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高26届 高三上期 9月开学考试
数学试题
一、单选题
1．，则
A． B． C． D．
2．已知复数，表示z的共轭复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．设向量，，且，则实数（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
4．已知，，则（ ）
A．1 B． C． D．
5．《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种，这五种规格党旗的长（单位：cm）成等差数列，对应的宽为（单位：cm），且长与宽之比都相等，已知，，则（ ）
A．64 B．100 C．128 D．132
设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为（ ）.
A． B．2 C． D．4
若、是两个不重合的平面，
①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；
②设、相交于直线，若内有一条直线垂直于，则；
③若外一条直线与内的一条直线平行，则.
以上说法中成立的有（ ）个.
A．0 B．1 C．2 D．3
已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，；③.则下列选项不成立的是（ ）
A． B．若，则或
C．，使得 D．若，则
二、多选题
9．某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查．已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（ ）
A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人
B．随机变量
C．随机变量的数学期望为
D．若事件“抽取的3人都感兴趣”，则
10．已知正数满足，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
A． B．有且只有一个极小值，且极小值等于
C．的值域是 D．若，则恒成立
三、填空题
12．展开式中的常数项为 .
13. 已知是等边三角形，、分别是边和的中点.若椭圆以、为焦点，且经过、，则椭圆的离心率等于____________.
14. 如图，在中，，，，，，若D，E，F三点共线，则的最小值为 ．
四、解答题
15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且．
(1)求B；
(2)若，且的面积为，求b.
16．已知为等比数列， 是，的等差中项．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
17.已知三棱锥 ，平面 平面 .
(1)求证: ;
(2)求直线 DB与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 到平面 的距离.
18.已知椭圆的左 右焦点分别为，短轴长为，点在上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值；
(3)过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值.
19. 已知函数.
(1)求的极值；
(2)设.
（i）当时，求函数的单调区间；
（ii）若在上恒成立，求实数的取值范围.
高26届 高三上期 9月入学考试 数学试题 参考答案
一、单选题
1．C 2．D 3．B 4．A 5．C 6.B 7.C
8. D
【详解】由①，可得函数为偶函数；②，当时，，可得在为减函数；
对于A中，因为函数在为减函数，所以，所以A正确；
对于B中，由不等式，可得或，解得或，所以B正确；对于C中，由为上的偶函数，且在为减函数；在在为增函数，又因为的图象是连续不断的，所以为的最大值，所以，所以，，使得成立，所以C正确.
对于D中，由，可得，若，则或，解得或，所以D错误；
二、多选题
9．【答案】AC
10.【答案】BD
【详解】由，，得：；对于A，（当且仅当，即，），A错误；
对于B，（当且仅当，即，时取等号），B正确；
对于C， （当且仅当，即，时取等号），，解得：（当且仅当，时取等号），C错误；
对于D，（当且仅当，即，时取等号），由C知：（当且仅当，时取等号），（当且仅当，时取等号），D正确.
11．【答案】ABD
【详解】由，则，
则，即，故A正确；此时，，
令，得或；令，得，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，则时，取得极小值，故B正确；
又，，所以的值域不是，故C错误；
因为，则时，，而，则恒成立，故D正确.
三、填空题
12．【答案】
13.【答案】
14.【答案】
【详解】由，得，即，，E，F三点共线，
，当且仅当，时取等号，所以的最小值为
四、解答题
15．【详解】（1），由正弦定理得，即，由余弦定理，得.因为，所以.
（2）由（1）得，所以的面积为，得，由及正弦定理，得，所以. 由余弦定理，得，所以.
16．【详解】（1）设的公比为，因为为，的等差中项，
所以，即，则，解得，所以.
（2）设的前项和为，又，，①，②
①②得，所以.
17.【详解】（1）如图，取中点 ，连接 .
.
为等腰直角三角形，为中点.
.为中点，.
平面POB，，
面OBP. 面OBP，
（2）平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABC，
面 两两垂直
如图，以为原点， 为轴正向， 为轴正向， 为轴正向
建立空间直角坐标系，则 .
.
.
则，.
令平面的法向量为 ，则 ，可取.
则直线 DB与平面 所成角的正弦值.
（3）由（2），.
令平面的法向量为，
则 ，可取.
则点到平面 的距离.
18.【详解】（1）依题意，，且，解得，所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，，而，则，周长，当且仅当点是线段的延长线与椭圆的交点时取等号，所以周长的最大值为.
（3）设直线的方程为，，
由消去得：，显然，，，
因此面积，
令，，显然函数在上单调递增，
则当，即时，取得最小值，
所以当时，面积取得最大值3.
19.【详解】（1）因为的定义域为，所以，
令，解得，当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减，所以在处取得极大值，无极小值.
（i）函数的定义域为，则.
当时，由，解得或；由，解得，所以函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，由，解得或；由，解得，所以函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得函数在上单调递增；
当时，由，解得；由，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，函数的单调递增区间为和，递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为和，递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，无减区间；
当时，函数的单调递增区间为，递减区间为.
（ii）在上恒成立可转化为在上恒成立，
设，，则，
令，则，所以函数在上单调递减，
又，，则函数在内存在唯一的零点，
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
又，得，则，
所以，即实数的取值范围为.

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