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22.2　一元二次方程的解法
22.2.1　直接开平方法和因式分解法
1.一般地，对于方程x2＝p(p　≥0　)，它的两个实数根为x1＝　　，x2＝　－　；而对于方程(mx＋n)2＝p(m　≠0　，p　≥0　)，可以转化为两个一元一次方程：　mx＋n＝　和　mx＋n＝－　，进而求出方程的两个根．
2.因式分解法：因式分解法是利用因式分解求出一元二次方程的解的方法，例如：对于关于x的方程x2－a2＝0，将方程左边分解因式得(x＋a)(x－a)＝0，则有　x＋a　＝0或　x－a　＝0，得到x1＝　－a　，x2＝　a　．
考点1　直接开平方法解一元二次方程
【典例1】解方程：
(1)x2－16＝0；(2)(x＋5)2＝25；
(3)(x－1)2－25＝0.
解：(1)x2－16＝0，
∴x2＝16，
∴x1＝4，x2＝－4；
(2)(x＋5)2＝25，
方程开方，得x＋5＝5或x＋5＝－5，
解得x1＝0，x2＝－10；
(3)(x－1)2－25＝0，∴(x－1)2＝25，直接开平方法，得x－1＝±5，
即x－1＝5或x－1＝－5，
∴x1＝6，x2＝－4.
用直接开平方法解一元二次方程时，要把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，开方的结果要注意取正负两种情况．
【变式训练】
1.解方程：(1)(x－1)2＝36；
(2)3(x－1)2＝12.
(1)(x－1)2＝36，
∴x－1＝±6，∴x＝±6＋1，
∴x1＝7，x2＝－5；
(2)3(x－1)2＝12，
∴(x－1)2＝4，∴x－1＝±，
∴x－1＝±2，∴x1＝3，x2＝－1.
考点2　用因式分解法解一元二次方程
【典例2】(1)4x2－121＝0；
(2)x－3－x(x－3)＝0.
解：(1)∵4x2－121＝0，
∴(2x－11)(2x＋11)＝0，
∴2x－11＝0或2x＋11＝0，
∴x1＝，x2＝－.
(2)x－3－x(x－3)＝0，∴(x－3)(1－x)＝0，∴x－3＝0或1－x＝0，
∴x1＝3，x2＝1.
用因式分解法解一元二次方程的两点注意：(1)将方程的一边改写成两个因式相乘的形式；(2)当方程两边都有含未知数的公因式时，不能直接约去公因式，只能移项再分解因式．
【变式训练】
2.用因式分解法解一元二次方程：
(1)(x＋2)2＝9；(2)3x(x－2)＝x－2.
(1)(x＋2＋3)(x＋2－3)＝0，
∴x＋5＝0或x－1＝0，∴x1＝－5，x2＝1；
(2)3x(x－2)－(x－2)＝0，
(x－2)(3x－1)＝0，∴x－2＝0或3x－1＝0，
∴x1＝2，x2＝.
知识点1　直接开平方法
1.（海南临高县月考）一元二次方程x2－25＝0的解为(　B　)
A.x1＝x2＝5 B．x1＝5，x2＝－5
C．x1＝x2＝－5 D．x1＝x2＝25
2.（海南临高县期中）若方程(x－4)2＝a有实数解，则a的取值范围是(　B　)
A．a≤0 B．a≥0
C．a＞0 D．无法确定
3.用直接开平方法解下列方程：
(1)x2＝3；
(2)4x2－1＝0；
(3)(x－1)2－4＝0；
(4)12(3－x)2－48＝0.
(1)x2＝3，x＝±，x1＝，x2＝－；
(2)4x2－1＝0，4x2＝1，2x＝±1，x1＝，x2＝－；
(3)(x－1)2－4＝0，(x－1)2＝4，x－1＝±2，x1＝3，x2＝－1；
(4)12(3－x)2－48＝0，12(3－x)2＝48，(3－x)2＝4，3－x＝±2，x1＝1，x2＝5.
知识点2　因式分解法
4.（海南海口秀英区校级月考）方程x2－2x＝0的解是(　C　)
A．x＝0 B．x2＝2
C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝－2，x2＝2
5.已知一元二次方程的两根分别为x1＝3、x2＝－4，则这个方程为(　A　)
A．(x－3)(x＋4)＝0 B．(x＋3)(x－4)＝0
C．(x＋3)(x＋4)＝0 D．(x－3)(x－4)＝0
6.（河南鹤壁期末）下表是某同学求代数式x2－x的值的情况，根据表格可知方程x2－x＝2的解是(　D　)
x －2 －1 0 1 2 3 …
x2－x 6 2 0 0 2 6 …
A.x＝－1 B．x＝0
C．x＝2 D．x＝－1或x＝2
7.（河南驻马店期中）方程x(x－3)＝5(x－3)的解是　x1＝3，x2＝5　.
易错易混点　忽略平方的非负性而出错
8.如果(a2＋b2＋1)(a2＋b2－1)＝63，那么a2＋b2的值为　8　．
设a2＋b2＝x，则(x＋1)(x－1)＝63，整理，得x2＝64，x＝±8，即a2＋b2＝8或a2＋b2＝－8（不合题意，舍去）.
9.将(2x－1)2＝10x－5转化为两个一元一次方程，这两个方程是(　C　)
A．2x－1＝0，2x＋1＝－5
B．2x＋1＝5，2x－1＝0
C．2x－1＝0，2x－1＝5
D．2x＋1＝0，2x－1＝－5
10.（海南海口校级期中）已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2－4x＋3＝0的一个根，则这个三角形的周长为(　B　)
A．6 B．8 C．6或8 D．8或9
11.对于方程(ax＋b)2＝c，下列叙述正确的是(　C　)
A．不论c为何值，方程均有实数根
B．方程的根是x＝
C．当c≥0时，方程可化为ax＋b＝或ax＋b＝－
D．当c＝0时，x＝
12.（河南洛阳偃师市月考）已知一元二次方程(x－2)2＝3的两根为a、b，且a>b，则2a＋b的值为　6＋　.
13.（河南驻马店沁阳市模拟）解方程：
(1)2x2－4＝7x；
(2)2(2x－3)2＝4x－6；
(3)(x－3)2＝(3x－1)2.
(1)2x2－4＝7x，2x2－7x－4＝0，(2x＋1)(x－4)＝0，
2x＋1＝0或x－4＝0，解得x1＝－0.5，x2＝4；
(2)2(2x－3)2＝4x－6，2(2x－3)2＝2(2x－3)，
2(2x－3)2－2(2x－3)＝0，2(2x－3)(2x－3－1)＝0，
4(2x－3)(x－2)＝0，则2x－3＝0或x－2＝0，
解得x1＝1.5，x2＝2；
(3)移项，得(x－3)2－(3x－1)2＝0，
因式分解，得(x－3－3x＋1)(x－3＋3x－1)＝0，
即(－2x－2)(4x－4)＝0，
故－2x－2＝0或4x－4＝0，∴x1＝－1，x2＝1.
14.（运算能力）阅读下面的例题：
解方程：x2－|x|－2＝0.
解：(1)当x≥0时，原方程化为x2－x－2＝0，解得：x1＝2，x2＝－1（不合题意，舍去）.
(2)当x<0时，原方程化为x2＋x－2＝0，解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝－2.
∴原方程的根是x1＝2，x2＝－2.
请参照例题解方程x2－|x－3|－3＝0，则此方程的根是　x1＝－3，x2＝2　．
(1)当x≥3时，原方程化为x2－(x－3)－3＝0，即x2－x＝0.
解得x1＝0（不合题意，舍去），x2＝1（不合题意，舍去）；
(2)当x<3时，原方程化为x2＋x－3－3＝0，
即x2＋x－6＝0，解得x1＝－3，x2＝2.
所以原方程的根是x1＝－3，x2＝2.22.2　一元二次方程的解法
22.2.1　直接开平方法和因式分解法
1.一般地，对于方程x2＝p(p )，它的两个实数根为x1＝ ，x2＝ ；而对于方程(mx＋n)2＝p(m ，p )，可以转化为两个一元一次方程： 和 ，进而求出方程的两个根．
2.因式分解法：因式分解法是利用因式分解求出一元二次方程的解的方法，例如：对于关于x的方程x2－a2＝0，将方程左边分解因式得(x＋a)(x－a)＝0，则有 ＝0或 ＝0，得到x1＝ ，x2＝ ．
考点1　直接开平方法解一元二次方程
【典例1】解方程：
(1)x2－16＝0；(2)(x＋5)2＝25；
(3)(x－1)2－25＝0.
用直接开平方法解一元二次方程时，要把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，开方的结果要注意取正负两种情况．
【变式训练】
1.解方程：(1)(x－1)2＝36；
(2)3(x－1)2＝12.
考点2　用因式分解法解一元二次方程
【典例2】(1)4x2－121＝0；
(2)x－3－x(x－3)＝0.
用因式分解法解一元二次方程的两点注意：(1)将方程的一边改写成两个因式相乘的形式；(2)当方程两边都有含未知数的公因式时，不能直接约去公因式，只能移项再分解因式．
【变式训练】
2.用因式分解法解一元二次方程：
(1)(x＋2)2＝9；(2)3x(x－2)＝x－2.
知识点1　直接开平方法
1.（海南临高县月考）一元二次方程x2－25＝0的解为( )
A.x1＝x2＝5 B．x1＝5，x2＝－5
C．x1＝x2＝－5 D．x1＝x2＝25
2.（海南临高县期中）若方程(x－4)2＝a有实数解，则a的取值范围是( )
A．a≤0 B．a≥0
C．a＞0 D．无法确定
3.用直接开平方法解下列方程：
(1)x2＝3；
(2)4x2－1＝0；
(3)(x－1)2－4＝0；
(4)12(3－x)2－48＝0.
知识点2　因式分解法
4.（海南海口秀英区校级月考）方程x2－2x＝0的解是( )
A．x＝0 B．x2＝2
C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝－2，x2＝2
5.已知一元二次方程的两根分别为x1＝3、x2＝－4，则这个方程为( )
A．(x－3)(x＋4)＝0 B．(x＋3)(x－4)＝0
C．(x＋3)(x＋4)＝0 D．(x－3)(x－4)＝0
6.（河南鹤壁期末）下表是某同学求代数式x2－x的值的情况，根据表格可知方程x2－x＝2的解是( )
x －2 －1 0 1 2 3 …
x2－x 6 2 0 0 2 6 …
A.x＝－1 B．x＝0
C．x＝2 D．x＝－1或x＝2
7.（河南驻马店期中）方程x(x－3)＝5(x－3)的解是 .
易错易混点　忽略平方的非负性而出错
8.如果(a2＋b2＋1)(a2＋b2－1)＝63，那么a2＋b2的值为 ．
9.将(2x－1)2＝10x－5转化为两个一元一次方程，这两个方程是( )
A．2x－1＝0，2x＋1＝－5
B．2x＋1＝5，2x－1＝0
C．2x－1＝0，2x－1＝5
D．2x＋1＝0，2x－1＝－5
10.（海南海口校级期中）已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2－4x＋3＝0的一个根，则这个三角形的周长为( )
A．6 B．8 C．6或8 D．8或9
11.对于方程(ax＋b)2＝c，下列叙述正确的是( )
A．不论c为何值，方程均有实数根
B．方程的根是x＝
C．当c≥0时，方程可化为ax＋b＝或ax＋b＝－
D．当c＝0时，x＝
12.（河南洛阳偃师市月考）已知一元二次方程(x－2)2＝3的两根为a、b，且a>b，则2a＋b的值为 .
13.（河南驻马店沁阳市模拟）解方程：
(1)2x2－4＝7x；
(2)2(2x－3)2＝4x－6；
(3)(x－3)2＝(3x－1)2.
14.（运算能力）阅读下面的例题：
解方程：x2－|x|－2＝0.
解：(1)当x≥0时，原方程化为x2－x－2＝0，解得：x1＝2，x2＝－1（不合题意，舍去）.
(2)当x<0时，原方程化为x2＋x－2＝0，解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝－2.
∴原方程的根是x1＝2，x2＝－2.
请参照例题解方程x2－|x－3|－3＝0，则此方程的根是 ．

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