资源简介

2024-2025学年湖南省株洲二中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.记为等差数列的前项和若，则( )
A. B. C. D.
3.志愿者甲参加第届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为( )
A. B. C. D.
4.的展开式中二项式系数的和为，则展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
5.一家制造厂有条生产线，每条生产线每天生产一件产品，每个产品是“良品”的概率为，否则为“次品”，每条生产线的生产过程相互独立每天生产结束后对所有产品进行检测，“良品”被误检测为“次品”的概率即漏检率为，“次品”被误检测为“良品”的概率即误接受率为被检测为“良品”的产品出货，否则报废则该制造厂每天出货的产品件数平均为( )
A. B. C. D.
6.等比数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
7.若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.关于的不等式对恒成立，实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.由某班数学考试成绩的数据分析可知，男生成绩与女生成绩均服从正态分布，且，，则( )
A. B.
C. D.
10.抛物线：的焦点为，过的直线交于，两点，设为坐标原点，的倾斜角为，若，则( )
A. B.
C. D. 的面积为
11.记是数列的前项和，实数，，为非零常数，则下列说法中正确的有( )
A. 若为等差数列，则为等差数列 B. 若，则为等差数列
C. 若为等差数列，则 D. 若，则为等比数列
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.双曲线的两条渐近线的夹角大小是______．
13.从按直线方向排列的块地中选块种植，两种作物，且，至少间隔块，有___种不同的种植．
14.已知各项均不为的数列的前项和为，且，．
的通项公式为______．
若对于任意，恒成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，
若数列的前项和，求数列的通项公式．
求曲线在点处的切线方程．
16.本小题分
从某学校获取了容量为的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末成绩的样本观测数据部分整理如下：
数学成绩 语文成绩 合计
不优秀 优秀
不优秀
优秀
合计
依据小概率值的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
假设用样本估计总体，用频率估计概率，现从全校数学成绩优秀的人中任取人，记这人中语文成绩优秀的人数为，求的分布列与数学期望．
参考公式：，．
17.本小题分
已知函数，．
当时，求函数在点处的切线方程；
当时，设函数，讨论函数零点的个数．
18.本小题分
如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点．
证明，并求直线到直线的距离；
求点到平面的距离．
19.本小题分
与椭圆有公共焦点的双曲线过点，过点作直线交双曲线的右支于，两点，连接并延长交双曲线左支于点为坐标原点．
求双曲线的方程；
求的面积的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.；
．
15.解：根据题意可得数列的前项和，
当且时，．
又当时，，也满足上式，
所以；
因为，所以，
所以，，
所以所求切线方程为，即．
16.零假设为：：语文成绩和数学成绩无关．
根据列联表中的数据，计算得到：
．
语文成绩和数学成绩有关联，此推断犯错误的概率不大于．
从全校数学成绩优秀的人中任取人语文成绩优秀的概率为．
可得服从二项分布，即．
取值为，，，．
；；
；．
的分布列为：
．
17.当时，，
求导得，所以，又，
所以在点处的切线方程为．
当时，，所以，
令，求导得，
因为，所以在上单调递增，所以．
因为，所以当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
又，所以有唯一零点；
下证当时，无零点：
先证：
记，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，当且仅当时等号成立，
再证：
由，得，即，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以，
因此当时，没有零点．
综上所述，时，有个零点；当时，没有零点．
18.解：证明：如图所示，以、、 所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
，，，
，，
，
；
又，
设直线到直线的距离为，
则即为到直线的距离，
又，
直线到直线的距离为；
设平面的法向量为，
则，取，
设点到平面的距离为，
，
则点到平面的距离为．
19.解：由题意设双曲线的标准方程为：，
则，，
解得，，
双曲线的标准方程为．
设直线的方程为，设，，
把代入双曲线方程可得：，
直线交双曲线的右支于，两点，
，，，或，
解得．
，，
，
原点到直线的距离，
的面积，
令
则，当且仅当，即时，取得最小值．
的面积的最小值为，此时直线轴．
第1页，共3页

展开更多......

收起↑