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2024-2025学年广东省湛江市廉江实验学校高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.每次停放自行车时，将脚撑放下自行车即可固定在地面上，其中蕴涵的道理是( )
A. 两条直线确定一个平面 B. 三点确定一个平面
C. 不共线三点确定一个平面 D. 两条平行直线确定一个平面
3.已知为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
4.如图，为的边上的中线，且，那么为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为，则该圆台的侧面积为( )
A. B. C. D.
6.已知向量满足，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.在正方体中，是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.已知的内角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，，且，求面积的取值范围( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是( )
A. B. C. 的虚部为 D. 在复平面内对应的点位于第二象限
10.已知，，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
11.堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著九章算术商功如图，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱堑堵如图，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑则( )
A. 阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形 B. 鳖臑的四个面均为直角三角形
C. 阳马的体积是鳖臑的体积的两倍 D. 堑堵、阳马与鳖臑的外接球的半径都相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域是______．
13.如图，一艘船以每小时的速度向东航行，船在处观测灯塔在北偏东方向，行驶后，船到达处，观测个灯塔在偏东方向，此时船与灯塔的距离为______．
14.三棱锥中，平面，，，一球球心在平面内，并且与三个侧面都相切，则球的半径为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知向量，，，．
当时，求的值；
当时，求的值．
16.（15分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点．
证明：平面；
求四棱锥的体积．
17.（15分）在中，角，，的对边分别为，，已知．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ若，，求的面积．
18.（17分）如图，在四棱锥中，平面，，．
求证：平面；
若，求与平面成角的正弦值；
设点为的中点，过点，的平面与棱交于点，且平面，求的值．
19.（17分）法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”如图，的内角，，的对边分别为，，，，以，，为边向外作三个等边三角形，其中心分别为，，．
Ⅰ求角；
Ⅱ若，且的周长为，求；
Ⅲ若的面积为，求的角平分线的取值范围．
参考答案
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15.解：向量，，，，
当时，则，得，
当时，则，解得或．
16.如图所示，连接，，
因为为平行四边形，是中点，
所以，是平行四边形的对角线，所以是中点，
又因为是中点，所以是中位线，所以，
因为平面，平面，所以平面；
．
17.解：Ⅰ，
由正弦定理得，
因为，
所以，，
在中，，
所以；
Ⅱ，，
由余弦定理得，
得，解得或舍，
故
．
18.证明：因为平面，平面，
所以，
又，，，平面，
所以平面．
解：因为，平面，
所以平面，
所以为直线与平面所成角的平面角，
在中，，
在中，，
所以．
解：因为平面，平面平面，平面，
所以，
因为点为的中点，
所以点为的中点，
所以．
19.解：在中，由及正弦定理得，
又，则，
又，于是即，又，
所以．
由知，由的周长为，得，
依题意，．，，
在中，由余弦定理得，
，即，
在中，由余弦定理得，
即，联立解得，
所以．
由正的面积为，得，
由知，即，
由．
得，
于是，又，则，
又，即，解得，
因此，
令函数，而函数与在上均单调递增，
则函数在上单调递增，从而，
则，
所以的取值范围是．
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