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23.3.4　相似三角形的应用
1.利用影长测量物体的高度时，通常利用“相似三角形对应边　成比例　”的原理来解决；在同一时刻、同一地点，太阳光下不同物体物高的比与影长的比相等，即物1高∶物2高＝影1长∶影2长．
2.测量河宽、管状物体的口径等问题时，可以构造两个相似三角形，借助相似三角形对应边　成比例　来解决．
考点1　利用影长测量物体的高
【典例1】小明想要利用所学知识测量教学楼AB的高度．如图，小明竖直站在教学楼的影子末端C点处，此时小明测量出自己的身高CD＝1.7 m，影子的长度CE＝2 m，以及小明站的位置到教学楼的距离BC＝30 m，求教学楼AB的高度．
解：由题意可得：CD＝1.7 m，CE＝2 m，BC＝30 m，△ABC∽△DCE，∴＝，即＝，解得AB＝25.5 m，
答：教学楼AB的高度为25.5 m.
在同一时刻物高与影长成正比，即在同一时刻两个物体、影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【变式训练】
1.如图，小明欲测量一座垂直于地面的古塔DE的高度，他直立站在该塔的影子AE上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他与该塔的距离CE＝36 m，已知小明的身高BC＝1.8 m，他的影长AC＝4 m，求古塔的高度．
∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，即＝，即＝，
∴DE＝18（米），∴古塔的高度为18米．
考点2　利用标杆或镜子测物体的高
【典例2】（江苏宿迁沭阳县校级模拟）如图，小华和小康想用标杆来测量校园中的一棵树AB的高，小康在F处竖立了一根标杆EF，小华走到C处时，站立在C处恰好看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离DC＝1.6米，EF＝2.4米，CF＝2米，FA＝16米，点C，F，A在一条直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，AB⊥AC，根据以上测量数据，请你求出树AB的高度．
解：过点D作DP⊥AB于点P，交EF于点N，
则DN＝CF＝2米，AP＝DC＝1.6米，
DP＝AC＝CF＋AF＝18（米），EN＝EF－CD＝2.4－1.6＝0.8（米）.
由题意，得∠EDN＝∠BDP，∠END＝∠BPD＝90°，∴△DEN∽△DBP，
∴＝，
∴＝，∴AB＝8.8（米），
答：树AB的高度为8.8米．
因为一些物体的高度不方便直接测量，所以可以借助相似三角形的知识来解决问题，其基本方法是：
(1)借助光线、标杆以及镜面构造相似三角形；
(2)利用皮尺测量出一些较矮及地面上易测量的相关长度；
(3)根据相似三角形的性质得对应边成比例，列比例式求出所求物体的高度．
【变式训练】
2.（海南文昌校级月考）如图，小华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离EB＝20米，镜子与小华的距离ED＝2米时，小华刚好从镜子中看到铁塔顶端点A.已知小华的眼睛距地面的高度CD＝1.5米，则铁塔AB的高度是　15　米．
考点3　影子在斜面上时求物体的高度
【典例3】如图所示，小红想利用竹竿来测量旗杆AB的高度，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面(BC)上，另一部分落在斜坡(CD)上，他测得落在地面上的影长为10米，落在斜坡上的影长为4米，∠DCE＝45°，求旗杆AB的高度？
解：如图，延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DG⊥BC于点G.
∵CD＝4米，∠DCG＝45°，
∴DG＝CG＝4米．
∵同一时刻物高与影长成正比，
∴＝，解得FG＝2DG＝8米，
∴BF＝10＋4＋8＝22（米）.
∵DG⊥BC，AB⊥BC，
∴△GDF∽△BAF，
∴＝，即＝，
∴AB＝11米．
答：旗杆的高度约为11米．
运用转化的方法得到旗杆在地面上的全部影长或旗杆的一部分在地面上的影长，从而能够根据“旗杆高：旗杆的影长＝竹竿高∶竹竿的影长”求出旗杆的高度．
【变式训练】
3.如图，已知：某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为1.5米，在同时刻测量旗杆影长时，因旗杆靠近一幢房子，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为9米，留在墙上的影长CD为2米，求旗杆的高度．
如图，过点D作DE⊥AB于点E.
∵CD⊥BC，AB⊥BC，
∴∠EBC＝∠DCB＝∠AED＝90°，
∴四边形CDEB为矩形，
BC＝DE＝9，CD＝BE＝2.
∴设AE＝x m，则1∶1.5＝x∶9，解得x＝6，故旗杆高AB＝AE＋BE＝6＋2＝8（米）.
知识点1　利用相似三角形测量高度
1.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则球拍击球的高度h的值为(　B　)
A．2.5米 B．2.4米 C．3米 D．3.2米
2.如图是可折叠的熨衣架的侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB∥CD，根据图中的数据可得x的值为　0.4　.
知识点2　利用相似三角形测量长度或宽度
3.（海南儋州期末）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连结AC、BC，在AC上取点E，使AE＝3EC，作EF∥AB交BC于点F，量得EF＝6 m，则AB的长为(　B　)
A．30 m B．24 m C．18 m D．12 m
4.如图，某校宣传栏BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即BC∥ED，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在距宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知AF⊥BC，AF＝3米，BC＝10米，求该宣传栏后DE的宽度．（不计宣传栏的厚度）
如图，∵BC∥ED，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
又BC＝10米，AF＝3米，FG＝12米，∴AG＝AF＋FG＝15（米），即＝，∴DE＝50米．
知识点3　利用相似三角形证明线段等积式
5.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E为AC的中点，ED交CB的延长线于点F.
求证：BD·CF＝CD·DF.
∵CD⊥AB，E为斜边AC的中点，
∴DE＝CE＝AE＝AC.∴∠EDA＝∠A.
∵∠EDA＝∠FDB，∴∠A＝∠FDB.
∵∠ACB＝∠CDB＝90°，
∴∠A＋∠ACD＝∠FCD＋∠ACD＝90°.
∴∠A＝∠FCD.∴∠FDB＝∠FCD.
∵∠F＝∠F，∴△FDB∽△FCD.∴＝.
∴BD·CF＝CD·DF.
6.图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB为(　B　)
图1　　　　图2
A．3 cm B．3.75 cm
C．4 cm D．4.25 cm
7.（海南海口琼山区校级月考）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一条直线上．已知纸板的两条边DE＝120 cm，EF＝50 cm，测得AC＝1.5 m，CD＝12 m，则树高AB的长为　6.5　 m．
8.（河北沧州盐山县期末）如图，△ABC是一块三角形的铁皮，BC长为4 m，BC边上的高AD为3 m，要将它加工成一块矩形铁皮，使矩形的一边FG在BC上，其余两个顶点E，H分别在AB、AC上，且矩形的面积是三角形面积的一半，求这个矩形的长和宽．
设矩形的长为EH＝FG＝x，△AEH的高为h，
∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，∴＝，即：＝，
∴h＝x，
∴矩形宽为EF＝AD－h＝3－x.
∵S△ABC＝BC·AD＝×4×3＝6，
矩形的面积是三角形面积的一半，
∴x（3－x）＝3，
解得：x＝2，∴3－x＝1.5，
∴这个矩形的长为2 cm，宽为1.5 cm.
9.（应用意识）秋高气爽，丹桂飘香，艳阳高照，群情昂扬．我校九年级数学兴趣小组运用相似三角形的有关知识去学校操场边上进行测量．
(1)小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度．如图1，在水平面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离EA＝12米，当她与镜子的距离CE＝2米时，她刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B.已知她的眼睛距地面的高度DC＝1.5米．请你帮助小玲计算出教学楼的高度AB是多少米；（根据光的反射定律：反射角等于入射角）
(2)在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米．如图2，小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长CD为3.5米，落在地面上的影长BD为6米，求树AB的高度．
(1)由题意得∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°，
∴△ABE∽△CDE，∴＝，即＝，
∴AB＝9米．
答：如图，教学楼的高度AB是9米；
(2)如图延长AC、BD交于点E，
根据物高与影长成正比，得＝，即＝，
解得DE＝7米，则BE＝7＋6＝13（米）.
同理，＝，即＝，解得AB＝6.5米．
答：树AB的高度为6.5米．23.3.4　相似三角形的应用
1.利用影长测量物体的高度时，通常利用“相似三角形对应边 ”的原理来解决；在同一时刻、同一地点，太阳光下不同物体物高的比与影长的比相等，即物1高∶物2高＝影1长∶影2长．
2.测量河宽、管状物体的口径等问题时，可以构造两个相似三角形，借助相似三角形对应边 来解决．
考点1　利用影长测量物体的高
【典例1】小明想要利用所学知识测量教学楼AB的高度．如图，小明竖直站在教学楼的影子末端C点处，此时小明测量出自己的身高CD＝1.7 m，影子的长度CE＝2 m，以及小明站的位置到教学楼的距离BC＝30 m，求教学楼AB的高度．
在同一时刻物高与影长成正比，即在同一时刻两个物体、影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【变式训练】
1.如图，小明欲测量一座垂直于地面的古塔DE的高度，他直立站在该塔的影子AE上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他与该塔的距离CE＝36 m，已知小明的身高BC＝1.8 m，他的影长AC＝4 m，求古塔的高度．
考点2　利用标杆或镜子测物体的高
【典例2】（江苏宿迁沭阳县校级模拟）如图，小华和小康想用标杆来测量校园中的一棵树AB的高，小康在F处竖立了一根标杆EF，小华走到C处时，站立在C处恰好看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离DC＝1.6米，EF＝2.4米，CF＝2米，FA＝16米，点C，F，A在一条直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，AB⊥AC，根据以上测量数据，请你求出树AB的高度．
因为一些物体的高度不方便直接测量，所以可以借助相似三角形的知识来解决问题，其基本方法是：
(1)借助光线、标杆以及镜面构造相似三角形；
(2)利用皮尺测量出一些较矮及地面上易测量的相关长度；
(3)根据相似三角形的性质得对应边成比例，列比例式求出所求物体的高度．
【变式训练】
2.（海南文昌校级月考）如图，小华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离EB＝20米，镜子与小华的距离ED＝2米时，小华刚好从镜子中看到铁塔顶端点A.已知小华的眼睛距地面的高度CD＝1.5米，则铁塔AB的高度是 米．
考点3　影子在斜面上时求物体的高度
【典例3】如图所示，小红想利用竹竿来测量旗杆AB的高度，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面(BC)上，另一部分落在斜坡(CD)上，他测得落在地面上的影长为10米，落在斜坡上的影长为4米，∠DCE＝45°，求旗杆AB的高度？
运用转化的方法得到旗杆在地面上的全部影长或旗杆的一部分在地面上的影长，从而能够根据“旗杆高：旗杆的影长＝竹竿高∶竹竿的影长”求出旗杆的高度．
【变式训练】
3.如图，已知：某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为1.5米，在同时刻测量旗杆影长时，因旗杆靠近一幢房子，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为9米，留在墙上的影长CD为2米，求旗杆的高度．
知识点1　利用相似三角形测量高度
1.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则球拍击球的高度h的值为( )
A．2.5米 B．2.4米 C．3米 D．3.2米
2.如图是可折叠的熨衣架的侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB∥CD，根据图中的数据可得x的值为 .
知识点2　利用相似三角形测量长度或宽度
3.（海南儋州期末）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连结AC、BC，在AC上取点E，使AE＝3EC，作EF∥AB交BC于点F，量得EF＝6 m，则AB的长为( )
A．30 m B．24 m C．18 m D．12 m
4.如图，某校宣传栏BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即BC∥ED，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在距宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知AF⊥BC，AF＝3米，BC＝10米，求该宣传栏后DE的宽度．（不计宣传栏的厚度）
知识点3　利用相似三角形证明线段等积式
5.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E为AC的中点，ED交CB的延长线于点F.
求证：BD·CF＝CD·DF.
6.图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB为( )
图1　　　　图2
A．3 cm B．3.75 cm
C．4 cm D．4.25 cm
7.（海南海口琼山区校级月考）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一条直线上．已知纸板的两条边DE＝120 cm，EF＝50 cm，测得AC＝1.5 m，CD＝12 m，则树高AB的长为 m．
8.（河北沧州盐山县期末）如图，△ABC是一块三角形的铁皮，BC长为4 m，BC边上的高AD为3 m，要将它加工成一块矩形铁皮，使矩形的一边FG在BC上，其余两个顶点E，H分别在AB、AC上，且矩形的面积是三角形面积的一半，求这个矩形的长和宽．
9.（应用意识）秋高气爽，丹桂飘香，艳阳高照，群情昂扬．我校九年级数学兴趣小组运用相似三角形的有关知识去学校操场边上进行测量．
(1)小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度．如图1，在水平面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离EA＝12米，当她与镜子的距离CE＝2米时，她刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B.已知她的眼睛距地面的高度DC＝1.5米．请你帮助小玲计算出教学楼的高度AB是多少米；（根据光的反射定律：反射角等于入射角）
(2)在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米．如图2，小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长CD为3.5米，落在地面上的影长BD为6米，求树AB的高度．

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