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2.1 平方根
一、单选题
1．数81的算术平方根是（　　）
A．81 B．9 C． D．
2．化简的结果是（ ）
A． B．2 C． D．4
3．对于实数，小丁说：“有平方根．”小张说：“不一定有平方根．”小刘说：“一定有平方根．”他们中说法正确的是（ ）
A．小丁和小刘 B．小丁和小张 C．小张和小刘 D．不能确定
4．一个正数的两个平方根是和，则这个数是（ ）
A．2 B． C．4 D．1
5．关于平方根的说法：①是的平方根；②的平方根是；③的平方根是；④是的平方根：⑤的平方根是．若正确的打“√”，错误的打“×”，下列判断正确的是（ ）
A．①√②×③×④√⑤× B．①√②√③×④×⑤×
C．①×②×③×④√⑤× D．①×②×③√④×⑤√
6．若，则的算术平方根是（　　）
A．4 B． C．2 D．
7．若和的和是单项式，则的平方根是（ ）
A．8 B． C． D．
8．嘉淇发现，，根据嘉淇的发现解决问题：已知，，则的值是（ ）
A．4.5 B．14.23 C．45 D．142.3
二、填空题
9．若，则 ．
10．已知，则0.06的平方根约等于 ．
11．已知，则的平方根是 ．
12．已知实数，满足，则 ．
13．若，，且，则的值为 ．
14．已知和是一个正数的平方根，则这个正数是 ．
15．已知的立方根是2，是的整数部分，则的算术平方根是 ．
16．已知是的算术平方根，3是的算术平方根，则的算术平方根是 ．
17．若，则 ．
18．若，则的平方根是 ．
19．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是 ．
20．已知满足，则代数式的值是 ．
21．将，，，，……按如图方式排列．若规定表示第x排从左向右第y个数，若在，则的值为 ．
三、解答题
22．求下列各式中的值．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
23．已知：和是某正数的平方根，的算术平方根为．
(1)求：、的值；
(2)求的算术平方根．
24．已知实数，满足，是的整数部分．
(1)求，，得值；
(2)求的立方根．
25．设x，y都表示有理数，定义一种新运算“”；当时，；当时，．
(1)请根据这种新运算定义计算：________，________．
(2)若实数a，b满足．
①请直接写出a，b的值．
②求的值．
26．先填写表，通过观察后再回答问题．
(1)表格中______，______．
(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知，，则______；
②已知，，用含m的代数式表示n，则______．
27．先阅读下列例题：
已知，求和的值．解：把等式左边变形，
得，即．
因为，所以，即．仿照以上解法，解答下列问题．
(1)无论取何值，多项式的值总是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
(2)已知的三边长分别为，且，则为 三角形；
(3)已知，求和的值．
28．【回顾旧知】学习实数时，我们通过剪拼两个边长为1的小正方形纸片，可以得到一个边长为的大正方形，如图1所示．
【类比迁移】（1）如图，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图2），可以把它剪拼成一个大正方形（图3）．图3中拼成的大正方形的面积是 ，边长是 ．
【猜想验证】（2）猜想：大小不同的两个正方形，也可以剪拼成一个大正方形．已知如图4放置的两个正方形，其边长分别为，请你设计一种剪拼的方法验证上述猜想．在图4中需要裁剪的边上标出裁剪点的位置以及线段长度（用表示），画出裁剪线，标出各裁剪后的图形序号（类似图2），在图5中的方框画出拼接后的大正方形的示意图（类似图3）．
试卷第1页，共3页
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《2.1 平方根》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C D A A D A
9．
【分析】本题主要考查求平方根，将原式化为，再根据平方根的定义求解．
【详解】解：∵，
∴，
又，
∴，
故答案为：．
10．
【详解】解：，
，
故答案为：．
11．
【详解】解：∵和有意义，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的平方根是．
故答案为：
12．
【详解】解：∵，由非负性可得，，，
只有当且时等式才成立，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
13．
【详解】解：∵，，
∴，，
又∵，
∴，同号，
∴当，时，，
当，，．
故答案为：．
14．4或1
【详解】解：∵和是一个正数的平方根，
∴或，
解得：或，
则所求正数为或，
故答案为：4或1．
15．
【详解】解：的立方根是2，
∴，
∵，
∴，即，
∵是的整数部分，
∴，
∴，
则的算术平方根是，
故答案为：．
16．
【详解】解：∵是的算术平方根，3是的算术平方根，
∴，，
∴，，
∴，
∴的算术平方根是，
故答案为：．
17．
【详解】解：∵是非负数，是非负数，且，
∴．
由得，解得；
由得，解得．
将代入得：．
故答案为：．
18．
【详解】解：，
，
，
的平方根是，
故答案为：．
19．2
【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3，
则，
所以其面积，
，
，
，
∵面积介于整数和之间，
的值为2．
故答案为：2．
20．
【详解】解：由得，
而，
故，
解得，
故时，
又，
，，，
，
故，
故答案为：．
21．9
【详解】观察式子可得，
第1排的个数为1，前1排的总数为，
第2排的个数为3，前2排的总数为，从右到左依次增大排列，
第3排的个数为5，前3排的总数为，从左到右依次增大排列，
第4排的个数为7，前4排的总数为，从右到左依次增大排列，
……
第排的个数为，前排的总数为，
奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列，
因为，，
所以2023是在第45排，即，
第45排，为奇数排，从左向右依次增大，
因为，所以，
将，代入得，
．
故答案为：9．
22．(1)；
(2)或；
(3)；
(4)或．
【详解】（1）解：，
整理得，
解得；
（2）解：，
开方得，
解得或；
（3）解：，
两边平方得，
解得，
经检验是原方程的解；
（4）解：，
整理得，
开方得，
解得或．
23．(1)，
(2)
【详解】（1）解：∵和是某正数的平方根，
∴，
解得：，
∵的算术平方根为，
∴，
解得：．
（2）解：将，代入，
得，
∵的算术平方根为，
故的算术平方根为．
24．(1)，，得值分别为，，
(2)
【详解】（1）解：，，，
，，
，，
，
，
，，得值分别为，，．
（2）解：，，，
的立方根为．
25．(1)，
(2)①，②
【详解】（1）解：当时，；
∴，
当时，．
∴，
故答案为：，
（2）①∵．，
∴，
∴，
②∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
26．(1)，；
(2)①；②；
【详解】（1）解：根据表格可得：∵，，
∴；
∵，，
，
故答案为：；．
（2）解：①从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍，
∴从到被开方数扩大到原来倍，
∵，
∴；
②∵，，
∴，
∴，
∴．
27．(1)A
(2)等腰
(3)
【详解】（1）解：∵
，
又 ∵，
，
∴值总是正数，
故选：A．
（2）解：，
，
即，
，
，
，
是等腰三角形．
（3）解：，
，
，
，
．
28．（1）5，；（2）见解析
【详解】解：（1）图2可以把它剪拼成一个大正方形（图3），
图3中拼成的大正方形的面积等于图2的面积，
图3中拼成的大正方形的面积为；
边长为，
故答案为：5，；
（2）如图所示：
答案第1页，共2页
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