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22.2.5　一元二次方程的根与系数的关系
1.二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根为x1、x2，则有x1＋x2＝ ，x1x2＝ ．
2.二次项系数不为1的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则有x1＋x2＝ ，x1x2＝ ．
考点1　已知一个根，利用根与系数的关系求另一个
根或字母系数的值
【典例1】已知关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为x1、x2，若(x1＋1)(x2＋1)＝－1，求k的值．
运用根与系数的关系求字母的值的前提是方程有实数根，即b2－4ac≥0，解答此类题时常常忽略此条件而出错．一元二次方程根与系数关系的应用的关键是将相关的式子通过配方写成含两根之和与两根之积的代数式的形式，然后将两根之和与两根之积代入即可建立方程求字母的值．
【变式训练】
1.已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m＝0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为x1、x2，且x1＋x2－x1x2＝27，求m的值．
【典例2】已知关于x的一元二次方程x2＋6x＋5m－2＝0有实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当m＝1时，方程的根为x1、x2，求代数式＋的值．
利用根与系数的关系，求代数式的值：
(1)计算出x1＋x2、x1·x2的值；
(2)将所求的代数式变形用关于x1＋x2和x1·x2的式子表示；
(3)将x1＋x2和x1x2的值代入所求的代数式计算．
【变式训练】
2.若x1、x2是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则x1＋x2－4x1x2的值为( )
A.4 B．－3 C．0 D．7
知识点1　一元二次方程根与系数的关系
1.（海南琼中县期中）一元二次方程x2－4x＋3＝0的两根分别为x1和x2，则x1＋x2的值为( )
A.3 B．4
C．－4 D．没有实数根
2.（河南郑州金水区月考）若一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个根是x1、x2，则x1·x2的值是( )
A．3 B．－3 C．－4 D．4
3.已知方程x2－3x－5＝0的两个根分别为x1、x2，则x1＋x2－x1·x2的值为( )
A．2 B．－2 C．8 D．－8
4.不解方程，判断下列方程是否有实数根．如果有实数根，求出方程的两根之和与两根之积：
(1)x2＋4x－3＝0；(2)3x2－4x＝0；
(3)＝x；(4)＝.
知识点2　一元二次方程根与系数关系的应用
5.（山东济南中考）关于x的方程x2＋5x＋m＝0的一个根为－2，则另一个根是( )
A．－6 B．－3 C．3 D．6
6.（山东菏泽中考）一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根为x1、x2，则＋的值为( )
A． B．－3 C．3 D．－
7.关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为3和－4，则( )
A．b＝－1，c＝12 B．b＝－1，c＝－12
C．b＝1，c＝12 D．b＝1，c＝－12
8.（海南海口龙华区校级模拟）已知方程x2－3x－4＝0的两个实数根为a、b，则(a＋1)·(b＋1)的值为
.
9.（湖北随州中考）已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1、x2.
(1)求k的取值范围；
(2)若x1x2＝5，求k的值．
10.关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1＋3x2＝5，则m的值为( )
A． B． C． D．0
11.对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列说法中，错误的是( )
A．若a＋b＋c＝0，则方程有一个根为1
B．若方程有一个根为1，则a＋b＋c＝0
C．若b＝0，则方程的两个根互为相反数
D．若方程的两个根互为相反数，则b＝0
12.（河南驻马店确山县期中）如图，矩形ABCD的周长为12，面积为5，且AB和BC的长恰好是方程x2＋mx＋n＝0的两根，则m和n的值分别为( )
A．－6，5 B．12，－5 C．6，5 D．－12，5
13.若一元二次方程x2－7x＋5＝0的两个实数根分别是a、b，则一次函数y＝abx＋a＋b的图象一定不经过第 象限．
14.若α、β是一元二次方程x2＋3x－1＝0(α≠β)的两个根，则α2＋4α＋β的值是 ．
15.（湖北襄阳中考）关于x的一元二次方程x2＋2x＋3－k＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两个根为α、β，且k2＝αβ＋3k，求k的值．
16.（运算能力）（内蒙古通辽中考）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根x1、x2和系数a、b、c，有如下关系：x1＋x2＝－，x1x2＝.
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m、n，求m2n＋mn2的值．
解：∵m、n是一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根，
∴m＋n＝1，mn＝－1.则m2n＋mn2＝mn(m＋n)＝－1×1＝－1.
根据上述材料，结合你所学的知识，回答下列问题：
(1)应用：一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根为x1、x2，则x1＋x2＝ ，x1x2＝ ．
(2)类比：已知一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根为m、n，求m2＋n2的值；
(3)提升：已知实数s、t满足2s2＋3s－1＝0，2t2＋3t－1＝0且s≠t，求－的值．22.2.5　一元二次方程的根与系数的关系
1.二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根为x1、x2，则有x1＋x2＝　－p　，x1x2＝　q　．
2.二次项系数不为1的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则有x1＋x2＝　－　，x1x2＝　　．
考点1　已知一个根，利用根与系数的关系求另一个
根或字母系数的值
【典例1】已知关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为x1、x2，若(x1＋1)(x2＋1)＝－1，求k的值．
解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根，∴Δ＝32－4×1×(k－2)≥0，
解得k≤，即k的取值范围是k≤；
(2)∵方程x2＋3x＋k－2＝0的两个实数根分别为x1、x2，∴x1＋x2＝－3，x1x2＝k－2，
∵(x1＋1)(x2＋1)＝－1，
∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＝－1，
∴k－2＋(－3)＋1＝－1，
解得k＝3，即k的值是3.
运用根与系数的关系求字母的值的前提是方程有实数根，即b2－4ac≥0，解答此类题时常常忽略此条件而出错．一元二次方程根与系数关系的应用的关键是将相关的式子通过配方写成含两根之和与两根之积的代数式的形式，然后将两根之和与两根之积代入即可建立方程求字母的值．
【变式训练】
1.已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m＝0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为x1、x2，且x1＋x2－x1x2＝27，求m的值．
(1)∵Δ＝(m－3)2－4×(－m)＝m2－2m＋9＝(m－1)2＋8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；
(2)根据根与系数的关系得x1＋x2＝m－3，x1x2＝－m，
∵x1＋x2－x1x2＝27，
∴m－3－(－m)＝27，解得m＝15.
考点2　利用根与系数的关系求某些代数式的值
【典例2】已知关于x的一元二次方程x2＋6x＋5m－2＝0有实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当m＝1时，方程的根为x1、x2，求代数式＋的值．
解：(1)因为关于x的一元二次方程x2＋6x＋5m－2＝0有实数根，所以Δ＝62－4×1×(5m－2)≥0，解得m≤，所以实数m的取值范围是m≤；
(2)当m＝1时，原方程可化为x2＋6x＋3＝0，因为方程的根为x1、x2，
所以x1＋x2＝－6，x1x2＝3，
所以＋＝＝＝－2.
利用根与系数的关系，求代数式的值：
(1)计算出x1＋x2、x1·x2的值；
(2)将所求的代数式变形用关于x1＋x2和x1·x2的式子表示；
(3)将x1＋x2和x1x2的值代入所求的代数式计算．
【变式训练】
2.若x1、x2是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则x1＋x2－4x1x2的值为(　D　)
A.4 B．－3 C．0 D．7
知识点1　一元二次方程根与系数的关系
1.（海南琼中县期中）一元二次方程x2－4x＋3＝0的两根分别为x1和x2，则x1＋x2的值为(　B　)
A.3 B．4
C．－4 D．没有实数根
2.（河南郑州金水区月考）若一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个根是x1、x2，则x1·x2的值是(　A　)
A．3 B．－3 C．－4 D．4
3.已知方程x2－3x－5＝0的两个根分别为x1、x2，则x1＋x2－x1·x2的值为(　C　)
A．2 B．－2 C．8 D．－8
4.不解方程，判断下列方程是否有实数根．如果有实数根，求出方程的两根之和与两根之积：
(1)x2＋4x－3＝0；(2)3x2－4x＝0；
(3)＝x；(4)＝.
(1)x2＋4x－3＝0，∵a＝1，b＝4，c＝－3，
∴Δ＝b2－4ac＝42－4×1×(－3)＝28>0.
∴方程有两个不相等的实数根．
∴x1＋x2＝－＝－4，x1x2＝＝－3；
(2)3x2－4x＝0.
∵a＝3，b＝－4，c＝0，∴Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×3×0＝16>0.∴方程有两个不相等的实数根．
∴x1＋x2＝－＝，x1x2＝＝0；
(3)＝x；整理得x2＋1＝0.
∵a＝，b＝0，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝02－4××1＝－1<0.
∴方程无实数根；
(4)＝，
整理得3x2＋9x－2＝0.∵a＝3，b＝9，c＝－2，
∴Δ＝b2－4ac＝92－4×3×(－2)＝105>0.
∴方程有两个不相等的实数根．
∴x1＋x2＝－＝－3，x1x2＝＝－.
知识点2　一元二次方程根与系数关系的应用
5.（山东济南中考）关于x的方程x2＋5x＋m＝0的一个根为－2，则另一个根是(　B　)
A．－6 B．－3 C．3 D．6
6.（山东菏泽中考）一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根为x1、x2，则＋的值为(　C　)
A． B．－3 C．3 D．－
7.关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为3和－4，则(　D　)
A．b＝－1，c＝12 B．b＝－1，c＝－12
C．b＝1，c＝12 D．b＝1，c＝－12
8.（海南海口龙华区校级模拟）已知方程x2－3x－4＝0的两个实数根为a、b，则(a＋1)·(b＋1)的值为
　0　.
9.（湖北随州中考）已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1、x2.
(1)求k的取值范围；
(2)若x1x2＝5，求k的值．
(1)根据题意，得Δ＝(2k＋1)2－4(k2＋1)>0，解得k>；
(2)根据题意，得x1x2＝k2＋1，∵x1x2＝5，∴k2＋1＝5，
解得k1＝－2，k2＝2，∵k>，∴k＝2.
10.关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1＋3x2＝5，则m的值为(　A　)
A． B． C． D．0
∵x1＋x2＝4，∴x1＋3x2＝x1＋x2＋2x2＝4＋2x2＝5，∴x2＝，把x2＝代入x2－4x＋m＝0得－4×＋m＝0，解得m＝.
11.对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列说法中，错误的是(　C　)
A．若a＋b＋c＝0，则方程有一个根为1
B．若方程有一个根为1，则a＋b＋c＝0
C．若b＝0，则方程的两个根互为相反数
D．若方程的两个根互为相反数，则b＝0
12.（河南驻马店确山县期中）如图，矩形ABCD的周长为12，面积为5，且AB和BC的长恰好是方程x2＋mx＋n＝0的两根，则m和n的值分别为(　A　)
A．－6，5 B．12，－5 C．6，5 D．－12，5
∵AB和BC的长恰好是方程x2＋mx＋n＝0的两根，∴AB＋BC＝－m，AB·BC＝n，∵矩形ABCD的周长为12，面积为5，∴AB＋BC＝6，AB·BC＝5，∴m＝－6，n＝5.
13.若一元二次方程x2－7x＋5＝0的两个实数根分别是a、b，则一次函数y＝abx＋a＋b的图象一定不经过第　四　象限．
14.若α、β是一元二次方程x2＋3x－1＝0(α≠β)的两个根，则α2＋4α＋β的值是　－2　．
∵α、β是一元二次方程x2＋3x－1＝0(α≠β)的两个根，∴α＋β＝－3，α2＋3α－1＝0，∴α2＝－3α＋1，∴α2＋4α＋β＝－3α＋1＋4α＋β＝α＋β＋1＝－3＋1＝－2.
15.（湖北襄阳中考）关于x的一元二次方程x2＋2x＋3－k＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两个根为α、β，且k2＝αβ＋3k，求k的值．
(1)b2－4ac＝22－4×1×(3－k)＝－8＋4k，
∵有两个不相等的实数根，
∴－8＋4k>0，解得k>2；
(2)∵方程的两个根为α、β，∴αβ＝＝3－k，
∴k2＝3－k＋3k，解得k1＝3，k2＝－1.
∵k>2，∴k的值为3.
16.（运算能力）（内蒙古通辽中考）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根x1、x2和系数a、b、c，有如下关系：x1＋x2＝－，x1x2＝.
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m、n，求m2n＋mn2的值．
解：∵m、n是一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根，
∴m＋n＝1，mn＝－1.则m2n＋mn2＝mn(m＋n)＝－1×1＝－1.
根据上述材料，结合你所学的知识，回答下列问题：
(1)应用：一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根为x1、x2，则x1＋x2＝　－　，x1x2＝　－　．
(2)类比：已知一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根为m、n，求m2＋n2的值；
(3)提升：已知实数s、t满足2s2＋3s－1＝0，2t2＋3t－1＝0且s≠t，求－的值．
(1)∵一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个根为x1、x2，∴x1＋x2＝－，x1x2＝－；
(2)∵一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两根分别为m、n，
∴m＋n＝－，mn＝－，
∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝＋1＝；
(3)∵实数s、t满足2s2＋3s－1＝0，2t2＋3t－1＝0，且s≠t，
∴s、t是一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根，
∴s＋t＝－，st＝－，
∵(t－s)2＝(t＋s)2－4st＝－4×＝，
∴t－s＝±，∴－＝＝＝±.

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