资源简介

13.1 第2课时 三角形中角的关系
素养目标
1.会按角将三角形分类.
2.掌握三角形内角和定理.
3.能用三角形内角和定理解决相关问题.
重点
三角形内角和定理.
【自主预习】
预学思考
1.三角形按照边应怎么分类
2.思考:三角形若按角来分类,可分为哪几类
自学检测
1.如果一个三角形的三个内角的度数分别为40°,60°,80°,那么这个三角形是 ( )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
2.在△ABC中,∠A=10°,∠B=30°,则∠C=　　　　.
【合作探究】
知识生成
知识点一 三角形的分类
阅读课本第67页“例2”前面的内容,回答归纳总结中的问题.
归纳总结
三角形按角的大小,可分为:
三角形
对点训练
三角形按角的大小可以分为 ( )
A.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
B.等腰三角形、等边三角形、不等边三角形
C.直角三角形、 等腰直角三角形
D.以上答案都不正确
知识点二 三角形的内角和
阅读课本第67页“例2”的内容,回答下列问题.
1.请同学们动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处,你有哪些方法 你发现了什么
2.请谈谈你是如何说明三角形的内角和等于180°的
归纳总结
三角形的内角和等于 .
对点训练
在△ABC中,
(1)若∠A=80°,∠B=∠C,则∠B= ;
(2)若∠A-∠C=35°,∠B-∠A=20°,则∠B= ;
(3)若∠C=90°,∠A=30°,则∠B= .
题型精讲
题型1 三角形中角的关系
例1　下列说法正确的有 (填序号).
①如果一个三角形中最大的内角是70°,那么这个三角形是锐角三角形;
②一个三角形中最多只有一个钝角或直角;
③一个等腰三角形一定是锐角三角形;
④三角形中至少有一个角不大于60°.
变式训练
△ABC的三个内角满足关系式∠B+∠C=3∠A,则这个三角形 ( )
A.一定有一个内角为45°
B.一定有一个内角为60°
C.一定是直角三角形
D.一定是钝角三角形
题型2 三角形内角和
例2　如图,AB⊥BD,AC⊥CD,∠A=40°,则∠D= .
变式训练
两把三角尺按如图所示的方式叠放在一起,则图中∠α等于 ( )
A.105°
B.115°
C.120°
D.135°
题型3 三角形内角和的应用
例3　如图,按规定,一块模板中AB,CD的延长线相交需成85°角,因交点不在板上,不便测量,工人师傅连接AC,测得∠BAC=32°,∠DCA=65°,此时AB,CD的延长线相交所成的角是不是符合规定 为什么
变式训练
如图,五角星ABCDE,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
参考答案
自主预习
预学思考
1.三角形
2.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.
自学检测
1.B
2.140°
合作探究
知识生成
知识点一
归纳总结
三角形
对点训练
A
知识点二
1.方法如下(方法不唯一):
发现略.
2.采用测量的方法(答案不唯一)
归纳总结
180°
对点训练
(1)50°
(2)85°
(3)60°
题型精讲
题型1
例1
①②④
变式训练
A
题型2
例2
40°
变式训练
A
题型3
例3
解:不符合规定.理由:设AB,CD的延长线相交于点O,由三角形内角和定理得∠AOC=180°-∠BAC-∠DCA=180°-32°-65°=83°≠85°,所以不符合规定.
变式训练
解:如图,连接BE,在△ABE中,∠ABE+∠AEB+∠A=180°(三角形内角和性质),
即∠ABC+∠2+∠1+∠AED+∠A=180°.
又因为 ∠1+∠2+∠EOB=180°,
∠D+∠C+∠DOC=180°(三角形内角和性质),
∠EOB=∠DOC(对顶角相等),
所以∠1+∠2=∠D+∠C,
所以∠ABC+∠C+∠D+∠DEA+∠A=180°.13.1 第3课时 三角形中几条重要线段
素养目标
1.掌握三角形的高、中线与角平分线的概念和画法.
2.知道三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点的性质.
3.明确重心的概念.
重点
三角形中的特殊线段.
【自主预习】
预学思考
作出△ABC的三条角平分线,观察它们有什么特征.
自学检测
1.三角形的下列线段中,能将三角形的面积分成相等两部分的是 ( )
A.中线
B.角平分线
C.高
D.三角形两邻边中点的连线
2.如图,在△ABC中,∠B=45°,∠C=25°,AD是△ABC的角平分线,则∠BAD的度数为 ( )
A.50°
B.53°
C.55°
D.58°
【合作探究】
知识生成
知识点一 三角形的特殊线段
阅读课本第69页“操作”及前面的内容,回答下列问题.
1.锐角三角形三条高的交点在三角形 ;直角三角形三条高的交点在三角形的 顶点;钝角三角形三条高的交点在三角形 .
2.请根据表格填空:
名称 总条数 位置 是否交于一点(或延长线) 所得结论
高 　　 　　 　　 　　　
中线 　　 　　 　　 　　　
角平分线 　　 　　 　　 　　　
归纳总结
1.如图,△ABC的一个内角∠BAC的平分线AD交∠A所对的边BC于点D,所得线段AD叫作△ABC的 ,即∠1=∠2.
2.三角形中,连接一个顶点与它 的线段叫作三角形的中线.
3.从三角形的一个顶点到它对边 的垂线段叫作三角形的高.
对点训练
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,DE⊥AB,垂足为E,则△ABD的BD边上的高是 ( )
A.AD
B.DE
C.AC
D.BC
2.如图,在△ABC中,AD是高,AE是角平分线,AF是中线,则下列说法中错误的是 ( )
A.BF=CF
B.∠C+∠CAD=90°
C.∠BAF=∠CAF
D.S△ABC=2S△ABF
知识点二 三角形的重心与定义
阅读课本第69页“操作”至第70页“练习”前面的内容,回答下列问题.
1.分别作出图1、图2中两个三角形的高线,观察它们有什么特征.
2.作出△ABC的三条中线,观察它们有什么特征.
归纳总结
1.三角形有三条高线,它们所在的直线会相交于　　　　.
2.三角形有三条中线,它们会相交于　　　　,这个交点就是三角形的　　　　.
对点训练
1.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,则下列结论错误的是 ( )
A.BD是△ABC的角平分线
B.CE是△BCD的角平分线
C.∠3=∠BCD
D.CE是△BCD的中线
2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC且与BC相交于点D,∠B=40°,∠BAD=30°,则∠C的度数是 .
题型精讲
题型1 三角形中的线段
例1　如图,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC对折,使点B 落在点B'的位置,则线段AC ( )
A.是边BB'上的中线
B.是边BB'上的高线
C.是∠BAB'的平分线
D.以上三种性质都符合
变式训练
1.如图,已知△ABC,CD⊥BC于点C,点D在AB的延长线上,则CD是△ABC ( )
A.BC边上的高
B.AB边上的高
C.AC边上的高
D.以上都不对
2.已知AD,AE分别是△ABC的中线、高,且AB=5 cm,AC=3 cm,则△ABD与△ADC的周长之差为 ;△ABD与△ADC的面积关系是 .
题型2 三角形中线段的应用
例2　在等腰三角形ABC中,一腰AC上的中线把三角形的周长分为12 cm和15 cm两部分,求此三角形各边的长.
变式训练
1.如图,BD与CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线,如果∠DBC=∠ECB,那么∠ABC=∠ACB吗
2.(方法指导:利用三角形的面积公式)如图,△ABC中,AB=2 cm,BC=4 cm,△ABC的高AD与高CE的比是多少
参考答案
自主预习
预学思考
解:作图如下:
三角形的三条角平分线会相交于同一点.
自学检测
1.A
2.C
合作探究
知识生成
知识点一
1.内部　直角　外部
2.
名称 总条数 位置 是否交于一点(或延长线) 所得结论
高 3 形外、形内或边上 是 得直角
中线 3 形内 是 得相等线段
角平分线 3 形内 是 得相等角
归纳总结
1.角平分线
2.对边中点
3.所在直线
对点训练
1.C
2.C
知识点二
1.作图如下:
三角形的三条高线所在直线会相交一个点.
2.三角形三条中线会交于同一个点.
归纳总结
1.同一个点
2.同一个点　重心
对点训练
1.D
2.80°
题型精讲
题型1
例1
D
变式训练
1.D
2.2 cm　相等
题型2
例2
解:(1)当底边长小于腰长时(如图1),依题意有AB+AD=15,BC+CD=12.
图1
因为AB=AC,D是AC中点,所以AD=AC=AB,从而AB+AD=AB=15,
所以AC=AB=10 cm,CD=AD=5 cm,BC=12-CD=7 cm.
(2)当底边大于腰长时(如图2),则有AB+AD=12,BC+CD=15,
图2
同上法可求得AB=AC=8 cm,BC=11 cm,
上述两种情况解得的线段都构成三角形,故原题有两解.
变式训练
1.解:因为BD与CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线,
所以∠ABC=2∠DBC,∠ACB=2∠ECB,
又∠DBC=∠ECB,
所以∠ABC=∠ACB.
2.解:S△ABC=BC·AD=AB·CE,
所以BC·AD=AB·CE,即4AD=2CE,
所以AD与CE的比是.13.1 第1课时 三角形中边的关系
素养目标
1.知道三角形及三角形的边、内角、顶点,能用符号语言表示三角形.
2.会按三边的特殊关系,对三角形进行分类.
3.掌握三角形的三边关系,会判断三条线段构成三角形的条件.
重点
三角形按边分类.
【自主预习】
预学思考
如图,D是△ABC 的边AC上一点,AD=BD,试判断AC 与BC 的大小.
自学检测
将线段a,b,c首尾顺次相接组成三角形.若a=1,b=3,则c的长度可以是 ( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【合作探究】
知识生成
知识点一 三角形的概念
阅读课本第64页前三段的内容,解决下列问题.
1.如图,点A,B,C叫作这个三角形的 ;线段AB,BC,CA叫作这个三角形的 ;∠A,∠B,∠C叫作这个三角形的 ,简称三角形的角.
2.一个三角形有 个顶点, 条边, 个角.
3.三角形用符号“△”表示,如图所示的三角形可以表示为“ ”,读作“ ”.
4.三角形的三边有时也用它所对的角的相应小写字母表示:如边BC对着∠A,记作 ;边CA记作 ;边AB记作 .
归纳总结
由不在同一条直线上的三条线段 所组成的图形叫作三角形.
对点训练
下面是一位同学用三根木棒拼成的图形,其中符合三角形概念的是 ( )
A. B.
C. D.
知识点二 三角形按边的分类
阅读课本第65页“思考”之前的三段文字,回答下列问题.
在三角形中,三条边 的三角形叫作不等边三角形,有 的三角形叫作等腰三角形,三条边 的三角形叫作等边三角形.
归纳总结
三角形按边长关系,可分为:
对点训练
三角形按边长关系可分为 ( )
A.不等边三角形、等边三角形
B.等腰三角形、等边三角形
C.不等边三角形、等腰三角形、等边三角形
D.不等边三角形、等腰三角形
知识点三 三角形的三边关系
阅读课本第65页“思考”与“例1”的内容,回答归纳总结中的问题.
归纳总结
1.三角形中任何两边的和 第三边,即a+c b,同理a+b　　c,b+c a.
2.根据不等式的基本性质,上图中a b-c,b a-c,c b-a,也可以说,三角形中任何两边之差 第三边.
对点训练
1.在△ABC中,AB=3,BC=5,则AC的取值范围是 ( )
A.0B.3C.2D.62.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是 ( )
A.2 cm,3 cm,5 cm
B.7 cm,4 cm,2 cm
C.3 cm,4 cm,8 cm
D.3 cm,3 cm,4 cm
题型精讲
题型1 三角形的三边关系
例1　两根木棒的长分别为3 cm和5 cm,要选择第三根木棒,将它钉成一个三角形,若第三根木棒的长为偶数,则第三根木棒的长是多少
变式训练
下列长度的三条线段能组成三角形的是 ( )
A.1,2,3
B.1,,3
C.3,4,8
D.4,5,6
题型2 等腰三角形中边的关系
例2　(1)如果等腰三角形的两条边分别为3和7,求它的周长.
(2)已知等腰三角形的两条边分别为4和7,求它的周长.
变式训练
已知等腰三角形的一条边等于4,另一条边等于9,那么这个三角形的周长是 .
参考答案
自主预习
预学思考
解:在△BDC 中,
有 BD+DC>BC(三角形的任意两边之和大于第三边),
又因为 AD=BD,
则BD+DC=AD+DC=AC,
所以 AC>BC.
自学检测
A
合作探究
知识生成
知识点一
1.顶点　边　内角
2.三　三　三
3.△ABC　三角形ABC
4.a　b　c
归纳总结
首尾依次相接
对点训练
D
知识点二
互不相等　两条边相等　都相等
对点训练
D
知识点三
归纳总结
1.大于　>　>　>
2.>　>　>　小于
对点训练
1.C　2.D
题型精讲
题型1
例1
解:设第三根木棒的长为x cm.
依据三角形三边关系可得5-3又因为x为偶数,故x只能取4或6.
答:第三根木棒的长是4 cm或6 cm.
变式训练
D
题型2
例2
解:(1)若腰长为3,不能构成三角形,因此腰长为7,周长为7+7+3=17.
(2)若腰长为4,则周长为4+4+7=15;若腰长为7,则周长为7+7+4=18.
变式训练
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