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(共43张PPT)
章末综合测评(三)　立体几何初步
第八章　立体几何初步
题号
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√
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一个长方体容器ABCD-A1B1C1D1中盛有水，四边形ABCD为正方形且AA1＝16．如图，当平面ABB1A1水平放置时，水面的高度恰好为AD，那么将平面ABCD水平放置时，水面的高度等于(　　)
A．4 　　　B．8 　　　C．10 　　　D．12
题号
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A　[设正方形ABCD的边长为a，则水的体积为16a×4a2，
将平面ABCD水平放置时，设水面的高度为h，则有a2h＝4a2，得h＝4．
故选A．]
2．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为2，则该圆台的侧面积为(　　)
A．π 　　　B．2π 　　　C．3π 　　　D．4π
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√
C　[圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为2，则圆台的母线长l所以该圆台的侧面积S＝π(1＋2)l＝3．
故选C．]
3．已知圆锥的底面半径为4，其侧面展开图为一个四分之一圆，则该圆锥的母线长为(　　)
A．12 　　　B．14 　　　C．16 　　　D．18
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√
C　[设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，
则2πrl，解得l＝16．
故选C．]
4．工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格．工人师傅运用的数学原理是(　　)
A．两条相交直线确定一个平面
B．两条平行直线确定一个平面
C．四点确定一个平面
D．直线及直线外一点确定一个平面
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√
A　[利用平面的基本性质求解．
由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格，
所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”．
故选A．]
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5．已知边长为1的菱形ABCD中，∠A＝则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为(　　)
A． 　　　B． 　　　C． 　　　D．
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√
D　[菱形ABCD中，AB＝1，∠A
则菱形的面积为S菱形ABCD＝2S△ABD＝2××1×1×sin ．
所以用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为S．
故选D．]
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6．在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C-BM-A的大小为(　　)
A．30° 　　　B．60° 　　　C．90° 　　　D．120°
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√
C　[如图，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°知A′C．
∵M为A′C的中点，∴MC＝AMCM⊥BM，AM⊥BM，
∴∠CMA为二面角C-BM-A的平面角．
∵AC＝1，MC＝MA∴MC2＋MA2＝AC2，
∴∠CMA＝90°．故选C．]
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7．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是(　　)
A．π 　　　B．π 　　　C．4π 　　　D．32π
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√
C　[设正方体的棱长为a，则6a2＝24，解得a＝2．所以其外接球的半径R3＝4．故选C．]
8．(2021·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　)
A． 　　　B． 　　　C． 　　　D．
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√
D　[法一：如图，连接C1P，因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，
且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1．
又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP．
又BP 平面B1BP，所以C1P⊥BP．
连接BC1，则AD1∥BC1，
所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角．设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则在直角三角形C1PB中，C1Psin ∠PBC1．故选D．
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法二：如图所示，
连接BC1，A1B，A1P，PC1，则易知AD1∥BC1，所以直线PB与AD1所成的角等于直线PB与BC1所成的角．根据P为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点，易知A1，P，C1三点共线，且P为A1C1的中点．易知A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1为等边三角形，所以∠A1BC1．又P为A1C1的中点，所以可得∠PBC1．]
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二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是不同的两个平面，则下列说法正确的是(　　)
A．若m⊥β，α∥β，则m⊥α
B．若m⊥α，n⊥α，n⊥β，则m⊥β
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若n⊥α，n⊥β，则α⊥β
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√
√
AB　[A选项，由于m⊥β，α∥β，所以m⊥α，所以A选项正确．
B选项，由于m⊥α，n⊥α，所以m∥n，
由于n⊥β，所以m⊥β，所以B选项正确．
C选项，若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，所以C选项错误．
D选项，若n⊥α，n⊥β，则α∥β，所以D选项错误．
故选AB．]
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10．如图，在棱长均相等的四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，下列结论正确的是(　　)
A．PD∥平面OMN
B．平面PCD∥平面OMN
C．直线PD与直线MN所成角的大小为90°
D．ON⊥PB
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√
√
√
ABD　[对于选项A，连接BD，显然O为BD的中点．
又N为PB的中点，所以PD∥ON．又PD 平面OMN，
ON 平面OMN，所以PD∥平面OMN，选项A正确；
对于选项B，由M，N分别为侧棱PA，PB的中点，得MN∥AB．
又底面ABCD为正方形，所以MN∥CD，同理可得CD∥平面OMN．
又由选项A得PD∥平面OMN，PD∩CD＝D，
所以平面PCD∥平面OMN，选项B正确；
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对于选项C，因为MN∥CD，
所以∠PDC(或补角)为直线PD与直线MN所成的角．
又因为四棱锥的所有棱长都相等，所以∠PDC＝60°，
故直线PD与直线MN所成角的大小为60°，选项C不正确；
对于选项D，因为底面ABCD为正方形，所以AB2＋AD2＝BD2．
又四棱锥的所有棱长都相等，所以PB2＋PD2＝BD2，故PB⊥PD．
又PD∥ON，所以ON⊥PB，选项D正确．
故选ABD．]
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11．(2022·新高考Ⅱ卷)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E-ABC，F-ABC，E-ACF的体积分别为V1，V2，V3，则(　　)
A．V3＝2V2
B．V3＝V1
C．V3＝V1＋V2
D．2V3＝3V1
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√
√
CD　[设AB＝ED＝2FB＝2，则V1．连接BD交AC于M，连接EM，FM(图略)，则FMEF＝3，所以FM 2＋EM 2＝EF2，∴EM⊥FM，故S△EMFS△EMF·AC＝2，V3＝V1＋V2，2V3＝3V1，故选CD．]
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三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．如图所示，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G．若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝______．
题号
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　[因为A a，所以点A与直线a确定一个平面，即平面ABD．因为a∥α，且α∩平面ABD＝ EG，所以a∥EG，即BD∥EG，所．于是EG．]
　
13．如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2，则V1∶V2＝_________．
题号
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1∶24　
1∶24　[因为D，E分别是AB，AC的中点，
所以S△ADE∶S△ABC＝1∶4．又F是AA1的中点，
所以A1到底面ABC的距离h1为F到底面ABC的距离h2的2倍，
即三棱柱A1B1C1-ABC的高是三棱锥F-ADE高的2倍，
所以V1∶V21∶24．]
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14．已知四面体P-ABC中，PA＝PB＝4，PC＝2，AC＝2PB⊥平面PAC，则四面体P-ABC外接球的体积为______．
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36π　
36π　[∵PA＝4，PC＝2，AC＝2
∴在△PAC中，PA2＋PC2＝20＝AC2，可得AP⊥PC．
又∵PB⊥平面PAC，PA，PC 平面PAC，
∴PB⊥PA，PB⊥PC．
以PA，PC，PB分别为长、宽、高，作长方体如图所示，
则该长方体的外接球就是四面体P-ABC的外接球．
∵长方体的体对角线长6，
∴长方体外接球的直径2R＝6，得R＝3，
因此，四面体P-ABC的外接球的体积为VR3＝36π．]
题号
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四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm．
(1)求该模型的体积；
(2)若3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，
不考虑打印损耗，求制作该模型所需要原料的质量．
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[解]　(1)由题意知，该模型体积为
VO-EFGH＝6×6×4×3
＝144－12＝132(cm3)．
(2)若3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，则制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．
题号
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16．(本小题满分15分)如图所示的一块四棱柱木料ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD是梯形，且CD∥AB．
(1)要经过平面A1B1C1D1内的一点P和侧棱DD1将木料锯开，应怎样画线？
(2)所画的线之间有什么位置关系？
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[解]　(1)如图所示，连接D1P并延长交A1B1于E，过E作EF∥AA1交AB于F，连接DF，则D1E，EF，FD就是应画的线．
题号
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(2)由DD1∥AA1，EF∥AA1，得D1D∥EF，
所以D1D与EF确定一个平面α，又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，α∩平面ABCD＝DF，α∩平面A1B1C1D1＝D1E，所以D1E∥DF，显然DF，D1E都与EF相交．
17．(本小题满分15分)(2024·全国甲卷)如图，已知AB∥CD，CD∥EF，AB＝DE＝EF＝CF＝2，CD＝4，AD＝BC＝M为CD的中点．
(1)证明：EM∥平面BCF；
(2)求点M到平面ADE的距离．
题号
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[解]　(1)证明：由题意得，EF∥MC，且EF＝MC，所以四边形EFCM是平行四边形，所以EM∥FC．
又CF 平面BCF，EM 平面BCF，所以EM∥平面BCF．
(2)取DM的中点O，连接OA，OE(图略)，因为AB∥MC，且AB＝MC，所以四边形AMCB是平行四边形，所以AM＝BC
又ADADM是等腰三角形，同理△EDM是等边三角形，可得OA⊥DM，OE⊥DM，OA
AE＝2OA2＋OE2＝AE2，
故OA⊥OE．
题号
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又OA⊥DM，OE∩DM＝O，OE，DM 平面EDM，
所以OA⊥平面EDM．
易知S△EDM．
在△ADE中，cos ∠DEA
所以sin ∠DEAS△ADE．
设点M到平面ADE的距离为d，由VM-ADE＝VA-EDMS△ADE·dS△EDM·OA，得dM到平面ADE的距离．
题号
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18．(本小题满分17分)如图①，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M为CD上一点，且CM＝2MD．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图②，点E是线段AM的中点．
(1)求证：平面BDE⊥平面ABCM；
(2)过B点是否存在一条直线l，
同时满足以下两个条件：
①l 平面ABCM；②l⊥AD．请说明理由．
题号
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[解]　(1)证明：由已知得DA＝DM，E是AM的中点，所以DE⊥AM．
因为平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，DE 平面ADM，
所以DE⊥平面ABCM．
又DE 平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCM．
题号
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(2)过B点存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l 平面ABCM；②l⊥AD．
理由：
在平面ABCM中，
过点B作直线l，使l⊥AM(图略)．
因为平面ADM⊥平面ABCM，平面ABCM∩平面ADM＝AM，所以l⊥平面ADM．因为AD 平面ADM，所以l⊥AD．
题号
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19．(本小题满分17分)在我国古代数学名著《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑(nào)”．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝BC＝AB＝1，AC＝2，E为棱PB上一点．
(1)若AE⊥平面PBC，求VP-ACE∶VE-ABC；
(2)求二面角A-PC-B的余弦值．
题号
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[解]　(1)因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，AB 平面ABC，所以PA⊥BC，PA⊥AB．
又AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC．
又PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
所以VP-ACE∶VE-ABC＝VC-PAE∶VC-ABE＝PE∶EB．
题号
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在Rt△PAB中，PB＝2，由AE⊥平面PBC，得AE⊥PB，则PA·AB＝PB·AE，即有AE．
在Rt△PAE中，PE
则有VP-ACE∶VE-ABC＝3∶1．
题号
1
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(2)如图，作AE⊥PB于点E，过点E作EO垂直于PC于点O，连接AO．
由(1)知，BC⊥平面PAB，AE 平面PAB，
则BC⊥AE，而PB∩BC＝B，PB，BC 平面PBC，
于是得AE⊥平面PBC．
又PC 平面PBC，则AE⊥PC．
又EO⊥PC，AE，EO 平面AOE，AE∩EO＝E，
题号
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所以PC⊥平面AOE，所以PC⊥AO，
因此∠AOE是二面角A-PC-B的平面角．
在Rt△PAC中，PC则AO．
由(1)知，AE．
在Rt△AOE中，sin ∠AOE
则cos ∠AOE所以二面角A-PC-B的余弦值．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
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THANKS章末综合测评(三)　立体几何初步
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一个长方体容器ABCD A1B1C1D1中盛有水，四边形ABCD为正方形且AA1＝16．如图，当平面ABB1A1水平放置时，水面的高度恰好为AD，那么将平面ABCD水平放置时，水面的高度等于(　　)
A．4　　　　B．8　　　 C．10　　　　D．12
2．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为2，则该圆台的侧面积为(　　)
A．π B．2π
C．3π D．4π
3．已知圆锥的底面半径为4，其侧面展开图为一个四分之一圆，则该圆锥的母线长为(　　)
A．12　　　　B．14　　　 C．16　　　　D．18
4．工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格．工人师傅运用的数学原理是(　　)
A．两条相交直线确定一个平面
B．两条平行直线确定一个平面
C．四点确定一个平面
D．直线及直线外一点确定一个平面
5．已知边长为1的菱形ABCD中，∠A＝，则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为(　　)
A．　　　　B．　　　 C．　　　　D．
6．在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C BM A的大小为(　　)
A．30°　　　　B．60°　　　 C．90°　　　　D．120°
7．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是(　　)
A．π　　　　B．π　　　 C．4π　　　　D．32π
8．(2021·全国乙卷)在正方体ABCD A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　)
A．　　　　B．　　　 C．　　　　D．
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是不同的两个平面，则下列说法正确的是(　　)
A．若m⊥β，α∥β，则m⊥α
B．若m⊥α，n⊥α，n⊥β，则m⊥β
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若n⊥α，n⊥β，则α⊥β
10．如图，在棱长均相等的四棱锥P ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，下列结论正确的是(　　)
A．PD∥平面OMN
B．平面PCD∥平面OMN
C．直线PD与直线MN所成角的大小为90°
D．ON⊥PB
11．(2022·新高考Ⅱ卷)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E ABC，F ABC，E ACF的体积分别为V1，V2，V3，则(　　)
A．V3＝2V2 B．V3＝V1
C．V3＝V1＋V2 D．2V3＝3V1
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．如图所示，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G．若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________．
13．如图，在三棱柱A1B1C1 ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1 ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________．
14．已知四面体P ABC中，PA＝PB＝4，PC＝2，AC＝2，PB⊥平面PAC，则四面体P ABC外接球的体积为________．
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD A1B1C1D1挖去四棱锥O EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm．
(1)求该模型的体积；
(2)若3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，求制作该模型所需要原料的质量．
16．(本小题满分15分)如图所示的一块四棱柱木料ABCD A1B1C1D1，底面ABCD是梯形，且CD∥AB．
(1)要经过平面A1B1C1D1内的一点P和侧棱DD1将木料锯开，应怎样画线？
(2)所画的线之间有什么位置关系？
17．(本小题满分15分)(2024·全国甲卷)如图，已知AB∥CD，CD∥EF，AB＝DE＝EF＝CF＝2，CD＝4，AD＝BC＝，M为CD的中点．
(1)证明：EM∥平面BCF；
(2)求点M到平面ADE的距离．
18．(本小题满分17分)如图①，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M为CD上一点，且CM＝2MD．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图②，点E是线段AM的中点．
(1)求证：平面BDE⊥平面ABCM；
(2)过B点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l 平面ABCM；②l⊥AD．请说明理由．
19．(本小题满分17分)在我国古代数学名著《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑(nào)”．如图，在三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝BC＝，AB＝1，AC＝2，E为棱PB上一点．
(1)若AE⊥平面PBC，求VP ACE∶VE ABC；
(2)求二面角A PC B的余弦值．
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