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2024-2025学年江西省九江一中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，若，则实数( )
A. B. C. D.
2.已知复数，其中是虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( )
A. 一定平行 B. 一定相交 C. 平行或相交 D. 以上判断都不对
4.如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是三角形，若，，则原三角形的面积为( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在梯形中，，为线段的中点，先将梯形挖去一个以为直径的半圆，再将所得平面图形以直线为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知平面向量、、，，，的面积为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知复数满足，则，，，不同的数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 以上答案都不正确
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是( )
A. 直线与直线所成角为 B. 平面
C. 、、三点共线 D. 直线与平面所成角的为
10.在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，，下面说法错误的是( )
A. ：：：： B. 是锐角三角形
C. 的外接圆半径为 D. 的内切圆半径为
11.对于非零向量，定义变换以得到一个新的向量现对于非零向量与，作如上变换，则下列说法正确的是( )
A. 存在单位向量，使得
B. 对任意、，恒成立
C. 若，则的最大值为
D. ，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若关于的方程无解，则实数的取值范围是______．
13.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，则二面角的大小______．
14.已知中，内角，是关于的方程的两个根，其中，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在棱长是的正方体中，，分别为，的中点．
证明：平面；
证明：平面．
16.本小题分
已知．
若，，求的值；
若在时的值域为，求的取值范围．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且．
求的值；
若，求的值．
18.本小题分
如图在梯形中，，、是的两个三等分点，、是的两个三等分点，线段上一动点满足分别交，于、两点，记．
当时，求的值；
若，求的值；
若，求的取值范围．
19.本小题分
三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名当内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角如图，在中，角，，所对边长分别为，，，点为的布洛卡点，其布洛卡角为．
求证：；
若，是否存在常数，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
若，试判断的形状．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.：
13.
14.
15.证明：建立如图所示的空间直角坐标系，
由棱长为，可得，，，，，，，，
可得，，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
，，
因为，
，
所以，，又，
所以平面．
16
，
因为，
则，
因为，
所以，，；
因为，
所以，，
要使得在时的值域为，
则有，
解得，即的取值范围是
17.，则，
由，则；
由题意，，
由得：，
由余弦定理可得，，
整理可得，
即，
所以．
18.
由题意，
，
所以
；
，
若，则，
，
因为，，三点共线，
所以可设，
由于，，三点共线，所以设，
所以，解得，，
所以；
，
则
，
，
因为，，三点共线，
所以可设，
因为，所以，
所以，即，
所以，
令，所以，
由对勾函数性质可知，在上单调递增，
故所求为．
19.证明：，
所以．
存在实数使等式成立，理由如下：
由得，
由余弦定理得：，，，
则，
所以时，存在实数使
当时，由得，
由得，，
在中，由余弦定理得，
于是
，当且仅当且时取等号，
由，得，
即当且仅当且时取等号，
因此，而，所以为等边三角形．
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