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2025-2026学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则实数( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.设，是两个不同的平面，是直线，且“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.函数的单调递减区间为( )
A. B.
C. D. ，
5.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的( )
A. 横坐标变为原来的倍纵坐标不变 B. 横坐标变为原来的倍纵坐标不变
C. 纵坐标变为原来的倍横坐标不变 D. 纵坐标变为原来的倍横坐标不变
6.已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点若，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.的值为( )
A. B. C. D.
8.若，，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，为两个随机事件，以下命题正确的是( )
A. 若，是对立事件，则
B. 若，是对立事件，则
C. 若，是互斥事件，，，则
D. 若，是互斥事件，，则
10.已知正方体棱长为，是上的一个动点，下列结论正确的是( )
A. 当点在直线上运动时，一定有
B. 当点在直线上运动时，三棱锥的体积不变
C. 的最小值为
D. 以点为球心，为半径的球面与平面的交线长为
11.在中，内角，，的对边分别为，，，已知的面积为，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 外接圆直径的最小值为
C. 的值可以为 D. 的值可以为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是定义域为的奇函数，且当时，，则 ______．
13.已知三棱锥的底面是以为斜边的直角三角形，平面且，设三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球体积与之比的最小值是______．
14.已知向量，，，则当，取得最大值时，______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点．
求证：平面；
求三棱锥的体积．
16.本小题分
为完善学校体育教学模式，提高学生体育与健康素养，现对某校名高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了名学生进行调查下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间单位：分钟的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于分钟的学生称为“运动爱好者”．
试求频率分布直方图中的值和该校学生中“运动爱好者”的人数；
在抽取的名学生中，随机选取了名学生的每天平均运动时间单位：分钟：，，，，，已知这个数的平均数，方差，若剔除其中的和这两个数，求剩余个数的平均数与方差．
17.本小题分
如图，在平面凸四边形中，．
求；
若，求．
18.本小题分
甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空设每场比赛双方获胜的概率都是．
试指出丙最终获胜的概率与的大小关系不需给出理由；
求通过四场比赛决出胜负且甲最终获胜的概率；
求丙最终获胜的概率．
19.本小题分
如图，在三棱锥中，底面，平面平面．
求证：；
若，，是的中点，，分别在线段，上移动．
求与平面所成角的正切值；
若平面，求线段长度取最小值时二面角平面角的正切值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：如图，连接交于点，再连接，
在中，为中点，为的中，
所以，又平面，平面，
所以平面．
因为该几何体为正方体，
所以点到平面的距离等于，
所以点到平面的距离等于，
根据等体积法可知．
16.根据题目有：，解得；
每天平均运动时间不低于分钟的频率为，
故该校学生中“运动爱好者”的人数为．
，
因
，
则，
剔除其中的和这两个数，
剩余个数的平均数：，
方差为．
17.解：根据同角三角函数之间的关系整理可得：，
通分得到：，
再逆用两角和的正弦公式得到：，
又因为，
所以，
故．
由已知，为边长为的等边三角形，
在中，，由正弦定理得 ，故，
由于，所以 ，
故BC，
在中，由余弦定理得，
即，
得．
18.丙最终获胜的概率大于．
设甲最终获胜为事件，则甲最终获胜的概率为：
，
又由甲、乙最终获胜的概率相等，故丙最终获胜的概率为，
易知，所以丙最终获胜的概率大于；
设甲输为事件，乙输为事件，丙输为事件，
通过场比赛决出胜负且甲最终获胜即甲连胜四局，故所求的概率为；
设甲最终获胜为事件，则甲最终获胜的概率为：
，
又由甲、乙最终获胜的概率相等，故丙最终获胜的概率为．
19.解：证明：作，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，又平面，所以；
由得平面，
所以为在平面的射影，为与平面所成角，
在中，，
在直角中，，
所以与平面所成角的正切值为；
过作的垂线，垂足为，过作，交于，
因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，所以，
因为平面，平面，所以平面，同理平面，
因为，，平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面，设，
所以，，，，
在直角中，，
当时，，，
易证为二面角的平面角，其正切值为．
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