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22.2.3　公式法
一元二次方程的求根公式：一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a　≠0　)，如果b2－4ac　≥0　，那么方程的根为　x＝　．这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式可以直接得出一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．
考点1　用公式法解一元二次方程
【典例1】用公式法解方程：
(1)x2－6x＋5＝0；(2)5x2＋2x－1＝0.
解：(1)∵a＝1，b＝－6，c＝5，
∴b2－4ac＝(－6)2－4×1×5＝16>0，
则x＝＝，
∴x1＝5，x2＝1.
(2)∵a＝5，b＝2，c＝－1，
∴b2－4ac＝22－4×5×(－1)＝24>0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝.
公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0；(2)找出系数a，b，c，注意各项系数的符号；(3)计算b2－4ac，若结果为负数，方程无解；(4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果．
【变式训练】
1.用公式法解方程：
(1)x2＋3x－1＝0.
(2)2x2－5x＋4＝0.
(1)x2＋3x－1＝0，这里a＝1、b＝3、c＝－1，∵b2－4ac＝32－4×1×(－1)＝9＋4＝13>0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝.
(2)∵a＝2，b＝－5，c＝4，
∴b2－4ac＝(－5)2－4×2×4＝－7<0，
∴原方程无实数根．
考点2　用适当的方法解一元二次方程
【典例2】用适当的方法解方程：
(1)3x2－1＝4x；
(2)(x＋4)2＝5(x＋4).
解：(1)3x2－4x－1＝0，
∵a＝3，b＝－4，c＝－1，
∴b2－4ac＝(－4)2－4×3×(－1)＝16＋12＝28＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
(2)(x＋4)2＝5(x＋4)，
(x＋4)2－5(x＋4)＝0，
(x＋4)(x＋4－5)＝0，
∴x＋4＝0或x－1＝0，
∴x1＝－4，x2＝1.
解一元二次方程要根据方程特点，合理变形，采用合适的方法，方法选择一般顺序：直接开平方法—因式分解法—公式法－配方法．
【变式训练】
2.解方程：
(1)x2－6x＋9＝7x－21；
(2)t2＋4t－1＝0.
(1)x2－6x＋9＝7x－21，
∴x2－13x＋30＝0，
∴(x－3)(x－10)＝0，
∴x－3＝0或x－10＝0，
解得x1＝3，x2＝10；
(2)t2＋4t－1＝0，
∵a＝，b＝4，c＝－1，∴b2－4ac＝16－4××(－1)＝22>0，
∴x＝＝，
解得x1＝，x2＝.
知识点1　一元二次方程的求根公式
1.（河南南阳南召县期中）用公式法解方程x2＋x＝2时，求根公式中的a、b、c的值分别是(　C　)
A.a＝1，b＝1，c＝2
B．a＝1，b＝－1，c＝－2
C．a＝1，b＝1，c＝－2
D．a＝1，b＝－1，c＝2
2.一元二次方程2x2－3x＝1，用求根公式x＝求解时，b2－4ac的值是(　A　)
A．17 B．9 C．3 D．1
知识点2　用公式法解一元二次方程
3.（海南三亚校级期末）在用求根公式x＝求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a、b、c得到x＝，则她求解的一元二次方程是(　A　)
A．2x2－3x－1＝0
B．2x2＋4x－1＝0
C．－x2－3x＋2＝0
D．3x2－2x＋1＝0
4.用公式法解下列方程：2x2－3x－2＝0.
a＝2，b＝－3，c＝－2.
b2－4ac＝9＋16＝25>0.
x＝＝＝，
x1＝2，x2＝－.
知识点3　用适当的方法解一元二次方程
5.解一元二次方程(x－1)2＝2(x－1)最适宜的方法是(　C　)
A．直接开平方 B．公式法
C．因式分解法 D．配方法
6.在下列各题的横线上填写适当的解法．
(1)解方程(x－3)2＝9，用　直接开平方　法较适宜；
(2)解方程x2－2x＋4＝0，用　配方　法较适宜；
(3)解方程x2－1＝x＋1，用　因式分解　法较适宜．
7.（海南琼中县期中）用适当的方法解下列方程：
(1)x2－4x－1＝0；
(2)x2－5x＋6＝0；
(3)(x－1)2－25＝0；
(4)2x2－7x＋5＝0.
(1)x2－4x－1＝0，
∵a＝1，b＝－4，c＝－1，
∴b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，
∴x＝＝2±，
∴x1＝2＋，x2＝2－；
(2)x2－5x＋6＝0，等号左侧分解因式，得(x－2)(x－3)＝0，
∴x－2＝0或x－3＝0，
解得x1＝2，x2＝3；
(3)方程(x－1)2－25＝0移项，得(x－1)2＝25，
开平方，得x－1＝±5，
解得x1＝6，x2＝－4；
(4)2x2－7x＋5＝0，等号左侧因式分解，得(2x－5)(x－1)＝0，∴2x－5＝0，x－1＝0，
解得x1＝1，x2＝.
易错易混点　不能准确确定系数致错
8.解方程x2＝－3x＋2时，有一位同学解答如下：
解：∵a＝1，b＝3，c＝2，b2－4ac＝32－4×1×2＝1，
∴x＝＝＝，
即x1＝－2，x2＝－1.
请你分析以上解答有无错误，如有错误，请写出正确的解题过程．
解答有错误．正确的解法是：
方程整理，得x2＋3x－2＝0，
这里a＝1，b＝3，c＝－2，∵b2－4ac＝9＋8＝17，
∴x＝，解得x1＝，
x2＝.
9.已知α是一元二次方程2x2－2x－3＝0的两个根中较大的根，则下面对α的估计正确的是(　D　)
A．0<α< B．<α<1
C．1<α< D．<α<2
10.（河南驻马店校级月考）我们规定一种新运算“★”，其意义为a★b＝a2－ab，若(x－2)★(1－x)＝28，则x的值为(　D　)
A．x＝－26
B．x1＝－4，x2＝11
C．x1＝2，x2＝－
D．x1＝－2，x2＝
11.若实数a、b满足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，则a＋b＝　－或1　．
12.已知关于x的一元二次方程：2x2＋4x＋k＝0.
(1)当k＝1时，解方程；
(2)若2x2＋4x＋k＝0的一个解是x＝－1，求k.
(1)当k＝1时，方程化为2x2＋4x＋1＝0，
∵a＝2，b＝4，c＝1，∴b2－4ac＝42－4×2×1＝8>0，
∴x＝＝，∴x1＝，x2＝；
(2)把x＝－1代入2x2＋4x＋k＝0得2－4＋k＝0，
解得k＝2.
【母题P36T5】已知A＝2x2＋7x－1，B＝6x＋2，当x为何值时，A＝B？
当x＝－或x＝1时，A＝B.
【变式】（山西忻州代县期末）已知A＝2x2＋7x－1，B＝2－3x，若A的值与B的值互为相反数，求x.
根据题意知2x2＋7x－1＋2－3x＝0，
整理，得2x2＋4x＋1＝0，
∵a＝2，b＝4，c＝1，∴b2－4ac＝16－8＝8，
x＝，∴x1＝－1＋，x2＝－1－.
13.（运算能力）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a2，同时B区就会自动加上3a，已知A、B两区初始显示的分别是25和－15，如：第一次按键后，A，B两区分别显示如图．
问：(1)第一次按键后A区代数式与B区代数式的值相等，请通过计算求a的值；
(2)从初始状态按3次后，A、B两区代数式的和为1，请通过计算求a的值．
(1)根据题意，得25－a2＝－15＋3a，
整理得a2＋3a－40＝0，
(a＋8)(a－5)＝0，
a＋8＝0或a－5＝0，
解得a1＝－8，a2＝5，即a的值为－8或5；
(2)根据题意，得25－3a2＋(－15＋9a)＝1，
整理得a2－3a－3＝0，
b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－3)＝21>0，a＝，
所以a1＝，a2＝，
即a的值为或.22.2.3　公式法
一元二次方程的求根公式：一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a )，如果b2－4ac ，那么方程的根为 ．这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式可以直接得出一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．
考点1　用公式法解一元二次方程
【典例1】用公式法解方程：
(1)x2－6x＋5＝0；(2)5x2＋2x－1＝0.
公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0；(2)找出系数a，b，c，注意各项系数的符号；(3)计算b2－4ac，若结果为负数，方程无解；(4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果．
【变式训练】
1.用公式法解方程：
(1)x2＋3x－1＝0.
(2)2x2－5x＋4＝0.
考点2　用适当的方法解一元二次方程
【典例2】用适当的方法解方程：
(1)3x2－1＝4x；
(2)(x＋4)2＝5(x＋4).
解一元二次方程要根据方程特点，合理变形，采用合适的方法，方法选择一般顺序：直接开平方法—因式分解法—公式法－配方法．
【变式训练】
2.解方程：
(1)x2－6x＋9＝7x－21；
(2)t2＋4t－1＝0.
知识点1　一元二次方程的求根公式
1.（河南南阳南召县期中）用公式法解方程x2＋x＝2时，求根公式中的a、b、c的值分别是( )
A.a＝1，b＝1，c＝2
B．a＝1，b＝－1，c＝－2
C．a＝1，b＝1，c＝－2
D．a＝1，b＝－1，c＝2
2.一元二次方程2x2－3x＝1，用求根公式x＝求解时，b2－4ac的值是( )
A．17 B．9 C．3 D．1
知识点2　用公式法解一元二次方程
3.（海南三亚校级期末）在用求根公式x＝求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a、b、c得到x＝，则她求解的一元二次方程是( )
A．2x2－3x－1＝0
B．2x2＋4x－1＝0
C．－x2－3x＋2＝0
D．3x2－2x＋1＝0
4.用公式法解下列方程：2x2－3x－2＝0.
知识点3　用适当的方法解一元二次方程
5.解一元二次方程(x－1)2＝2(x－1)最适宜的方法是( )
A．直接开平方 B．公式法
C．因式分解法 D．配方法
6.在下列各题的横线上填写适当的解法．
(1)解方程(x－3)2＝9，用 法较适宜；
(2)解方程x2－2x＋4＝0，用 法较适宜；
(3)解方程x2－1＝x＋1，用 法较适宜．
7.（海南琼中县期中）用适当的方法解下列方程：
(1)x2－4x－1＝0；
(2)x2－5x＋6＝0；
(3)(x－1)2－25＝0；
(4)2x2－7x＋5＝0.
易错易混点　不能准确确定系数致错
8.解方程x2＝－3x＋2时，有一位同学解答如下：
解：∵a＝1，b＝3，c＝2，b2－4ac＝32－4×1×2＝1，
∴x＝＝＝，
即x1＝－2，x2＝－1.
请你分析以上解答有无错误，如有错误，请写出正确的解题过程．
9.已知α是一元二次方程2x2－2x－3＝0的两个根中较大的根，则下面对α的估计正确的是( )
A．0<α< B．<α<1
C．1<α< D．<α<2
10.（河南驻马店校级月考）我们规定一种新运算“★”，其意义为a★b＝a2－ab，若(x－2)★(1－x)＝28，则x的值为( )
A．x＝－26
B．x1＝－4，x2＝11
C．x1＝2，x2＝－
D．x1＝－2，x2＝
11.若实数a、b满足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，则a＋b＝ ．
12.已知关于x的一元二次方程：2x2＋4x＋k＝0.
(1)当k＝1时，解方程；
(2)若2x2＋4x＋k＝0的一个解是x＝－1，求k.
【母题P36T5】已知A＝2x2＋7x－1，B＝6x＋2，当x为何值时，A＝B？
【变式】（山西忻州代县期末）已知A＝2x2＋7x－1，B＝2－3x，若A的值与B的值互为相反数，求x.
13.（运算能力）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a2，同时B区就会自动加上3a，已知A、B两区初始显示的分别是25和－15，如：第一次按键后，A，B两区分别显示如图．
问：(1)第一次按键后A区代数式与B区代数式的值相等，请通过计算求a的值；
(2)从初始状态按3次后，A、B两区代数式的和为1，请通过计算求a的值．

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