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21.3　二次根式的加减
1.同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果 ，那么这几个根式叫做同类二次根式．
2.二次根式的加减运算：二次根式的加减，与整式的加减相类似，关键是将同类二次根式 ．
3.二次根式的混合运算：二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的运算．运算顺序是先算 ，再算 ，最后算 ．如果有括号，那么先算 的，再算括号外面的．
考点1　同类二次根式
【典例1】下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )
A. B． C． D．
同类二次根式必须同时满足：最简二次根式和被开方数相同这两个条件，它与根号前面的因数（式）无关．
【变式训练】
1.与是同类二次根式的为( )
A. B． C． D．
2.如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是( )
A．5 B．3 C．－5 D．－3
考点2　二次根式的加减
【典例2】计算：
(1)3－5；(2)－＋.
(1)二次根式的加减运算的实质是合并被开方数相同的最简二次根式．
(2)整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式的加减运算中同样适用．
【变式训练】
3.计算：
(1)3－＋－4；
(2)2－3＋.
【典例3】计算：
(1)（2＋）2－（3－2）（3＋2）；
(2)（2－2＋）÷2.
二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式、因式分解等方法．
【变式训练】
4.计算：
(1)（3－2＋）÷；
(2)（1＋）2＋－÷.
知识点1　同类二次根式
1.（海南陵水县校级期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )
A．3 B．2 C． D．
2.若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值可以是 ．
知识点2　二次根式的加减
3.若＋ ＝，则横线处应为( )
A． B． C． D．
4.（河南驻马店期末）如果与的和等于3，那么a的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5.(1)（湖南衡阳中考）化简：－＝ ．
(2)（山西中考）计算：4－9＝ ．
(3)（湖北黄冈中考）计算：－6的结果是 .
6.计算：
(1)2＋3；
(2)－；
(3)2－3＋5；
(4)－＋.
知识点3　二次根式的混合运算
7.（山东聊城中考）计算（5－2）÷（－）的结果为( )
A．5 B．－5 C．7 D．－7
8.(1)（山东泰安中考）计算：·－3＝ .
(2)（河南三门峡义马市期中）已知a＝2＋，b＝2－，则a＋b＝ ．
9.（海南临高县期末）计算：
(1)＋4－2（－）.
(2)（＋2）2－（－2）（＋2）.
10.如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
11.（海南海口秀英区校级月考）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为45和20的两张正方形纸片，则剩余部分的面积为 .
12.估计（＋）×的值在( )
A．8到9之间 B．7到8之间
C．6到7之间 D．5到6之间
13.若a、b为有理数，且＋＋＝a＋b，则a＝ ，b＝ ．
14.（河南许昌魏都区期中）已知x＝＋，y＝－，求(x－y)2＋xy的值．
15.嘉淇准备完成题目：
计算：（■－）－（－4）发现系数“■”印刷不清楚．
(1)他把“■”猜成3，请你计算：（3－）－（－4）；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是0.”请你通过计算说明原题中“■”是多少？
16.（运算能力）某居民小区有块形状为长方形的绿地ABCD，长方形绿地的长BC为8米、宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（＋1）米、宽为（－1）米．
(1)长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）21.3　二次根式的加减
1.同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果　被开方数相同　，那么这几个根式叫做同类二次根式．
2.二次根式的加减运算：二次根式的加减，与整式的加减相类似，关键是将同类二次根式　合并　．
3.二次根式的混合运算：二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的运算．运算顺序是先算　乘方或开方　，再算　乘除　，最后算　加减　．如果有括号，那么先算　括号里面　的，再算括号外面的．
考点1　同类二次根式
【典例1】下列二次根式中，与是同类二次根式的是(　C　)
A. B． C． D．
解析：∵＝2，∴A.与2不是同类二次根式，故此选项不符合题意；B.＝3，3与2不是同类二次根式，故此选项不符合题意；C.＝3，3与2是同类二次根式，故此选项符合题意；D.＝，与2不是同类二次根式，故此选项不符合题意．
同类二次根式必须同时满足：最简二次根式和被开方数相同这两个条件，它与根号前面的因数（式）无关．
【变式训练】
1.与是同类二次根式的为(　B　)
A. B． C． D．
2.如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是(　B　)
A．5 B．3 C．－5 D．－3
考点2　二次根式的加减
【典例2】计算：
(1)3－5；(2)－＋.
解：(1)原式＝3－15＝－12；
(2)原式＝2－＋＝.
(1)二次根式的加减运算的实质是合并被开方数相同的最简二次根式．
(2)整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式的加减运算中同样适用．
【变式训练】
3.计算：
(1)3－＋－4；
(2)2－3＋.
(1)原式＝4－5；
(2)原式＝－＋2＝.
考点3　二次根式的混合运算
【典例3】计算：
(1)（2＋）2－（3－2）（3＋2）；
(2)（2－2＋）÷2.
解：(1)原式＝4＋4＋3－(9－8)
＝4＋4＋3－1＝6＋4；
(2)原式＝（4－＋3）÷2
＝÷2＝.
二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式、因式分解等方法．
【变式训练】
4.计算：
(1)（3－2＋）÷；
(2)（1＋）2＋－÷.
(1)原式＝（6－2＋4）÷＝8÷＝8＝8＝4；
(2)原式＝1＋2＋2＋3－2＝3＋3.
知识点1　同类二次根式
1.（海南陵水县校级期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是(　A　)
A．3 B．2 C． D．
2.若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值可以是　1　．
知识点2　二次根式的加减
3.若＋　　　＝，则横线处应为(　A　)
A． B． C． D．
4.（河南驻马店期末）如果与的和等于3，那么a的值是(　C　)
A．0 B．1 C．2 D．3
5.(1)（湖南衡阳中考）化简：－＝　　．
(2)（山西中考）计算：4－9＝　3　．
(3)（湖北黄冈中考）计算：－6的结果是　　.
6.计算：
(1)2＋3；
(2)－；
(3)2－3＋5；
(4)－＋.
(1)原式＝5；
(2)原式＝－5＝－4；
(3)原式＝4＝8；
(4)原式＝－5＋2＝3－5.
知识点3　二次根式的混合运算
7.（山东聊城中考）计算（5－2）÷（－）的结果为(　A　)
A．5 B．－5 C．7 D．－7
8.(1)（山东泰安中考）计算：·－3＝　2　.
(2)（河南三门峡义马市期中）已知a＝2＋，b＝2－，则a＋b＝　4　．
9.（海南临高县期末）计算：
(1)＋4－2（－）.
(2)（＋2）2－（－2）（＋2）.
(1)＋4－2（－）
＝3＋4－2＋2
＝3＋4－4＋＝4；
(2)（＋2）2－（－2）（＋2）
＝3＋4＋4－(5－4)
＝3＋4＋4－1＝6＋4.
10.如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为(　D　)
A．2 B．3 C．4 D．5
根据题意得，3a－8＝17－2a；移项合并，得5a＝25；系数化为1，得a＝5.
11.（海南海口秀英区校级月考）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为45和20的两张正方形纸片，则剩余部分的面积为　10　.
由题意，知两张正方形纸片的边长分别为＝3和＝2，
故剩余部分的面积为（3－2）×2＝×2＝10.
12.估计（＋）×的值在(　C　)
A．8到9之间 B．7到8之间
C．6到7之间 D．5到6之间
×＝×＋×＝＋1，∵25<35<36，∴5<<6，∴6<＋1<7，∴估计×的值在6到7之间．
13.若a、b为有理数，且＋＋＝a＋b，则a＝ 　0　，b＝　　．
14.（河南许昌魏都区期中）已知x＝＋，y＝－，求(x－y)2＋xy的值．
（∵x＝＋，y＝－，
∴x－y＝2，xy＝（＋）（－）＝3－2＝1，
∴(x－y)2＋xy＝（2）2＋1＝8＋1＝9.
15.嘉淇准备完成题目：
计算：（■－）－（－4）发现系数“■”印刷不清楚．
(1)他把“■”猜成3，请你计算：（3－）－（－4）；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是0.”请你通过计算说明原题中“■”是多少？
(1)原式＝－＝－＝－2－＋2＝；
(2)设“■”是a，则原式＝－＝－＝a－2－＋2＝＝0，
则a－12＝0，解得a＝4，即原题中“■”是4.
16.（运算能力）某居民小区有块形状为长方形的绿地ABCD，长方形绿地的长BC为8米、宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（＋1）米、宽为（－1）米．
(1)长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
(1)长方形ABCD的周长＝2×（8＋）＝2（8＋7）＝（16＋14）米，
答：长方形ABCD的周长是（16＋14）米；
(2)通道的面积＝（8×）－（＋1）（－1）＝56－(13－1)＝（56－12）平方米，
购买地砖需要花费＝6×（56－12）＝（336－72）元．
答：购买地砖需要花费（336－72）元．

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