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2024-2025学年江西省上饶中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.有一组数据，按从小到大排列为：，，，，，，，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为( )
A. B. C. D.
2.下列命题是真命题的是( )
A. 两个四棱锥可以拼成一个四棱柱 B. 正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形
C. 经过不共线的三个点的球有且只有一个 D. 直棱柱的侧面是矩形
3.在复平面内，复数满足，则复数对应的点的坐标是( )
A. B. C. D.
4.点到双曲线的一条渐近线的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知火箭在时刻的速度为单位：千米秒，质量为单位：千克，满足为常数，、分别为火箭初始速度和质量假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为千克，初始速度为，经过秒后的速度千米秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的零点分别，，，则，，的大小顺序为( )
A. B. C. D.
7.如图，两个共底面的正四棱锥底面是正方形，顶点、与正方形的中心的连线与底面垂直组成一个八面体，且该八面体的各棱长均相等，则( )
A. 异面直线与所成的角为
B.
C. 平面平面
D. 直线与平面所成的角为
8.已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，为复数，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 若，则
D. ““是““的充分不必要条件
10.已知函数的定义域为，，，则( )
A. B.
C. 是奇函数 D. 是偶函数
11.已知双曲线的离心率为，过其右焦点的直线与交于点，，下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 的最小值为
C. 若满足的直线恰有一条，则
D. 若满足的直线恰有三条，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若的展开式中二项式系数之和为，则展开式中常数项是 ．
13.如图，中，，且的面积为，点在边上，
，则的长度等于______．
14.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿在流数法一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法牛顿法，如图，在横坐标为的点处作的切线，该切线与轴的交点为；在横坐标为的点处的切线与轴的交点为；一直继续下去，得到，，，，，它们越来越逼近的零点在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值可作为函数的一个零点用“牛顿法”求方程的近似解，可以构造函数，若，得到该方程的近似解约为______精确到．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，，，平面，，为的中点．
设平面与平面的交线为，求证：；
求平面与平面夹角的余弦值．
16.本小题分
已知函数，．
判断函数的单调性；
若恒成立，求的值．
17.本小题分
已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，且，，成等差数列．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
18.本小题分
已知椭圆的两个焦点为，，且椭圆的离心率为．
求椭圆的标准方程；
已知为坐标原点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，，且弦的中点为，直线的斜率为，求；
直线与椭圆有两个不同的交点，，椭圆在点，处的切线分别为，，与交于点，点在直线上请你判断直线是否经过定点，并说明理由．
19.本小题分
有一种士兵排列方法：士兵站成一排，解散以后马上再重新站成一排，并且这些士兵不能站在自己原来的位置上．
如果只有个士兵，那么重新站成一排有多少种站法？
假设原来有个士兵，解散以后不能站在自己原来位置上的站法为种，写出和，之间的递推关系，并证明：数列是等比数列；
假设让站好的一排个士兵解散后立即随机站成一排，记这些士兵都没有站到原位的概率为，证明：当无穷大时，趋近于参考公式：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：证明：在四棱柱中，底面为直角梯形，
，，平面，，为的中点．
平面平面，
平面平面，平面平面，
．
由题意可知：，平面，
以为坐标原点，以，，所在直线别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
，，，
，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设平面的法向量，
则，令，得，
则，，
平面与平面夹角的余弦值为．
16.解：函数的定义域为，
当时，恒成立，在上单调递增．
当时，由，得，则函数在上单调递减，
由，得，则函数在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
由知，当时，在上单调递增，
由，知当时，，不符合题意；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
故，
由恒成立，得恒成立，令，
求导得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，故恒成立，
因此，所以．
17.
18.解：由题，设椭圆的标准方程为：，
则，
所以椭圆的标准方程为：．
设，，，则，
又，在椭圆上，则，
两式相减得：，
即，
变形得：，又，
即；
如图，设，，
先求椭圆在点，处的切线，的方程，
椭圆在点处的切线，设：，
联立，化简得，
则，即，
则，
，
所以，
所以直线，即，
同理可得，，
联立，解得：，
即点的横坐标为，又，
所以，
由题意可知直线的斜率不为，设：，
则，
整理得，
即，
又，则，
所以的方程为：，
即直线恒过定点．
19.
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