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第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 复习课
复习目标
1.知道三角形的边角关系,以及它们之间的内在联系,并能应用到解题中去.
2.学会用自己的语言叙述命题、基本事实和定理的意义.
3.会对命题进行分析,找出条件与结论,判断真假,能写出它们的逆命题.
4.会有条理地思考与表达,会使用“∵”“∴”符号来证明几何问题,深知几何语言的规范性.
重点
三角形的边角关系,命题的证明.
【体系构建】
【专题复习】
专题一 三角形的边角关系
例1　已知一个三角形两边长分别为2 cm和6 cm,则第三边的长可以是 cm.(写出一个符合条件的答案)
变式训练
在三角形中,最多有 个锐角,至少有 个锐角,最多有 个钝角(或直角).
专题二 命题及推理
例2　下列语句不是命题的是 ( )
A.两点之间,线段最短
B.不平行的两条直线有一个交点
C.x与y的和等于0吗
D.对顶角不相等
变式训练
在下列各题括号内,填上推理的依据.
已知:∠1=∠2,求证:∠3=∠4.
证明:∵∠1=∠2,(　　　)
∴AB∥CD,(　　　　　　　　)
∴∠3=∠4.(　　　　　　　　　　　　　)
专题三 三角形的内角和定理
例3　如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=66°,AE⊥BC于点E,AD平分∠BAC,求∠DAE的度数.
变式训练
如图,AB⊥BC,AD⊥CD.求证:∠A+∠C=180°.
专题四 三角形的角平分线、中线和高
例4　如图,AD为△ABC的中线,BE为三角形ABD的中线.
(1)已知∠ABE=15°,∠BAD=35°,求∠BED的度数.
(2)在△BED中作BD边上的高.
(3)若△ABC的面积为60,BD=5,则点E到BC边的距离为多少
变式训练
如图,在△ABC中,∠B+∠C=100°,AD平分∠BAC,交BC于点D,DE∥AB,交AC于点E,则∠ADE的度数是 ( )
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
专题五 三角形的外角
例5　如图,点D,E分别在AB,AC上,DE∥BC,F是AD上一点,FE的延长线交BC的延长线于点G.求证:
(1)∠EGH>∠ADE;
(2)∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF.
变式训练
如图,F为AB上一点,E为CF上一点,∠BFC+∠C=180°,求证:∠AEC=∠A+∠C.
参考答案
专题复习
专题一
例1
答案不唯一,如5,6等
变式训练
3　2　1
专题二
例2
C
变式训练
已知;同位角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等
专题三
例3
解:∵∠B+∠C+∠BAC=180°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=84°.
又∵AD平分∠BAC,
∴∠DAC=∠BAC=42°.
∵AE⊥BC,∴∠EAC=90°-∠C=24°,
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=18°.
变式训练
证明:连接AC,在△ACD中,
∵∠D=90°(已知),
∴∠DAC+∠ACD=90°(直角三角形的两个锐角互余).
在△ABC中,∵∠B=90°(已知),
∴∠BAC+∠ACB=90°(直角三角形的两个锐角互余),
∴∠DAC+∠ACD+∠BAC+∠ACB=∠A+∠C=180°(等式的性质).
专题四
例4
解:(1)∵∠BED是△ABE的一个外角,
∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+35°=50°.
(2)如图,EF是△BED中BD边上的高.
(3)∵AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线,
∴S△BED=S△ABC=×60=15.
∵BD=5,∴EF=2S△BED÷BD=2×15÷5=6,
即点E到BC边的距离为6.
变式训练
B
专题五
例5
证明:(1)∵∠EGH是△FBG的一个外角,
∴∠EGH>∠B.
又∵DE∥BC,∴∠B=∠ADE,∴∠EGH>∠ADE.
(2)∵∠BFE是△AFE的一个外角,
∴∠BFE=∠A+∠AEF.
∵∠EGH是△BFG的一个外角,
∴EGH=∠B+∠BFE,
∴EGH=∠B+∠A+∠AEF.
又∵DE∥BC,∴∠B=∠ADE,
∴∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF.
变式训练
证明:∵∠BFC+∠C=180°,
∴AB∥CD,
∴∠AFC=∠C.
又∵∠AEC=∠A+∠AFC,
∴∠AEC=∠A+∠C.

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