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北师大版选必一第二章圆锥曲线章末检测卷 2
第I卷（选择题）
一、单选题
1.下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是( )
A. B. C. D.
2.以，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，且满足，则动点的轨迹是( )
A. 直线的一部分 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线
3.双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
4.设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，若，则的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
5.“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知圆，为圆内一点，将圆折起使得圆周过点如图，然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为( )
A. B. C. D.
7.已知点是双曲线上非顶点的动点，为双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点满足，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线：上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.已知椭圆右顶点为，上顶点为，该椭圆上一点与的连线的斜率，的中点为，且满足，若分别是轴轴负半轴上的动点，且，则的最大值是( )
A. B. C. D.
10.已知双曲线：的离心率为，的左、右焦点分別为，，点在的右支上，的中点在圆：上，其中为半焦距，则( )
A. B. C. D.
11.已知点在抛物线：上，过作圆的两条切线，分别交于，两点，且直线的斜率为，若为的焦点，点为上的动点，点是的准线与坐标轴的交点，则的最大值是( )
A. B. C. D.
12.已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长( )
A. B. C. D.
二、多选题
13.已知，，为平面上的动点，定义运算：，其中( )
A. 若运算为加法，则点的轨迹为椭圆 B. 若运算为减法，则点的轨迹为双曲线
C. 若运算为乘法，则点的轨迹为直线 D. 若运算为除法，则点的轨迹为圆
14.已知抛物线：和椭圆：有相同的焦点，且交于，两点，的准线与交于，两点，则( )
A. 存在，使为等边三角形
B. 存在，使四边形为正方形
C. 任意，点总在圆：外
D. 任意，椭圆上任一点总在圆：外
15.如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则
A. 点和均在上 B. 点的纵坐标的最大值为
C. 的最大值与最小值之和为 D.
16.我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”，如图，已知椭圆：，，，，为顶点，，为焦点，为椭圆上一点，则下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有( )
A.
B.
C. 轴，且
D. 四边形的内切圆过焦点，
17.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则以下结论正确的是( )
A. B.
C. D. 的最小值为
18.已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线交于，两点，在第一象限，抛物线的准线与轴交于点，则( )
A. B. 时，
C. 以为直径的圆与准线相切 D.
第II卷（非选择题）
三、填空题
19.抛物线的准线方程为 ．
20.设、为双曲线：左右焦点，点在双曲线上，若，且，则 ．
21.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，
设椭圆：的左、右焦点分别为，，若从右焦点发出的光线经过上的点和点反射后，满足，且，则的离心率为 ．
四、解答题
22.动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数．
求动点的轨迹方程；
设，点为轨迹上一点，且，求的面积．
23.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合．过且与轴垂直的直线交于两点，交于两点，且．
求的离心率；
若的四个顶点到的准线距离之和为，求与的标准方程．
24.已知双曲线与双曲线有共同的渐近线．
若经过抛物线的顶点，求双曲线的方程
若双曲线的两个焦点分别为，，点为上的一点，且，求双曲
线的方程．
25.如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧．记，的面积分别为，．
求的值及抛物线的准线方程；
求的最小值及此时点的坐标．
26.本小题分
如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，．
求与的标准方程
过点作直线，交于点，交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，求上述各点均不重合
点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点，求点坐标，使直线与直线的斜率之积为定值上述各点均不重合
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.解：设，由题意得，化简得，
所以动点的轨迹方程为：．
由知，双曲线，，，所以和为双曲线两焦点，
，设，，则有，再由余弦定理得，
，
所以．
23.解：为椭圆的右焦点，且垂直轴，
，将带入椭圆方程得，坐标，则，
设抛物线方程为，为抛物线的焦点，且垂直轴，
，将带入抛物线得，坐标，则，
，与的焦点重合，
整理得，，，
设的离心率为，则，解得或舍，
故椭圆的离心率为．
由知，，，
：，：，
的四个顶点坐标分别为，，，，的准线为，
由已知得，即．
所以与的标准方程分别为，．

24.解：依题意可设的方程为．
抛物线，顶点为，
将代入的方程，得，则的方程为．
由题意易知，．
当焦点在轴上时，，可设双曲线的方程为，则，，
则双曲线的方程为．
当焦点在轴上时，，可设双曲线的方程为，则，，
则双曲线的方程为．
综上所述，双曲线的方程为或．
25.解：Ⅰ由抛物线的性质可得：，
，
抛物线的准线方程为；
Ⅱ设，，，重心，
令，，则，
由于直线过，故直线的方程为，
代入，得：，
，即，，
又，，重心在轴上，
，
，，
直线的方程为，得，
在焦点的右侧，，
，
令，则，
，
当时，取得最小值为，此时．
26.解：由题意可得：，解得
所以椭圆的标准方程为，椭圆的标准方程为．
先证结论：已知椭圆上的点关于原点对称，
对于椭圆上任一点可得有意义的前提下，
因为，
且在椭圆上，则，两式相减可得，
整理可得，所以，
由题意可知：直线的斜率存在且不为，设为，
则，
所以；
由设直线，，，
联立方程，消去可得，
由题意可得：，即，
可得，即，
又，则直线的斜率，
可得直线：，
同理可得，
又则直线的斜率，
可得直线：，
同理可得，
则直线的斜率，
可得直线：，
联立方程，解得
即，可得
设，，
整理可得
，
由题意可得，解得
即存在点，使得．
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