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2024-2025学年辽宁省凌源高中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，为偶函数，则的值为( )
A. B. C. D. 或
5.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成如图，已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为，圆柱和圆锥的高均为，则该陀螺的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
6.设，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知甲组数据：，，，，，，乙组数据：，，，，根据不同组别，用分层抽样的方法随机抽取一个容量为的样本，则该样本的平均数不可能是( )
A. B. C. D.
8.如图，一圆形信号灯分成，，，四块灯带区域，现有种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择种颜色，且相邻的块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为，短半轴长为，则椭圆的标准方程可能为( )
A. B. C. D.
10.已知等差数列的公差，其前项和为，则下列说法正确的是( )
A. 是等差数列 B. 若，则有最大值
C. ，，成等差数列 D. 若，，则
11.已知函数的最大值为，则( )
A. B. 当时，
C. D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数满足，且是偶函数，在上有，则 ______．
13.已知抛物线的焦点为，则抛物线的准线方程为______；抛物线的焦点为，若直线分别与，交于，两点，且，则 ______．
14.已知正方体的棱长为，为的中点，球与正方体的各个表面都相切，则平面截球所得截面的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为．
求；
若，求的面积的最大值．
16.本小题分
某学校对高三班名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为，化学成绩的方差为，其中，且分别表示这名学生的数学成绩和化学成绩，关于的线性回归方程为．
求与的样本相关系数；
从概率统计规律来看，本次考试高三班学生数学成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值试估计该校共名高三学生中，数学成绩位于区间的人数．
附：回归方程中：
样本相关系数
若，则，
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，是等边三角形，且平面平面，点为棱的中点．
求证：；
若，求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
已知双曲线的渐近线方程为，且过点．
求双曲线的标准方程；
若双曲线的右焦点为，点，过点的直线交双曲线于，两点，且，求直线的方程．
19.本小题分
已知函数，定义域为．
讨论的单调性；
求当函数有且只有一个零点时，的取值范围．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：因为，
由正弦定理可得，则，
又，所以；
由余弦定理可得，即，
可得，即，
当且仅当时，等号成立，
所以的面积的最大值为．
16.解：因为，
所以，
又，
所以，
所以；
因为，，
所以，
解得，即，
因为，所以，
所以数学成绩服从正态分布，
因为
，
所以该校高三学生数学成绩位于区间大约有人．
17.解：证明：如图，取中点，连接，，，
因为是中点，所以，
是菱形，则，所以，
又是等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
又因为平面，所以；
，则和都是等边三角形，
连接，则，，
以为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
设，则，，
因此有，，，，，
是中点，则，
，，，，
设平面的一个法向量是，
则，则，
取，得，
易知平面的一个法向量是，
则，则，
取，则，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
18.解：由题意可得，，
解得，，
所以，双曲线的标准方程为；
解：由知双曲线的右焦点为，
当直线的斜率不存在时，方程为：，此时，，
所以，直线的斜率存在，设方程为，
将上式与双曲线方程联立，化简得，
所以，且，
所以，，
设，，
则，
所以，
所以，线段中点为，
因为，
所以，点在线段的中垂线上，
所以，
所以，当时，线段中点为，此时直线的方程为，满足题意；
当时，，
所以，，整理得，解得或，满足．
综上，直线的方程为，或或．
19.解：因为，
当，即时，则在内恒成立，
可知在内单调递增；
当，即或时，可知有两个不相等的根，，
不妨令，，可知，
若，因为，可知，令，解得，
令，解得；可知在内单调递减，
在内单调递增；
若，因为，可知，令，解得或；
令，解得，可知在内单调递减，
在，内单调递增；
综上所述：当时，在内单调递增；
当时，在内单调递减，内单调递增；
当时，在内单调递减，
在内单调递增；
若，可知在内无零点，不合题意，
可知，令，整理得，
构造，原题意等价于与有且仅有一个交点，
因为，，构造，，
则，令，解得；
令，解得；可知在内单调递增，
在内单调递减，则，
即在内恒成立，可知在内单调递减，
且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于；
可得，即，所以的取值范围为．
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