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21.1一元二次方程
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x+ ＝0 B．ax2+bx+c＝0 C．x2+1＝0 D．x﹣y﹣1＝0
2．关于x的方程（a﹣1）x2＋x＋2=0是一元二次方程，则a的取值范围是( )
A．a≠1 B．a≥－1且a≠1
C．a＞－1且a≠1 D．a≠±1
3．已知 是方程 的一个根，则代数式 的值应在（　　）
A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间
4．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根0，则a值为（　　）
A．1 B．-1 C．±1 D．0
5．已知关于方程的两个实数根是，，则方程的两个实数根是（　　）
A．， B．，
C．， D．；
6．若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝1必有一根为（　　）
A． B．2020 C．2019 D．2018
7．方程x2+ax+7=0和x2﹣7x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
二、填空题
8．已知关于x的方程的一个根为，请你写出这个方程　 　．
9．若是关于的一元二次方程，则的值为　 　.
10．已知x=1是方程x2+mx-3=0的一个实数根，则m的值是　 　 .
11．若关于x的方程有一个根为，则a的值为 　 　．
12．电影《长津湖》首映当日票房已经达到2.06亿元，2天后当日票房达到4.38亿元，设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为　 　．
13．若关于x的一元二次方程 的两根为 ，其中a、m为两数，则 　 　， 　 　．
14．已知在△ABC中，AB＝3，AC＝5，第三边BC的长为一元二次方程x2－6x＋8＝0的一个根，则该三角形为　 　三角形．
15．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x﹣a2+1＝0有一个根为0，则a的值等于　 　.
16．已知关于x的一元二次方程 的两根x1和x2，且 ，则k的值是　 　.
17．关于x的方程（1-m2）x2+2mx-1=0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是　 　．
18．等腰三角形的三边的长是a 、b、4，其中a、b是方程x2-6x+c=0两个根，则此三角形的三边长是　 　．
19．若关于x的三个方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，x2+（2m+1）x+m2=0，（m﹣1）x2+2mx+m﹣1=0中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是　 　．
三、解答题
20．已知关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0．
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？求出该一元一次方程的解；
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
21．已知关于x的方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+3m﹣1＝0．
（1）当m为何值时，该方程是一元二次方程？
（2）当m为何值时，该方程是一元一次方程？
已知a，b，c均为有理数，试判断关于x的方程 是不是一元二次方程？如果是，请写出二次项系数，一次项系数及常数项.
关于的方程的一个实数根是，并且和恰好是等腰三角形的两边长，求的周长．
24．已知
（1）求m，n的值.
（2）若关于x的一元二次方程有一个根是1，求b的值.
25．已知m，n分别是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a与ax2+bx+c＝b的一个根，且m＝n+1．
(1)当m＝2，a＝﹣1时，求b与c的值；
(2)用只含字母a，n的代数式表示b；
(3)当a＜0时，函数y＝ax2+bx+c满足b2﹣4ac＝a，b+c≥2a，n≤﹣，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】A.该方程不是整式方程，故本选项不符合题意．
B.当a＝0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意．
C.该方程符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意．
D.该方程中含有两个未知数，属于二元一次方程，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（a-1）x2+x+2=0是一元二次方程，
∴a-1≠0，a+1≥0，
解得：a≥-1，且a≠1．
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件可得a-1≠0，a+1≥0，再求出a的取值范围即可.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ，即 ，
∴原式= ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 的值在4和5之间，
故答案为：A.
【分析】将x=a代入方程中可得，整体代入原式求出原式的值，再估算范围即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：把x=0代入方程得：a2﹣1=0，
解得：a=±1，
∵（a﹣1）x2+ax+a2﹣1=0是关于x的一元二次方程，
∴a﹣1≠0，
即a≠1，
∴a的值是﹣1．
故选B．
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出a﹣1≠0，a2﹣1=0，求出a的值即可．
5．【答案】D
【解析】【解答】解：设x-4=m，则方程（x-4）2+b（x-4）+c=0变为m2+bm+c=0，
∵x2+bx+c=0的两个根为x1=2，x2=-3，
∴m=2或m=-3，
∴x-4=2或x-4=-3，
解得x=6或x=1，
∴方程（x-4）2+b（x-4）+c=0的两个实数根为x1=6或x2=1.
故答案为：D.
【分析】设x-4=m，则方程（x-4）2+b（x-4）+c=0变为m2+bm+c=0，根据x2+bx+c=0的两个根为x1=2，x2=-3，得x-4=2或x-4=-3，从而即可求出方程（x-4）2+b（x-4）+c=0的两个实数根.
6．【答案】B
【解析】【解答】对于一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）-1=0，
设t=x-1，
所以at2+bt-1=0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0（a≠0）有一根为x=2019，
所以at2+bt-1=0有一个根为t=2019，
则x-1=2019，
解得x=2020，
所以一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）=1必有一根为x=2020．
故答案为：B．
【分析】对于一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）-1=0，设t=x-1得到at2+bt-1=0，利用at2+bt-1=0有一个根为t=2019得到x-1=2019，从而可判断一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）=1必有一根为x=2020．
7．【答案】B
【解析】【解答】设该公共根为x=b，
由题意可知：b2+ab+7=0，
b2-7b-a=0
∴（a+7）b+7+a=0
∵a+7≠0，
∴b=-1
∴x=-1代入x2-7x-a=0，
a=1+7=8
故答案为：B．
【分析】设两方程的公共根是x=b，然后根据方程根的定义，将这个公共根分别代入两个方程得b2+ab+7=0 ①，b2-7b-a=0 ②，①-②得（a+7）b+7+a=0，然后根据方程有根得出a+7≠0，从而得出b的值，即x的值，将x的值随便代入题干中的某一个方程即可算出a的值。
8．【答案】
9．【答案】3
【解析】【解答】解：由题得，解得m=3
故答案为：3.
【分析】根据一元二次方程的概念可知未知数项最高次是二次，且二次项系数不为零，列不等式组求解。
10．【答案】2
【解析】【解答】把x=1代入方程得：1+m-3=0
∴m=2，故答案为：m=2.
【分析】将x=1代入方程即可求出m的值.
11．【答案】4
12．【答案】2.06(1＋x)2＝4.38
【解析】【解答】解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：2.06(1＋x)2＝4.38．
故答案为：2.06(1＋x)2＝4.38．
【分析】根据题意，找出等量关系式， 设平均每天票房的增长率为x ，列出方程即可.
13．【答案】4；
【解析】【解答】解：
移项，得
∴
解得：
∵关于x的一元二次方程 的两根为
∴ ， =
解得：a=4
故答案为：4； ．
【分析】根据方程的根表示以及两个根的值，即可得到a的值。
14．【答案】直角
【解析】【解答】解一元二次方程x2-6x+8=0，
得，x=2或4，
∵AB=3，AC=5，
∴2＜BC＜8，
∵第三边BC的长为一元二次方程x2－6x＋8＝0的一个根，
∴BC=4，
当BC=4时，AB2+BC2=AC2，△ABC是直角三角形.
故答案为：直角．
【分析】根据题意解出一元二次方程的根，根据三角形三条边的关系选择合适的边长进行判断即可得到答案。
15．【答案】1
【解析】【解答】解：把x＝0代入（a+1）x2+x﹣a2+1＝0得﹣a2+1＝0，解得a＝1或a＝﹣1，
而a+1≠0，所以a的值为1.
故答案为：1.
【分析】由一元二次方程的概念可得a≠-1，将x=0代入原方程中可得关于a的方程，求解即可.
16．【答案】 或 .
【解析】【解答】∵ ，∴ 或
.
∵关于x的一元二次方程
的两根x1和x2，
∴若
，则
；
若
，则方程
有两相等的实数根，
∴ .
∴ 或
.
故答案为：-2或-
.
【分析】先由
可得
或
，则需分两种情况考虑，第一种x1=2，将x1=2代入方程得到关于k的方程，求解即可；第二种
，则△=0，同样得到关于k的方程，求解即可.
17．【答案】m=1或m>2
【解析】【解答】①当1-m2 =0时，m=±1，
当m=1，可得出2x-1=0，x=，符合题意，
当m=-1，可得出-2x-1=0，x=，不符合题意，
②当1-m2≠0时，
（1-m2）x2+2mx-1=0，可解出
x1=，x2=
根据题意可得出，
0＜＜1，解得m＞0，
0＜＜1，解得m＞2，
综上，m=1或m＞2.
【分析】分别讨论1-m2是否等于0的情况，根据根的条件，可解出m的取值范围。
18．【答案】2，4，4或3，3，4
【解析】【解答】解： 是方程 的两个根，
，
由等腰三角形的定义，分以下三种情况：（1）若 ，这个三角形是等腰三角形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；（2）若 ，这个三角形是等腰三角形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；（3）若 ，这个三角形是等腰三角形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；
综上，此三角形的三边长是 或 ，
故答案为： 或 ．
【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得a+b=6，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系求解即可。
19．【答案】m≤﹣ 或m≥﹣
【解析】【解答】解：设关于x的三个方程都没有实根．
对于方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，则有△1＜0，即△1=16m2﹣4（4m2+2m+3）＜0，解得：m＞﹣ ；
对于方程x2+（2m+1）x+m2=0，则有△2＜0，即△2=（2m+1）2﹣4m2=4m+1＜0，解得：m＜﹣ ；
对于方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣1=0，当m=1时，方程变为2x=0，方程有解，所以m≠1，则有△3＜0，即△3=4m2﹣4（m﹣1）2=8m+4＜0，解得：m＜ ．
综合所得：当﹣ ＜m＜﹣ ，且m≠1时，关于x的三个方程都没有实根．
所以若关于x的三个方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，x2+（2m+1）x+m2=0，（m﹣1）x2+2mx+m﹣1=0中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是 m≤﹣ 或m≥﹣ ．
故答案为：m≤﹣ 或m≥﹣ ．
【分析】对于至少或至多的问题我们都从它们的反面来求解，所以先求得三个方程都没有实根时m的取值范围，那么m在这个范围之外则为三个方程至少有一个实根时m的取值范围.
20．【答案】（1）m＝1；x＝﹣1
（2）m≠1；二次项系数为m﹣1，一次项系数为m﹣2，常数项为﹣2m+1
21．【答案】（1）解：∵ 该方程是一元二次方程，
∴m2﹣4≠0，
解得：m≠±2，
当m≠±2时，该方程是一元二次方程；
（2）根据题意，m2﹣4＝0且m+2≠0，
解得：m＝2，
故当m＝2时，该方程是一元一次方程．
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义得m2﹣4≠0，求解即可；
（2）根据一元二次方程和一元一次方程的定义，令二次项系数为0，且一次项系数不是0，即可得一元一次方程.
22．【答案】解：将上述方程整理可化简为
因为a为有理数即可知 恒成立， ，
所以该方程为一元二次方程
且二次项系数，一次项系数以及常数项分别为 ，
【解析】【分析】将方程合并同类项，根据一元二次方程的含义，讨论二次项的系数即可得到答案。
23．【答案】21或24
24．【答案】（1）解：∵，
∴n-5≥0且5-n≥0，
解之：n=5，
∴m=4，
∴n=5，m=4
（2）解：∵关于x的一元二次方程有一个根是1， n=5，m=4，
∴4x2+bx+5=0，
∴4+b+5=0，
解之：b=-9，
∴b的值为-9
【解析】【分析】（1）利用二次根式的非负性，可得到n-5≥0且5-n≥0，由此可求出n的值，然后求出m的值.
（2）将m，n的值代入方程，可得到4x2+bx+5=0，再将x=1代入方程，可求出b的值.
25．【答案】(1)b=1，c=1；(2)；(3)-≤a≤-.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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