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22.2.2　配方法
1.用配方法解一元二次方程的步骤：(1)将方程的二次项系数化为　1　；(2)将常数项移到方程的右边；(3)在方程两边加上　一次项　系数一半的平方，然后利用直接开平方法求解．
2.配方法的应用：配方法不仅可以解一元二次方程，它还可以：(1)证明一个代数式的值是非负数或非正数；(2)判断具备某些特征的三角形的形状等．
考点　配方法解一元二次方程
【典例】用配方法解一元二次方程：
(1)x2－4x＋1＝0；
(2)2x2－3x＋1＝0.
解：(1)移项，得x2－4x＝－1，
配方，得x2－4x＋4＝3，即(x－2)2＝3，
开方，得x－2＝±，
∴x1＝2＋，x2＝2－；
(2)移项，得2x2－3x＝－1，
二次项系数化为1，得x2－x＝－，
配方，得x2－x＋＝－＋，＝，开方，得x－＝±，
∴x1＝1，x2＝.
用配方法解一元二次方程的步骤：(1)将二次项系数化为1；(2)将常数项移到方程的右边；(3)两边加上一次项系数一半的平方，化为(x＋m)2＝n的形式；(4)若n≥0，两边直接开平方得到两个一元一次方程；(5)解一元一次方程得到方程的根．
【变式训练】
用配方法解方程：
(1)x2＋4x＝2；(2)x2－3x－＝0.
(1)x2＋4x＝2，
(x＋2)2＝6，
x1＝－2＋，x2＝－2－；
(2)x2－3x－＝0，
2＝＋＝4，
x1＝－，x2＝.
知识点1　利用配方法解系数为1的一元二次方程
1.用配方法解一元二次方程x2＋6x＝1时，应该在等式两边都加上(　B　)
A.6 B．9 C．－6 D．－9
2.（海南琼中县期中）用配方法解方程x2＋4x＝2，变形后结果正确的是(　D　)
A．(x－2)2＝3 B．(x＋2)2＝3
C．(x－2)2＝6 D．(x＋2)2＝6
3.若一元二次方程x2＋6x－1＝0经过配方，变形为(x＋3)2＝n的形式，则n的值为　10　．
4.用配方法解方程：
(1)x2－4x＋2＝0.(2)x2＋12x＋27＝0.
(1)x2－4x＋2＝0，
x2－4x＝－2，
x2－4x＋4＝－2＋4，
(x－2)2＝2，
x－2＝±，
x1＝2＋，x2＝2－；
(2)x2＋12x＋27＝0，
x2＋12x＝－27，
x2＋12x＋36＝9，
(x＋6)2＝9，
x＋6＝±3，
所以x1＝－9，x2＝－3.
知识点2　利用配方法解系数不是1的一元二次方程
5.（海南海口秀英区期中）一元二次方程2x2＋3x＋1＝0用配方法解方程，配方结果是(　A　)
A．2＝
B．22＝
C．2＝－
D．2－＝－1
6.将一元二次方程3x2－12x－5＝0化成(x＋a)2＝b的形式，则b等于　　．
7.小明在学习利用配方法解一元二次方程后，用配方法解方程2x2－8x＋3＝的过程如下．
解：2x2－8x＝－3.①
x2－4x＝－3.②
x2－4x＋4＝－3＋4.③
(x－2)2＝1.④
x－2＝±1.⑤
∴x1＝3，x2＝1.⑥
(1)上述解方程的过程中，小明从第　②　（填序号）步开始出现了错误；
(2)请利用配方法正确的解方程2x2－8x＋3＝0.
(1)上述过程中，小明从第②步开始出现了错误；
(2)2x2－8x＋3＝0，
移项，得2x2－8x＝－3，x2－4x＝－，
配方，得x2－4x＋4＝－＋4，即(x－2)2＝，
x－2＝±，x1＝2＋，x2＝2－.
8.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解方程，规则：每人只能看到前一人给的方程，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程，过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是(　D　)
→→→→
A.只有甲 B．只有丁
C．乙和丁 D．甲和丁
把方程x2＋4x＋2＝0的常数项移到方程右边得x2＋4x＝－2，所以甲的计算错误；把方程x2＋4x＝2两边加上4得到x2＋4x＋4＝6，所以乙的计算正确；x2＋4x＋4＝6，则(x＋2)2＝6，所以丙的计算正确，解方程(x＋2)2＝6得x1＝－2＋，x2＝－2－.所以丁的计算错误．
9.方程x2－2x－1＝0的较小的根为m，方程x2－2x－2＝0的较大的根为n，则m＋n等于(　A　)
A．3 B．－3 C．2 D．－2
10.已知x2＋4y2＝4xy，则的值为　4　．
∵x2＋4y2＝4xy，∴x2＋4y2－4xy＝0，即(x－2y)2＝0，解得x＝2y，则＝＝4.
11.如果存在一个数i，使(±i)2＝－1，那么当x2＝－1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝－1的两个根．据此可知：方程x2－2x＋5＝0的两根为　x1＝1＋2i，x2＝1－2i　（根用i表示）.
12.用配方法解方程：
(1)x2＋7x＝－；(2)t2－t＝1；
(3)2y2－5y＋2＝0；(4)3x2＋6x＋2＝11.
(1)x2＋7x＝－，x2＋7x＋＝－，＝9，x＋＝±3，
解得x1＝－，x2＝－；
(2)t2－t＝1，t2－t＋＝，＝，t－＝±，解得t1＝，t2＝－；
(3)2y2－5y＝－2，y2－y＝－1，y2－y＋＝－1＋，＝，y＝，解得y1＝2，y2＝；
(4)3x2＋6x＋2＝11，3x2＋6x－9＝0，x2＋2x－3＝0，x2＋2x＋1＝4，(x＋1)2＝4，x＋1＝±2，解得x1＝1，x2＝－3.
【母题P46T14】已知代数式x2－5x＋7，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
将代数式配方，得
x2－5x＋－＋7＝＋≥，
所以不论x取何值，这个代数式的值总是正数．
当x＝时，这个代数式的值最小，最小值为.
【变式1】已知代数式A＝2m2＋3m＋7，代数式B＝m2＋5m＋5，试比较A与B的大小．
A－B＝2m2＋3m＋7－m2－5m－5
＝m2－2m＋2＝(m－1)2＋1.
∵(m－1)2≥0，∴(m－1)2＋1>0.∴A－B>0，即A>B.
【变式2】已知实数a、b满足a2＋4b2＋2a－4b＋2＝0，你认为能够求出a和b的值吗？如果能，请求出a、b的值；如果不能，请说明理由．
能．理由如下∵a2＋4b2＋2a－4b＋2＝0，
∴a2＋2a＋1＋4b2－4b＋1＝0.∴(a＋1)2＋(2b－1)2＝0.
∵(a＋1)2≥0，(2b－1)2≥0，
∴a＋1＝0，2b－1＝0.∴a＝－1，b＝0.5.
13.（创新意识&项目式学习）配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如，把二次三项式x2－2x＋3进行配方：
解：x2－2x＋3＝x2－2x＋1＋2＝(x2－2x＋1)＋2＝(x－1)2＋2.
我们定义：一个整数能表示成a2＋b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为5＝22＋12，再如，M＝x2＋2xy＋2y2＝(x＋y)2＋y2（x、y是整数），所以M也是“完美数”．
【问题解决】
(1)下列各数中，“完美数”有　①②④　（填序号）；
①10 ②45 ③28 ④29
(2)若二次三项式x2－6x＋13（x是整数）是“完美数”，可配方成(x－m)2＋n（m、n为常数），则mn的值为　12　；
【问题探究】
(3)已知S＝x2＋9y2＋8x－12y＋k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k的值．
(1)∵10＝32＋12，45＝62＋32，29＝52＋22，
∴10、45、29都是“完美数”；
(2)∵x2－6x＋13＝x2－6x＋9＋4＝(x－3)2＋4，
∴m＝3，n＝4，∴mn＝12；
(3)∵S＝x2＋9y2＋8x－12y＋k＝(x＋4)2＋(3y－2)2＋k－20；
∵S为“完美数”，
∴k－20＝0，∴k＝20.22.2.2　配方法
1.用配方法解一元二次方程的步骤：(1)将方程的二次项系数化为 ；(2)将常数项移到方程的右边；(3)在方程两边加上 系数一半的平方，然后利用直接开平方法求解．
2.配方法的应用：配方法不仅可以解一元二次方程，它还可以：(1)证明一个代数式的值是非负数或非正数；(2)判断具备某些特征的三角形的形状等．
考点　配方法解一元二次方程
【典例】用配方法解一元二次方程：
(1)x2－4x＋1＝0；
(2)2x2－3x＋1＝0.
用配方法解一元二次方程的步骤：(1)将二次项系数化为1；(2)将常数项移到方程的右边；(3)两边加上一次项系数一半的平方，化为(x＋m)2＝n的形式；(4)若n≥0，两边直接开平方得到两个一元一次方程；(5)解一元一次方程得到方程的根．
【变式训练】
用配方法解方程：
(1)x2＋4x＝2；(2)x2－3x－＝0.
知识点1　利用配方法解系数为1的一元二次方程
1.用配方法解一元二次方程x2＋6x＝1时，应该在等式两边都加上( )
A.6 B．9 C．－6 D．－9
2.（海南琼中县期中）用配方法解方程x2＋4x＝2，变形后结果正确的是( )
A．(x－2)2＝3 B．(x＋2)2＝3
C．(x－2)2＝6 D．(x＋2)2＝6
3.若一元二次方程x2＋6x－1＝0经过配方，变形为(x＋3)2＝n的形式，则n的值为 ．
4.用配方法解方程：
(1)x2－4x＋2＝0.(2)x2＋12x＋27＝0.
知识点2　利用配方法解系数不是1的一元二次方程
5.（海南海口秀英区期中）一元二次方程2x2＋3x＋1＝0用配方法解方程，配方结果是( )
A．2＝
B．22＝
C．2＝－
D．2－＝－1
6.将一元二次方程3x2－12x－5＝0化成(x＋a)2＝b的形式，则b等于 ．
7.小明在学习利用配方法解一元二次方程后，用配方法解方程2x2－8x＋3＝的过程如下．
解：2x2－8x＝－3.①
x2－4x＝－3.②
x2－4x＋4＝－3＋4.③
(x－2)2＝1.④
x－2＝±1.⑤
∴x1＝3，x2＝1.⑥
(1)上述解方程的过程中，小明从第 （填序号）步开始出现了错误；
(2)请利用配方法正确的解方程2x2－8x＋3＝0.
8.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解方程，规则：每人只能看到前一人给的方程，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程，过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是( )
→→→→
A.只有甲 B．只有丁
C．乙和丁 D．甲和丁
9.方程x2－2x－1＝0的较小的根为m，方程x2－2x－2＝0的较大的根为n，则m＋n等于( )
A．3 B．－3 C．2 D．－2
10.已知x2＋4y2＝4xy，则的值为 ．
11.如果存在一个数i，使(±i)2＝－1，那么当x2＝－1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝－1的两个根．据此可知：方程x2－2x＋5＝0的两根为 （根用i表示）.
12.用配方法解方程：
(1)x2＋7x＝－；(2)t2－t＝1；
(3)2y2－5y＋2＝0；(4)3x2＋6x＋2＝11.
【母题P46T14】已知代数式x2－5x＋7，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
【变式1】已知代数式A＝2m2＋3m＋7，代数式B＝m2＋5m＋5，试比较A与B的大小．
【变式2】已知实数a、b满足a2＋4b2＋2a－4b＋2＝0，你认为能够求出a和b的值吗？如果能，请求出a、b的值；如果不能，请说明理由．
13.（创新意识&项目式学习）配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如，把二次三项式x2－2x＋3进行配方：
解：x2－2x＋3＝x2－2x＋1＋2＝(x2－2x＋1)＋2＝(x－1)2＋2.
我们定义：一个整数能表示成a2＋b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为5＝22＋12，再如，M＝x2＋2xy＋2y2＝(x＋y)2＋y2（x、y是整数），所以M也是“完美数”．
【问题解决】
(1)下列各数中，“完美数”有 （填序号）；
①10 ②45 ③28 ④29
(2)若二次三项式x2－6x＋13（x是整数）是“完美数”，可配方成(x－m)2＋n（m、n为常数），则mn的值为 ；
【问题探究】
(3)已知S＝x2＋9y2＋8x－12y＋k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k的值．

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