
【点评】本题考查了二次函数的应用，矩形的面积公式，正确地理解题意列出函数解析式是解题的关键．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出对称轴，由题意，可知，B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t，中点得到xC＝2xB，对称性得到，求出xB，再代入函数解析式求出t的值即可；
（3）根据题意，易得要使n﹣m最大，则m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和 x＝n关于对称轴对称，根据直线l1，l2之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣4），即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12，令x2﹣6x+5＝12，求出x的值，进而确定m，n的值，进行求解即可．
解：（1）把（1，0）代入y＝x2﹣ax+5，
得：1﹣a+5＝0，
解得：a＝6；
（2）由（1）知：y＝x2﹣6x+5，
∴对称轴为直线，
∵点A（0，t）在y轴上，过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，
∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t，
又∵点B为线段AC的中点，
∴xc＝2xB，
∴，
∴xB＝2，
∴x＝2代入y＝x2﹣6x+5，
得：y＝22﹣6×2+5＝﹣3，
∴t＝﹣3；
（3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标（3，﹣4），
当抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间时，m，n为直线与抛物线的交点，
∴要使n﹣m最大，则，m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和x＝n关于对称轴对称，
又∵直线l1，l2之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣4），即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12，如图：
∴当x2﹣6x+5＝12时，
解得：x1＝7，x2＝﹣1，
即n＝7，m＝﹣1，
∴n﹣m的最大值为：7﹣（﹣1）＝8．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质，是解题的关键．
【考点】抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征
【分析】（1）将一般式改写为顶点式，再化为一般式即可求解b，c；
（2）先确定△OBC为等腰直角三角形，过点B作x轴的垂线，在x轴上方的垂线上截取BD＝BA＝4，连接AD与BC 交于点E，则D（5，4），通过三线合一得到BC⊥AD，ED＝EA，由三角形面积公式可得过点D作BC平行线与抛物线交点即为点P，然后求出直线PD解析式，再与抛物线解析式联立求解．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（3，﹣4），
∴y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+5，
∴b＝﹣6，c＝5；
（2）存在，理由如下：对于抛物线y＝x2﹣6x+5，
当y＝0，x2﹣6x+5＝0，解得：x1＝1，x2＝5，
当x＝0，y＝5，
∴OB＝OC＝5，AB＝5﹣1＝4，
∵∠COB＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
过点B作x轴的垂线，在x轴上方的垂线上截取BD＝BA＝4，
连接AD与BC交于点E，则D（5，4），
∴∠DBC＝90°﹣∠OBC＝45°＝∠OBC，
∴BC⊥AD，ED＝EA，
过点D作BC平行线与抛物线交点即为点P，，
∴S△BCA＝S△BCP，
设直线BC：y＝mx+n，
则，
∴，
∴直线BC：y＝﹣x+5，
∵BC∥PD，
∴设直线PD：y＝﹣x+q，代入D（5，4）得：﹣5+q＝4，
解得：q＝9，
∴直线PD：y＝﹣x+9，与抛物线解析联立得：，
整理得：x2﹣5x﹣4＝0，
解得：或，
∴点P的横坐标为或．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，与面积类的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）待定系数法进行求解即可；
（2）一般式化为顶点式，求出T点坐标，根据P点横坐标，得到，进而求出PH，TH，进行求解即可；
（3）①求出C点，B点坐标，分0＜t≤1，1＜t≤2，2＜t＜3三种情况，分别求出矩形的两条邻边长，利用周长公式，列出函数关系式即可；
②根据PQ∥x轴，得到P，Q关于对称轴对称，进而求出Q点坐标，分0＜t≤1，1＜t≤2，2＜t＜3三种情况，求出g的函数关系式，再根据，分别求出满足题意的t的值，进而求出PQ的长即可．
解：（1）把A（﹣1，0）代入，
得，
∴，
（2）由（1）可知：，
∴T（1，﹣2），
∵P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t，
∴，
∵过点P作对称轴的垂线，垂足为H，
∴PH＝1﹣t，，
∴；
（3）①当x＝0时，，当时，x1＝﹣1，x2＝3，
∴，B（3，0），
由（2）可知：T（1，﹣2），，对称轴为直线x＝1，
∴点关于对称轴的对称点为，
∵P在第四象限，
∴0＜t＜3，
当0＜t≤1时，抛物线弧CP的最高点为C，最低点为P，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，，
∴，
当1＜t≤2时，抛物线弧CP的最高点为C，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，，
∴，
当2＜t＜3时，抛物线弧CP的最高点为P，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，，
∴，
综上：；
②∵PQ∥x轴，
∴P，Q关于对称轴对称，
∴，
当0＜t≤l时，抛物线弧CQ的最高点为C，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：2﹣t，，
∴，
∵，
∴，
解得：（舍去）或，
∴，
当1＜t≤2时，抛物线弧CQ的最高点为C，最低点为Q，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：2﹣t，，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
当2＜t＜3时，抛物线弧CQ的最高点为Q，最低点为C，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t﹣2，，
∴；
∵，
∴，
解得：（舍去）或t，
∴PQ＝t﹣2+t＝2t﹣22，
综上：
【点评】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
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