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21.1　二次根式
1.一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，其中“”称为 ．
2.求使代数式有意义的字母取值范围，对于单个的二次根式只需满足被开方数为 ；对于含有分母的，则还需考虑分母不能为 .
3.二次根式具有双重 ，即≥0(a≥0)；（）2＝ (a≥0)；＝ ＝
考点1　二次根式有意义的条件的应用
【典例1】当x为何值时，下列各式在实数的范围内有意义？
(1)；(2)；(3)＋.
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子(a≥0)叫做二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
【变式训练】
1.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　　)
A.x≤－2 B．x≥－2
C．x＞5 D．x≥－2且x≠5
考点2　利用二次根式的性质进行化简
【典例2】计算：(1)（）2；(2)（）2；
(3)；(4).
运用＝|a|进行化简时，一定要结合已知条件或隐含条件先判断被开方数的底数a的符号，然后进行化简．
【变式训练】
2.化简下列各式．
(1)；(2)；
(3) (x<2).
知识点1　二次根式的概念
1.（海南琼中县校级月考）下列各式一定是二次根式的是(　　)
A. B．
C． D．
2.若式子是二次根式，则a的值不可以是(　　)
A．0 B．－2 C．2 D．4
知识点2　二次根式有意义的条件
3.（海南海口秀英区校级月考）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　　)
A．x＞0 B．x≥－3 C．x≥3 D．x≤3
4.在函数y＝中，自变量x的取值范围是(　　)
A．x≥－1 B．x>－1且x≠
C．x≥－1且x≠ D．x≤－1且x≠
5.（河南鹤壁浚县期中）已知x为正整数，写出一个使在实数范围内没有意义的x的值是 ．
知识点3　二次根式的性质
6.（海南海口期末）计算：化简的结果是(　　)
A．－8 B．8 C．±8 D．16
7.（河南南阳唐河县模拟）若a＝－3，b＝，则a、b的大小关系为(　　)
A．a>b B．a＝b
C．a8.计算：＝ ．
9.当a取什么值时，代数式＋1的值最小？并求出这个最小值．
10.如果＝3－x，那么x的取值范围是(　　)
A．x<3 B．x≤3
C．x>3 D．x≥3
11.（甘肃甘南州中考）已知x、y为实数，若满足y＝＋＋2，则xy的值为(　　)
A．5 B．6 C．8 D．9
12.若式子＋x-2在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
13.（河南商丘柘城县期中）已知x、y为等腰三角形的两条边长，且x、y满足y＝＋＋3，则此三角形的周长为 ．
【母题P4T3】已知2原式＝(x－2)＋(3－x)＝1.
【变式】若x<2，化简＋|4－x|，小明的解答过程如下：
解：原式＝＋(4－x)…第一步
＝x－2＋4－x…第二步
＝2…第三步
(1)小明的解答从第 步出现错误的，错误的原因是用错了性质： ；
(2)写出正确的解答过程．
14.（运算能力）（海南海口秀英区校级月考）＝|a|是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题．
(1)化简：＝ ，＝ ．
(2)已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简－|1－a|＋.21.1　二次根式
1.一般地，我们把形如　(a≥0)　的式子叫做二次根式，其中“”称为　二次根号　．
2.求使代数式有意义的字母取值范围，对于单个的二次根式只需满足被开方数为　非负数　；对于含有分母的，则还需考虑分母不能为　0　.
3.二次根式具有双重　非负性　，即≥0(a≥0)；（）2＝　a　(a≥0)；＝　|a|　＝
考点1　二次根式有意义的条件的应用
【典例1】当x为何值时，下列各式在实数的范围内有意义？
(1)；(2)；(3)＋.
解：(1)依题意，得3x－1≥0，解得x≥；
(2)依题意，得x＋3≥0，且x≠0，解得x≥－3，且x≠0；
(3)依题意，得解得0≤x≤1；
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子(a≥0)叫做二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
【变式训练】
1.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　D　)
A.x≤－2 B．x≥－2
C．x＞5 D．x≥－2且x≠5
考点2　利用二次根式的性质进行化简
【典例2】计算：(1)（）2；(2)（）2；
(3)；(4).
解：(1)（）2＝0.3.
(2)（）2＝.
(3)＝＝＝.
(4)∵3.14<π，∴3.14－π<0.
∴＝＝π－3.14.
运用＝|a|进行化简时，一定要结合已知条件或隐含条件先判断被开方数的底数a的符号，然后进行化简．
【变式训练】
2.化简下列各式．
(1)；(2)；
(3) (x<2).
(1)＝25.
(2)＝＝.
(3)＝＝|x－2|，∵x<2，∴x－2<0，∴原式＝|x－2|＝2－x.
知识点1　二次根式的概念
1.（海南琼中县校级月考）下列各式一定是二次根式的是(　B　)
A. B．
C． D．
2.若式子是二次根式，则a的值不可以是(　B　)
A．0 B．－2 C．2 D．4
知识点2　二次根式有意义的条件
3.（海南海口秀英区校级月考）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　C　)
A．x＞0 B．x≥－3 C．x≥3 D．x≤3
4.在函数y＝中，自变量x的取值范围是(　C　)
A．x≥－1 B．x>－1且x≠
C．x≥－1且x≠ D．x≤－1且x≠
5.（河南鹤壁浚县期中）已知x为正整数，写出一个使在实数范围内没有意义的x的值是　1（答案也可以是2）　．
知识点3　二次根式的性质
6.（海南海口期末）计算：化简的结果是(　B　)
A．－8 B．8 C．±8 D．16
7.（河南南阳唐河县模拟）若a＝－3，b＝，则a、b的大小关系为(　C　)
A．a>b B．a＝b
C．a8.计算：＝　－1　．
9.当a取什么值时，代数式＋1的值最小？并求出这个最小值．
∵≥0，∴当a＝－时，有最小值，是0.则＋1的最小值是1.
10.如果＝3－x，那么x的取值范围是(　B　)
A．x<3 B．x≤3
C．x>3 D．x≥3
11.（甘肃甘南州中考）已知x、y为实数，若满足y＝＋＋2，则xy的值为(　D　)
A．5 B．6 C．8 D．9
12.若式子＋x-2在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥－1且x≠0　．
13.（河南商丘柘城县期中）已知x、y为等腰三角形的两条边长，且x、y满足y＝＋＋3，则此三角形的周长为　7或8　．
要使y＝＋＋3有意义，必须2－x≥0且3x－6≥0，解得x＝2，所以y＝0＋0＋3＝3，当x＝2为腰时，三角形的周长为2＋2＋3＝7；当y＝3为腰时，三角形的周长为2＋3＋3＝8；即此三角形的周长为7或8.
【母题P4T3】已知2原式＝(x－2)＋(3－x)＝1.
【变式】若x<2，化简＋|4－x|，小明的解答过程如下：
解：原式＝＋(4－x)…第一步
＝x－2＋4－x…第二步
＝2…第三步
(1)小明的解答从第　二　步出现错误的，错误的原因是用错了性质：　＝|a|＝－a(a<0)　；
(2)写出正确的解答过程．
(1)由化简过程可知，从第二步出现错误，＝|a|＝－a(a<0)；
(2)∵x<2，∴x－2<0，4－x>0，
∴原式＝＋(4－x)＝2－x＋4－x＝6－2x.
14.（运算能力）（海南海口秀英区校级月考）＝|a|是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题．
(1)化简：＝　4　，＝　π－3　．
(2)已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简－|1－a|＋.
(1)4　π－3
(2)由数轴，可知a＜0＜1＜b，则1－a＞0，1－b＜0，∴|a|＝－a，|1－a|＝1－a，|1－b|＝－(1－b).
故原式＝|a|－|1－a|＋|1－b|＝－a－(1－a)－(1－b)＝－a－1＋a－1＋b＝b－2.

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