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21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
一、单选题
1．关于的一元二次方程的两根为，，那么下列结论一定成立的是（　　）
A．， B．， C． D．
2．已知方程的两根分别为和，则的值等于（　　）
A．3 B． C．1.5 D．
3．关于x的方程（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
4．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且总是方程的两根（m为整数），则这样的直角三角形（　　）
A．有1个 B．有2个 C．有无数个 D．不存在
5．若x=1是方程x2﹣5x+c=0的一个根，则这个方程的另一个根是（　　）
A．-2 B．2 C．4 D．-5
6．若是方程的两个根，则的值为（　　）
A．2 B．-2 C． D．
7．将抛物线位于x轴下方的图像沿着x轴翻折，翻折后的图像与相交于A，B，C，D四点，其横坐标分别为，，，（其中），若，则t的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．对于代数式A、B，定义新运算，则下列说法正确的个数为（　　）
①若，则的值为3或；②若方程的解为a、b，则的值为；③若关于x的方程有两个不相等的实数解，则．
A．0 B．1 C．2 D．3
9．已知为互不相等的实数，且，，则的值为（　　）
A． B．0 C． D．2
二、填空题
10．设、是一元二次方程的两根，则　 　．
11． 已知一元二次方程. 的一个根为1，则另一个根为　 　.
12．设是方程的两个实数根，则的值为　 　．
13．若关于x的方程的两根为、，则　 　.
14．关于的 x 一元二次方程 的一个根是﹣1，则 m 的值是　 　，方程的另 一个根是　 　．
15．已知关于x的一元二次方程x2-x+m=0的一个根是-4，则该方程的另外一个根是　 　
16．写出一个关于x的一元二次方程，使方程的两根互为相反数，且二次项系数为1，此方程是　 　.
17．已知，，，，求的最小值是　 　．
18．已知，且有及，则的值为　 　．
19．已知直线y＝kx＋2与y轴交于点A，与双曲线y＝相交于B，C两点，若AB＝3AC，则k的值为　 　．
20．若关于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为　 　．
21． 已知关于x的方程kx2+（1-k）x-1=0，有下列说法：①当k=0时，方程无解；②当k=1时，方程有一个实数解；③当k=-1时，方程有两个相等的实数解；④此方程总有实数解．其中正确的是　 　．
三、解答题
22．已知关于的方程的两个根分别是1和，求和的值．
23．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根是2．求方程的另一个根及k的值．
24．已知关于的一元二次方程的一个根为，请求出的值及另一根．
25．同学们，我们知道一元二次方程ax2+bx+c=0若有根为x1、x2，则x1+x2=﹣，x1 x2=，不解方程x2﹣x﹣1=0，设它的根为x1、x2，求下列各式的值．
（1）x12+x22；
（2）x1﹣x2；
（3）若实数a、b满足a2﹣a﹣2=0，b2﹣b﹣2=0，且a≠b，试求出+的值．
26．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）设该方程的两个实数根为，若，求的值．
27．已知关于的方程：有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为(1)中符合条件的最小正整数，设此时对应的一元二次方程的两个实数根分别为，，求代数式的值．
28．已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为，，若．求k的值．
29．关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，
（1）方程①，②中，是“倍根方程”的序号______；
（2）若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值；
（3）若是“倍根方程”，求代数式的值．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵（x-3）（x+2）=p2（p为常数），
∴x2-x-6-p2=0，
∴Δ=b2-4ac=1+24+4p2=25+4p2>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为-6-p2<0，
∴一个正根，一个负根．
故答案为：C．
【分析】先求出x2-x-6-p2=0，再求出方程有两个不相等的实数根，最后求解即可。
4．【答案】D
5．【答案】C
【解析】【解答】解：由根与系数的关系，设另一个根为x，
则1+x=5，
解得：x=4．
故选C．
【分析】由根与系数的关系，设另一个根为x，再根据两根之和为﹣代入计算即可．
6．【答案】A
【解析】【解答】∵是方程的两个根，
∴x1x2=，x1+x2=3，
∴，
故答案为：A.
【分析】先利用根与系数的关系求出x1x2=，x1+x2=3，再将其代入计算即可.
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】A
10．【答案】
11．【答案】2
【解析】【解答】解：将x=1代入，可得：1-3+m=0，
解得：m=2，
∴一元二次方程为，
∴（x-2）（x-1）=0，
解得：x1=1，x2=2，
∴方程的另一个根式2，
故答案为：2.
【分析】先将x=1代入方程求出m的值可得一元二次方程为，再求出方程的解即可.
12．【答案】2022
13．【答案】0
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：0
【分析】根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
14．【答案】2.5；-0.25
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为n，根据题意得
解之：
故答案为：2.5，-0.25.
【分析】设方程的另一个根为n，利用一元二次方程根与系数，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值.
15．【答案】6
【解析】【解答】解：∵设方程的另一个根为a，
∴
解之：a=6
∴方程的另一个根为6.
故答案为：6.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，设方程的另一个根为a，利用方程的两根之和，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
16．【答案】x2 4=0
【解析】【解答】∵方程的两根互为相反数，根据两根之和公式可知一次项系数为0，
为了保证方程有意义，△必须大于等于0.
所以一元二次方程可写为x2 4=0.
故答案为：x2 4=0.
【分析】因为方程的两根互为相反数，所以两根之和为0，即一次项系数为0，方程可设为x2+a=0（a≤0）．任意取一a值，即得所求方程．故此题答案不唯一．
17．【答案】6
18．【答案】10
【解析】【解答】由题可知y≠0，所以 ，两边同时除以y2可得：
∴x和，是方程 的两根，
∴
故答案为：10.
【分析】对边两个方程，发现系数有一定的联系，第二个方程两边同时除以y的平方，恰好发现y的倒数满足第一方程，也就是说第一个方程的两根是x和然后根据根与系数的关系可得两根积，也即x：y的值。
19．【答案】1或－
20．【答案】
【解析】【解答】解：设某直角三角形的三边长分别为a、b、c，
依题意可得
x﹣4＝0或x2﹣6x+m＝0，
∴x＝4，x2﹣6x+m＝0，
设x2﹣6x+m＝0的两根为a、b，
∴（﹣6）2﹣4m＞0，m＜9，
根据根与系数关系，得a+b＝6，ab＝m，则c＝4，
①c为斜边时，a2+b2＝c2，（a+b）2﹣2ab＝c2
∴62﹣2m＝42，m＝10（不符合题意，舍去）；
②a为斜边时，c2+b2＝a2，
42+（6﹣a）2＝a2，
a＝ ，b＝6﹣a＝ ，
∴m＝ab＝ =
故答案为 ．
【分析】运用根与系数关系、根的判别式，根据勾股定理列方程解答即可．
21．【答案】③④
【解析】【解答】解：当时，，解得，错误；
当时，，解得，，错误；
当时，，
，
方程有两个相等的实数解，正确；
当时，，解得；
当时，，
方程总有实数解 ，正确.
故答案为：.
【分析】当时，原方程可化为，解得，故错误；当时，原方程可化为，解得，，故错误；当时，原方程可化为，利用根的判别式可得方程有两个相等的实数解，故正确；当时，原方程可化为一元一次方程解得，当时，原方程可化为一元二次方程，由根的判别式可得方程有实数解 ，故正确.
22．【答案】，
23．【答案】k的值是1，方程的另一个根是﹣3．
24．【答案】解：∵关于的一元二次方程的一个根为，
∴，
∴，
∴一元二次方程为程，
设方程的另一根为x1，利用根与系数的关系可得：3x1=-6，
∴x1=-2.
即：一元二次方程的另一根为．
【解析】【分析】首先根据方程的根的意义，得出关于参数k的方程，解方程即可得出k的值；再利用根与系数的关系，即可求得另一根。
25．【答案】解：∵方程x2﹣x﹣1=0，设它的根为x1、x2，∴x1+x2=1，x1 x2=﹣1，（1）x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1 x2=12+2=3；（2）∵|x1﹣x2|===，∴x1﹣x2=；（3）∵a、b满足a2﹣a﹣2=0，b2﹣b﹣2=0，且a≠b，∴a，b是方程x2﹣x﹣2=0的根，∴+==﹣．
【解析】【分析】（1）x1、x2是方程x2﹣x﹣1=0的两实数根，根据x1+x2=﹣，x1 x2=，即可求出答案；
（2）x1、x2是方程x2﹣x﹣1=0的两实数根，根据x1+x2=﹣，x1 x2=，即可求出答案；
（3）根据a、b满足a2﹣a﹣2=0，b2﹣b﹣2=0，且a≠b，于是得到a，b是方程x2﹣x﹣2=0的根，然后根据根与系数的关系即可得到结论．
26．【答案】（1）证明：
无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：该方程的两个实数根为，
整理得，
解得，
的值为-2或1．
【解析】【分析】(1)由方程可计算得根的判别式，故无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
(2)利用韦达定理可得，代入方程得到关于m的方程，进而解得.
27．【答案】（1）解：根据题意，得，
解得；
（2）解：为中符合条件的最小正整数，
，
原一元二次方程为，
，，，
，
．
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式时，方程 有两个不相等的实数根 进行求解即可；
（2）根据题意结合（1）知，从而可写出原方程，根据一元二次方程的解得定义可得：，由韦达定理得到：，，带入代数式进行求值即可.
28．【答案】（1）解：因为 关于x的一元二次方程有实数根 ，
所以，解得．
（2）解：∵．
∴．
解这个方程，．
∴k的值为.
【解析】【分析】（1）根据方程有实数根，列出关于k的不等式求解；
（2）利用根与系数的关系，将已知条件适当变形后求解.
29．【答案】（1）①
（2）的值为18
（3）代数式的值为或
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