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22.2.4　一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a )，当b2－4ac>0时，方程 ；当b2－4ac＝0时，方程 ；当b2－4ac<0时，方程 ．因此b2－4ac叫做一元二次方程根的判别式，用它可以直接判断一元二次方程根的情况．
考点1　根据一元二次方程根的情况，确定字母的取值范围
【典例1】已知关于x的一元二次方程mx2＋5x－1＝0（m为常数）.
(1)若x＝－2是该方程的一个实数根，求m的值；
(2)若该方程有两个实数根，求m的取值范围.
在利用根的判别式求待定字母的取值范围时，(1)要根据方程根的情况判断b2－4ac与0的关系；(2)利用题目中的条件列出关于所求字母的不等式（组）；(3)求解．
【变式训练】
1.（海南琼中县期中）关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A.k＞－1 B．k＜1
C．k＞－1且k≠0 D．k＜1且k≠0
考点2　应用根的判别式证明方程一定有实数根
【典例2】已知关于x的一元二次方程x2－ax＋a－1＝0.求证：该方程总有两个实数根．
利用根的判别式证明一元二次方程有实数根，(1)找到判别式，并将判别式配方；(2)利用配方的结果判断根的判别式与0的大小关系；(3)得证.
【变式训练】
2.已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.
求证：方程有两个不相等的实数根．
知识点1　一元二次方程根的判别式
1.对于一元二次方程x2－x＋2＝0，根的判别式b2－4ac中的b表示的数是( )
A.－2 B．2 C．－1 D．1
2.一元二次方程x2－2x＋3＝0的根的判别式Δ 0（填“>”“＝”或“<”）.
知识点2　用判别式直接判断方程根的情况
3.（上海中考）下列方程中，没有实数根的是( )
A．x2－2x＝0 B．x2－2x－1＝0
C．x2－2x＋1＝0 D．x2－2x＋2＝0
4.（海南海口龙华区校级期中）一元二次方程2x2－3x＝1的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
5.已知一元二次方程x2＋bx－2＝0.
(1)当b＝1时，求方程的根；
(2)若b为任意实数，请判断方程根的情况，并说明理由．
知识点3　用判别式求字母的值或取值范围
6.（山东聊城中考）若一元二次方程mx2＋2x＋1＝0有实数解，则m的取值范围是( )
A．m≥－1 B．m≤1
C．m≥－1且m≠0 D．m≤1且m≠0
7.已知关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)当m＝时，求方程的根．
易错易混点　忽略二次项系数不能为0
8.（江苏徐州中考）若关于x的方程x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 ．
9.（河南漯河临颍县期末）在正比例函数y＝kx(k≠0)中，y随x的增大而减小，则关于x的方程x2－x＋k＝0根的情况是( )
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
10.（四川广安中考）已知a、b、c为常数，点P(a，c)在第四象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
11.（四川内江中考）对于实数a、b定义运算“?”为a?b＝b2－ab，例如：3?2＝22－3×2＝－2，则关于x的方程(k－3)?x＝k－1的根的情况，下列说法正确的是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
12.若关于x的一元二次方程ax2－x＋1＝0有实数根，则a的最大整数值是 ．
13.（甘肃兰州中考）关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，则b2－2(1＋2c)的值为 ．
14.（海南临高县期中）当k为何值时，关于x的一元二次方程kx2－6x＋9＝0.
(1)有两个不等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)无实数根？
15.（推理能力）已知关于x的方程x2＋(3k－2)x－6k＝0.
(1)求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形ABC的一边a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．22.2.4　一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a　≠0　)，当b2－4ac>0时，方程　有两个不相等的实数根　；当b2－4ac＝0时，方程　有两个相等的实数根　；当b2－4ac<0时，方程　没有实数根　．因此b2－4ac叫做一元二次方程根的判别式，用它可以直接判断一元二次方程根的情况．
考点1　根据一元二次方程根的情况，确定字母的取值范围
【典例1】已知关于x的一元二次方程mx2＋5x－1＝0（m为常数）.
(1)若x＝－2是该方程的一个实数根，求m的值；
(2)若该方程有两个实数根，求m的取值范围.
解：(1)将x＝－2代入原方程，得
m×(－2)2＋5×(－2)－1＝0，
解得m＝，∴m的值为；
(2)∵关于x的一元二次方程mx2＋5x－1＝0有两个实数根，
∴Δ＝52－4m×(－1)≥0且m≠0，
解得m≥－且m≠0，
∴m的取值范围为m≥－且m≠0.
在利用根的判别式求待定字母的取值范围时，(1)要根据方程根的情况判断b2－4ac与0的关系；(2)利用题目中的条件列出关于所求字母的不等式（组）；(3)求解．
【变式训练】
1.（海南琼中县期中）关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　C　)
A.k＞－1 B．k＜1
C．k＞－1且k≠0 D．k＜1且k≠0
考点2　应用根的判别式证明方程一定有实数根
【典例2】已知关于x的一元二次方程x2－ax＋a－1＝0.求证：该方程总有两个实数根．
证明：∵Δ＝(－a)2－4(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，
∴该方程总有两个实数根．
利用根的判别式证明一元二次方程有实数根，(1)找到判别式，并将判别式配方；(2)利用配方的结果判断根的判别式与0的大小关系；(3)得证.
【变式训练】
2.已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.
求证：方程有两个不相等的实数根．
∵x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0，
∴a＝1，b＝－(2k＋1)，c＝k2＋k，
∴Δ＝［－(2k＋1)］2－4(k2＋k)＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
知识点1　一元二次方程根的判别式
1.对于一元二次方程x2－x＋2＝0，根的判别式b2－4ac中的b表示的数是(　C　)
A.－2 B．2 C．－1 D．1
2.一元二次方程x2－2x＋3＝0的根的判别式Δ　＝　0（填“>”“＝”或“<”）.
知识点2　用判别式直接判断方程根的情况
3.（上海中考）下列方程中，没有实数根的是(　D　)
A．x2－2x＝0 B．x2－2x－1＝0
C．x2－2x＋1＝0 D．x2－2x＋2＝0
4.（海南海口龙华区校级期中）一元二次方程2x2－3x＝1的根的情况是(　A　)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
5.已知一元二次方程x2＋bx－2＝0.
(1)当b＝1时，求方程的根；
(2)若b为任意实数，请判断方程根的情况，并说明理由．
(1)当b＝1时，原方程为x2＋x－2＝0，
分解因式，得(x＋2)(x－1)＝0，x＋2＝0，或x－1＝0，
∴x1＝－2，x2＝1；
(2)若b为任意实数，方程总有两个不相等的实数根，理由如下：
∵Δ＝b2－4×1×(－2)＝b2＋8>0，
∴若b为任意实数，方程总有两个不相等的实数根．
知识点3　用判别式求字母的值或取值范围
6.（山东聊城中考）若一元二次方程mx2＋2x＋1＝0有实数解，则m的取值范围是(　D　)
A．m≥－1 B．m≤1
C．m≥－1且m≠0 D．m≤1且m≠0
7.已知关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)当m＝时，求方程的根．
(1)∵关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝4－4(2m－1)≥0，解得m≤1；
(2)当m＝时，原方程为x2－2x＝0.
即x(x－2)＝0，∴x1＝0，x2＝2.
易错易混点　忽略二次项系数不能为0
8.（江苏徐州中考）若关于x的方程x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为　4　．
9.（河南漯河临颍县期末）在正比例函数y＝kx(k≠0)中，y随x的增大而减小，则关于x的方程x2－x＋k＝0根的情况是(　B　)
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
10.（四川广安中考）已知a、b、c为常数，点P(a，c)在第四象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是(　A　)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
∵点P(a，c)在第四象限，∴a>0，c<0，∴ac<0，∴方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．
11.（四川内江中考）对于实数a、b定义运算“?”为a?b＝b2－ab，例如：3?2＝22－3×2＝－2，则关于x的方程(k－3)?x＝k－1的根的情况，下列说法正确的是(　A　)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
∵(k－3)?x＝k－1，∴x2－(k－3)x＝k－1，∴x2－(k－3)x－k＋1＝0，∴Δ＝［－(k－3)］2－4×1×(－k＋1)＝(k－1)2＋4>0，∴关于x的方程(k－3)?x＝k－1有两个不相等的实数根．
12.若关于x的一元二次方程ax2－x＋1＝0有实数根，则a的最大整数值是　－1　．
∵关于x的一元二次方程ax2－x＋1＝0有实数根，∴Δ≥0，即(－1)2－4a≥0，解得a≤，又a≠0，∴a的最大整数值是－1.
13.（甘肃兰州中考）关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，则b2－2(1＋2c)的值为　－2　．
∵关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4c＝0，∴b2＝4c，∴b2－2(1＋2c)＝b2－4c－2＝0－2＝－2.
14.（海南临高县期中）当k为何值时，关于x的一元二次方程kx2－6x＋9＝0.
(1)有两个不等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)无实数根？
(1)根据题意，得k≠0且Δ＝(－6)2－4k·9＞0，解得k＜1且k≠0.
(2)根据题意，得k≠0且Δ＝(－6)2－4k·9＝0，解得k＝1.
(3)根据题意，得k≠0且Δ＝(－6)2－4k·9＜0，解得k＞1.
15.（推理能力）已知关于x的方程x2＋(3k－2)x－6k＝0.
(1)求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形ABC的一边a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
(1)∵Δ＝b2－4ac＝(3k－2)2－4·(－6k)＝9k2－12k＋4＋24k＝9k2＋12k＋4＝(3k＋2)2≥0，
∴无论k取何值，方程总有实数根；
(2)①若a＝6为底边，则b、c为腰长，则b＝c，则Δ＝0.
∴(3k＋2)2＝0，解得k＝－.
此时原方程化为x2－4x＋4＝0，
∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2.
此时△ABC三边为6、2、2，不能构成三角形，故舍去；
②若a＝6为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b＝a＝6，
代入方程62＋6(3k－2)－6k＝0，∴k＝－2，
则原方程化为x2－8x＋12＝0，
(x－2)(x－6)＝0，
∴x1＝2，x2＝6，即b＝6，c＝2.
此时△ABC三边为6、6、2，能构成三角形，
综上所述：△ABC的三边为6、6、2.
∴△ABC的周长为6＋6＋2＝14.

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